2018-2019学年湘教版八年级数学下册 1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

第1章直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定要点感知1直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.预习练习1-1(2014·海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A.120°B.90°C.60°D.30°1-2(2014·昆明)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm.要点感知2直角三角形的判定：有两个角__________的三角形是直角三角形.预习练习2-1在△ABC中，∠A=70°，∠B=20°，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定知识点1 直角三角形的两个锐角互余1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( )A.24°B.34°C.44°D.46°2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )A.60°B.75°C.90°D.105°3.如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=65°，∠BCE=35°，则∠ABF的度数是__________，∠FBC的度数是__________.4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形6.下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=( )A.30°B.40°C.45°D.60°8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.9.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于( )A.110°B.100°C.80°D.70°12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为( )A.3B.3.5C.4D.4.514.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，求DE的长.16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点.(1)试说明DE=BE；(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)17.如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=12 AB.挑战自我18.如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E.求证：∠E=12∠A.参考答案课前预习要点感知1互余一半预习练习1-1 D1-2 5要点感知2互余预习练习2-1 B当堂训练1.B2.C3.25°30°4.50°5.B6.A7.B8.直角9.∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.∵△ABC为直角三角形，∴∠CAB=90°-35°=55°.∵DC是斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD，∴∠ACD=∠A=55°.课后作业10.C 11.A 12.B 13.A 14.1315.∵∠B=∠C，∴AB=AC.又D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又E是AC的中点，∴DE=12 AC.∵AB=AC，AB=8，∴DE=12AB=12×8=4.16.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=12AC,BE=12AC.∴DE=BE.(2)图中的等腰三角形有△CDE、△DAE、△AEB、△BEC、△DEB.17.证明：∵AE、BE分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB=2∠EAB，∠ABC=2∠ABE.∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°.∴2∠EAB+2∠ABE=180°.∴∠EAB+∠ABE=90°. ∴∠AEB=90°.∴△AEB是直角三角形. ∵F为AB边的中点，∴EF=12 AB.18.证明：∵CM是△ABC的中线，CD=BM，∴CD=CM=BM=AM.∴△CDM是等腰三角形，∠MCB=∠MBC，∠CDM=∠CMD.∵∠CDM=∠A+∠AMD，∠CMD=∠MCB+∠E=∠BME+∠E+∠E，即∠A+∠AMD=∠BME+∠E+∠E，∴∠A=2∠E,即∠E=12∠A.第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用要点感知1在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________.预习练习1-1 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为( )A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm要点感知2在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__________.预习练习2-1在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，∠B的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°知识点1 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A.3.5B.4.2C.5.8D.73.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是( )A.2 cmB.4 cmC.8 cmD.16 cm4.(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.5.在△ABC中，已知∠A=12∠B=13∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.知识点2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°6.在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.7.在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=12AB,那么∠B=__________.8.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是( )A.30°B.60°C.30°或150°D.不能确定9.如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长.知识点3 含30°锐角的直角三角形的应用10.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B 处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )A.AB=2ACB.AC=2ABC.AB=ACD.AB=3AC12.等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为( )A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm13.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )A.25°B.30°C.45°D.60°14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足( )A.0°＜∠B＜15°B.∠B=15°C.15°＜∠B＜30°D.∠B=30°15.在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=__________.16.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.17.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，周长为AC=3，求BC的长.18.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.求证：CD⊥AB.挑战自我19.等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( )A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°20.已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.参考答案课前预习要点感知1一半预习练习1-1 B要点感知230°预习练习2-1 C当堂训练1.D2.D3.C4.25.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.∵AB=8 cm，∴BC=4 cm.故最短的边的长是4 cm.6.307.30°8.C9.在Rt△AEC中，∵2CE=AC，∴∠1=∠2=30°.∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°.∴∠ACD=180°-30°×3=90°.∴CD=12AD=2.10.由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°. 在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.∴AB=BC=2BD.∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，∴BD=80海里.∴AB=BC=160海里.∴AD=160+80=240(海里).因此船从A到D一共走了240海里.课后作业11.A 12.B 13.B 14.D 15.10 16.1217.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,∴AB=2BC.∴解得即BC18.证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=12AB=BM.∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=12AB=BM.∴CM=CB.∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB.19.D20.取CD的中点E,连接AE, ∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°. ∵E是CD的中点,CD=2,∴AE=12CD=DE=CE=12×2=1.∵BD=1,∴BE=CD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD（SAS）.∴AD=AE=1=12 CD.又∵∠CAD=90°, ∴∠C=30°.。