平面向量的直角坐标运算11
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
6.3平面向量基本定理及坐标表示
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【变式 2】 在△ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，点 D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F， 求D→F的坐标．
解析 因为 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以A→B＝(3－7，5－8) ＝(－4，－3)，A→C＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又 D 是 BC 的中 点，所以A→D＝12(A→B＋A→C)＝－72，－4.因为 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点．所以D→F＝－21A→D＝74，2.
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【例题 2】 已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B， A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
思维导引：先求出向量的坐标，再根据运算法则进行求解． 解析 因为 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以A→B＝(7－4，5－6) ＝(3，－1)，A→C＝(1－4，8－6)＝(－3,2)，所以A→B＋A→C＝(3，－ 1)＋(－3,2)＝(0,1)，A→B－A→C＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2A→B
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3．向量的坐标表示 在向量 a＝(x，y)的直角坐标平面中，___x___叫做 a 在 x 轴上 的坐标，___y___叫做 a 在 y 轴上的坐标，___a_＝__(x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝__(_1_,0_)__，j＝__(_0_,1_)__，0＝ (0,0)．
平面向量的坐标运算
别业岁月悠长，有暗香盈袖。
冗长了日与夜，空掷了乐与悲。
遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。
谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。
写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。
如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
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r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
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a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
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1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
第11讲 平面向量中的最值范围问题(教师版)
第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ DA.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误．．的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0C. D.例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B . C. D.2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ， 使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠bA. (1)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y的值为（ C ）A －41，８ B.41 C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。
直角坐标系中的向量运算
直角坐标系中的向量运算直角坐标系中的向量具有非常重要的地位，在物理学、力学、几何学等领域中得到了广泛应用。
通过向量运算，可以描述和求解各种复杂的几何关系和物理问题。
本文将介绍直角坐标系中的向量基本概念、向量加法、向量减法、数量积和向量积，并探讨其相应的计算方法和几何意义。
1. 向量的基本概念在直角坐标系中，向量可以用有序数对或坐标表示。
例如，一个向量a可以表示为a = (a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量a在x、y和z轴上的分量，也称作向量的坐标或分量。
2. 向量加法向量的加法满足交换律和结合律。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的和向量c = a + b的分量满足c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，c₃ = a₃ + b₃。
直观上，向量加法表示将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
3. 向量减法向量的减法可通过向量加法来实现。
对于两个向量a和b，它们的差向量c = a - b可以表示为c = a + (-b)，即向量a加上向量-b的结果。
向量-b即为向量b的每个分量取相反数得到的向量。
差向量的分量计算规则与向量加法相同。
4. 数量积（点积）数量积，也称点积（Dot Product），是两个向量的数量乘积再相加的结果。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的数量积a·b（或a*b）定义为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
数量积可以用来求解向量的模、夹角和判断两个向量是否垂直。
5. 向量积（叉积）向量积，也称叉积（Cross Product），是两个向量的向量乘积。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积a×b定义为一个新的向量c = (c₁, c₂, c₃)，其中c₁ = a₂b₃ - a₃b₂，c₂ =a₃b₁ - a₁b₃，c₃ = a₁b₂ - a₂b₁。
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
高一 平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习 含答案
1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ， 即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析 由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 答案 m ≠54解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案 －12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量的坐标运算是数学中的重要概念，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
在这篇文章中，我们将深入探讨向量的坐标运算，从而更好地理解和应用它们。
让我们来了解一下什么是向量。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，一个向量可以由它在水平轴上的坐标和垂直轴上的坐标表示。
例如，向量v可以表示为(vx, vy)，其中vx 是水平方向上的坐标，vy是垂直方向上的坐标。
接下来，我们来看一下向量的加法运算。
当我们将两个向量相加时，只需要将它们对应的坐标相加即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的和向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax + bx，cy = ay + by。
除了加法运算，我们还可以进行向量的数乘运算。
数乘运算指的是将一个向量与一个标量相乘，即将向量的每个坐标都乘以这个标量。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，而一个标量k，那么将向量a与标量k相乘得到的新向量b的坐标可以表示为(bx, by)，其中bx = k * ax，by = k * ay。
我们还可以进行向量的减法运算。
向量的减法运算可以看作是向量加法运算的逆运算。
当我们将一个向量b从另一个向量a中减去时，只需要将b的坐标的相反数加到a的坐标上即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的差向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax - bx，cy = ay - by。
我们来讨论一下向量的模。
向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
在二维空间中，一个向量的模等于它的坐标的平方和的平方根。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，那么它的模表示为|a| = √(ax^2 + ay^2)。
通过以上的讨论，我们对向量的坐标运算有了更深入的了解。
专题11_平面向量(解析版)
= 3t 2
【漪漪点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用
基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.
