2017-2018学年2-31.1第二课时基本计数原理的应用学案
人教B版选修(2-3)1.1《基本计数原理》word教案
1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理课标要求：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.授课类型：新授课.课时安排：2课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识•排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理•这节课, 我们从具体例子出发来学习这两个原理•1分类加法计数原理（1 ）提出问题问题1.1 :用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2 ）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第i类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法.（3 ）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在A,B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件•解：这名同学可以选择A , B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法•又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9 (种).变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学•那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m-i种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有叶种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法”在第n类办法中有m n种不同的方法•那么完成这件事共有N 二 g m2 爲圧m n种不同的方法• 理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2分步乘法计数原理(1 )提出问题问题2.1 :用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A,, A2,,，B, , B2,, 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码:字母得到的号码&Z2AtA*巻A,A*&ya2我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6 X 9 = 54个不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗？(2 )发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第i类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m汉n种不同的方法.(3 )知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤•第I步选男生•第2步选女生.解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30 X 24 =720种不同的选法.探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N 二 g m2 ：：m n种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成•3 综合应用例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理•②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理•③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N =m, m2 m3=4+3+2=9；(2 )从书架的第1 , 2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N = mi m2 m3 =4X 3X 2=24(3)N =4 3 4 2 3 2 = 26。
1.1 基本计数原理(二) 学案(人教B版高中数学选修2-3)
1.1 基本计数原理(二) 学案（人教B版高中数学选修2-3）1.1基本计数原理二学习目标巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题知识点一分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理任务做一件事步骤完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，，做第n个步骤有mn种不同的方法结果完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法知识点二两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事每步中的一种方法不能独立完成这件事注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整类型一组数问题例1用0,1,2,3,4五个数字1可以排成多少个三位数字的电话号码2可以排成多少个三位数3可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解1三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125种排法2三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二.三位可以排0，因此，共有455100种排法3被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，位有3种排法，因此有23318种排法因而有121830种排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排位有2种方法由分步乘法计数原理知，共有233236个反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则1明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置末位或首位分类，分类中再按特殊位置或特殊元素优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解2要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练11用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个用数字作答考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案14解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24214个2我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”如2013，则“六合数”中首位是2的有________个考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案15解析设满足题意的“六合数”为“2abc”，则abc4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情况一个为4，两个为0，共3种；一个为3，一个为1，一个为0，共有3216种；两个为2，一个为0，共有3种；一个为2，两个为1，共有3种则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个类型二抽取分配问题例23个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法考点抽取分配问题题点抽取分配问题解方法一以小球为研究对象分三步来完成第一步放第一个小球有5种选择；第二步放第二个小球有4种选择；第三步放第三个小球有3种选择，根据分步乘法计数原理得总方法数N54360.