2018.1东城区高三文科数学期末试卷及答案
东城区2018-2019第一学期期末数学文科答案终稿答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）（11）n a n =-,2n b =（答案不唯一） （12 （13）①② （14）4，2π 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a +==， 所以35a =. 所以31251 4.a a d -==-= 解得2d =.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分（Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n -=-+，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n n b b b n -+++=+++-++++L L L=[1(21)]2(14)214n n n +-?+-=22(41)3nn +-. ……………………..13分 （16）（共13分）解:（Ⅰ）()2sin cos f x x x x =11cos 2sin 222x x -=-1sin 2cos 2222x x =+-sin 232x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. ……………………………..5分 所以 ()f x 的最小正周期22T π==π. ……………………………..7分 （Ⅱ）因为36x ππ-≤≤，所以233x 2ππ-≤≤. 所以22333x πππ-≤+≤.所以sin 2sin()33x ππ⎛⎫+≥-= ⎪⎝⎭所以()sin 23f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.所以对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x ≥ ……………………………..13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30. 因为5000.30150⨯=，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. …………………………………………………………………………………………….5分（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10⨯=.因为500.105⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5. 这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ， 从中抽取2人的所有可能结果是： (,)A B，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ， (,)B D，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E . 其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的所求概率为710. ……………………………..11分 （Ⅲ）根据题意， 0.082110.122130.152150.10217创+创+创+创 0.0521914.68+创=（小时）.由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68 小时 …………….13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，所以1BB ⊥平面111A B C .因为11B C ⊂平面111A B C ， 所以111BB B C ⊥.又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B = ， 所以11B C ⊥平面 11AA B B . 因为1A B ⊂平面11AA B B ， 所以111A B B C ⊥.因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形. 所以11A B AB ⊥. 因为1111B C AB B = ，所以1A B ⊥平面11AB C . ……………………………..5分（Ⅱ） 由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以 111BB A B ⊥.因为1111A B B C ⊥， 1111B C BB B = ， 所以 11A B ⊥平面11BB C C .又112A B AB ==，故1A 到平面11BBC C 的距离为2. 因为E 为11AC 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1. 所以11111211323B ECC E BCC V V --==⨯⨯⨯⨯=．……..9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点，所以平面EAB 平面111A B C EH =.因为平面ABC //平面111A B C ，AB ⊂平面ABC ，所以//AB 平面111A B C .又平面111A B C 平面EAB EH =, 所以//EH AB .又11//AB A B ，所以11//EH A B .因为E 为11AC 中点, 所以H 为11B C 中点 . 所以1111122B H BC ==．………………………..14分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分 (Ⅱ) '()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-.(1) 当0a £时，10xae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间； ②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -?，(1,)-+?；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-?，(ln ,)a -+?. …………………………………………………………………………………………13分 （20）（共14分）解：（I ）由已知有22221,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………………………5分 （II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=. 由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得22k -<<. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩12AB x =-==直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l的距离d =. 所以1F AB ∆的面积为111223AB d ⋅==. …………………………………10分 （III ）当21x =-时，22y =±此时直线l的斜率为2±II ）知不符合题意，所以21x ≠-. 设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+. 则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=. 设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y t x x y t x y x -+--+===+++++. 由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+， 解得2323423x x x --=+.因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++，将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k-=+代入，整理得310x x -=， 所以31x x =. 所以直线AE 与x 轴垂直. ……………………………………14分。
高考最新-东城数学(文) 精品
北京市东城区2018年高三年级综合练习(一)数学试卷（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）参考公式：①如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) ②如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)③如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(④球的表面积公式24R S π=（其中R 表示球的半径） ⑤球的体积公式334R V π=（其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则集合{1，3}是 （ ） A ．A ∩（ B ） B ． （A ∩B ） C ．B ∩（ A ） D ． A ∪B ） 2．函数)23(log 52-=x y 的定义域为（ ）A ．),32(+∞B ．]1,32(C ．),1(+∞D ．)54,32( 3．已知==<<ααπαπsin ,312cos ,23则（ ）A ．36 B ．－36 C ．33 D ．－33 4．预测人口的变化趋势有多种方法，最常的是“直接推算法”，使用的公式是nn k P P )1(0+=（k 为常数，k>－1），其中P n 为预测期内n 年后人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内 年增长率，如果－1<k<0，那么在这期间人口数 （ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．先上升后下降 D ．先下降后上升 5．在等差数列==-=991,24,12,}{S a a a n 则中 （ ）A ．－36B ．48C ．54D ．726．已知m 、n 为两条不同的直线α、β为两个不同的平面，给出下列四个命题 ①若m ⊂α，n//α，则m//n ; ②若m ⊥α,n//α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α//β； ④若m//α,n//α，则m//n. 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 7．已知在△ABC 中，=++，则O 为△ABC 的 （ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心8．