2017人教版九年级上册数学教案：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

合集下载

人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案设计

人教版九年级数学第二十一章2.4节21.2.4 一元二次方程的根与系数关系一教学目标知识与技能：1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程2.掌握一元二次方程根与系数的关系3.能够不解方程，应用根与系数关系解决问题过程与方法：1.通过学生探究、发现根与系数的关系，培养学生观察能力，思考归纳概括能力和探究精神2.通过探究学习，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的解决问题的思路。

3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动，发展推理能力，培养创新精神。

情感态度与价值观：1.通过情境教学，激发学生的求知欲望，培养积极的学习态度2.通过对根与系数之间的关系探究，体会事物之间的联系，更好的认识世界。

3.体验教学活动充满着探究和创造，享受成功快乐。

二教学重点难点重点：一元二次方程根与系数关系及应用难点：探究根与系数之间关系过程三教学过程教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习学习内容 1.新课导入课件1 完成下列表格2.新知构建一探究活动观察以上表格，思考问题 ⑴通过观察你发现了什么规律？ ⑵语言叙述你发现的规律？ ⑶设x ²+px+q=0的两根为x ₁，x ₂ 用式子表示发现的规律【师生活动】：小组讨论，共同探究，对有困难学生进行指导二探究活动课件2 完成下列表格填表，思考下列问题：⑴上面发现的结论在这里成立吗？⑵你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有何关系？ ⑶用语言表述你的发现。

⑷进一步猜想：方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）的根x ₁，x ₂与a ，b ，c 之间的关系 ⑸你能证明上面的猜想吗？【师生互动】：小组合作交流，公同探究，教师及时指导学生把证明过程写板书。

课件3：一元二次方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）a2ac 4b b x 21-+-= a 2ac 4b b x 22---=∴ x ₁+x ₂=a 2ac 4b b 2-+-+a 2ac 4b b 2--- = -abx ₁• x ₂=a 2ac 4b b 2-+- • a 2ac 4b b 2--- = ac【设计意图】：学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程，使学生既动手、动脑又动口，教师引导启发，体现学生的主体学习特征，培养学生的创新精神。

新人教版九年级数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案

新人教版九年级数学上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=03.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=,c=. 2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是,k的值是.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系教学设计

《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.难点：探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。

问题3：（1）填写上表后思考：①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；23，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .③如何证明以上发现的规律呢？[论证结论]教师与学生共同整理证明过程：证明：当Δ>0时，由求根公式得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝ca ；当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b2a .所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15；（2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=39-；（3）方程化为4x 2-5x+1=0，∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=41. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。

人教版九年级数学上册21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标1、掌握一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根和系数之间的关系，了解关系式的推导过程.2、会正确写出根与系数的关系式.3、会利用根与系数的关系式解题.教学重点熟练利用一元二次方程根与系数的推导过程教学难点利用一元二次方程根与系数的关系式解题教学过程一、回顾与复习1、解一元二次方程的基本策略是，把二次方程转化为来解2、一元二次方程有四种解法(1)、因式分解法，方程一边是两个一次式的的形式，另一边为 .(2)、直接开平方法，方程一边是形式，另一边是 . (3)、配方法，通过配方配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(4)、公式法：关于x 的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为∆= 当0∆≥时，实数根可写成1,2x = ；3、在用适当方法解一元二次方程时，先考虑用、；再考虑用配方法和公式法.4、一元二次方程最多有个实数根. 二、新课讲授：(一)、解方程求出两个解12x x ，，并计算两个解的和与积，填入下表：方程1x2x12x x +12x x ⋅230x x -= 2320x x -+=2210x x ++= 2490x -= 2250x x +=22310x x -+=观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论： .猜测：一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根12x x ，和系数a b c ，，之间的关系 (二)、推导过程.一元二次方程的一般形式为a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，根据求根公式可知，方程的两根为：221244,22b b ac b b ac x x a a-----==计算12x x += = ；因此，方程的两根12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：用文字叙述一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的乘积等于常数项与二次项系数的比.(三)、例题和练习例一、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根12,x x 的和与积 (1)、26150x x --= (2)、2397x x =- (3)、2514x x -= 解:(学生独立完成)1、练习：求下列方程两根12,x x 的和与积(1)、2315x x -= (2)、22514x x x -=+ (3)、2320x x -+= (4)、2550x x +-= (5)、256x x x +=+ (6)、2758x x -=+ 2、练习(1)、已知关于x 的方程20x mx n ++=的两个根为5,7-，求m n -的值. (2)、已知关于x 的方程260x kx +-=的一个根为3，求k 的值和方程的另一个根. (3)、已知关于x 的方程2240x x m ++=的两个根的和等于两个根的积，求m 的值. (4)、已知关于x 的一元二次方程220x mx --=①、若1x =-是方程的一个根，求m 的值和方程的另一根.②对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由.3、练习(1)、已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求下列式子的值(2)、已知关于x 的一元二次方程2(1)10x k x k --++=的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值.(3)、已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=，①、当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？②、设12,x x 是方程的两个实数根，且满足2211221x x x x ++=，求m 的值.。