方法二以盒子为研究对象盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类第一类空盒子标号为1,2选法有3216种；第二类空盒子标号为1,3选法有3216种；第三类空盒子标号为1,4选法有3216种；分类还有以下几种情况1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，共10类，每一类都有6种方法根据分类加法计数原理得总方法数N66660.反思与感悟解决抽取分配问题的方法1当涉及对象数目不大时，一般选用列举法.树状图法.框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；间接法去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练2高三年级的三个班到甲.乙.丙.丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有A16种B18种C37种D48种考点抽取分配问题题点抽取分配问题答案C解析方法一直接法以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有339种；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有33327种综上所述，不同的分配方案有192737种方法二间接法先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即44433337种方案类型三种植与涂色问题命题角度1平面图形的涂色问题例3用5种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，规定一个区域一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案有________种考点涂色问题题点涂色问题答案180解析由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法共有5433180种不同的涂色方案反思与感悟1涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色解决此类问题要特别关注图形的结构特征如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步2涂色问题往往涉及分类.分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色跟踪训练3将红.黄.蓝.白.黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法1234考点涂色问题题点涂色问题解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法1当第2个.第3个小方格涂不同颜色时，有4312种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5123180种不同的涂法2当第2个.第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480种不同的涂法由分类加法计数原理可得共有18080260种不同的涂法命题角度2几何体的涂色问题例4如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数考点涂色问题题点涂色问题解由题意，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360种染色方法当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有607420种反思与感悟几何体的涂色问题应转化为平面的涂色问题处理跟踪训练4如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色对这个几何体的表面涂色底面A1B1C1不涂色，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥PABC的三个侧面有32种情况，然后涂三棱柱的三个侧面有12种情况共有321212种不同的涂法.1有A，B两种类型的车床各一台，现有甲.乙.丙三名工人，其中甲.乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有A6种B5种C4种D3种考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案C解析不同的选派情况可分为3类若选甲.乙，有2种方法；若选甲.丙，有1种方法；若选乙.丙，有1种方法根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2114种2在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为A20B10C5D24考点抽取分配问题题点抽取分配问题答案B解析当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数；当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数；当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数；当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数由分类加法计数原理可得，假分数的个数为432110.3有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有A12种B24种C48种D120种考点抽取分配问题题点抽取分配问题答案B解析安排同学甲周三值日，其余4名同学的安排方案分四个步骤完成第一步，安排第一位同学，有4种方法；第二步，安排第二位同学，有3种方法；第三步，安排第三位同学，有2种方法；第四步，安排第四位同学，有1种方法根据分步乘法计数原理知，这5名同学值日顺序的安排方案共有432124种4如图，AC，有________种不同的走法考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案6解析AC分两类第一类，ABC分两步，AB有两种走法，BC有两种走法，ABC有224种走法第二类，AC有2种走法所以AC共有426种走法5如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.ABCD考点涂色问题题点涂色问题答案108解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4333108种涂法1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本.也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列.组合问题，尤其是较复杂的排列.组合问题的基础2应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏4若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.。
山西省阳高县第一中学高中数学选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)学案
阳高一中高二数学自主探究学案§1。
1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二)编者：张利平审核:刘慧文一、两个计数原理的综合应用在3 000到8 000之间有多少个无重复数字的奇数？练习1：从1～20共20个整数中任取两个相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?二、利用模型法解决计数问题3个人要坐在一排8个空座位上,若每个人左右都有空座位，不同坐法有多少种？三、利用转化法解决计数问题把20个不加区别的小球放入编号为1，2,3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于它的编号数,则不同的放法共有________种练习3；某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分;平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场,积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有( ）A．3种B．4种C．5种D．6种课堂小结:1．对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步"，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题．首先要明确是先“分类”后“分步"，还是先“分步"后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中,均要确定明确的分类标准和分步程序．2．一些非常规计数问题的解决方法（1)枚举法将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来．(2）间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出总数，再减去不可能的种数,即正难则反．(3）转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题．在实际应用中,应根据具体问题,灵活处理．（4）模型法模型法就是通过构造图形，利用形象直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法．模型法是解决计数问题的重要方法【拓展﹒延伸】A组1。