通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误是0收为1或1收为0的概率都是0.18，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（ ）A ．0.018375B ．0.018125C ．0.01825D ．0.0185第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在(1－2x )6展开式中，含x 2项的系数为 ；所有项系数的和为 . 10．抛物线241x y =在点（2，1）处的切线的斜率为 ；切线方程为 .11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 18 88 77 18 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 18 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 18 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 18 82 52 42 18 44 38 15 51 00 13 42 99 66 18 79 5412．把曲线14:221=-ky x C 按向量a =（1，2）平移后得到曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为x =5，则k 的值为 ；离心率e 为 . 13．体积为33的正方体内接于球，则该球的体积为 .14．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序： （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为31)1(=f ；（2）当从A 口输入自然数n （n ≥2）时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果)1(-n f 的3)1(21)1(2+---n n 倍.当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知向量1)(),cos 2,cos 3(),cos ,sin 2(-⋅==x f x x s x 定义函数.（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的单调减区间.16．（本小题满分13分）一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，对该箱中的产品逐一取出进行测试.（1）求前两次取出的都是二等品的概率；（2）求第三次取出全部二等品的概率.17．（本小题满分14分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=a，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.（1）求证：DF//平面ABC；（2）求二面角B1—AF—B的大小（用反三角函数表示）；（3）求三棱锥F—B1AE的体积.18．（本小题满分13分） 已知函数x mx mx x f 3)(23++=在R 上是增函数，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分） 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（－1，0）和（1，0），点P 满足.4||||=+PF PE （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过E 点做直线与C 相交于M 、N 两点，且,2=求直线MN 的方程.20．（本小题满分13分）已知数列),4,3,2(1,1,}{111 =+==--n a a a a a n n n n 中 （1）求2a 、3a 的值；（2）证明当.2312,,4,3,2-≤<-=n a n n n 时高三数学（文）参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 9.C二、填空题：9．60，1 10．1，01=--y x 11．785，567，199，518，17512．－3，21 13．29π 14．351，24注：9、10、12、14小题第一个空2分，第二个空3分，11小题答对一个给1分. 三、解答题15．解：1cos 2cos sin 321)(2-+=-⋅=x x x x f ).62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x ………………………………7分 （1）.||2πωπ==T ……………………………………9分（2）3422322326222πππππππππ+≤≤+⇔+≤+≤+k x k k x k )(326Z k k x k ∈+≤≤+⇔ππππ ).](32,6[)(Z k k k x f ∈++∴ππππ的单调减区间为函数……………………13分 16．解：（1）四件产品逐一取出排成一列共有A 44种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有1212C C ⨯种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为61441212=⨯A C C ；…………………………6分（2）四件产品逐一取出排成一列共有A 44种方法，第二次取出的产品是四等品的共有3312A C ⨯种方法，∴前三次取出全部产品是二等品的概率为1－21443312=⨯A A C ；……………………13分17．解法一：（1）连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP.由E 为C 1C 的中点，A 1C 1//CP ，可证A 1E=EP. ∵D 、E 是A 1B 、A 1P 的中点，∴DE//BP. 又∵BP ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ， ∴DE//平面ABC.……………………5分（2）∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°， F 为BC 的中点，∴BC ⊥AF ，又∵BB 1⊥平面ABC ， 由三垂线定理可证B 1F ⊥AF.∴∠B 1FB 为二面角B 1—AF —B 的平面角. 在Rt △B 1BF 中，∠B 1BF=90°，由B 1B=a ，,22a BF =可求,2tan 11==∠BF B B FB B ∴∠B 1FB=.2arctan∴二面角B 1—AF —B 的大小为.2arctan ……10分设AB=A 1A=a , （3）又,49,43,2322122221a E B a EF a F B === ∴,,,.1121221F AF FE AF F B FE F B E B EF F B =⋂⊥⊥∴=+∴F B 1⊥平面AEF. ∵C 1C ⊥平面ABC ，AF ⊥FC ，由三垂线定理可证EF ⊥AF.∴3118121313111a F B EF AF F B S V V AEF AFB B AE B F =⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--. …………14分 解法二：如图建立空间直角坐标系xyz O -，令AB=AA 1=a =4，则A （0，0，0）， F （2，2，0），B （4，0，0），B 1（4，0，4）…………2分 （1）同解法一………………7分（2）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解， 按此标准给分）平面AEF 的法向量为)4,0,0(1-=B ， 设平面B 1AF 的法向量为⎩⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+∴=.02,0.0,0),,,(1z y x y x B z y x 即 令).1,1,1(,1,1,1--=∴-=-==z yx 则.331636||||,cos 111=⨯=⋅>=<∴B B n B∴二面角B 1—AF —B 的大小为.33arccos ………………9分（3）),2,2,2(),0,2,2(),4,2,2(1--==--=EF AF F B.0)2()4()2(22)2(1=-⨯-+-⨯+⨯-=⋅EF F B..11EF F B B ⊥∴⊥∴ .00)4(222)2(1=⨯-+⨯+⨯-=⋅AF F B ..11AF F B B ⊥∴⊥∴ 又.,1AEF F B F AF FE 平面⊥∴=.00)2(2)2(22=⨯-+⨯-+⨯=⋅AF EF ..AF EF ⊥∴⊥∴ 3118121313111a F B EF AF F B S V V AEF AFE B AE B F =⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--…………14分 18．解：.323)(2++='mx mx x f ……………………2分（1）当0=m时，03)(>='x f ，)(x f ∴在R 上为增函数；……………………4分 （2）当0≠m 时，)9(43640)(2-=-=∆='m m m m x f 的，①当0<m时，)(x f '开口向下且0>∆，说明存在区间使0)(<'x f ， 0<∴m 时，)(x f在R 上不是增函数；………………6分 ②当90<<m 时，)(x f '开口向上且0<∆，说明)(x f '恒大于0， 90<<∴m 时，)(x f 在R 上是增函数；………………8分 ③当9=m 时，91)31(9399)(323-+=++=x x x x x f ，由函数3x y =的单调性可 知9=m 时，)(x f 在R 上是增函数；………………10分④当9>m 时，)(x f '开口向上且0>∆，说明存在区间使)(x f '<0，9<∴m时，)(x f 在R 上不是增函数.………………12分 综上所述，所求m 的取值范围为[0，9].……………………13分19．解：（1）,4=+ 由椭圆的第一定义可知点P 的轨迹为椭圆，且2a =4，c=1，∴.3,422==b a ∴所求的椭圆方程为.13422=+y x ……5分 （2）①当直线MN 的斜率不存在时，不满足题意； …………6分②当直线MN 的斜率存在时，设其方程为 代入),1(+=x k y 13422=+y x 化简得 .01248)43(2222=-+++k x k x k设两交点的坐标为（),(11y x M 、),,(22y x N则2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+ ……8分 .32,221-=+∴=x x EN ME .0,25454312443494349.434923;434943832222222222122222>∆±==∴+-=+-⨯+--∴+-=--=+--=++-=∴满足即k k kk k k k k k k x x k k k k x∴所求的直线MN 的方程为).1(25+±=x y ………………14分 20．解（1）.252121,2111223112=+=+==+=+=a a a a a a ………………4分 （2）当.221)1(,,5,4,3,22121212112+>++=+==-----k k k k k k a a a a a a k 时 ∑=--->-=-∴>-n k k k n k k n a a a a aa 2212212212).1(2)(,2 .12,12)1(2212->∴-=-+>∴n a n n a a n n………………8分 .1,0),,4,3,2(1,1111111=≥>∴>∴=+==----a a a a k a a a a k k k k k k ∑∑==---=⨯-+-≤+-=-=-∴n k n k k k k n n n n a n a aa a 2221212212.331)1()1(21)1(2)(.23.2333212-≤∴-=+-≤∴n a n a n a n n ……………………12分).,5,4,3,2(2312 =-≤<-∴n n a n n ……………………13分。