8．【2018 年高考北京卷理数】设 a，b 均为单位向量，则“ a 3b 3a b ”是“a⊥b”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件．
9．【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切
的圆上.若 AP AB AD ，则 的最大值为
A．3
B．2 2
C． 5
D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
4
墨漪专属资料
设 A 0,1 , B 0,0 , C 2,0 , D 2,1 , P x, y ，
易得圆的半径 r
2
4
2
，即圆 C 的方程是 x 2 y 2 ，
5
5
AP x, y 1 , AB 0, 1 , AD 2,0 ，若满足 AP AB AD ，
x 2
x
x
， , 1 y ，所以 y 1 ，
模
夹角
a x12 y12
|a|= a a
cos
a b
ab
cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x2 2 y2 2
2023年新高考数学大一轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示(解析版)
专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示【考点预测】 一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ． （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算①交换律b b a =+②结合律 )a b c ++=(a b c ++a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a b 的差 ()a b a b -=+-求实数λ与a 的积的运算（|||||a a λ=（0λ>时，a λ与a 的方向相同；当λ<a λ与a 的方向相同；时，0a λ=()()a a λμλμ=)a a a λμλμ+=+（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -=，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=．三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2．平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e eλλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． 3.线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．4.三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5.中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．四．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||(AB x = ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，21||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【方法技巧与总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++=．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+，当且仅当,b a 至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤±或||||||a a b b ±≤+当且仅当,b a 至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．【题型归纳目录】题型一：平面向量的基本概念 题型二：平面向量的线性表示 题型三：向量共线的运用 题型四：平面向量基本定理及应用 题型五：平面向量的直角坐标运算【典例例题】题型一：平面向量的基本概念例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（ ） A ．正方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明AB DC =，且//AB DC ，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD 中， AB DC =，所以AB DC =，且//AB DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可． 【详解】对于①，向量AB 与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b 为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD 是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B ．例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量； ④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB →，CD →为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，则（ ） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，c 方向相同 C ．b ，c 方向相同 D ．a ，b ，c 两两互不共线【答案】A 【解析】 【分析】根据230a b c ++=，得32c a b =--，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出a,b 0<>=，解得a ，b 方向相同.【详解】因为230a b c ++=， 所以32c a b =--， 所以22(3)(2)c a b =--， 所以222944?c a b a b =++， 所以9144cos ,a b a b =++<>， 所以4411cos ,a b =⨯⨯<>， 所以cos ,1a b <>= 所以a,b 0<>=， 所以a ，b 方向相同， 故选：A.例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量()4,3a =，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为（ ） A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得． 【详解】易知(3,4)b =-是与a 垂直的向量，5b =，所以与b 平行的单位向量为134(,)555b =-或134(,)555b -=-，故选：D ．例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．0BC BA DC AD ---=C ．若向量,a b 是非零向量，则a b a b a +=+⇔与b 方向相同D ．向量a 与()0b b ≠共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使λa b 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】向量不等比较大小，故A 选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B 选项错误. a b a b a +=+⇔与b 方向相同，C 选项正确.根据向量共线的知识可知D 选项正确. 故选：CD例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD 的形状，判断正确的有（ ） A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形 B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形C ．