一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读,不同的选法有（）A、60种B、17种C、12种D、3种2.已知{}y∈--，则xy可表示不同的值的个数为（) 2,3,73,4,8x∈,{}A、8B、12C、10D、9B组3。
计数原理的应用教案
计数原理的应用教案一、引言计数原理是电子技术中非常重要的基础知识，它在很多领域中都有广泛的应用。
本教案将介绍计数原理的相关知识，并通过一些实例来展示其在实际应用中的作用。
二、计数原理的基本概念计数原理是指利用电子电路实现计数功能的原理。
它通过将输入信号进行计数，并根据一定的规则进行输出，实现对事件发生次数的统计。
在计算机、通信、自动控制等领域中，计数原理被广泛应用于各种数字系统中。
三、计数原理的应用计数原理在实际应用中有多种用途，下面将分别介绍几个常见的应用场景。
1. 时间测量计数器可以用来测量时间，特别是在计时器、时钟等设备中。
通过将一个定时信号输入计数器，在一定时间间隔内对输入信号进行计数，可以得到经过的时间。
例如，把计数器与振荡器相连接，每当计数器计数到特定值时，就表示经过了一定的时间，可以实现秒表功能。
2. 频率测量计数器除了在时间测量中有应用外，还可以用于测量信号的频率。
当一个周期性信号输入计数器时，计数器每计数一次就表示这个信号经过了一个周期。
通过对计数器计数值与时间的比例，可以得到信号的频率。
3. 计数控制计数器可以用于计数控制，实现对某些操作的计数。
例如，某个生产线生产了一定数量的产品后，需要自动停止生产。
可以通过将计数器与传感器相结合，每当传感器检测到产品时，计数器加1。
当计数器计数值达到预设的值时，自动控制系统发出停止信号，实现自动停止生产。
4. 内存管理在计算机中，内存管理是一个重要的任务。
计数原理可以应用于内存管理中，实现对内存空间的分配和释放。
通过对内存区块进行编号，并利用计数原理进行管理，可以有效地控制内存的使用。
5. 数据传输在数据通信中，计数原理也有应用。
例如，在串行通信中，数据的传输需要经过一系列的比特。
计数器可以用来计数传输的比特数，并控制传输的开始和结束。
四、实例分析为了更好地理解计数原理的应用，下面举例说明其在不同领域中的具体应用。
1. 交通控制交通信号灯中的计数器是交通控制中常见的应用之一。
基本计数原理经典教案及反思
基本计数原理经典教案及反思教案标题：基本计数原理经典教案及反思教案目标：1. 理解基本计数原理的概念和应用；2. 掌握基本计数原理的计数方法；3. 能够运用基本计数原理解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 基本计数原理的概念和应用；2. 排列和组合的计算方法；3. 运用基本计数原理解决实际问题。
教学步骤：第一步：导入（5分钟）介绍基本计数原理的概念和应用，引发学生对计数问题的兴趣，并与日常生活中的实际问题进行联系。
第二步：讲解基本计数原理（15分钟）1. 解释基本计数原理的定义和作用；2. 介绍排列和组合的概念和计算方法；3. 提供一些简单的例子进行讲解，帮助学生理解计数问题的解决方法。
第三步：练习和巩固（20分钟）1. 给学生一些练习题，包括排列和组合的计算；2. 引导学生运用基本计数原理解决实际问题，如生日问题、选课问题等；3. 分组讨论和展示解题过程和答案，加深学生对基本计数原理的理解。
第四步：拓展应用（10分钟）提供一些更复杂的计数问题，鼓励学生运用基本计数原理解决，并引导他们思考计数方法的灵活应用。
第五步：总结和反思（10分钟）总结基本计数原理的要点，并与学生一起回顾整个教学过程。
鼓励学生分享他们在解决计数问题中的思考和困惑，并给予指导和解答。
教学反思：1. 教学目标是否达到？学生是否理解基本计数原理的概念和应用？2. 教学步骤是否合理？是否能够引发学生的兴趣和积极参与？3. 练习和巩固环节是否充分？有没有足够的练习题目和实际应用问题？4. 教学方法是否多样化？是否能够满足不同学生的学习需求？5. 教学过程中是否及时发现和解决学生的困惑和问题？6. 教学总结和反思环节是否充分？是否能够帮助学生巩固所学知识和思考教学过程中的问题？通过反思和调整教学策略，不断优化教案，可以提高教学效果，使学生更好地理解和应用基本计数原理。
计数原理的简单应用教案
计数原理的简单应用教案一、引言在数字电路中，计数原理是非常重要的一个概念。
它是计算机和其他数字系统运算的基础，也是各种计数器、时钟和定时器的核心原理。
本教案旨在介绍计数原理的基本概念和简单应用。
二、计数原理的基本概念计数原理是指将数字信号进行累加或累减的过程，通过改变输入信号的频率或通过触发信号来完成。
在计数原理中，常用的计数方式有二进制计数、十进制计数、Gray码计数等。
三、计数原理的简单应用计数原理在数字系统中有广泛的应用，下面介绍几个简单的应用案例：1. 时钟/计时器计数原理广泛应用于时钟和计时器中，能够精确地计算时间。
通过计数器的累加功能，可以实现秒表、时钟、定时器等功能。
2. 人口统计计数原理可以应用于人口统计中。
通过对人口数量进行计数，可以及时了解到人口的变化情况，为政策制定和资源配置提供参考。
3. 数据压缩计数原理在数据压缩领域也有着重要的应用。
通过对数据的频率进行计数，可以对数据进行压缩和解压缩，提高数据传输和存储效率。
4. 计数器计数器是计数原理应用最为广泛的设备之一。
计数器可以在数字系统中实现各种功能，如频率计数、信号发生器、计数脉冲等。
5. 电梯控制系统计数原理还可以应用于电梯控制系统中。
通过计数电梯的运行次数，可以实现电梯的顺序控制和故障诊断等功能，提高电梯的运行效率和安全性。
四、实验教学本教案还提供了一些计数原理的实验教学案例，以帮助学生更好地理解和应用计数原理。
实验一：二进制计数器实验目的通过实例了解二进制计数器的工作原理和应用。
实验材料•数字集成电路（74LS161）•运行电路•示波器实验步骤1.连接电路：按照实验电路图连接电路。
2.上电：启动电路，观察 LED 灯的状态。
3.观察示波器：接入示波器，观察计数器的输出波形。
实验二：十进制计数器实验目的通过实例了解十进制计数器的工作原理和应用。
实验材料•数字集成电路（74LS192）•运行电路•示波器实验步骤1.连接电路：按照实验电路图连接电路。
郑：2-31.1分类计数原理与分步计数原理 导学案--001
课题 1.1分类计数原理与分步计数原理课时 1学习目标①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；重点难点分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)。
分类计数原理与分步计数原理的准确理解学习流程一、知识链接：1：从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？自主习：分类计数原理【学法指导】预习教材2页--4页完成以下内容问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？分析：给座位编号的方法可分____类方法?第一类方法用，有___ 种方法;第二类方法用，有___ 种方法;∴能编出不同的号码有__________ 种方法.问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：从甲地到乙地的方法可分____类方法?第一类方法坐，有___ 种方法;第二类方法坐，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法根据以上两问题共同特征，归纳新知1、分类计数原理--：完成一件事有_____类不同方案，第1类方案中有种不同的方法，第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N =种不同的方法，这一原理叫做分类加法计数原理.2、加法原理一般归纳：完成一件事情，有n类不同办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 3、理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是分类问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法要相互_______，各类中的各种方法也相对_______，用任何一类中的任何一种方法都可以_______完成这件事.要计算方法种数,只需将各类方法数________,因此分类计数原理又称加法原理独立考：分步计数原理【学法指导】预习教材4页--6页完成以下内容问题3：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121BBAA⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.问题4：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.分析：每一个路线都是由个部分组成，第一部分是，有____种走法，第二部分是，有种走法；要从A村经B村去C村，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.根据以上两问题共同特征，归纳新知1、分步计数原理－乘法原理：完成一件工作需要_____个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么，完成这件工作共有_____种不同方法。