2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，则cosα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足则x+2y的最小值为（）A．0B．4C．5D．105．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（）A．360B．60C．36D．126．（5分）设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．38．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（2，m），若⊥，则m＝．10．（5分）在△ABC中，已知a＝1，，，则c＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e ＝．13．（5分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）．若∀x∈[﹣a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为；此时ω＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}满足a1＝1，a2+a4＝10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．17．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1⊥B1C1，AA1＝AB＝2，BC＝1，E为A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ECC1的体积；（Ⅲ）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长．19．（13分）已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（﹣1，0）．直线l：y＝k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，在终边上任意取一点（1，2），则cosα＝＝，故选：A．4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故选：B．5．【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当n＝5，m＝3时，可得：＝60．故选：B．6．【解答】解：由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c＝5，d＝1，a＝2，b＝3．满足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．∴c＞d，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵；∴；∴m＝1．故答案为：1．10．【解答】解：在△ABC中，已知a＝1，，，∴sin C＝，由正弦定理可得＝，∴c＝＝4，故答案为：4．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，可得c＝，即ac＝c2﹣a2，可得：e2﹣e﹣1＝0，e＞1，解得：e＝．故答案为：．13．【解答】解：，可得f（x）随着x的增加而减少，故①正确；当1＜x≤30时，f（x）＝+x，f（9）＝+•9＝0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f（26）＝+•26＞，故③错误．故答案为：①②．14．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）均为奇函数．∴只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．∵函数f（x）＝x3﹣4x在[0，2]满足f（x）≤0，在[2，+∞）满足f（x）≥0，∴当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，a才能取到最大值，（如图）．此时，，a＝4．故答案为：4，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4＝2a3＝10，所以a3＝5．所以a3﹣a1＝2d＝5﹣1＝4．解得d＝2．所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为＝＝．……………………..（13分）16．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，所以，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）证明：∵，∴，∴，∴，∴，所以对于任意的，都有．17．【解答】解：（Ⅰ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30＝150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150．（5分）（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2＝0.10．因为50×0.10＝5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p＝…（11分）（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19＝14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．……………．（13分）18．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1⊥平面A1B1C1．因为B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1＝B1，所以B1C1⊥平面AA1B1B．因为A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥B1C1．因为AA1＝AB＝2，所以四边形AA1B1B为菱形．所以A1B⊥AB1．因为B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1．……………………………..（5分）（Ⅱ）由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1＝B1，所以A1B1⊥平面BB1C1C．又A1B1＝AB＝2，故A1到平面BB1C1C的距离为2．因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．所以．……..（9分）（Ⅲ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB∩平面A1B1C1＝EH．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABC，所以AB∥平面A1B1C1．又平面A1B1C1∩平面EAB＝EH，所以EH∥AB．又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．所以．………………………..（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．当a＝1时，f′（0）＝0，f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．（1）当a≤0时，ae x﹣1＜0，所以当x＞﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣lna．①当﹣lna＝﹣1，即a＝e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；②当﹣lna＜﹣1，即a＞e时，当﹣lna＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣lna或x＞﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣lna，﹣1），单调递增区间为（﹣∞，﹣lna），（﹣1，+∞）；③当﹣lna＞﹣1，即0＜a＜e时，当﹣1＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0；当x＜﹣1或x＞﹣lna时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，﹣lna），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣lna，∞）．………………………………（12分）20．【解答】（共14分）解：（I）由已知有解得所以椭圆C的方程为．……………………………………（5分）（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2﹣2）＝0．由已知，△＝（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线l的方程为x﹣2y+2＝0，F1（﹣1，0）到直线l的距离．所以△F1AB的面积为．…………………………………（10分）（III）当x2＝﹣1时，．此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠﹣1．设直线BF1的斜率为．则直线BF1的方程为y＝t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2﹣2）＝0．设E（x3，y3），则有．由得，代入上式整理得，解得．因为，将，代入，整理得x3﹣x1＝0，所以x3＝x1．所以直线AE与x轴垂直．……………………………………（14分）。
