7-弹性体振动01
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弹性力学5PPT课件
在小变形条件下，一个复杂载荷可以等效为几个简单载荷的叠加，每个简单载荷引起的 位移、应变和应力可以分别计算，然后叠加得到复杂载荷下的结果。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
弹性应变能基本概念及原理
实际问题识别和解决方案设计
识别工程中的实际问题
如结构刚度不足、变形过大、能量耗散过快等，分析其原因和影 响。
设计针对性的解决方案
根据问题性质，提出加强结构刚度、优化变形控制、提高能量利用 效率等具体措施。
方案实施与效果评估
将解决方案应用于实际工程中，通过对比分析和实验验证，评估其 效果和可行性。
创新思路在解决实际问题中应用
弹性波传播速度与介质参数关系
分析波速与介质密度、弹性模量等参数的关系。
弹性波在界面上的反射与透射
探讨波在两种不同介质界面上的性应变能与振动能量关系
阐述弹性应变能在振动过程中的作用，以及其与振动能量的关系 。
弹性体振动时的能量转换
分析弹性体在振动过程中，动能与弹性应变能之间的转换。
弹性应变能基本概念 及原理
汇报人： 2024-02-05
目录 CONTENTS
• 弹性应变能基本概念及原理 • 材料力学中的弹性应变能问题 • 结构力学中的弹性应变能问题 • 弹性波传播与振动问题中弹性应变
能应用 • 实验方法及测量技术探讨 • 工程案例分析与实际问题解决方案
01
弹性应变能基本概念及 原理
数据处理技术
介绍实验数据的处理方法，如数据平 滑、异常值剔除、误差修正等，以提 高数据质量和可靠性。
误差分析和提高测量精度措施
误差来源分析
分析实验中可能产生的误差来源，如仪器误差、操作误差、环境误差等，以及各种误差对实验结果的影响程度。
提高测量精度措施
根据误差分析结果，采取相应的措施来减小误差，提高测量精度。例如，优化实验方案、改进测量方法、提高仪 器精度等。
01
结构力学是研究结构在荷载作用下的内力和变形规律的学科。
弹性力学基本方程
03
应变分析基础
应变概念及分类
应变定义
应变是指物体在外力作用下产生的局部 相对变形，描述了物体形状的微小改变 。
VS
应变分类
应变可分为线应变、切应变、体应变等多 种类型，分别描述了物体不同方向的变形 情况。
应变张量表示方法
应变张量定义
应变张量是描述物体变形状态的二阶张量，可用于全面描述物体的应变情况。
几何方程（应变-位移关系）推导
应变定义
应变是描述物体变形程度的物理量，包括线应变、切应变和体应变 等。
位移与应变关系
在弹性力学中，应变可以通过位移来表示。具体来说，线应变可以 通过位移的导数来表示，而切应变则可以通过位移的差分来表示。
推导过程
通过对应变和位移的定义进行分析，可以推导出应变与位移之间的关 系式，即几何方程。
应力状态。
影响分析
03
初始条件对弹性体的动态响应和稳定性有重要影响，
不合理的初始条件可能导致求解结果偏离实际情况。
边界条件和初始条件在求解中作用
确定解的唯一性
边界条件和初始条件是弹性力学 问题有定解的必要条件，只有给 定合适的边界条件和初始条件， 才能保证解的唯一性。
影响解的精度和稳定性
边界条件和初始条件的处理直接 影响求解精度和稳定性，不合理 的边界条件和初始条件可能导致 求解结果失真或不稳定。
目前，弹性力学已经广泛应用于各种工程领域，如机械、土木、航空、航天等 。同时，随着计算机技术的发展，数值计算方法在弹性力学中的应用也越来越 广泛。
弹性力学在工程领域应用
机械工程
土木工程
在机械工程中，弹性力学被广泛应用于机 构工程中，弹性力学被用于分析建筑 结构的稳定性、承载能力以及地震响应等 问题。
弹性力学的概念
经典弹性力学建立
17世纪末到18世纪初，R·胡克、C·惠更斯 、L·欧拉和J·伯努利等人建立了经典的弹性 力学理论，奠定了弹性力学的基础。
弹性力学应用领域
工程领域
材料科学
弹性力学广泛应用于各种工程领域，如建 筑、桥梁、道路、隧道、航空航天等，用 于分析和设计各种结构物。
弹性力学对于研究材料的力学性能和变形 行为具有重要意义，为材料科学的发展提 供了理论基础。
组分、结构等因素变化。
智能材料
03
如压电材料、形状记忆合金等，其力学行为与电场、磁场、温
度等外部条件密切相关，对弹性力学提出新的挑战。
复杂环境下弹性力学问题
极端环境
如高温、低温、高压、 真空等极端环境下，材 料的弹性力学行为可能 发生变化，需要研究相 应的理论和实验方法。
多场耦合
在力、热、电、磁等多 场耦合作用下，材料的 弹性力学响应更加复杂 ，需要建立多场耦合的 弹性力学模型。
泊松比
又称横向变形系数，是反映材料在受到纵向压缩或拉伸时，横向应变与纵向应变 比值的物理量。泊松比越大，说明材料在受到纵向力时横向收缩或膨胀越明显。
应力集中与应力分布
应力集中
