向量的概念与背景讲义资料
向量的概念与背景优秀课件
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c .当 b ≠ 0时成立.
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
D
2反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
向量的概念与背景
2.1.1 向量的物理背景与概念
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
既有大小又有方向的量叫向量。
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
向量背景及基本概念人教A版必修课件
(4)相等向量一定是平行向量，平行向量不一 定是相等向量．
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 向量的有关概念
例1 判断下列命题是否正确，不正确的说 明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同 或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平 行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同 或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向 量是相等向量．
(2)向量的表示方法
①几何表示法：常用一条有向线段表示向量． 符号表示：以__A_为___起__点___、__B__为__终__点____的
有向线段，记作A→B.
(注意起点、终点顺序) ②用字母表示：向量可 用字母 a、b、c 等表示(印刷时用黑体 a、b、c，
书写时用→a 、→b 、→c )．
想一想 2.有向线段与向量有何区别和联系？ 提示：
B→C，A→O，F→E. 4 分
(3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，
D→O，A→O，D→A，A→D.
6分
(4)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；
与 b 相等的向量有D→C，E→O，F→A；
与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B 8 分
名师微博 注意两个向量相等必须满足大小相等，方向 相同. 【名师点评】向量的模是用向量的长度定义 的，共线向量是用向量的方向定义的，而相 等向量是用向量的方向和长度共同定义的， 解决本题要弄清这三个概念的联系与区别．
变式训练 2.如图所示，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平 行四边形． (1)写出与向量E→D相等的向量；
2.1平面向量的实际背景与基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中 称为矢量）
(2) 只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中 称为标量）
2、向量的几何表示 —— 有向线段
有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个 顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。
记为 AB. 线段AB的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作：AB 有向线段三要素：起点、方向、长度.
∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等的向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等的向量。 （3）分别写出图中与向量 DE,FD 共线的向量。
解：(1) DE EF FC AAF DA DB
（2） DE=FFCD=AFCE FDE=BCE=EB
D
F
（3） DE∥FC ∥AF ∥AC;
B
FD
∥CE
∥EB
∥CEB
C
练习 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， 分别写出图中与 OA、OB、O相C等的向量.
——课本第85页例题
例3 某人从A点出发向西走了200m到达B 点 ， 然 后 改 变 方 向 向 西 偏 北 60 度 走 了 450m到达C点，最后又向东走了200m到达 D点.
4向量 AB 的大小，也就是向量AB 长度（或称模）， 记作：AB
向量和有向线段的联系和区别？
三 向量的相关定义(2) 1零向量：长度为零的向量叫做零向量.记
作 0 ，零向量的方向可以任意取.
2 单位向量：长度等于1个单位长度的向量 叫做单位向量.
3平行向量：方向相同或相反的非零向量 ，记 a // b .
(1) a (2)a b (3)a//b a
(完整word)知识讲解_平面向量的实际背景及基本概念_基础
平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.4．理解两个向量共线的含义。
【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量．要点诠释：（1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度．2。
向量的表示方法：a b c等.（1)字母表示法：如,,,（2）几何表示法：以A为始点,B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB。
要点诠释：(1)用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度)。
要点诠释：a ．（1）向量a的模||0（2）向量不能比较大小，但||a是实数,可以比较大小．2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量.要点诠释：(1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等．要点四:向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量）.规定:0与任一向量共线。
向量概念课件ppt
向量的叉乘
总结词
叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果 是一个向量。
详细描述
叉乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的叉乘等于它们的模长之积乘
以它们夹角的正弦值，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。叉乘的结果是一个向 量，该向量垂直于作为运算输入的两个向量 ，并且其模长等于输入向量的模长之积乘以 它们夹角的正弦值。叉乘具有反交换律，即
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间）。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，用于衡量向量的大小。在二维空间中，向量的模可以通过计算 $sqrt{x^2 + y^2}$得到；在三维空间中，向量的模则是$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有 一些重要的性质，如非负性、传递性和三角不等式等。
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结 果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结 果是为三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积等 于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值 ，记作$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$。混合积的结果可以 解释为三个向量在空间中形成的平行六面 体的体积。混合积具有分配律和反交换律 ，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$以及$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = -
向量的概念及表示(公开课)-PPT
B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫 向 量
向量 现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向？
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作： ab. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作： a
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
（1）与 A O 相等的向量为
；A
B
（2）与A O 共线的向量为 （3）与 A O 的模相等的向量为
向量的实际背景及概念
向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。
本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。
二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。
三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。
还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。
学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。
平面向量的实际背景及基本概念 课件
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸 上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又| OA | ＝4 2 ，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与 纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 OA 如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标 纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于 是点B位置可以确定，画出向量 AB如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC |＝6，依据勾股 定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向 小方格数为3 3 ≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量 BC 如图所示．
用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向， 最后依据向量模的大小确定向量的终点． 必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹 角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量， 记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫 共线 向量；a 平行于 b，记作 a∥b ；规定零向量与任一向量 平行 ．
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等 向量指大小和方向均相同．
向量的有关概念
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
向量的表示 [典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用 直尺和圆规画出下列向量：
①OA，使|OA|＝4 2，点A在点O北偏东45°； ② AB，使| AB|＝4，点B在点A正东； ③ BC ，使|BC |＝6，点C在点B北偏东30°.