2018年高三最新 北京市东城区2018年高三数学文科(二)
北京市东城区2018年高三年级综合练习（二）数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：①如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） ②如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）③如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(④球的表面积公式 24R S π=（其中R 表示球的半径）⑤球的体积公式 334R V π= （其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分；共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在下列各点中，不在不等式532<+y x 表示的平面区域内的点为 （ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，2）D ．（2，0） 2．已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于 （ ）A ．232B ．－232 C ．31D ．－313．若函数R x x f y ∈=)((）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的 是（ ）A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -4．与直线034=+-y x 平行的抛物线22x y =的切线方程是（ ）A ．014=+-y xB ．014=--y xC ．024=--y xD ．024=+-y x5．等比数列{a n }中，===953,16,4a a a 则（ ）A ．256B ．－256C ．128D ．－1286．在半径为1cm 的球面上有A 、B 、C 三点，如果AB=83，∠ACB=60°，则球心O 到 平面ABC 的距离为 （ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm7．A 、B 两点之间有5条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现 从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于7的方法共有 （ ） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种 8．)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示， 则)(x f 的图象只可能是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．图中阴影部分集合符号表示为 .10．函数)0(121>+=x x y 与函数)(x f y =的图象 关于直线x y =对称，则)(x f = ； )(x f 的定义域为 .11．事件A 、B 、C 相互独立，如果81)(,81)(,61)(=⋅⋅=⋅=⋅C B A P C B P B A P ， 则P （B ）= ；)(B A P ⋅= .12．若直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且l 不通过第四象限，则l 斜率的取值范围为 .13．已知向量、的夹角为45°，且||=4，（12)32()21=-⋅+b a b a ，则||= ；b 在a 方向上的投影等于 .14．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来回运动，（即（0，0） →（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→……），且每秒移动一个单位，那么粒子运 动到（3，0）点时经过了 秒；2000秒 时这个粒子所处的位置为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且.2cos cos ca bC B +-= （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,13=+=c a b ，求△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）从数学0、1、2、3、4、5中任取三个，组成没有重复数字的三位数，求：（Ⅰ）这个三位数是奇数的概率；（Ⅱ）这个三位数小于450的概率.17．（本小题满分14分）已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.（Ⅰ）求PC与平面PBD所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离；（Ⅲ）如果E为PB的中点，求证PC⊥平面ADE.18．（本小题满分13分）已知函数1,22)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间.19．（本小题满分13分）直线1+=x y 与双曲线C ：)0(12222>=-b by x 恒有公共点. （Ⅰ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（Ⅱ）若直线)(:R m m x y l ∈+=过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P 、Q 两点，并且满足51=，求双曲线C 的方程.20．（本小题满分14分）从点P 1（1，0）做x 轴的垂线，交抛物线y=x 2于点Q 1（1，1），再从Q 1做这条抛物线的切线与x 轴交于点P 2，又过P 2做x 轴的垂线，交抛物线于Q 2，依次下去得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2、……、P n 、Q n .求： （Ⅰ）||n OP ； （Ⅱ）).:(||1211∑∑==+++=ni n in i ii a a a aP Q 注数学（文科）试卷参考答案一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题9． （A ∩B ）或 或（ ）∩ A 等； 10．xx21-，（0，1）； 11．31,21 ； 12．[0，2] 13．2，1； 14．15，（24，44）. 注：（10）、（11）、（（13）、（14）小题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题）15．（Ⅰ）解法一：由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===得 .sin 2,sin 2,sin 2C R c B R b A R a ===…………………………2分将上式代入已知.sin sin 2sin cos cos 2cos cos CA BC B c a b C B +-=+-=得即.0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A.0)sin(cos sin 2=++C B B A ……………………4分∵A+B+C=π，.0sin cos sin 2.sin )sin(=+∴=+∴A B A A C BB B A .21cos ,0sin -=∴≠为三角形的内角，π32=∴B .…………7分解法二：由余弦定理得bca cb C ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，……………2分 将上式代入.2222cos cos 222222c a bcb a ab ac b c a c a b C B +-=-+⨯-++-=得 整理得.222ac b c a -=-+…………………………4分B ac ac ac b c a B ∴-=-=-+=∴.2122cos 222为三角形的内角，π32=∴B .……7分（Ⅱ）将π32,4,13==+=B c a b 代入余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得.3).211(21613,cos 22)(22=∴--=∴--+=ac ac B ac ac c a b …………10分.343sin 21==∴∆B ac S ABC ………………………………13分16．解：从数字0、1、2、3、4、5中任取三个组成没有重复数字的三位数的个数为255A ………………2分（Ⅰ）这个三位数是奇数的个数为.141413A A A ⨯⨯∴这个三位数是奇数的概率为2512525141413=⨯⨯A A A A . …………7分 （Ⅱ）这个三位数大于等于450的个数为1425A A +， ∴这个三位数小于450的概率为.251951251425=+-A A A …………13分17．解法一：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接PO.∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD. 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC. ∵BD ∩PD=D ， ∴AC ⊥平面PBD. ∴∠CPO 为PC 与平面PBD 所成的角. ∵PD=AD=2，则OC=2，PC=22. 在Rt △POC 中，∠POC=90°， ∴.21sin ==∠PC OC CPO ∴PC 与平面PBD 所成的角为30° …………4分 （Ⅱ）过D 做DF ⊥PO 于F ，∵AC ⊥平面PBD ，DF ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥DF. 又∵PO ∩AC=O ， ∴DF ⊥平面PAC. 在Rt △PDO 中，∠PDO=90°， ∴PO ·DF=PD ·DO.∴.332=DF …………8分 （Ⅲ）取PC 的中点N ，∵E 为PB 的中点，∴EN//BC//AD.∴四边形AEND 为平面图形.∵AD ⊥PD ， AD ⊥DC ， PD ∩DC=D ， ∴AD ⊥平面PDC. ∵PC ⊂平面PDC ， ∴AD ⊥PC.又∵PC=DC ，∠PDC=90°，N 为PC 的中点， ∴PC ⊥DN. ∵AD ∩DN=D ， ∴PC ⊥平面ADE. …………14分解法二：如图建立空间直角坐标系D —x yz ，∵PD=AD=2， 则D （0，0，0），A （2，0，0），O （1，1，0）， B （2，2，0），C （0，2，0）， P （0，0，2）………………2分（Ⅰ）∵正方形ABCD ，∴OC ⊥DB.