在物体内部，由于形状、尺寸或材料性质等原因，某些部位 的应力可能显著高于其他部位，这种现象称为应力集中。应 力集中容易导致物体在局部范围内发生破坏。
地震学
生物力学
弹性力学在地震学中也有重要应用，用于 研究地震波在地球内部的传播规律和地震 引起的地面振动等问题。
生物力学是研究生物体运动和变形的学科， 弹性力学为其提供了基本的理论和方法。
02
弹性力学基本概念
CHAPTER
应力与应变概念
应力
物体内部单位面积上所承受的力，表示物体内部某一点的受力状态。应力分为 正应力和切应力，正应力与截面垂直，切应力与截面平行。
弹簧振子的振幅是课件
THANKS
。
探索弹簧振子在其他领域的应用
生物医学应用
利用弹簧振子的振动特性，研究其在生物医学领域的 应用，如细胞培养、药物输送和医学诊断等。
机械工程应用
将弹簧振子应用于机械工程领域，如振动减震、振动 控制和机械检测等。
物理学领域
研究弹簧振子在量子力学、相对论等物理学领域的应 用，探索其对于基本物理规律研究的价值。
阻尼系数
在弹簧振子的动力学方程中，阻尼系数是一个重要的参数，它描述了振子与周围 介质之间的能量交换。阻尼系数会对振子的振动幅度和振动周期产生影响。
弹簧振子的能量关系
势能
弹簧振子的势能取决于弹簧的伸长量或压缩量。在平衡位置 处，势能最小；在最大伸长或压缩位置处，势能最大。势能 与弹簧的劲度系数和形变量之间的关系符合胡克定律。
01
弹簧振子的运动规律遵循牛 顿第二定律，即F = ma。
02
当质量块受到外部力的作用 时，它会产生加速度，进而
产生位移。
03
随着时间的推移，位移会逐 渐增大或减小，形成振动。
弹簧振子的研究意义
弹簧振子的研究对于理解弹性力学、振动分析以及机 械系统的动态性能等方面都具有重要的意义。
通过研究弹簧振子的运动规律，我们可以更好地了解 弹性体的力学性质和机械系统的动态性能，为实际工
动能
弹簧振子的动能取决于振子的速度。在振动过程中，动能和 势能之间会发生相互转化。通过求解动力学方程，可以获得 弹簧振子的速度、加速度和位置等变量随时间的变化关系， 进而求得振子的能量关系。
03
弹簧振子的振幅
振幅的定义与测量
定义
振幅是描述振子在平衡位置附近振动 离开平衡位置的最大距离，是振动系 统的重要参数之一。
振动力学结构力学
03
结构的边界条件和支撑条件
这些条件对结构的振动行为有显著影响，限制了振动力学的行为。
01
结构的刚度和质量分布
结构的刚度和质量分布影响振动的传递和分布，进而影响振动力学的行为。
02
结构的阻尼特性
阻尼是结构对振动的消耗能力，对振动力学的行为有重要影响。
结构力学对振动力学行为的制约
利用结构力学知识设计和优化振动控制系统，改善结构的振动响应。
结构力学是研究结构在各种力和力矩作用下的响应和行为的学科。
结构力学概述
研究结构在静力载荷作用下的响应，包括力的平衡、变形和应力分布等。
静力学原理
研究结构在动力载荷作用下的响应，包括振动、冲击和动力稳定性等。
动力学原理
研究弹性结构在各种力和力矩作用下的响应，包括弹性变形、应力和应变等。
弹性力学原理
结构分析的基本原理
结构优化设计案例
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
振动测试案例
总结词
振动控制是利用一定的控制策略和技术手段减小或抑制结构振动的措施，以达到提高结构稳定性和减小振动对周围环境的影响。
要点一
要点二
详细描述
在振动控制案例中，首先需要确定控制目标和设计控制策略，如主动控制、被动控制和混合控制等。然后，选择合适的控制装置和传感器，进行系统建模和仿真分析。在实施控制策略时，需要确保系统的实时性和准确性，并对控制效果进行评估和调整。最后，对控制结果进行详细分析，包括性能指标分析和优化设计等，以达到最佳的控制效果。
振动控制
结合振动力学和结构力学的方法，对结构进行健康监测和损伤识别。
结构健康监测
利用振动力学和结构力学的原理，设计和实施有效的振动隔离和减振措施。
弹性力学-01
x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
y , yx , yz
z , zx , zy
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
第二章 应力
§2-1 体力和面力 §2-2 应力
§2-1 体力和面力
基本概念： 外力、应力、形变、位移。 1. 外力
体力、面力
F f lim V 0 V
f X i Y j Zk
（材力：集中力、分布力。）
z
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
—— 体力分布集度 （矢量）
P ΔA
ΔF
n
(法线)
应力分量 单位:
应力的法向分量
应力的切向分量
—— 正应力
—— 剪应力
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
( x, y, z ) ( x, y, z )