若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为菱形 D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【答案】AB 【解析】 【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A ；依据梯形判定定理判断选项B ；依据菱形判定定理判断选项C ；依据正方形判定定理判断选项D.【详解】选项A ：若AD BC =，则//AD BC ，=AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形.判断正确； 选项B ：若13AD BC =，则//AD BC ，AD BC ≠，则四边形ABCD 为梯形. 判断正确；选项C ：若AB AD AB AD +=-，则2240AB AD AB AD AB AD -=+⋅=-，则AB AD ⊥，即90BAD ∠=.仅由90BAD ∠=不能判定四边形ABCD 为菱形.判断错误；选项D ：若AB DC =，则//AB DC ，=AB DC ，则四边形ABCD 为平行四边形， 又由AC BD ⊥，可得对角线AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 为菱形. 判断错误. 故选：AB例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ） A ．若a b =，则a b =或a b =- B ．若ma mb =，m R ∈，则a b = C ．若//a b ， //c b ，则//a cD ．若0ma =，m R ∈，则0m =或0a = 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A ，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，无法推出这两点，故B 不正确；对于C ，当0b =时，选项不正确；对于D ，00ma m =⇒=或0a =，即可得到D 错误.【详解】对于A ，若a b =，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A 不正确； 对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，满足0ma mb ==， a 和b 的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B 不正确；对于C ，若//a b ， //c b ，当0b =时，满足//a b ， //c b ，但是不满足//a c ，故C 错误； 对于D ，00ma m =⇒=或者||0a =，即0m =或0a =，故D 错误； 故选：ABCD.【方法技巧与总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.题型二：平面向量的线性表示例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（ ）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +【答案】B【解析】 【分析】设,AB m AD n ==，根据向量的线性运算，得到11()()22BD x y n x y m =+--，结合BD n m =-，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】如图所示，设,AB m AD n ==，且BD xa yb =+，则1111()()()()2222BD xa yb x n m y n m x y n x y m =+=⋅-+⋅-=+--，又因为BD n m =-，所以112112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22,33x y ==，所以2233BD a b =+.故选：B.例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD - B．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，ABCD 中，AB a =，AD b =，点E 是AC 的三等分点13⎛⎫=⎪⎝⎭EC AC ，则DE =（ ）A ．1233a b -B ．2133a b -C ．1233a b +D ．2133ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 2221()3333DE AE AD AC AD AB AD AD a b =-=-=⋅+-=- 故选：B.例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 ()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（ ）A ．AD DB OB OA +=-B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅【答案】C【解析】【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断【详解】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确，对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确，对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误， 对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确． 故选：C 例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AH AG +=D ．23BO BH BG += 【答案】D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误.【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误； ()112333AO AH AG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BH BG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b +-B ．23a b +-C ．23a b --D ．23a b -- 【答案】B【解析】【分析】 根据题意得()13AF AC AD =+，再分析求解即可. 【详解】如下图所示，连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点，因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心，所以()()112333a b AF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE =（ ）A ．1133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．2233AB AC + 【答案】C【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算，即可得出结论.【详解】解：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以13BE BC =， 所以1121()3333AE AB BE AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+； 故选：C.例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当2AB =时，1BD =，则下列结论正确的为（ ）A ．DE DH =B ．0AF BJ ⋅=C ．51AH AB +=D ．CB CD JC JH +=- 【答案】AB【分析】连接DH ，AF ，CH ，BH ，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A ，连接DH ，如图，由DF =FH ，108DFH ∠=得：36DHF E ∠==∠，DE DH =，A 正确；对于B ，连接AF ，由,AD AH FD FH ==得：AF 垂直平分DH ，而//BJ DH ，即AF BJ ⊥，则0AF BJ ⋅=，B 正确； 对于C ，AH 与AB 不共线，C 不正确；对于D ，连接CH ，BH ，由选项A 知，DH DE BC ==，而//BC DH ，则四边形BCDH 是平行四边形， CB CD CH JH JC +==-，D 不正确.