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：1.1第二课时基本计数原理的应用含解析
第二课时基本计数原理的应用［对应学生用书P4］组数问题[例1］（1）从组成三位数，则三位数的个数为（）A．120 B．80C．90 D．100（2)用数字2，3组成四位数,且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)［思路点拨] (1)分三步，即分百位、十位、个位；(2）此题可利用间接法,即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解．［精解详析］(1)分三步:第一步,取1个数字排在百位上,不能取0,有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法．根据分步乘法计数原理,共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数．（2）若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222，3333"这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．［答案] （1）D （2)14[一点通］对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数．当分类较多时，可先求出总个数,再减去不符合条件的数的个数．1．由数字1，2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（)A．15 B．12C．10 D．5解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数,其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．答案:D2．由数字0，1,2，3,4,5组成没有重复数字的四位数中,且能被5整除的数共有________个．解析:能被5整除的数个位为5或0，若个位为0，千位有5种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有5×4×3＝60个；若个位为5，千位有4种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有4×4×3＝48个．故能被5整除的且没有重复数字的四位数共有60＋48＝108个．答案：108种植与涂色问题[例2] 如图所示，要给三、维、设、计四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法?［思路点拨］从“三"或“计"区域开始涂色，分四步完成．［精解详析] 三、维、设、计四个区域依次涂色，分四步完成．第一步，涂三区域,有3种选择；第二步,涂维区域,有2种选择；第三步,涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同,有1种选择；第四步,涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6种．[一点通］涂色（种植）问题的一般思路:①为便于分析问题,先给区域（种植品种)标上相应序号；②按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植品种）恰当选取情况分类；③选择适当的计数原理求解．3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（)A．24种B．18种C．12种D．6种解析:法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．答案:B操宿舍区4.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方法．解析：法一：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同,故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方法．法二：分两类:第一类,操场与教学区用同一种颜色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．答案:480 两个计数原理的综合应用[例3] （108名男同学和5名女同学中选部分人员参加． 场 餐 厅 教学区(1)若只需一人参加，有多少种不同选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法？(3）若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？[思路点拨］第(1）问属于分类问题，用分类加法计数原理;第(2）问属于分步问题，用分步乘法计数原理；第(3)问是综合类问题，需先分类再分步．［精解详析] (1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人,有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知,有3＋8＋5＝16种选法．（2）分三步：第一步选老师,有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学,有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．[一点通]应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏,各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．5．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不排第三、d不排第四的不同排法有（)A．9种B．18种C．23种D．24种解析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b,c，d中的一个．把第一个排b的不同排法逐一列出如下:b a d cb c d ab d a c共3种不同的排法．同理可得，第一个排c,d各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有9种．答案：A6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？解：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．1．使用两个原理解题的本质:错误!→错误!→错误!分步→错误!→错误!2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1．由0，1，2三个数字组成的三位数(允许数字重复）的个数为（）A．27 B．18C．12 D．6解析：分三步,分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数．答案：B2．三人踢毽子，互相传递,每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（）A．4种B．5种C．6种D．12种解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．答案:C3．