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
F
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1 N/m2 =1 Pa (帕)
Z
k
x
X
S Y
y
1 MN/m2 = 106 Pa = 1 MPa (兆帕) i O j
(1) f 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) f 的加载方式是任意的;
(3)
X Y Z的正负号由坐标方向确定。
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
多自由度体系的振动
振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互 作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自 然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多 种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确 定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信 号，主动改变系统的振动 状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系 统振动能量，被动地抑制 系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法 的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控 制力，通过实时监测和反馈系统振动 状态，主动调整控制力的大小和方向 ，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元 间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散 射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动 形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定 的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗 散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、 振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、 滤波和模数转换，以便进行后续处理 和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的 振动，并使用主动控制算法产生
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
2024版弹性力学
•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题求解方法与实例分析•二维问题求解方法与实例分析•三维问题求解方法与实例分析•弹性力学在工程中应用与拓展弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象弹性力学定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。
研究对象弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设弹性体在变形过程中，其内部各点之间保持连续性，且变形是微小的，即小变形假设。
约束条件弹性体的变形受到外部约束和内部约束的限制。
外部约束指物体边界上的限制条件，如固定端、铰链等；内部约束指物体内部的物理性质或化学性质引起的限制条件，如材料的不均匀性、各向异性等。
0102 03应力应力是单位面积上的内力，表示物体内部的力学状态。
在弹性力学中，应力分为正应力和剪应力。
应变应变是物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体形状的改变。
在弹性力学中，应变分为线应变和角应变。
位移关系位移是物体上某一点位置的改变。
在弹性力学中，位移与应变之间存在微分关系，即位移的一阶导数为应变。
应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律虎克定律是弹性力学的基本定律之一，它表述了应力与应变之间的线性关系。
对于各向同性材料，虎克定律可表示为σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