故选：AB【方法技巧与总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b=成立的充分条件是（ ）A ．a b =且a b ∥B ．a b =-C ．a b ∥D ．2a b = 【答案】D【解析】根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出．【详解】对于A ，当a b =且a b ∥时，a a b b =或a b a b =-，A 错误； 对于B ，当a b =-时，a b a b =-，B 错误； 对于C ，当a b ∥时，a ab b =或a b a b =-，C 错误； 对于D ，当2a b =时，a a b b =，D 正确．故选：D ． 例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（ ）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】 【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确；对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确；对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确；对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ，又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选：D 例20．（2022·全国·高三专题练习）已知1e ，2e 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）①15a e =，17b e =；②121123a e e =-，1232b e e =-； ③12a e e =+，1233b e e =-．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】【分析】 根据平面向量共线定理得到，对于①57a b =，故两向量共线；对于②16a b =，故两向量共线；对于③不存在实数λ满足λa b ，故不共线.【详解】对于①15a e =，17b e =，57a b =，故两向量共线； 对于②121123a e e =-，1232b e e =-，16a b =，故两向量共线； 对于③12a e e =+，1233b e e =-，假设存在,a b λλ=⇒()121233e e e e λ=-+()()123131e e λλ⇒-=+，因为1e ，2e 是不共线向量，故得到3131λλ-=+无解.故选：A.例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解. 【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+， 因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-， 故选：C ．例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且23AM AB =，13AN AC =，D ，E 是线段BC 上的两个动点，且(,)AD AE x AM y AN x y +=+∈R ，则12x y+的的最小值是（ ）A ．4B ．43C ．94D ．2【答案】B【解析】【分析】 根据平面向量共线定理可设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，再结合AD AE x AM y AN +=+得26x y +=，最后运用基本不等式可求解.【详解】设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，则AD AE mAB nAC AB AC λμ+=+++=3()()()3()2m AB n AC m AM n AN λμλμ+++=+++x AM y AN =+，3()2m x λ+=，3()n y m μλ+=⇒+=23x ，13n y μ+=，21222633m n x y x y λμ+++=⇒+=⇒+=.所以12112(2)6x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭14142222663y x x y ⎛⎛⎫+++≥++= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当32x =，3y =时等号成立. 所以12x y +的的最小值是43. 故选：B例23．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据向量共线定理得推论得到21x y +=，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以21x y +=，故()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立， 故选：A例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ）A ．53-B ．53C ．35D ．35【答案】A【解析】【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理．【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =- 故选：A ．例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量a ，b ，且2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】【分析】 由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，选项A ，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B ，D 三点共线，则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确；选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得λ不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，C ，D 三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；选项D ，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，即48(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若||||a b =，则a b =；②若A B C D 、、、是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b =，b c =，则a c =；④a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ．其中正确命题的序号是________ ．【答案】②③##③②【解析】【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB DC = 等价于//AB DC 且AB DC =，即等价于四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；对于③，若a b =,b c =，则a c =，显然正确，故③正确；对于④，由a b =可以推出||||a b =且//a b ，但是由||||a b =且//a b 可能推出a b =-，故“||||a b =且//a b ”是“a b =”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当0b =时，//a b ，//b c ，但推不出//a c ，故⑤不正确.