人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册的21.2.4节，主要讲解了一元二次方程的根与系数的关系。

这一节内容是在学习了根的判别式、求根公式的基础上，进一步引导学生发现一元二次方程的根与系数之间的内在联系，培养学生的抽象概括能力。

通过这一节的学习，学生能够理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能运用这一关系解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念、根的判别式和求根公式等知识有一定的了解。

但是，对于根与系数之间的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现并理解根与系数之间的关系，提高他们的抽象概括能力。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，并能运用这一关系解决实际问题。

2.培养学生的抽象概括能力。

3.提高学生的合作交流能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系。

2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。

通过提出问题，引导学生观察、思考、讨论，发现并理解根与系数之间的关系。

同时，通过合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关教学课件，展示一元二次方程的根与系数的关系。

2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾一元二次方程的求解方法，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用课件，展示一元二次方程的根与系数的关系，引导学生观察、思考，发现其中的规律。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些有关根与系数的问题，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：在实际问题中，如何运用根与系数的关系来求解问题？让学生发挥潜能，提高解决问题的能力。

人教版九年级上册数学教案：21.2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

2、过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

3、情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用教学难点：根与系数关系的发现及运用。

教学过程：一创设情境，激发探究欲望温故知新：1一元二次方程的一般式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，则x=a acb b24 2-±-它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？导入：一元二次方程根与系数的关系二、合作交流，探究新知：先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？猜想：如果：一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，那么：1x +2x = - ba 1x . 2x =c a一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =c a小试牛刀：下列方程中两根之和与两根之积各是多少？ 1 2 3 4强调.应注意的问题：1. 先化成一般形式，在确定a,b,c .2.当且仅当b 2-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.3.要注意比的符号：两个根的和1x +2x = - ba比前面有负号，01522=--x x 05322=-+x x 0732=-x x 522=x两个根的积1x . 2x =c a比前面没有负号。

人教版九年级数学上册教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1带教学反思

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.~。

21.2.4一元二次方程的根与系数的教案案.doc

（九）年级（数学）学科教案证明：你的猜想对吗？请写出证明过程。

问题 2 :如果方程ax1 + bx+ c=0(Q H 0)的根是X］和X2,那么请你猜一猜：兀|+兀2二；=(写出推导过程)问题3：根据一元二次方程根与系数的关系，写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为X1, X2)(1)X2 -4x-7 = 0(2)X2+3X-5=0(3)2X2-3X+1=0(4)3X2+5X=0(5)5X2+X-2=0如果方程x2+px+q=0 有两个根是Xi, x2. 那么Xi+Xz=-p,xix2=q 猜想：2X2-5X+3=0这个方程的两根Z和，两根Z积是否满足这个特征？4、捉问：对于二次项系数不为1的一元二次方程两根之和，两根之积有怎样的特征？引发学生探索的欲望。