适用范围虎克定律适用于小变形条件下的线弹性问题。
对于大变形或非线性问题，需要考虑更复杂的本构关系。
此外，虎克定律还受到温度、加载速率等因素的影响，因此在实际应用中需要注意其适用范围和限制条件。
弹性力学分析方法与技巧ABDC建立问题的数学模型根据实际问题，确定弹性体的形状、尺寸、边界条件、外力作用等，建立相应的数学模型。
选择合适的坐标系根据问题的特点和求解的方便性，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
列出平衡方程根据弹性力学的基本方程，列出平衡方程，包括应力平衡方程、应变协调方程等。
《弹性力学教学课件》2-2平衡微分方程
描述物体内部受力平衡状态
平衡微分方程描述了物体内部各点在受力平衡状态下的应力分布 规律。
反映变形与力的关系
通过平衡微分方程，可以反映物体内部的变形与力的关系，以及变 形与位移的关系。
预测物态变化
在一定条件下，平衡微分方程可以用于预测物体的稳定状态和失稳 条件，以及可能的物态变化。
03
平衡微分方程的应用
效应，如应变硬化或软化。
非线性屈服准则
02
与非线性平衡微分方程相结合，用于描述材料在达到屈服点后
的行为。
非线性边界条件
03
在某些情况下，需要考虑非线性边界条件，耦合的平衡微分方程
01
热-弹性平衡微分方程
将温度场与弹性场耦合，描述了热膨胀和热应力等现象。
02
流体-弹性耦合平衡微分方程
平衡微分方程的数学表达
80%
数学表达式
根据推导结果，平衡微分方程通 常表示为关于位移、应力和应变 等变量的偏微分方程。
100%
形式多样
根据具体问题，平衡微分方程可 以有不同的形式，如平面问题、 轴对称问题等。
80%
求解方法
平衡微分方程的求解方法包括解 析法和数值法，如有限元法、有 限差分法等。
平衡微分方程的物理意义
弹性力学主要研究物体的应力、应变和位移等物理 量，以及它们之间的相互关系和变化规律。
平衡微分方程在弹性力学中的重要性
平衡微分方程是解决弹性力学 问题的基础，通过求解该方程 可以获得物体的应力分布、应 变和位移等物理量。
平衡微分方程是弹性力学的基 本方程之一，它描述了弹性物 体在力的作用下保持平衡状态 的条件。
数值法求解平衡微分方程
数值法
通过离散化方法将连续的 平衡微分方程转化为离散 的数值形式，通过迭代或 直接求解得到近似解。
平衡微分方程描述了物体内部各点在受力平衡状态下的应力分布 规律。
反映变形与力的关系
通过平衡微分方程，可以反映物体内部的变形与力的关系，以及变 形与位移的关系。
预测物态变化
在一定条件下，平衡微分方程可以用于预测物体的稳定状态和失稳 条件，以及可能的物态变化。
03
平衡微分方程的应用
效应，如应变硬化或软化。
非线性屈服准则
02
与非线性平衡微分方程相结合，用于描述材料在达到屈服点后
的行为。
非线性边界条件
03
在某些情况下，需要考虑非线性边界条件，耦合的平衡微分方程
01
热-弹性平衡微分方程
将温度场与弹性场耦合，描述了热膨胀和热应力等现象。
02
流体-弹性耦合平衡微分方程
平衡微分方程的数学表达
80%
数学表达式
根据推导结果，平衡微分方程通 常表示为关于位移、应力和应变 等变量的偏微分方程。
100%
形式多样
根据具体问题，平衡微分方程可 以有不同的形式，如平面问题、 轴对称问题等。
80%
求解方法
平衡微分方程的求解方法包括解 析法和数值法，如有限元法、有 限差分法等。
平衡微分方程的物理意义
弹性力学主要研究物体的应力、应变和位移等物理 量，以及它们之间的相互关系和变化规律。
平衡微分方程在弹性力学中的重要性
平衡微分方程是解决弹性力学 问题的基础，通过求解该方程 可以获得物体的应力分布、应 变和位移等物理量。
平衡微分方程是弹性力学的基 本方程之一，它描述了弹性物 体在力的作用下保持平衡状态 的条件。
数值法求解平衡微分方程
数值法
通过离散化方法将连续的 平衡微分方程转化为离散 的数值形式，通过迭代或 直接求解得到近似解。
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
弹性体中的波动与振动
弹性体中的波动与振动在自然界中，波动和振动是非常常见的现象，而弹性体中的波动与振动则是一个非常有趣和复杂的研究领域。
弹性体是一种能够恢复其形状和体积的物质，当其受到外力作用时，就会发生波动和振动。
一、弹性体的特性弹性体具有可以恢复形变的特性，当外力作用撤除后，弹性体会回到原来的形态。
这种属性来源于弹性体的分子内部结构。
弹性体的分子间力可以解释为由于电荷相互作用所产生的力，这种力可以使得分子在受到外力作用后变形，并将变形的形状存储下来。
当外力消失时，分子间的力就能使弹性体恢复原始形态。
二、弹性体中的波动在弹性体中，波动表现为能量的传递。
当弹性体受到一个扰动时，这个扰动会通过分子间的力传递给其周围的分子，从而导致波动的形成。
这个传递的过程可以通过振动的方式进行。