故答案为：②③例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1+【解析】【分析】 先利用条件找到12133λμ+=，则12()33λμλμλμ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =， ∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()113333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即λμ=∴λμ+的最小值为1故答案为：1例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3【解析】【分析】以,AN AM 为基底，由G 是ABC ∆的重心和M ，G ，N 三点共线，可得11=133x y+，即求. 【详解】 根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则9x yxy+的最小值为______．【答案】8 【解析】 【分析】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=， 再利用乘“1”法求解最值. 【详解】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >． ∴991191191()()(10)(10)8222x y y x y xx y xy x y x y x y x y+=+=++=+++= 则9x yxy+的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法.. 例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e ，2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d a b λμ=+与c 共线？【答案】存在 【解析】 【分析】由已知得12(22)(33)d e e λμλμ=++-+，所以要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，从而得222339k k λμλμ+=⎧⎨-+=-⎩，进而可求得结果【详解】因为向量1223a e e =-，1223b e e =+， 所以1212(23)(23)d a b e e e e λμλμ=+=-++12(22)(33)e e λμλμ=++-+要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =， 即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，即222339kkλμλμ+=⎧⎨-+=-⎩得2λμ=-. 故存在这样的实数λ，μ，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线.【方法技巧与总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC （R λ∈）.若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC .题型四：平面向量基本定理及应用例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．若2AD =，(32)7AO AD AB ⋅-=-，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】先以AB AD 、为基底表示AO ，再利用向量的数量积把(32)7AO AD AB ⋅-=-转化为关于AB 的方程，即可求得AB 的长【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ． 设(01)DO DE λλ=<<， (01)BO BF μμ=<<则11++122AD DO AD DE AD AB AD AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1)33AB BO AB BF AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭由AO AD DO AB BO =+=+，可得2(1)3AB AD μμ-+112AD AB λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则112213λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解之得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3142AO AD DO AD AB =+=+则22(32)(33194242)7AO AD AB AD AB AD A AD AB B ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⋅-=⎭-=-又2AD =，则279AB -=-，解之得4AB ，即AB 的长为4故选：C例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（ ） A ．AB AC + B．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答. 【详解】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点， 所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D例33．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD 上一点，14BM tBA BC =+，则t =（ ）A ．12 B ．23C ．34 D ．58【答案】D 【解析】 【分析】 求得1233AD AB AC =+，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出3144AM AB BM t AB AC ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，根据平面向量的基本定理可得出关于λ、t 的方程组，即可解得t 的值.【详解】因为2BD DC =，则()2AD AB AC AD -=-，所以，1233AD AB AC =+， ()131444AM AB BM AB t AB AC AB t AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭， 因为M 是线段AD 上一点，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，所以，13342134t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3858t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D.例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在ABCD 中，M 为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＋n ＝（ ）A ．1B ．43 C ．53D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求,m n 的值. 【详解】1122AM AB BC AB AD =+=+，而BD AD AB =-，故()12AC m AB AD n AD AB ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2m m n AB n AD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+且,AB AD 不共线，故4153{13123m n m m n m n n ⎧-==⎪⎪⇒⇒+=⎨+=⎪=⎪⎩， 故选：C.例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且均为靠近B 的四等分点，CD 与AE 交于点F ，若BF xAB yAC =+，则3x y +=（ ）A ．1-B ．34-C ．12-D ．