∵PD ⊥平面ABCD ， OC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥OC. 又∵DB ∩PD=D ，∴OC ⊥平面PBD. ∴∠CPO 为PC 与平面PBD 所成的角. ∵),2,1,1(),2,2,0(-=-= ∴.23||||,cos =⨯>=<PO PC∴PC 与平面PBD 所成的角为30° …………5分（Ⅱ）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）过D 做DF ⊥平面PAC 于点F ，设平面PAC 的法向量为),,(z y x n = ∴⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00.0,0z y z x PA n 即 令x =1，则y=1，z =1. ∴).1,1,1(= ………7分∴.33232||||,cos =⨯=⋅>=<DA n DA n ∴D 到平面PAC 的距离.332,cos ||||>=<⨯=DA n DA DF …………9分（Ⅲ）∵E （1，1，1），则).0,0,2(),1,1,1(-=-=∴.0=⋅ ∴PC ⊥AE. 同理PC ⊥AD. ∵AE ∩AD=A ， ∴PC ⊥平面ADE. …………14分 18．解：（Ⅰ）1,2)(.223)(2==-+='x x x f bx ax x f 在 处取得极值，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=--∴⎩⎨⎧='='2131022302412.0)1(,0)2(b a b a b f f ∴x x x x f 22131)(23-+=…………6分 （Ⅱ）.2)(2-+='x x x f 由已知1,2)(=-=x x x f 在处取得极值得 当.0)(,),1()2,(>'+∞⋃--∞∈x f x 时∴)2,()(--∞在x f 上是增函数，在（1，+∞）上是增函数.当.0)(,)1,2(<'-∈x f x 时 ∴)(x f 在（－2，1）上是减函数. ……13分19．解；（Ⅰ）把y=x +1代入双曲线.02)1(2122222222=-+-=-b x x b by x 得整理得.0)1(24)2(222=+---b x x b…………2分当b 2=2时，直线与双曲线有一个交点，这时.2=e当b 2≠2时，直线与双曲线恒有公共点∆⇔=16+8(b 2－2)(1+b 2)≥0恒成立.即b 4－b 2≥0恒成立. ∵.1,022≥∴>b b ∴.26.23222222≥∴≥+==e b a c e综上所述e 的取值范围为 ).,26[+∞ …………6分（Ⅱ）设F （c ，0），则直线l 的方程为.c x y -=把.022)(122222222=--+=--=b y c y b by x c x y 得代入双曲线整理得.022)2(222222=-++-b c b y cb y b设两交点为.22,22),,(),,(22222122212211--=--=+b b c b y y b cb y y y x Q y x P 则 ∵.51,5121y y =∴= ∴.225,226222221221--=--=b b c b y b cb y∴.7.51)2(92,2,0.52)2(9222222222242==-+∴=->-=-b b b b c b b c b b b c ∴所求双曲线C 的方程为 .17222=-y x …………13分20．解：（Ⅰ）.2x y =' ………1分 设Q n －1的坐标为111),,(---n n n Q y x 则以为切点的抛物线的切线方程为).(2111----=-n n n x x x y y …………3分令y=0解得Q n 的横坐标为 ).,4,3,2(212211211111 ==-=-=-------n x x x x x y x x n n n n n n n n∴数列}{n x 是首项为1，公比为21和等比数列.∴).4,3,2,1.(21|||1====-n x x OP n n n n …………7分（Ⅱ）),4,3,2,1()21(212===-n x y n n n . …………9分).211(34411211||||21211n ni n i ni i ni i i y y Q -=--===∑∑∑=== …………14分。
2018年高三最新 北京市东城区2018学年度高三综合练习(一)(数学文) 精品
北京市东城区2018—2018学年度高三综合练习（一）数学试题（文科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ={1，3，4，5}，B ={2，3，4}，C ={1，2}，则集合（A ∩B ）∪C 等于（ ） A ．{2} B ．{1，2} C ．{1，2，3，4} D ．{1，2，3，4，5} 2．已知函数x x x f sin )(=，则函数)(x f（ ）A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数3．已知等比数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 3=7a 1，则数列{n a }的公比q 的值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2或－3 D ．2或3 4．已知向量a 、b 的夹角为60°且|a |=2，|b |=3，则a 2+a ·b = （ ）A ．10B ．10C ．7D ．495．“a =0”是“函数ax x x f +=2)(在区间（0，+∞上是增函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（ ）A ．22 B ．55 C ．1010 D ．322 7．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 （ ）A ．45种B ．56种C ．90种D ．120种8．△ABC 中，AB =22，AC=2，BC =2，设P 为线段BC 上一点，则一定有 （ ） A ．AB ·AC >PA 2，AB ·AC >PB ·PC B ．PA 2>AB ·AC ，PA 2>PB ·PCC ．PB ·PC > AB ·AC ，PB ·PC >PA 2D ．AB ·AC > PB ·PC ，PA 2 >PB ·PC第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．函数12-=x y 的定义域是 .10．函数x x y cos 3sin +=的最大值为 .11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线为y=2x ，则双曲线的离心率e 的值为 .12．实数x ，y 满足条件y x z y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则,0,0,022,04的最大值为 .13．已知球面面积为16π，A ，B ，C 为球面上三点，且AB =2，BC =1，AC =3，则球的半径为 ；球心O 到平面ABC 的距离为 . 14．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a b b a R b a **,,=∈； ②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈，则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B cos C －sin C cos B =3sin A cos B . （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅，且6=a ，求b 的值.16．（本小题满分13分）已知等比数列.512,8},{52==a a a n（I ）求}{n a 的通项公式；（II ）令n n a b 2log =，求数列}{n b 的前n 项和S n .17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1=1，AC =2.（I ）求直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的大小； （II ）求二面角A —B1C —B 的大小.18．（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率.19．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：16)1(22=++y x 上的一动点，点B （1，0），点M 是BN 中点，点P 在线段AN 上，且.0=⋅BN MP（I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）试判断以PB 为直径的圆与圆22y x +=4的位置关系，并说明理由.20．（本小题满分14分）已知函数].1,1[,)(3-∈-=x cx ax x f（I ）若a =4，c =3，求证：对任意]1,1[-∈x ，恒有1|)(|≤x f ； （II ）若对任意]1,1[-∈x ，恒有1|)(|≤x f ，求证：|a |≤4.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．),0[+∞ 10．2 11．5 12．4 13．23 14．2，3注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。
北京东城区2018-2019学年上学期高三数学文科期末试卷附答案解析
3
sin(
) 3
3. 2
所以
f
(x)
sin
2x
3
3 2
3.
所以对于任意的
x
3
,
6
，都有
f
x
3．
……………………………..13 分
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ） 0.10 2 0.05 2 0.30 ，
[14,16) ，[16,18) ，[18, 20] ，得到如图所示的频率分布直方图.
频率/组距 0.15 0.12 0.10 0.08 0.05
10 12 14 16 18 20 阅读时间
（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数； （Ⅱ）已知这 50 名学生中恰有 2 名女生的课外阅读时间在[18, 20] ，现从课外阅读时间在[18, 20] 的 样
（A） 5 5
（B） 5 5
（C） 2 5 5
x ≤ 2,
（4）若
x,
y
满足
y
≤
2x,
则 x2y的最小值为
x y ≥ 3,
（A） 0
（B） 4
（C） 5
（5）执行如图所示的程序框图，输入 n 5, m 3 ，那么输出的 p
（D） 2 5 5
（D）10
值为
（A） 360 （C） 36
所以平面 EAB 平面 A1B1C1 EH .