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成）可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右）只想在数字3,5，6，8，9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( ）A．180种B．360种C．720种D．960种解析：分五步完成,第i步取第i个号码（i＝1，2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．答案：D4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：分两类：第1类,直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．答案：C5．如图，从A→C有________种不同的走法．解析：分为两类，不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．答案：66．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物,每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有________种．（用数字作答）解析：分两步：第一步，先选垄，如图，共有6种选法。
2017-2018学年高二数学选修2-3教学案：1.1 两个基本计数原理
第1课时分类计数原理与分步计数原理1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？提示：两类，即乘飞机、乘火车．问题2：这几类方法相同吗？提示：不同．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7＋5＝12(种)．2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球．问题4：不同的摸法有多少种？提示：3＋5＝8(种)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员．问题5：不同选法的种数为多少？提示：26＋24＝50.完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车．问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京．问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系．问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7×5＝35 种．2．若x∈{2，3，5}，y∈{6，7，8}．问题4：能组成的集合{x，y}的个数为多少？提示：3×3＝9(个)．3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员．问题5：不同的选法的种数为多少？提示：26×24＝624种．完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情．2．分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．[例1]某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？[思路点拨]先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和．[精解详析]从中选1人去献血的方法共有4类：第一类：从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；第二类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法．利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法．[一点通]利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数．1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有________种．解析：分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法．答案：42．所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为________．解析：假设另两边长分别为a，b(a，b∈Z)，不妨设a≤b≤11，要构成三角形，必有a ＋b≥12，因此b≥6.当b＝11时，a可取1，2，3，…11；当b＝10时，a可取2，3，…，10；当b＝6时，a只能是6.故所有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：363．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4＝9(种).[例2]要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？[思路点拨]该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行．[精解详析]先排第一天，可排5人中任一人，有5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法．由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1 280 (种)．[一点通]利用分步计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．4. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法．答案：2165．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．答案：126．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同方法．由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.[例3]有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？[思路点拨](1)从老师、男、女同学中选1人，用分类计数原理．(2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理．(3)分类计数原理与分步计数原理的综合．[精解详析](1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．[一点通]用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．7．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有________条．解析：解决这件事分两类完成：第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y＝0或x＝0，共2条；第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法．由分步计数原理，共可确定4×3＝12(条)直线．所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)．答案：148．从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法．解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5×8＝40种不同的选法．答案：409．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成13)共13种坐法．由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．1．利用分类计数原理解题的步骤(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；(2)计数：求出每一类中的方法数；(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果．2．利用分步计数原理解题的步骤(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．课下能力提升(一)一、填空题1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．答案：82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．