14-【答案】A 【解析】 【分析】由题意推出DE AC ∥，可得14DF DE FC AC ==，推出15DF DC =，根据向量的加减运算，用基底,AB AC 表示出BF ，和BF xAB yAC =+比较，可得,x y ，即得答案.【详解】 连结DE ，由题意可知，14BD BE BA BC ==， 所以DE AC ∥，则14DE BD AC BA ==， 所以14DF DE FC AC ==，所以14BD AB =-，34DC AC AD AC AB =-=-， 则1135520DF DC AC AB ==-， 故11321452055BF BD DF AB AC AB AB AC =+=-+-=-+， 又BF xAB yAC =+，所以25x =-，15y =，则31x y +=-，故选：A例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.【解析】 【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.【详解】 因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上， 所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形， 所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP =例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB ACλμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．【答案】13-【解析】 【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD DC =，得()2233BD BC AC AB ==-， 所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++， 因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-【方法技巧与总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理： A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点.题型五：平面向量的直角坐标运算例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示题型一：平面向量基本定理及其理解【方法梳理】同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来．它体现了事物间的相互转化，也为今后的解题提供了一种方法．在向量运算及利用向量证明有关问题都有广泛的应用． 【知识链接】1．平面向量基本定理：若1e ，2e是共面 的两个向量，a 是该平面内任意向量，则 ，使a = ．把 的向量1e ，2e叫做表示这一平面所有向量的一组基底．（不共线）2．平面向量基本定理的理解：设a ，1e ，2e 共面，1e ，2e是基底，1122a λe λe =+ ，则：①向量的分解与合成：若1122a λe λe =+ ，则在1e ，2e相同或相反方向上把a 分解成两个向量11λe 与22λe 的和，反之，若1122λe λe a += ，则把两个向量11λe 与22λe合成为向量a ．②表达式的唯一性：1122a λe λe =+唯一12,λλ⇔唯一．③向量的正交分解：当12e e ⊥时，就说1122a λe λe =+ 为对向量a 的正交分解．④向量a的坐标：（详见向量的坐标表示部分）【巩固与应用】 1．判断：（1）设a ，1e ，2e 共面，若1122a λe λe =+ ，则把1e ，2e叫做该平面内所有向量的基底． （2）已知1e ，2e 是平面的一组基底，如果向量a ，1e ，2e 共面，则有且只有一对实数12,λλ，使1122a λe λe =+ ．反之，如果有且只有一对实数12,λλ，使1122a λe λe =+ ，则a ，1e ，2e 共面．2．证明定理中表达式1122a λe λe =+的唯一性．证明：只需证明实数对12(,)λλ唯一．假设存在另一对实数//12,λλ，且/11λλ≠，/22λλ≠，使//1122a λe λe =+ ．由1122a λe λe =+ 得//11221122λe λe λe λe +=+，即//111222()()0λλe λλe -+-= ．由于1e ，2e 不共线，则//11220λλλλ-=-=，这与假 设矛盾，故假设不成立，从而证明实数对12(,)λλ唯一．3．如果1e ，2e是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ） A ．若实数12,λλ使11220λe λe +=，则120λλ==B ．空间任意向量a 都可以表示为1122a λe λe =+，其中12,R λλ∈C ．1122λe λe +不一定在平面α内，其中12,R λλ∈D ．对于平面α内任一向量a ，使1122a λe λe =+的实数12,λλ有无数对4．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内只有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5．已知1e ，2e是表示平面所有向量的一组基底，那么下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ）A ．1e 和12e e +B ．122e e - 和212e e -C ．122e e - 和2142e e -D ．12e e + 和12e e -题型二：待定系数法求向量表达式（Ⅱ）—用基底向量表示未知向量【方法梳理】1．用平面内的一组基底向量表示平面内的任何一个向量，这是用向量解题的基本功． 2．此类题涉及以下内容：三种线性运算及几何意义；共线向量、平面向量基本定理；有关相似形、比例线段等平面几何知识；方程思想与待定系数法等数学思想和思想方法． 【巩固与应用】例1．在△ABC 中，14OC OA = ，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ，设OA a = ，OB b = ，以a 、b 为基底表示OM ．解：令OM ma nb =+(,R)m n ∈，则AM OM OA =- (1)m a nb =-+ ，AD OD OA =- 1122b a a b =-=-+．因为，,,A M D 三点共线，所以1(1)(1)2m n -⋅=-⋅（或1112m n -=-），即21m n +=． 同理CM OM OC =- 1()4m a nb =-+， CB OB OC =- 1144b a a b =-=-+． 因为,,C M B ，所以11()144m n -⋅=-⋅（或14114m n -=-），即41m n +=． 由21,41,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1,73.7m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以1377OM a b =+ ．1．在△ABC 中，12BD DC = ，3AE ED =，若AB a = ，AC b = ，则BE =（ ）A ．1133a b +B ．1124a b -+C ．1124a b +D ．1133a b -+2．3．在△ABC 中，13AD AB =，14AE AC =，BE 与CD 交于点P ，且A B a = ，AC b = ，用,a b 表示AP题型：向量的坐标表示（Ⅰ）【方法梳理】向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，向量的坐标建立了向量与实数的联系，使向量运算数量化、代数化，使向量运算变得异常简明． 【知识链接】1．向量坐标定义：设i 、j 分别是x 、y 轴上的单位方向向量，a是坐标平面内任意向量，根据平面向量基本定理，存在唯一有序实数对(,)x y ，使a xi y j =+，把数对(,)x y 叫做向量a 的直角坐标，记作(,)a x y =．注：(,)a xi y j a x y =+⇔=．2．坐标运算：（1）设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则a b +=，a b -= ，λa = ．（2）①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB =．②设(,)a x y =是坐标平面内任意向量，若OA a = ，则点A 的坐标为 ．即：以原点为起点的向量的坐标与其终点的坐标 ．结果：(,)x y 、相同③向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 的，但它们的起点、终点的坐标 ． 结果：不同，可以不同，④两个一一对应关系：向量的坐标、原点为起点的向量、原点为起点的向量终点坐标之间存在一一对应关系．3．平面向量共线的坐标表示设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则//a b ⇔ ． 结果：12210x y x y -= 【巩固与应用】例2．已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，且3CM C A =，2CN CB = ，试求点,M N 和向量MN的坐标．解：由(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，得 (1,8)CA = ， (6,3)CB =．故3(3,24)CM CA == ，2(12,6)CN CB ==．令(,)M x y ，则(3,4)(3,24)CM x y =++= ，故33,424,x y +=⎧⎨+=⎩解得0,20.x y =⎧⎨=⎩故所求(0,20)M ，(9,2)N ，(9,18)MN =-．1．若向量(3,2)a = ，(0,1)b =-，则向量2b a - 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(3,4)-C ．(3,4)D ．(3,4)--2．若向量(1,1)a = ，(1,1)b =- ，则1322a b -=（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(1,0)-D ．(1,2)-3．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，若(1,3)AC =- ，(1,1)BD =，则AB =（ ）A ．(0,1)B ．(0,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-6．已知(2,4)AB =-，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标是(2,4)-B ．点A 为坐标原点时，点B 坐标为(2,4)-C ．点B 的坐标是(2,4)-D ．点B 为坐标原点时，点A 坐标为(2,4)-7．已知(2,3)A ，(1,5)B -，且3AC AB =，则点C 的坐标为（ ）A ．(7,9)-B ．(5,8)-C ．(5,7)-D ．(7,7)-8．已知(1,3)A -，(3,4)a =，且2AB a = ，则点B 的坐标为 ．9．设四边形ABCD 的四个顶点分别为(4,8)A ，15(1,)2B -，(2,1)C --，3(,7)4D -，求AC 和BD 交点M 的坐标．例．已知平面内三个向量：(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =． （1）求满足a mb nc =+的实数,m n ；（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k ．结果：（1）58,99m n ==（2）1613k =- 1．已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且//a b ，则23a b += （ ）A ．(2,4)--B ．(3,6)--C ．(4,8)--D ．(5,10)--2．已知(3,1)a =- ，(1,2)b =- ，若(2)//()a b a kb -++，则实数k =A ．17-B ．12-C ．1918D ．533．若向量(1,2)a = ，(,1)b x =，且2a b + 与2a b - 共线，则x = ．4．已知(1,1)a =- ，(1,3)b =- ，(3,5)c =，且c ma nb =+ ，则m n += ．。
向量的坐标表示及其运算
1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。
平面向量与平面直角坐标系中的向量积
平面向量与平面直角坐标系中的向量积平面向量是平面上的箭头，它有大小和方向。
平面直角坐标系是二维平面上的一组直角坐标系，它由两个互相垂直的数轴组成。
在平面直角坐标系中，平面向量的积可以使用向量积来表示。
向量积，也称为叉积或叉乘，是用来描述两个向量相乘的运算。
在平面直角坐标系中，向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)的向量积可以表示为：A ×B = (x₁, y₁) × (x₂, y₂)向量积的计算公式为：A ×B = x₁ * y₂ - x₂ * y₁其中，x₁、y₁、x₂、y₂分别为向量A和向量B的坐标分量。
使用向量积的运算可以解决平面上一些重要的几何问题，如判断两个向量是否垂直、计算向量的面积、求解平面上的三角形的面积等等。
1. 向量积的性质向量积具有如下的性质：- 反交换律：A × B = -B × A- 结合律：A × (B + C) = A × B + A × C- 分配律：(λA) × B = A × (λB) = λ(A × B)，其中λ为实数2. 向量积的应用2.1 判断向量的垂直若向量A和向量B的向量积为0，则可以判断向量A与向量B垂直。
2.2 计算向量的面积设平面上有三个点P、Q、R，可以将PQ和PR两向量的向量积的绝对值的一半表示三角形PQR的面积。
2.3 求解平面上的三角形的面积给定平面上三个点P、Q、R，可以使用向量积来求解三角形的面积。
以平面直角坐标系为例，设向量A为PQ，向量B为PR，求三角形PQR的面积。
首先计算向量A的坐标分量：A(x₁, y₁) = Q(x₂, y₂) - P(x₁, y₁) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
然后计算向量B的坐标分量：B(x₃, y₃) = R(x₃, y₃) - P(x₁, y₁) = (x₃ - x₁, y₃ - y₁)。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量在数学中有着重要的应用，它们可以描述平面上的位移、速度、力等量。
在进行平面向量运算时，我们需要掌握一些基本的概念和方法，以便正确地应用于实际问题中。
一、向量的表示平面上的一个向量可以用有向线段来表示，它有大小和方向两个属性。
（1）向量的大小：向量的大小通常用向量的模来表示，记作|AB|，其中 A、B 分别为向量的起点和终点。
（2）向量的方向：向量的方向通常用箭头指向来表示，箭头指向的方向就是向量的方向。
二、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，然后以这个新向量的终点为另一个向量的起点，连接这两个向量的终点，所得的结果向量就是这两个向量的和。
三、向量的减法向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
假设有向量 A 和向量 B，我们可以通过将向量 B 反向画出，并保持其大小和方向不变，然后将向量 A 和反向的向量 B 进行相加，即可得到向量 A 减去向量 B 的结果向量。
四、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，这个实数称为数量。
数量乘法改变了向量的大小，但不改变向量的方向。
若将向量 A 乘以实数 k，则得到一个新的向量 kA，大小为 |k|×|A|，方向与向量 A 相同（若 k 大于 0）或相反（若 k 小于 0）。
五、向量的点乘向量的点乘也称为数量积，记作 A·B，其中 A 和 B 是两个向量。
点乘的计算公式为A·B = |A| × |B| × cosθ，其中θ 为 A、B 之间的夹角。
点乘的几何意义为：A·B = 0，则 A 和 B 互相垂直；A·B > 0，则夹角θ 小于 90°，A 和 B 指向同一方向；A·B < 0，则夹角θ 大于 90°，A 和 B 指向相反方向。
六、向量的叉乘向量的叉乘也称为矢量积，记作 A×B，其中 A 和 B 是两个向量。
向量的坐标表示及其运算
x
y
7, a的单位向量a0,则a0 (
, x2 y2
) x2 y 2
13
练习： 1)已知点A(3, -1), B(-1, -1),求:① | OA 2AB - OB |；
②若x OA y OB 2AB,求x, y.