•5、精讲：.根与系数的关系及其应用，会求 "两根的平方和”等代数式的值。

6、强调：一元二次方程根与系数的关系式成立的条件是b2-4ac^07、组织学生抢答问题3.3、畅所欲言。

4、两名学生板演，其他学生分组推导一元二次方程根与系数的关系。

5、学生口答，互相纠错。

2、推导过程不完整或不知如何下手，可通过学生板演，引导思路找到问题解决的方向。

3、公式掌握不熟练，抢答的速度较慢；符号的错误率较高。

可组织学生以小组为单位自编自考，以达到巩固的目的。

人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》

人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版数学九年级上册第21.2章的一部分。

这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式的基础上进行学习的。

通过这部分内容的学习，学生将能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这一关系来解决问题。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式。

但是，对于一些学生来说，可能对于根与系数之间的关系还有一定的困惑，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.能够运用根与系数之间的关系来解决问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和运用根与系数之间的关系来解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生的思考，通过案例让学生理解和运用根与系数之间的关系，通过小组合作学习法培养学生的合作和沟通能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。

例如，设计一个问题：一个农夫有一块土地，他想要种植两种作物，一种需要阳光充足，另一种需要阴凉的环境。

如果土地的一边是阳光充足的地方，另一边是阴凉的地方，那么如何分配这两种作物的种植区域呢？2.呈现（15分钟）通过PPT课件呈现一元二次方程的根与系数之间的关系。

解释根的判别式、根与系数之间的关系，并通过示例来说明。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题，运用根与系数之间的关系来解决问题。

例如，设计一些关于土地分配、投资收益等问题，让学生分组讨论和解决。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题来巩固学生对一元二次方程的根与系数之间的关系的理解。

一元二次方程的根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。

实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。

一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数的关系。

本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。

二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。

（2）过程与方法：在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。

（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。

达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。

达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。

人教版九年级上册数学21.2.4《解一元二次方程的根与系数的关系》教案

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1．理解并掌握根与系数的关系：1212b c x x x x a a+=-⋅=，． 2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题．二、教学重点及难点重点：一元二次方程根与系数关系的推导过程．难点：利用一元二次方程根与系数的关系解题．三、教学用具：多媒体课件。