因为平面 ABC // 平面 A1B1C1 ， AB 平面 ABC ，
所以 AB // 平面 A1B1C1 . 又平面 A1B1C1 平面 EAB EH , 所以 EH // AB .
2018年高三最新 北京市东城区2018年高三年级数学(文史
北京市东城区2018年高三年级综合练习(一)高 三 数 学 (文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷l 至2页．第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式sin θ+sin φ=22φθ+cos2φθ- S 台侧=21(c ′+ c)lsin θ-sin φ=2cos2φθ+sin2φθ- 其中c ′,c 分别表示上,下底面周长,为母线cos θ+cos φ=2cos 2φθ+cos 2φθ- 台体的体积公式：cos θ-cos φ=-2sin 2φθ+sin 2φθ- V 台体=31(S ′+ s s'+S)h其中S ′,S 分别表示上、下底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)“lgx>lgy"是“x >y ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)若tg110°=a ，则ctg20°的值是(A)-a (B)a (C) a 1 (D)- a 1(3)已知复数z 1=1-i ，|z 2|=3，那么|z 1+z 2|的最大值是(A)3 -2 (B)3 (C)3 +2 (D)2 +3 (4)已知直线l 上平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒∥m； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β．其中正确的两个命题的序号是(A)①与② (B)③与④ (C)②与④ (D)①与③(5)已知函数f (x )=31-x ，设它的反函数为)y =f -1(x )，当y ≥0时，y =f -1(x )的图象是(6)已知{a n }是等差数列，a 1= -9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(7)直线l 与直线y=1，x –y-7=0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为(1，-1)，则直线l 的斜率为(A) 23 (B) 32 (C)- 32 (D)- 23(8)(A)90元 (B)80元 (C)70元 (D)60元第Ⅱ卷(非选择题共110分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．(9) 已知集合{x||x|≤2，x∈R}，N={x|x∈N}，那么M ∩N 等于 ．(10)一张厚度为0.1mm 的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次(假定这样的折叠是可以完成的)，这样折叠后纸的总厚度h 1与一座塔的高度h 2=100m 的大小关系为h 1 h 2．(11)有5部各不相同的电话参加展览，排成一行，其中有2部不同的电话来自同一个厂家，则此2部电话恰好相邻的排法总数是 (用数字作答)．(12) 双曲线y=x1的焦点坐标是 和 。
2019年1月北京市东城区2018-2019第一学期期末数学文科数学试题参考答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）（11）n a n =-,2n b =（答案不唯一） （12 （13）①② （14）4，2π 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a +==， 所以35a =. 所以31251 4.a a d -==-= 解得2d =.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分（Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n -=-+，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n n b b b n -+++=+++-++++L L L=[1(21)]2(14)214n n n +-?+-=22(41)3nn +-. ……………………..13分 （16）（共13分）解:（Ⅰ）()2sin cos f x x x x =11cos 2sin 222x x -=-1sin 2cos 2222x x =+-sin 232x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. ……………………………..5分 所以 ()f x 的最小正周期22T π==π. ……………………………..7分 （Ⅱ）因为36x ππ-≤≤，所以233x 2ππ-≤≤. 所以22333x πππ-≤+≤.所以sin 2sin()33x ππ⎛⎫+≥-= ⎪⎝⎭所以()sin 23f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.所以对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x ≥ ……………………………..13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30. 因为5000.30150⨯=，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. …………………………………………………………………………………………….5分（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10⨯=.因为500.105⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5. 这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ， 从中抽取2人的所有可能结果是： (,)A B，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ， (,)B D，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E . 其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的所求概率为710. ……………………………..11分 （Ⅲ）根据题意， 0.082110.122130.152150.10217创+创+创+创 0.0521914.68+创=（小时）.由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68 小时 …………….13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，所以1BB ⊥平面111A B C .因为11B C ⊂平面111A B C ， 所以111BB B C ⊥. 又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B =，所以11B C ⊥平面 11AA B B . 因为1A B ⊂平面11AA B B ， 所以111A B B C ⊥.因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形. 所以11A B AB ⊥. 因为1111B C AB B =，所以1A B ⊥平面11AB C . ……………………………..5分（Ⅱ） 由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以 111BB A B ⊥. 因为1111A B B C ⊥， 1111B C BB B =，所以 11A B ⊥平面11BB C C .又112A B AB ==，故1A 到平面11BB C C 的距离为2. 因为E 为11AC 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1. 所以11111211323B ECC E BCC V V --==⨯⨯⨯⨯=．……..9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点， 所以平面EAB平面111A B C EH =.因为平面ABC //平面111A B C ，AB ⊂平面ABC ，所以//AB 平面111A B C . 又平面111A B C 平面EAB EH =,所以//EH AB .又11//AB A B ，所以11//EH A B .因为E 为11AC 中点, 所以H 为11B C 中点 . 所以1111122B H BC ==．………………………..14分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分 (Ⅱ) '()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-.(1) 当0a £时，10xae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间； ②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -?，(1,)-+?；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-?，(ln ,)a -+?. …………………………………………………………………………………………13分 （20）（共14分）解：（I ）由已知有2221,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………………………5分 （II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=. 由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得22k -<<. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩123AB x =-==直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l的距离d =. 所以1F AB ∆的面积为1112233AB d ⋅=⨯=. …………………………………10分 （III ）当21x =-时，2y =此时直线l的斜率为2±II ）知不符合题意，所以21x ≠-. 设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+. 则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=. 设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y t x x y t x y x -+--+===+++++. 由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+， 解得2323423x x x --=+.因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++，将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k-=+代入，整理得310x x -=， 所以31x x =. 所以直线AE 与x 轴垂直. ……………………………………14分。
2018年北京东城区高三上学期期末数学试题(文)
东城区2018年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ ）A. a ∈-∞(,]1B. a ∈+∞[,)2C. a ∈-∞⋃+∞(,][,)12D. a ∈[,]122．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（ ）A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.3．三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ） A ．{x │x =2k π+3π,k ∈Z}. B ．{x │x =2k π+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2k π±3π,k ∈Z}. D ．{x │x =k π+(－1)K 3x ,k ∈Z}. 4．若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x +1)的图象关于直线x －y=0对称,则f(x)=（ ）A ．10x －1.B ．1－10x .C ．1－10—x .D ．10—x －1.5．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 （ ）A ．计算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.6已知x ，y 满足不等式组28,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则目标函数3z x y =+的最大值为 (A)332 (B)12 (C)8 (D)24 7已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）48给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④若函数()323x f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【全国市级联考】北京市东城区2018届高三第一学期期末文科数学试题(解析版)