2)已知2a b (4, 3), a 2b (3, 4),求a, b.
Ab
位置向量，如图，OA即为 1
a
一个位置向量.
j
O i1
x
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
3
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
பைடு நூலகம்
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
a (x1i y1 j ) x1i y1 j
即：( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ( x1 , y1 ) (x1 , y1 )
8.1向量的坐标表示及其运算
一、基本概念
1
引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
O
a
x
2
1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别
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O
a
x
讲授新课
A B = A C+ C B = 4 i+ 2 j y
5 4 3 2
EF=ED+DF
= 3 i + 2 j
B
A
C F
j o
1
1 2 3 4 5
i
6
x
E
D
a=a1i+a2j
y a2j
→ → a
j
O → a1i i
图 1
我们把（a1,a2)叫做向量a 的（直角）坐标，记作 a=(a1，a2), x 其中a1叫做a 在x轴上的坐 标，a2叫做a在y轴上的坐标， （a1 ,a2）叫做向量的坐标表示。
→→ 其中i，j为向量 i，j
y
B
A
j
o
A B = A C+ C B = 4 i+ 2 j
C
i i (1,0)
j
x
=(4，2)
(0,1)
0
(0,0)
例1
在直角坐标系xoy中,用向量 i ,
y
j
分别表
示向量AB,CD,EF GH,并求出它们的坐标
解: AB= i + 2 j =(1,2)
1.平面向量的直角坐标的概念
2.两向量相等的充要条件
3.点A的坐标与向量OA的坐标的关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
布置作业
P61 1 . 2
y
yj
a x
→ → 其中xi为x i，yj为y j
j O
i xi
平面向量的直角 坐标及其运算
平面向量的直角 坐标及其运算
复习提问 布置作业 课堂小结
引入新课
讲授新课
复习提问
C
AC = a + b BD = a - b DB = b - a
D
a
A
B
b
引入新课: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
两向量相等的充要条件 它们的相应坐标相等
o
b1
x
如果a=(1-x,3),b=(-2,y+4), a= b 求x,y的值
y
a2
a
N
a1
A(a1,a2)
a2
o
M
a1
x
点A的坐标（a1，a2）则有向线段OA所表 示的向量OA的坐标也是（a1，a2）
练一练
在平面直角坐标系中xoy中，作出向量 OA=(2,3),OB=(-1,2),OC=(2,-1),OD=(-3,0)
y
3
2
1
j o
-2 -1 -1
i
1
2
3
4
x
-2 -3
你能以原点O为始点分别作出与
y
3
2
向量AB，EF相等的向量吗？
B
. C (2,2)
1 2 3
AB=2 i +2 j =(2,2)
x
j
-3
E
1 A
-2
-1
o i
-1 -2 -3 F
OC=AB =(2,2) C(2,2)
. D(3,-2)
EF=(3,-2)
D
3 2
B
CD= 2
j
=(0,2)
-3 E
C -2 -1
1
j
A 0
EF= 3 i - 2 =(3,-2)
j
i
1
2
3 G
x
-1
H
-2 -3 F
GH= -4 i -
j
=(-4,-1)
y
a (a1 , a2 ) b (b1 , b2 )
b2 (b2) a2
N
a
A
M
b
a1 (b1)
a b a1 b1且a2 b2