高中数学中的向量概念详解
高中数学中的向量概念详解向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
了解向量的概念，不仅有助于我们理解数学知识体系，也能帮助我们解决实际问题。
本文将详细介绍高中数学中的向量概念，包括向量的定义、表示、运算以及向量的性质等内容。
首先，我们来看一下向量的定义。
在高中数学中，向量通常用有向线段来表示。
有向线段具有方向和长度两个要素，其中方向表示向量的方向，长度表示向量的大小。
我们可以用一个有序对来表示一个向量，比如(a, b)，其中a是向量的横坐标，b是向量的纵坐标。
在向量的表示方面，有三种常见的方法：初等向量表示法、分量表示法和单位向量表示法。
初等向量表示法是将向量的起点放在坐标原点，终点放在对应的点上，用有向线段表示。
分量表示法是将向量的横纵坐标表示出来，比如(a, b)。
而单位向量表示法则是将向量的长度表示为1，这样可以简化向量的运算。
单位向量表示法中，我们通常用字母i和j来表示单位向量，其中i表示向量在x轴上的单位向量，j表示向量在y轴上的单位向量。
在向量的运算方面，有加法和数乘两种。
向量的加法是指两个向量相加得到第三个向量的运算。
向量的加法满足交换律、结合律和对称律，即向量的加法不受加法成分的顺序影响。
数乘是指一个标量与一个向量相乘的运算。
数乘的结果是一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正数）或相反（若标量为负数），长度为原向量长度与标量的乘积。
除此之外，向量还有一些重要的性质。
首先是向量的共线性与平行性。
若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向平行，但长度不相等，则它们是平行的。
其次是向量的模长。
向量的模长等于向量的长度，用两点之间的距离来计算。
模长为0的向量称为零向量。
最后是向量的夹角。
两个向量的夹角可以通过向量的点乘来计算。
若两个向量的夹角为0度，则它们是共线的；若两个向量的夹角为90度，则它们是垂直的。
在高中数学中，向量的应用非常广泛。
在几何中，向量用于计算线段的长度、判断线段的垂直性和平行性、计算面积和体积等。
向量的概念与背景
向量被定义为具有大小和方向的几何 对象，通常用箭头表示，箭头的长度 代Байду номын сангаас大小，箭头的指向代表方向。
早期发展
向量概念在19世纪中叶开始受到关注， 英国数学家哈密顿等人在研究力学和 几何学的过程中，开始使用向量来表 示速度、力等物理量。
向量在数学中的发展
代数运算
数学家们为向量引入了加法、数乘、向量的数量积、向量 的外积等代数运算，使得向量成为了一个完整的数学体系。
|vec{B}| times sin theta$。叉乘的结果是一 个向量，它具有一些重要的性质，如反交换
律和分配律。
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量 。
详细描述
混合积的定义为三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和 $vec{C}$的混合积等于它们的模长之积乘以它们夹角 的余弦值，即$vec{A} times vec{B} cdot vec{C} = |vec{A}| times |vec{B}| times |vec{C}| times sin theta$。混合积的结果是一个标量，它具有一些重要 的性质，如分配律和反交换律。
控制系统分析
02
向量在工程学中可以用于分析控制系统的传递函数和稳定性，
优化控制系统设计。
信号处理
03
向量在工程学中可以用于信号处理，包括信号的合成与分解、
滤波和频谱分析等。
05
向量的历史与发展
向量概念的起源
起源背景
定义与表示
向量最初起源于物理学中的速度和力 等物理量的表示，为了更方便地描述 这些物理量，数学家们引入了向量概 念。
力的作用
向量在物理学中可以表示 力的作用，包括力的大小 和方向。
向量概念知识点总结
向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。
向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。
Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。
这里，a可以表示一个向量。
二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。
向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。
在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。
向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。
根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。
在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。
向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。
在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。
2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。
通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。
3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。
向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。
4.1 向量的定义及背景
P x
所有二维向量的集合称为二维向量空间，记为R2。 3. 三维向量： z P 空间的有向线段称为三维向量 . 三维向量 oP 与数对(x, y,z) x y o 一一对应，记为 oP y x 所有三维向量的集合称为三为 向量。一般 二、三维向量可用有向线段来表示，将其推广到 n 维后，不能由几何图形来描述，但可类似二、 三向量维来理解。 如中学学过的向量加法的平行四边形法则等。 α 。
b1 a11 a12 a1n 记 b2 a 21 a 22 a2n 1 , 2 , , n , , . a a a b m m2 m1 mn
k11 k 2 2 k n n .