答案：93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.答案：644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．答案：965．从集合A ＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的系数b ，c ，且b ≠c ，则可构成________个不同的二次函数．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b ，有4种方法；第二步选出c ，由于b ≠c ，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．答案：12二、解答题6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？解：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为32时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．7．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？解：按a，b，r取值顺序分步考虑：第一步：a从3，4，6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步计数原理知，表示的不同圆有N＝3×4×2＝24(个)．8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用[例1]从0，1，2，3，4，5这些数字中选出4个，能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？[思路点拨]能被5整除的数分为末位数字为0及末位数字为5两类．[精解详析]满足条件的四位数可分为两类：第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：确定首位有5种方法；第二步，确定百位有4种方法；第三步，确定十位有3种方法．所以第一类共有5×4×3＝60(个)．第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步，确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．第二类共有4×4×3＝48(个)．所以，满足条件的四位数共有60＋48＝108(个)．[一点通]对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．1.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．解析：由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1，2，3时，也共有6种，共12种．答案：122．由0，1，2，3，…，9十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为________．解析：复数a＋b i(a，b∈R)为虚数，则a有10种选法，b有9种选法，根据分步计数原理，共计90种选法．答案：903．从1，2，3，4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1，2，3，4 中选1 个数字，有4 种方法；第二步，排十位，从剩下的3 个数字中选1 个，有3 种方法；第三步，排百位，可以从剩下的2 个数字中选1 个，有2 种方法．根据分步计数原理，共有4×3×2＝24 个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位偶数.[例2]如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？[思路点拨]根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论．[精解详析]按地图A，B，C，D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B，C区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6.[一点通]给区域涂色(种植)问题的一般思路：为了便于分析问题，先给区域(种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类，最后利用两个原理计数．4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同种法的种数为________种．解析：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种．D 地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法的种数为N ＝4×3×(1×3＋2×2)＝84.答案：845．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析：因为每四个小方格(2×2型)中有L型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有L型图案4×12＝48(个)．答案：486. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种不同的涂色方法；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种不同的涂色方法．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.[例3]有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？[思路点拨](1)分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；(2)分三步，每一项竞赛都有一名同学参加．[精解详析](1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81种不同结果．(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得4×4×4＝43＝64种不同结果．[一点通]解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．7．保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则有________种不同结果．解析：第一个项目可挑选4位学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩余的3位学生中选一位，有3种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有2种不同的选法．故共有4×3×2＝24种不同结果．答案：248．(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步，每位同学取书一本，第1，2，3个同学分别有8，7，6种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．(2)完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81种．(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64种．两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法课下能力提升(二)一、填空题1．用1，2，3，4可组成________个三位数．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．答案：642．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．答案：67 6003．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分步计数原理可得，共有35＝243种不同的发送方法．答案：2435. 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案：480二、解答题6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．7．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900 个．(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．8.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。