在弹性体中，波动有两种常见的类型：横波和纵波。
横波是指波动的方向与传播方向垂直的波动，而纵波则是指波动方向与传播方向相同的波动。
三、弹性体中的振动振动是指弹性体内部的周期性运动。
当弹性体受到一个外力作用时，它会产生振动。
振动可以分为简谐振动和复杂振动。
简谐振动是指一个物体沿一个固定轴线作往返运动。
弹簧振子是一个常见的简谐振动的例子。
当一个弹簧振子受到外力作用时，它会在平衡位置附近产生往复运动，这种运动是以一定的频率进行的。
复杂振动则是指一个物体在多个方向上的振动。
例如，当一个匀质杆的一个端点受到扰动时，杆会以不同的频率和振幅在不同方向上振动。
四、弹性体中的应用由于弹性体的特性和波动振动的机制，弹性体在许多领域都有很重要的应用。
在工程领域，弹性体的特性被广泛应用于设计和制造材料和结构。
例如，钢材的弹性和刚性使得它成为建筑、桥梁和机械的重要构件。
在医学领域，弹性体的波动特性被用于声波成像技术，如超声波医学成像。
超声波技术通过测量声波在人体组织中的传播速度和反射程度来生成图像，从而帮助医生进行诊断。
在地震学领域，弹性体的波动特性被用于研究地震的传播和影响。
振动力学(梁的横向振动)
取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。 则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
即
利用材料力学中的关系 得到梁的弯曲振动方程
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 固定端：挠度和转角为0，即
振动力学
------弹性体的振动
汇报人姓名
汇报日期
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
01
单击此处添加小标题
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
02
用Fj左乘上式两端，并积分
上两式相减得
则
i＝j时
梁在激励力作用下的响应
1.标准坐标（正则坐标）
对振型函数按下式条件正则化 和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
2.对初始激励的响应
以及
解：边界条件为挠度和弯矩为0。 【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 代入特征方程的解
得到
以及
则
则
以及频率方程
由此解得
所以固有频率
振型为 第i阶振型有i－1个节点。节点坐标 即
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
01
以及
02
解：边界条件为挠度和转角为0，即 代入特征方程的解得到
弹性体的杨氏模量与弹性系数的计算
弯曲法适用于细长试样和薄片试样，但加载方式和测量精 度要求较高；共振法适用于各种形状和尺寸的试样，但容 易受到阻尼和温度等因素的影响。
04
弹性系数的计算方法
拉伸法测量弹性系数
拉伸法原理
通过施加拉伸力使试样产生拉伸变形，测量 拉伸力和变形量，从而计算弹性系数。
拉伸试样制备
根据测试要求制备标准尺寸的试样，保证试 样的尺寸精度和表面质量。
数据采集与处理流程
数据采集
在实验过程中，通过数据采集系统实时记录试样在受力过 程中的变形情况，包括载荷、位移等参数。
数据处理
对采集到的数据进行处理，包括数据的筛选、整理、计算 和分析等步骤，以得到杨氏模量和弹性系数等关键指标。
结果分析
根据处理后的数据，分析不同材料的弹性特性，比较不同 材料之间的杨氏模量和弹性系数差异，并探讨其物理意义 和应用价值。
误差来源及影响因素分析
测量误差
由于测量设备的精度限制、人为操作误差等因素 ，导致实验测量值与实际值之间存在差异。
环境因素
温度、湿度等环境因素的变化会对实验结果产生 影响，导致误差的产生。
材料不均匀性
弹性体材料可能存在不均匀性，不同位置的杨氏 模量和弹性系数可能有所不同，从而导致误差。
提高测量精度的措施建议
06
结果讨论与误差分析
实验结果展示与讨论
杨氏模量计算结果
通过实验测量和计算，我们得到了弹性体的杨氏模量值，该值反 映了材料在弹性变形范围内的刚度特性。
弹性系数计算结果
根据实验数据，我们计算得到了弹性体的弹性系数，该值描述了 材料在受力时的变形程度。
结果讨论
将实验结果与理论值或先前的研究结果进行比较，分析差异并讨 论可能的原因。
04
弹性系数的计算方法
拉伸法测量弹性系数
拉伸法原理
通过施加拉伸力使试样产生拉伸变形，测量 拉伸力和变形量，从而计算弹性系数。
拉伸试样制备
根据测试要求制备标准尺寸的试样，保证试 样的尺寸精度和表面质量。
数据采集与处理流程
数据采集
在实验过程中，通过数据采集系统实时记录试样在受力过 程中的变形情况，包括载荷、位移等参数。
数据处理
