习题71定积分的概念和可积条

第七章 定积分习 题 7.1 定积分的概念和可积条件1. 用定义计算下列定积分：⑴()ax b dx +⎰01;⑵a dx x 01⎰ (a >0).解 （1）取划分：11210<-<<<<n n n n ，及 ),,2,1(n i ni i ==ξ，则 n x i 1=∆，于是 )(2)11(21)(1∞→+→++=+∑=n b a b n a n b n i a ni ，即b adx b ax +=+⎰2)(1。

（2）取划分：11210<-<<<<n n n n ，及 ),,2,1(n i ni i ==ξ，则 n x i 1=∆，于是 )1()1(1111nnni nia n a a n a --=∑=。

因为 )(ln 111∞→→-n a na n，)(11∞→→n a n ，所以aa a n a a n an nni ni ln 1)1()1(1111-→--=∑=， 即 aa dx a x ln 110-=⎰。

⒉ 证明，若对[,]a b 的任意划分和任意∈i ξ[,]x x i i -1，极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ都存在，则f x ()必是[,]a b 上的有界函数。

证 用反证法。

设∑=→∆ni i i x f 10)(lim ξλI =，则取0,1>∃=δε，对任意的划分P 与任意1[,]i i i x x ξ-∈，只要δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x ， 就有1)(1+<∆∑=I x f ni i i ξ。

取定了划分后，n 与(1,2,)i x i n ∆=也就确定，如果f x ()在[,]a b 上无界，则必定存在小区间1[,]i i x x -，f x ()在1[,]i i x x -上无界。

取定111,,,,,i i n ξξξξ-+，必可取到i ξ，使 1)(1+<∆∑=I x f ni i i ξ 不成立，从而产生矛盾，所以f x ()必是[,]a b 上的有界函数。

⒊ 证明Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数f x ()，恒有l i m ()λ→=0S P l 。

证 0>∀ε，因为l 是S 的上确界，所以 S ∈'∃)(P S ，使得 2)(0ε<'-≤P S l 。

设划分b x x x x a P p ='<<'<'<'=' 210:，m M ,是f x ()的上、下确界，取 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--'∆'∆'∆=))(1(2,,,,min 21m M p x x x p εδ ， 对任意一个满足δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x 的划分b x x x x a P n =<<<<= 210:，记与其相应的小和为)(P S ，现将P P ,'的分点合在一起组成新的划分P ''，则由引理7.1.1，0)()(≤''-'P S P S 。

下面来估计)()(P S P S -''：（1）若在),(1i i x x -中没有P '的分点，则)(),(P S P S ''中的相应项相同，它们的差为零；（2）若在),(1i i x x -中含有P '的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有1-p 个。

由δ的取法，可知 p j n i x x j i ,,2,1,,,2,1, =='∆≤≤∆δ，所以在),(1i i x x -中只有一个新插入的分点j x '，这时)(),(P S P S ''中的相 应项的差为)()]()([11----'-''+-''i i i j i i i j i x x m x x m x x m ))((1---≤i i x x m M δ)(m M -<， 从而 2))(1()()(0εδ≤--<-''≤m M p P S P S 。

综合上面的结论，就有)]()([)]()([)]([)(0P S P S P S P S P S l P S l -''+''-'+'-=-≤εεε=++<202，即l P S =→)(lim 0λ。

⒋ 证明定理7.1.3。

证 必要性是显然的，下面证充分性。

设 0>∀ε，存在一种划分P '，使得相应的振幅满足31εω<'∆'∑=pi i i x ，即3)()(ε<'-'P S P S 。

取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'∆'∆'∆=))(1(3,,,,min 21m M p x x x p εδ ，对任意一 个满足δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x 的划分b x x x x a P n =<<<<= 210:，现将P P ,'的分点合在一起组成新的划分P ''，则由Darboux 定理的证明过程，可得)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)()(0P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S -''+''-'+'-'+'-''+''-=-≤εεεε=++++<30303，由定理7.1.1，可知)(x f 在],[b a 上可积。

⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性：⑴ f x ()⎩⎨⎧=≠-=;0,0,0],[11x x x x⑵ f x ()⎩⎨⎧-=;,1,,1为无理数为有理数x x ⑶ f x ()⎩⎨⎧=;,,,0为无理数为有理数x x x⑷ f x ()⎩⎨⎧=≠=.0,0,0),sgn(sin x x x π 解：（1）0()1f x ≤<，且)(x f 在[0,1]上的不连续点为111,,,,23x n=与0x =。

0>∀ε，取定ε2>m ，)(x f 在区间]1,1[m上只有有限个不连续点，所以)(x f 在]1,1[m 上可积，即存在]1,1[m的一个划分P ，使得21εω<∆∑=ni i i x ，将P 的分点和0合在一起，作为[0,1]的划分'P ，则εεεωωω=+<'∆'+∆='∆'∑∑=+=2211111x x x ni i i n i i i ，由定理7.1.3，)(x f 在[0,1]上可积。

（2）因为对[0,1]的任意划分P ，总有 2=i ω，所以 21=∆∑=ni i i x ω，由定理7.1.2可知)(x f 在[0,1]上不可积。

（3）因为对[0,1]的任意划分P ，)(x f 在],[1i i x x -上的振幅为i x ，于是∑∑∑∑=-=--=-=-=-+≥-=∆n i i i ni i i i i ni i i i ni i i x x x x x x x x x x 1212111111)(21)(2)(ω 21)(21202=-=x x n ， 所以)(x f 在[0,1]上不可积。

（4）1()1f x -≤≤，且)(x f 在[0,1]上的不连续点为1111,,,,,23x n=与0x =。

0ε∀>，取定ε4>m ，则)(x f 在]1,1[m上只有有限个不连续点，所以)(x f 在]1,1[m 上可积，即存在]1,1[m 的划分P ，使得21εω<∆∑=ni i i x 。

将P 的分点与0合在一起作为[0,1]的划分'P ，则εεεωωω=+<'∆'+∆='∆'∑∑=+=2211111x x x ni i i n i i i ，所以)(x f 在[0,1]上可积。

6. 设f x ()在[,]a b 上可积，且在[,]a b 上满足0|)(|>≥m x f （m 为常数）， 证明)(1x f 在[,]a b 上也可积。

证 任取[,]a b 的一个划分：b x x x x a n n =<<<<=-110 ，则)(1))()((sup 1)(1)(1sup )1(2,2,11f mx f x f m x f x f fi x x x x x x x x i ii i i ωω=''-'≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'=≤'''≤≤'''≤--， 由于f x ()在[,]a b 上可积，0,0>∃>∀δε，当δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x 时，εω21)(m x f n i i i <∆∑=，从而 εω<∆∑=ni i i x f 1)1(，所以)(1x f 在[,]a b 上可积。

7. 有界函数f x ()在[,]a b 上的不连续点为{}x n n =∞1，且lim n n x →∞存在，证明f x ()在[,]a b 上可积。

证 不妨设lim n n x →∞c =，且),(b a c ∈，并设 M x f ≤)(。

0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=c b a c M ,,12min εδ，则 0>∃N ，当N n >时，δ<-c x n 。

由于f x ()在],[δ-c a 和],[b c δ+上只有有限个不连续点，所以f x () 在],[δ-c a 和],[b c δ+上都可积，即存在],[δ-c a 的一个划分)1(P 和],[b c δ+的一个划分)2(P ，使得 3,3)2()2()1()1(εωεω<∆<∆∑∑ii i ii i x x 。

将)1(P 、)2(P 的分点合并在一起组成[,]a b 的一个划分P ，则 1ni i i x ω=∆≤∑εεεεδωω=++<+∆+∆∑∑3334)2()2()1()1(M x x ii i i i i ，所以f x ()在[,]a b 上可积。

c a =或c b =的情况可类似证明。

8．设)(x f 是区间],[b a 上的有界函数。

证明)(x f 在],[b a 上可积的充分 必要条件是对任意给定的0>ε与0>σ，存在划分P ，使得振幅εω≥i 的 那些小区间],[1i i x x -的长度之和∑≥<∆εωσi i x （即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。