四、相关资源《小明与小青悄悄话》动画，。

五、教学过程【创设情景，提出问题】前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程212350x x -+=的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程2352000x x --=的两根的和呢．【合作探究，形成知识】问题1 从因式分解法可知，方程（x －x 1）（x －x 2）＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1，x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，你能看出x 1，x 2与p ，q 之间的关系吗？师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现：（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．（2）把方程（x －x 1）（x －x 2）＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x －（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＝0这个方程的二次项系数为1，一次项系数p ＝－（x 1＋x 2），常数项q ＝x 1x 2.于是，上述方程两根的和、积与系数的关系为：（x 1＋x 2）＝－p ，x 1x 2＝q ．问题2 一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根是：12x x =．由此可得122222b b b b x x a a a a---+-+=+==-，22122()(4)224b b b b ac c x x a a a a---+---===．（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．（2）()200ax bx c a ++=≠的两根是12x x ，，用式子表示规律：1212b c x x x x a a+=-=，．归纳总结：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．3．例题分析：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12x x ，的和与积：（1）26150x x --=；（2）23+790x x -=；（3）2514x x -=．师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生．解：（1）()12126615x x x x +=--==-，．（2）121279333x x x x -+=-==-，．（3）方程化为24510x x -+=．1212551444x x x x -+=-==，．教师引导：只要把一元二次方程化成一般式，找对a ，b ，c ，代入韦达定理即可求解．例2 已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一个根及k 的值．师生活动：找一名学生上黑板解答，其他同学交流做法，老师巡视辅导．针对在黑板上解答的学生出现的问题，进行讲解．解：设已知方程的另一个根是x 1，由题意可得19(3)2x --⋅=．所以132x =．故方程的另一个根为32．所以133322k x --+=-+=．解得k =3．教师引导：本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数的关系应该掌握的内容．此外，还可以让学生应用多种方法解决问题，进一步培养学生的发散思维．【练习巩固，综合应用】1．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程230x x a -+=的两个解,若(m －1)(n －1)=－6,则a 的值为（）．A ．－10B ．4C ．－4D ．102．设a b ，是方程220150x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）． A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 0153．若方程2310x x --=的两个根为12x x ，，则1211x x +的值为（）． A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 4．已知x =1是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为，a = ．5．求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）23210x x -+=；（2）2550x x +-=；（3）256x x x +=+；（4）2758x x -=+．6．已知关于x 的方程260x x k -+=的两个根是m 和n ，且3m ＋2n =20，求k 的值．7．已知12x x ，是一元二次方程2310x x --=的两个实数根,求22121240x x x x ++=的值．目标检测答案1．C 2．C 3．B 4．2，-35．解：（1）方程化为2380x x --=．1212(3)38x x x x +=--==-，．（2）121215155x x x x -+=-==-，．（3）方程化为2460x x --=．1212(4)46x x x x +=--==-，．（4）方程化为27130x x --=．12121113777x x x x -+=-==-，． 6．解：∵m ，n 是方程的两个根， ∴6 3220 m n mn k m n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，①，②．③①×2－③，得－m =－8．∴m =8．将m =8代入①，得n =－2．将m =8，n =－2代入②，得k =8×(－2)=－16．∵当k =－16时，∆=36－4k =100＞0，∴k =－16．7．根据一元二次方程根与系数的关系可知121231x x x x +==-，．所以222121212124()2927x x x x x x x x ++=++=-=．六、课堂小结1．一元二次方程根与系数的关系两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．2．数学语言表述若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x ，，则 1212b c x x x x a a+=-=，．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计21.2解一元二次方程——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程根与系数的关系2．数学语言表述。

【人教版】九年级上册数学教案：21.2 解一元二次方程-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(1)

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则1m＋1n的值为( ) A．－1 B.12C．－12D．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝12，mn＝－1，1m＋1n＝n＋mmn＝12－1＝－12.故选C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于的方程－＋2＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.。

人教版九年级上册数学教案设计：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第一课时)

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
四、作业：
1．
六、教学板书
一元二次方程根与系数的关系：
x1
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．
方法（二）∵2是方程5x2+kx-6=0的根，
∴5×22＋k×2-6＝0，∴k＝-7．
∴原方程可变为5x2-7x-6=0
课题名称：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）
年级学科
九年级
教材版本
人教版
一、教学内容分析
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项

人教版九年级上册数学教案 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q __.2．解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 2x 2－7x －4＝0 4 －12 72 －2 3x 2＋2x －5＝0 1 －53 －23 －53 5x 2－17x ＋6＝032517565(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学) 【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：(1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35. (3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .请完成本课时对应练习！。

人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品教案

(3) + = .
板书设计Байду номын сангаас
*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学反思
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a,b,c之间的关系:、.
问题4:你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明.分小组讨论以上的问题,并作出推理证明.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=,x2=,则x1+x2=;x1x2=.
续表
当堂训练
1.试一试:根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1,x2,k是常数)
问题2:解下列方程并填写下表:
(1)x2-5x+6=0;
(2)2x2+5x+3=0;
(3)3x2-2x-8=0.
填写下表
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2-5x+6=0
2x2+5x+3=0
3x2-2x-8=0
请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?
问题3:请根据以上的观察发现进一步猜想:
课题
*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
课时
1课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和,两根之差.
2.过程与方法
通过韦达定理的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神.