小结：向量的概念及线性运算 作业：习题 4.1 1—4题
右边称为 线性组合
下节内容： §4.2 向量的线性关系
2 (0,1, , 0, 0)
n (0, 0,, 0,1)
基本单位向量构成的向量组称为单位向量组.
③ 行向量与列向量 行向量： (a1 , a2 ,, an )
b1 b2 列向量： b n
※ 由于向量的加法、数乘运算都按矩阵的加法 与数乘运算法则进行定义，因此，在运算中把行 向量与列向量视为不同的向量。
x 三维向量 y 对应空间的有向线段； z n维向量是二、三维向量的推广。
2. 向量组 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成 的集合称为向量组. 1 0 如 1 , 2 为二维基本单位向量组。 0 1
3. n维向量的线性运算
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
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零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）共线向量一定在同一直线上． ×
2020/8/10
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
数量
哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等
2020/8/10
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数量.
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用有向线段来表示。
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(×)
2020/8/10
2.下面几个命题： ( 1 ) 若 a b ,b c ,则ac. ( 2 ) 若 |a | 0 ,则 a 0 . ( 3 ) 若 |a | |b |,则 a b . (4)若两个向量 a , b 相等,则 |a | |b |,且 a ∥ b . 其中真命题的个数是( D)
5.平行向量: 6.共线向量:
7. 相等向量: 8. 相反向量:
2020/8/10
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
对向量的大小和方向 都明确规定
巩固练习
请判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
等的向量有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长 度相等,方向相反的向量？
存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
2020/8/10
C B , D O , F E
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
①向量 A B 与 C D 是共线向量，则A、B、C、D
四点必
西
A
B东
南
1m
定义 表示
几何表示法：有向线段
符号表示法： a,b, AB
向量
长度(模)
零向量
特殊向量
向量的有关概念
单位向量
2020/8/10
向量间 的关系
平行(共线)向量 相等向量
1.向量的概念: 2.向量的表示:
3.零向量: 4.单位向量:
仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定
2020/8/10
3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
2020/8/10
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
2020/8/10
B（终点） 有向线段：在线段AB的两个
端点中，规定一个顺序，假设
A为起点，B为终点，我们就
A（起点）
说线段AB具有方向.具有方向 的线段叫做有向线段.
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 有向线段的三个要素：起点、方向、长度.
2020/8/10
能不能说向量就是有向线段?
有向线段的三要素： 区 我们现在所研究的“向量起，点与、起方点位向置、无长关.度
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
2020/8/10
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
2020/8/10
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量OA相等的向量.
O A D O C B
变式一：与向量OA长度相
别 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
向量的两个要素： 大小、方向
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条
不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
2020/8/10
B
D
C
1.向量的几何表示：用有向线段表示.
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c .当 b ≠ 0时成立.
2020/8/10
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
2020/8/10
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
2020/8/10
既有大小又有方向的量叫向量。
P
2020/8/10
判断题
1.海拔含零上和零下海拔，所以海拔是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数（ ） 3.若|a|>|b| ，则a > b ( ) 4.所有单位向量的大小相等（ ）
2020/8/10
2.1.3．相等向量与共线向量
(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量