对采集到的数据进行处理，包括数据的筛选、整理、计算 和分析等步骤，以得到杨氏模量和弹性系数等关键指标。
结果分析
根据处理后的数据，分析不同材料的弹性特性，比较不同 材料之间的杨氏模量和弹性系数差异，并探讨其物理意义 和应用价值。
误差来源及影响因素分析
测量误差
由于测量设备的精度限制、人为操作误差等因素 ，导致实验测量值与实际值之间存在差异。
环境因素
温度、湿度等环境因素的变化会对实验结果产生 影响，导致误差的产生。
材料不均匀性
弹性体材料可能存在不均匀性，不同位置的杨氏 模量和弹性系数可能有所不同，从而导致误差。
提高测量精度的措施建议
06
结果讨论与误差分析
实验结果展示与讨论
杨氏模量计算结果
通过实验测量和计算，我们得到了弹性体的杨氏模量值，该值反 映了材料在弹性变形范围内的刚度特性。
弹性系数计算结果
根据实验数据，我们计算得到了弹性体的弹性系数，该值描述了 材料在受力时的变形程度。
结果讨论
将实验结果与理论值或先前的研究结果进行比较，分析差异并讨 论可能的原因。
弹性体材料的质点振动规律
弹性体材料的质点振动规律弹性体材料是一类特殊的材料，具有较大的变形能力和恢复力。
它们在受到外力作用时，会发生质点的振动。
本文将探讨弹性体质点的振动规律。
一、弹性体质点的振动特性弹性体质点的振动特性与质点本身的特性以及材料的弹性刚度有关。
通常情况下，弹性体质点的振动是周期性的，即在一定的时间内，质点会重复地执行相同的振动。
1. 自由振动当弹性体质点没有外力作用时，质点将进行自由振动。
自由振动的周期与质点的质量和弹性刚度有关。
当外力作用为零时，质点将按照一定的频率前后摆动，形成周期性的振动。
质点在振动过程中会经历位移、速度和加速度的变化，这些变化遵循一定的规律。
2. 阻尼振动当弹性体质点受到阻尼力的作用时，振动将会减弱并逐渐停止。
阻尼振动的特点是在振动过程中，质点的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼振动与阻尼系数有关，阻尼系数越大，阻尼力越大，振动减弱的速度也越快。
3. 受迫振动当弹性体质点受到外力周期性的作用时，质点将发生受迫振动。
受迫振动的频率与外力作用的频率相同或者相近。
当外力的频率接近质点的固有频率时，质点的振动幅度会不断增大，形成共振现象。
受迫振动的特点是振动幅度与外力频率的关系，当外力频率接近质点固有频率时，幅度增大；当外力频率与质点固有频率相差较大时，振动幅度较小。
二、弹性体振动的数学描述为了进一步研究弹性体质点的振动规律，我们需要使用数学模型进行描述。
1. 弹簧模型弹簧模型是最简单的一种描述弹性体振动的数学模型。
它假设弹性体质点受到弹性力的作用，弹簧的劲度系数与弹性体的弹性刚度相同。
通过牛顿第二定律可以得到弹性体质点的振动方程。
有时候，还可以加入阻尼项和外力项进行更复杂的振动模拟。
2. 波动方程弹性体振动也可以用波动方程进行描述。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了弹性体中的波动传播和振动。
通过求解波动方程，我们可以得到质点的振动波动形式和特性。
三、弹性体振动的应用弹性体振动是一个具有广泛应用的物理现象，在多个领域都有实际应用。
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第7章 弹性体振动
振型函数的正交性
34
考虑杆端为固定或自由的情况，此时
两式相减得：
即：
i＝j时：
第7章 弹性体振动
振型函数的正交性
35
利用前面的式子
则：
i＝j时：
第7章 弹性体振动
振型函数的正交性
36
一维波动方程的响应求解
1. 振型叠加法 和离散系统类似，一维波动方程的响应求 解也用振型叠加法
有频率。式中积分常数A与B的比值及固有频
率由边界条件确定，而常数C和D则由初始条
件确定。固有振型 F(x)有一个常数因子不能
确定，这和多自由度系统的情形一样。
第7章 弹性体振动
7.3 时间与空间变量的分离
19
固有振型和固有频率
一维波动方程必须与指定的边界条件及 初始条件一起才能构成定解问题。和多自由 度一样首先需要确定固有频率和振型。
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
31
利用
得边界条件
作业：T7-3
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
32
一维波动方程 振型函数的正交性
和离散系统类似，一维波动方程的振型函数 也有正交性。 以杆的振动为例，一般情况下第i，j阶振型
函数满足
第7章 弹性体振动
振型函数的正交性
33
分别用Fj，Fi左乘上式两端，并积分
2. 标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
37
3. 对初始激励的响应
设初始条件为
将其按标准振型展开