东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，所以，故选C.2. 下列函数中为偶函数的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】既不是偶函数又不是奇函数，不满足条件；是偶函数，在区间内单调递增，不满足条件；是是奇函数，不满足条件；为偶函数且在上递减，满足条件，故选D.3. 直线与圆相交于两点，，则“”“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件,【答案】A【解析】直线与圆相交于两点，圆心到直线的距离，则，当时，，即充分性成立，若，则，即，解得或，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.4. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )A. 8B. 19C. 42D. 89【答案】C【解析】执行程序框图，输入，第一次循环第二次循环第三次循环第四次循环第五次循环，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知向量，，，若，则实数( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，，，所以，又因为，所以，解得,故选A.6. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，，故选D.7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图是（图中正方体的棱长为），三棱锥的体积为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。
2018年高三最新 北京市东城区2018年学年度高三第一学
北京市东城区2018－2018年学年度高三第一学期期末教学目标检测数学（文科）本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A B A U 则集合},2{},4,2,1{},5,4,3,2,1{===（B U）等于A ．{}5,4,3,2,1B ．{}4,1C ．{}4,2,1D ．}5,3{2．在等差数列{}n a 中，如果前5项的和为35,20a S 那么=等于A ．2-B ．2C ．－4D ．43．已知实数a 、b 、c ，则“ac=bc ”是“a=b ”的A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件C ．充要条件.D ．既非充分又非必要条件4．向量nmn R n m b a nb ma b a 则且其中共线与若),0,(2),3,2(),2,1(≠∈+--==等于 A ．21-B ．2C ．21 D ．－25．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题①若α⊥m n m ,//，则α⊥n②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同站法的种数有A ．18B ．24C ．36D ．487．两个正数a 、b 的等差中项是25，一个等比中项是6，且,b a >则双曲线12222=-by a x 的离子心率e 等于A ．23B ．215C ．13D ．313 8．对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如,2]08.1[,3][-=-=π定义函数],[)(x x x f -=则下列命题中正确的是A ．1)3(=fB ．方程21)(=x f 有且仅有一个解 C ．函数)(x f 是周期函数D ．函数)(x f 是增函数第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
高三试题—北京市2018-2019学年度第一学期高三期末东城文科数学答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B（6）A（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）（11）n a n =-,2n b =（答案不唯一）（12）152（13）①②（14）4，2π三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a +==，所以35a =.所以31251 4.a a d -==-=解得2d =.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=-……………………………..7分（Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n -=-+，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n n b b b n -+++=+++-++++L L L =[1(21)]2(14)214n n n +-´-+-=22(41)3n n +-.……………………..13分（16）（共13分）解:（Ⅰ）()2sin cos f x x x x=-11cos 2sin 222xx -=1sin 2cos 2222x x =+-3sin 232x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭.……………………………..5分所以()f x 的最小正周期22T π==π.……………………………..7分（Ⅱ）因为36x ππ-≤≤，所以233x 2ππ-≤≤.所以22333x πππ-≤+≤.所以3sin 2sin().332x ππ⎛⎫+≥-=- ⎪⎝⎭所以3()sin 232f x x π⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭.所以对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x ≥．……………………………..13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30.因为5000.30150⨯=，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.…………………………………………………………………………………………….5分（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10⨯=.因为500.105⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5.这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人的所有可能结果是：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E .其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的所求概率为710.……………………………..11分（Ⅲ）根据题意，0.082110.122130.152150.10217+++0.0521914.68+=（小时）.由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时…………….13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，所以1BB ⊥平面111A B C .因为11B C ⊂平面111A B C ，所以111BB B C ⊥.又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B = ，所以11B C ⊥平面11AA B B .因为1A B ⊂平面11AA B B ，所以111A B B C ⊥.因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形.所以11A B AB ⊥.因为1111B C AB B = ，所以1A B ⊥平面11AB C .……………………………..5分（Ⅱ）由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥.因为1111A B B C ⊥，1111B C BB B = ，所以11A B ⊥平面11BB C C .又112A B AB ==，故1A 到平面11BB C C 的距离为2.因为E 为11AC 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1.所以11111211323B ECC E BCC V V --==⨯⨯⨯⨯=．……..9分（Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点，所以平面EAB 平面111A B C EH =.因为平面ABC //平面111A B C ，AB ⊂平面ABC ，所以//AB 平面111A B C .又平面111A B C 平面EAB EH =,所以//EH AB .又11//AB A B ，所以11//EH A B .因为E 为11A C 中点,所以H 为11B C 中点.所以1111122B H BC ==．………………………..14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分(Ⅱ)'()(1)1(1)(1)xxf x ae x x x ae =+--=+-.(1)当0a £时，10xae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2)当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间；②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -¥-，(1,)-+¥；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-¥-，(ln ,)a -+¥.…………………………………………………………………………………………13分（20）（共14分）解：（I ）由已知有2222,21,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=.……………………………………5分（II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=.由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得2222k -<<.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩12.3AB x =-=直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l的距离d =.所以1F AB ∆的面积为1112233AB d ⋅=⨯=.…………………………………10分（III ）当21x =-时，222y =±.此时直线l的斜率为2±，由（II ）知不符合题意，所以21x ≠-.设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+.则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=.设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y tx x y t x y x -+--+===+++++.由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+，解得2323423x x x --=+.因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++，将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k-=+代入，整理得310x x -=，所以31x x =.所以直线AE 与x 轴垂直.……………………………………14分。
2018年北京东城区高三上学期期末数学试题(文)(1)
p% , 第二次提价 q% ；
方案乙：每次都提价 p q % ，若 p q 0 ，则提价多的方案是 . 2
（14）定义映射 f : A B ，其中 A {( m,n) m, n R} ， B R ，已知对所有的有序正
整数对 (m, n) 满足下述条件 :
① f (m,1) 1，②若 n m ， f (m,n) 0 ；③ f (m 1,n) n[ f ( m,n) f (m, n 1)]
边形．
（Ⅰ）求证： AC ⊥ BN ； （Ⅱ）当点 E 在 AB 的什么位置时，使得 AN // 平面 MEC ，并加以证明 .