(完整word)2017两种计数原理的综合应用学案.doc
第3课时两种计数原理的综合应用1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步",并能利用两个原理解决一些简单的实际问题。
2.通过实例总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理规律，能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
3。
过程与方法:引导学生形成“自主学习”“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的归纳概括能力.先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题,就要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们从具体例子出发来进一步学习、理解这两个原理.问题1：分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N= 种不同的方法。
问题2：分步乘法计数原理做一件事情,完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事有N= 种不同的方法.问题3：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题;②不同点：分类加法计数原理针对的是问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法，各类中的各种方法也,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当都完成后,才算完成这件事.问题4：完成一件事，分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择分类加法计数原理的各类方法是的,用任何一种方法可以完成这件事，而分步乘法计数原理的各个步骤是的,必须完成每个步骤,才能完成这件事。
根据具体问题的特征，正确认识分类和分步的特征，才能正确选择分类计数原理或乘法计数原理来解决问题。
高中数学《基本计数原理的综合应用》教学设计
高中数学《基本计数原理的综合应用》教学设计1.基本计数原理⑴加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种方法,……,在第n类办法中有n m种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m=+++种不同的方法.又称加法原理.⑵乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个子步骤,做第一个步骤有1m种不同的方法,做第二个步骤有2m种不同方法,……,做第n个步骤有n m种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m=⨯⨯⨯种不同的方法.又称乘法原理.⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.2.排列与组合⑴排列:一般地,从n个不同的元素中任取(m m n≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素排列数:从n个不同的元素中取出(m m n≤个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A mn表示.排列数公式:A(1(2(1m n n n n n m=---+,m n+∈N,,并且m n≤.全排列:一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.n的阶乘:正整数由1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用! n表示.规定:0!1=.⑵组合:一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m n≤个元素并成一组,叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合.组合数:从n个不同元素中,任意取出m(m n≤个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号C mn表示.组合数公式:(1(2(1!C!!(!mn n n n n m n m m n m---+==-,,m n+∈N,并且m n≤.知识内容基本计数原理的综合应用高中数学讲义组合数的两个性质:性质1:C C m n m n n-=;性质2:11C C C m m m n n n-+=+.(规定0C 1n=⑶排列组合综合问题解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.6.插板法:n个相同元素,分成(m m n≤组,每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排,从1n-个空中选1m-个空,各插一个隔板,有11m n C--.7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序.有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n堆(组,必须除以n!,如果有m堆(组元素个数相等,必须除以m!8.错位法:编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n=,3,4,5时的错位数各为1,2,9, 44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.2.具体的解题策略有:①对特殊元素进行优先安排;②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.基本计数原理的综合应用【例1】用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个数是_________.(用数字作答典例分析高中数学讲义【例2】若自然数n使得作竖式加法(1(2n n n++++均不产生进位现象.则称n为“可连数”.例如:32是“可连数”,因323334++不产生进位现象;23不是“可连数”,因232425++产生进位现象.那么,小于1000的“可连数”的个数为(A.27B.36D.48【例3】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面?【例4】如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种.(以数字作答【例5】如图,一环形花坛分成A B C D,,,四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,高中数学讲义且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为(A.96B.84C.60D.48【例6】某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(以数字作答【例7】分母是385的最简真分数一共有多少个?并求它们的和.【例8】某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多,要在如图所示的6个点A、B、C、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种(用数字作答高中数学讲义【例9】用0,1,2,3,4,5这6个数字,可以组成_______个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.【例10】某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为(B.4096C.5904D.8320【例11】同室4人各写1张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有(A.6种B.9种C.11种D.23种高中数学讲义【例12】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）504 210 A．B．C．3 36 D．120【例13】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【例14】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为（用数字作答）.6思维的发掘能力的飞跃高中数学讲义【例15】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（A．324 B．328 C．360 D．648）2，，9的9个小正方形（如图）【例16】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种．1 4 7 A．7 2 2 5 8 3 6 9 B．108 C．144 D．192【例17】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（）3 A．种B．4种C．5种D．6种思维的发掘能力的飞跃7。