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
38
用rAFj左乘上两式，并积分得
标准坐标下的初始激励响应
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
39
物理坐标下的响应
第7章 弹性体振动
7.6 梁的横向振动
56
即
利用材料力学中的关系
得到梁的弯曲振动方程
第7章 弹性体振动
7.6 梁的横向振动
57
边界条件(P204)
和一维波动方程一样，要使弯曲振
动微分方程成为定解问题，必需给出
边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件 (以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
28
讨论：
（1）M<<rAl时，频率方程变为 根为 固有频率与相应的固有振型为
这就是左瑞固定右端自由的均匀杆在自由端 不带集中质量时的固有频率与固有振型。
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
29
（2）M>>rAl时，h很小，x也很小，频率方程变为
固有频率为
这表明：若不计杆的质量，可视为一个无 质量的，刚度为EA/l的弹簧，连接质量为M的
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
10
其中
c的量纲与速度的量纲相同。 显然上述方程也是一维波动方程， c是纵波的传播速率，它等于声波以杆 的材料为介质的传播速率。
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
11
7.5 轴的扭转振动
振动过程中，横截面保持为平面，横截
面上每一点的位移由绕截面形心轴转动的
代入特征解
得
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
23
A不能等于0,因此必须满足 此式称为频率方程。由此可以解得系统无
穷多个可数的固有频率
与wi对应的固有振型为
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
24
从固有振型的表达式可以看出，在
的点上 F(i)(x)=0。系统作固有振动时，这 些点是不动的，这样的点称为节点。第i
第7章 弹性体振动
7.6 梁的横向振动
58
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
其它边界条件用类似的方法给出。
第7章 弹性体振动
7.6 梁的横向振动
59
梁弯曲自由振动的解(P204)
令振动方程中的干扰力为0，得到
对于均匀梁，振动方程为
其中
第7章 弹性体振动
7.6 量形式的解存在，令
代入方程得到
写为
第7章 弹性体振动
7.6 梁的横向振动
61
则有
（称为特征方程） 其中
第7章 弹性体振动
7.6 梁的横向振动
62
方程的通解为
由特征方程，利用边界条件即可求出振 型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的
的轴向力等于惯性力，边界条件为
还可以具有其他的边界条件。 通过边界条件就可以确定它们所描述 的系统的固有频率与固有振型。
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
22
【例l】 求长为l 的均匀杆两端固定时的
纵向振动固有频率与固有振型。
解:两端固定杆的边界条件为
u(0,t)=u(l,t)=0 即
F(0)=F(l)=0
转中心的极惯性矩， r 为体积密度。扭矩T与
扭转角q 的关系可从材料力学中得到
代入得
注意到
第7章 弹性体振动
7.5 轴的扭转振动
14
当GJp为常量时，方程可写成
（0<x<l） 其中
上述方程也为一维波动方程，c是扭转波 的传播速率。
第7章 弹性体振动
7.5 轴的扭转振动
15
7.3 时间与空间变量的分离
以杆的纵向振动为例，给出常见的几种
边界条件。 （1）两端固定：两端的轴向位移均等于零， 边界条件为
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
20
（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，
边界条件为
（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向
力等于弹簧力，边界条件为
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
21
（4）左端固定，右端集中质量m：右端
2
同一振动系统可以简化为离散 系统和连续系统两种数学模型，连
续系统的数学模型可从相应的离散