（18）（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x） 1 x3 mx 2 3m2 x 1， m R . 3
（Ⅰ）当 m 1时，求曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程； （Ⅱ）若 f ( x) 在区间 ( 2,3) 上是减函数，求 m 的取值范围 .
东城区 2018 年第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）
第Ⅰ卷 （选 择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）设集合 U {1,2,3, 4,5} ， A {1,2,3} ， B {2,3, 4} ，则 U ( A B) 等于
已知实数组成的数组 (x1, x2 , x3, , xn ) 满足条件：
n
① xi
i1
0；
n
② xi 1 .
i1
(Ⅰ) 当 n 2 时，求 x1 ， x2 的值；
（Ⅱ）当 n 3 时，求证： 3x1 2x2 x3 1 ；
（Ⅲ）设 a1 a2 a3
东城区2018-2019第一学期期末文科试题
高三数学（文）（东城） 第 1 页（共 8 页） 东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|20}A x x =-<≤，}{2,1,0,1,2B =--}，则A B =（A ）{2,1}-- （B ）{2,0}- （C ）{1,0}-（D ）{2,1,0}-- （2）下列复数为纯虚数的是（A ）21i + （B ）2i i + （C ）11i - （D ）2(1i)-（3）在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，终边在射线2(0)y x x 上，则cos 的值是 （A）5 （B）5- （C）5 （D）5- （4）若,x y 满足223,,,x y x x y ≤≤⎧⎪⎨⎪+⎩≥则2x y +的最小值为（A ）0 （B ）4 （C ）5 （D ）10（5）执行如图所示的程序框图，输入5,3n m ==，那么输出的p值为（A ）360（B ）60 （C ）36（D ）12高三数学（文）（东城） 第 2 页（共 8 页）（6）设 ,,,a b c d 为实数，则“ ,a b c d >>”是“a c b d +>+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（A ）2（B（C）（D ）3（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M . 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为 （A ）(1,2) （B ）(5,6) （C ）(7,8) （D ）(15,16)高三数学（文）（东城） 第 3 页（共 8 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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东城区高三年级第一学期期末练习
数学（文科） 2018.1
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
A. B. C. D.
（2）下列函数中为偶函数的是
A. B.
C. D.
（3）直线与圆相交于两点，，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件,
（4）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为
A.8
B.19
C. 42
D.89
（5）已知向量a，b， c，
若(2a-b) c，则实数
A. B. C. D.
（6）已知，则
A. B. C. D.
（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
A. B. C. D.
（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。
丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为
A. 甲、丁、乙、丙
B. 丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲
D. 乙、甲、丁、丙
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数 .
（10）双曲线的渐近线方程为 .
（11）若满足，则的最大值是 .
（12）在中，，则，的面积为 .
（13）函数当时，的值域为；当有两个不同零点时，实数的取值范围为 .
（14）设命题已知，满足的所有点都
在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为 .
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列，是等比数列，且.
（Ⅰ）数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列前项和.
（16）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；
（Ⅱ）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.
（17）（本小题14分）
“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.
（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；
（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）
（18）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，是等边三角形，为的中点，四边形为直
角梯形，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.
（19）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.
求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分必要条件.
（20）（本小题13分）
已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求
面积的最小值.
东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）A （4）C
（5）A （6）D （7）B （8）A
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）
（11）（12），
（13），或
（14）
（点的坐标只需满足，
或，）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
因为，所以．
解得．
又因为，所以．
所以，，．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
因此
数列前项和为．
数列的前项和为．
所以，数列的前项和为，．………13分（16）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，
.
因为，
所以．
所以，当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值为. ………6分（Ⅱ）因为
，
所以．
因为的图象经过点，
所以，即．
所以．
所以．
因为，
所以．
所以的最小正周期．……13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于为事件，由图可知，这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于，所以.……5分
（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超为事件，这五年中任选两年，有
，，，，，，
，，，共种情况，其中至少有
一年农村和城镇居民实际收入增速均超过的为前种情况，所以
.………10分
（Ⅲ）从开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大 (13)
分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为，，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．………5分（Ⅱ）连接．
因为△为等边三角形，为中点，
所以．
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
所以．
在等边△中，，
，
所以．………9分
（Ⅲ）棱上存在点，使得∥平面，此时点为中点．
取中点，连接．
因为为中点，
所以∥．
因为平面，
所以∥平面．
因为为中点，
所以∥．
因为平面，
所以∥平面．
因为，
所以平面∥平面．
因为平面，
所以∥平面．………14分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为函数，
所以,
.
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为. ………4分（Ⅱ）函数定义域为，
由（Ⅰ）可知，.
令解得.
与在区间上的情况如下：
所以，的单调递增区间是；
的单调递减区间是. ………9分
（Ⅲ）当时，“”等价于“”.
令，，
，.
当时，，所以在区间单调递减.
当时，，所以在区间单调递增.
而，
.
所以在区间上的最大值为.
所以当时，对于任意，都有.………14分（20）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意，得
解得．
所以椭圆的方程为．………4分
（Ⅱ）设，，则．
①当时，点，点坐标为或，
．
②当时，直线的方程为．即，
直线的方程为．
点到直线的距离为
，．
所以，．
又，
所以
且，
当且仅当，即时等号成立，
综上，当时，取得最小值1. ………13分。