系统当自由度无限增多时的极限过 程得到。 多自由度系统线性振动的一些 重要性质和分析方法，可以推广到
连续系统中。
第7章 弹性体振动
7.1 引 言
3
7.2 弦的振动
设弦长度为l，单位长
度的质量为 r ，轴向拉
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
45
用Fj乘上式并积分，利用正交性得
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
46
若对 Fi 标准化，则Mi ＝1，即得到标准坐
标下的解耦方程
利用杜哈美积分得
响应为
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
47
（2）集中荷载
设在x＝x1处受集中力F(t), 这时可以用d函数
为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向
应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。
设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆的
左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，轴 向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力为 p，它们均依赖于坐标x。
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
7
在x处取微段dx，画出该微段的分离体图，则
多自由度系统的固有振动，振动形态
(各广义位移的相对大小)不依赖于时间，
各广义位移均随时间同步变化(同时通过 平衡位置，同时达到最大值)。 对于连续体的波动方程，也假设具有 同样的特征，因此可假设系统具有分离变
量形式的解：
第7章 弹性体振动
7.3 时间与空间变量的分离
16
代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）
响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;
（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子;
（3）将初始条件变换到标准坐标;
（4）求标准坐标下的响应;
（5）求物理坐标下的响应。
第7章 弹性体振动
一维波动方程的响应求解
40
【例7-4-1】左端固定，右端自由的均匀杆，
在自由端作用一轴向拉力P。在时间t=0时，突
一维波动方程的响应求解
53
7.6 梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振
动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合
材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
运动微分方程(P203)
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左 端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假 设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)
运动方程为
r
即
p
p
p dx x
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
8
利用材料力学中轴向力与轴向变形的
关系式
得到杆的纵向强迫振动方程
（0<x<l）
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
9
若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由
振动方程
对于等截面、均质杆(均匀杆)，E、 A均不 依赖于x，自由振动方程简化为
扭转角q 唯一确定，q是空间坐标和时间的 函数。以q为广义坐标建立振动方程。
第7章 弹性体振动
7.5 轴的扭转振动
12
在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩为
T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为J。
微段的自由振动方程
即
第7章 弹性体振动
7.5 轴的扭转振动
13
设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭
第7章 弹性体振动
第7章 弹性体振动
1
7.1 引 言
当振动系统不能简化为有限个独 立广义坐标表示的运动方程时，就必