基本计数原理的简单应用教案
基本计数原理的简单应用教案一、引言本教案将介绍基本计数原理的简单应用，帮助学生理解并应用计数原理。
二、目标通过本教案，学生将能够： 1. 理解基本计数原理的概念； 2. 掌握计数原理在实际问题中的应用方法； 3. 运用计数原理解决简单的实际问题。
三、教学内容1.基本计数原理的概念和基本方法；2.计数原理在实际问题中的应用；3.解决实际问题的步骤和方法。
四、教学步骤第一步：介绍基本计数原理1.讲解基本计数原理是数学中的一个重要概念；2.通过例子解释计数原理的基本原理和应用方法。
第二步：讲解计数原理在实际问题中的应用1.通过具体实例，介绍计数原理在排列组合、概率等问题中的应用；2.引导学生思考并讨论计数原理在生活中的应用场景。
第三步：解决实际问题的步骤和方法1.分析实际问题，确定问题的计数类型；2.使用适当的计数方法解决问题；3.检查和讨论解决方案的合理性。
五、教学示例示例一：组建乐队假设有5个吉他手和2个鼓手，从中选择3位乐手组成一个乐队，请问共有多少种不同的组合方式？解析：根据计数原理，首先确定问题属于排列组合问题。
由于只需选择3位乐手，我们可以使用组合数的计算方法。
根据组合数的公式，计算结果为 C(5,3) *C(2,0) = 10。
示例二：抽奖活动一桶中有8个球，其中2个是红球，6个是蓝球。
随机从桶中抽取3个球，请问有多少种可能性其中包含2个红球和1个蓝球？解析：根据计数原理，确定问题属于排列组合问题。
由于需要选择2个红球和1个蓝球，我们可以使用组合数的计算方法。
根据组合数的公式，计算结果为C(2,2) * C(6,1) = 6。
六、小结通过本教案的学习，我们了解了基本计数原理的概念和应用方法，并通过实例进行了演示和讨论。
学生现在应该能够理解并应用计数原理解决简单的实际问题了。
七、作业请学生自主选择一个实际问题，并使用基本计数原理来解决。
作业要求给出问题的详细描述、解决步骤和结果。
八、参考资料无。
基本计数原理的应用教案
基本计数原理的应用教案一、引言计数是我们日常生活中常见的活动。
在数学中，计数是一种基本的技能，也是其他数学概念和技巧的基础。
理解和掌握基本计数原理对学生的数学学习至关重要。
本教案将介绍基本计数原理的应用，帮助学生更好地理解和应用计数原理。
二、目标通过本教案的学习，学生将能够： - 理解基本计数原理的概念和原理 - 学会应用基本计数原理解决实际问题 - 掌握基本计数原理的相关计算技巧三、教学内容3.1 基本计数原理的概念基本计数原理是指，对于一个事件序列，如果事件A能够发生的方式有m种，事件B能够发生的方式有n种，那么事件A接着事件B发生的方式有m * n种。
基本计数原理也被称为乘法原理。
3.2 应用基本计数原理解决实际问题基本计数原理在解决实际问题时有广泛的应用。
例如，求解排列、组合、概率等问题都可以使用基本计数原理进行分析和计算。
在这一部分，我们将以几个具体的例子来说明基本计数原理的应用。
3.2.1 排列问题排列是指从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素。
通过基本计数原理，我们可以得到排列的计算公式：P(n, k) = n! / (n - k)!，其中n表示元素的个数，k表示选取的元素个数。
例如，有5个不同的字母，要求从中选择3个字母进行排列，求排列的个数。
根据基本计数原理，答案为：P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60。
3.2.2 组合问题组合是指从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素，并忽略元素的顺序。
通过基本计数原理，我们可以得到组合的计算公式：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，其中n表示元素的个数，k表示选取的元素个数。
例如，有5个不同的字母，要求从中选择3个字母进行组合，求组合的个数。
根据基本计数原理，答案为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10。
3.2.3 概率问题概率是指某个事件发生的可能性。
基本计数原理可以帮助我们计算实际问题中的概率。
第3章 3.1 3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第二册讲义
第2课时基本计数原理的应用学习目标核心素养1．熟练应用两个计数原理．(重点)2．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题．(难点)1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养．2．通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养.组数问题6(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)比2 000大的四位偶数？[思路点拨](1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解．[解](1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个)．(3)法一：按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二：按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[跟进训练]1．四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“1”、“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6B．9C．12 D．24B[法一：(列举法)根据0的位置分类：第一类：0在个位有：2110,1210,1120，共3个．第二类：0在十位有：2101,1201,1102，共3个．第三类：0在百位有：2011,1021,1012，共3个．故共有3＋3＋3＝9个不同的四位数，故选B.法二：(树形图法)如图，可知这样的数共有9个，故选B.]其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________种．[思路点拨](1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．(1)C(2)9[(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．]求解抽取(分配)问题的方法1．当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[跟进训练]2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？[解]法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．涂色(种植)问题1．用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？[提示]涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．2．在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？[提示]恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．3．在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？[提示]若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D 区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．【例3】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[思路点拨]注意小方格中第2个和第3个所涂颜色可能相同，也可能不同，故应分两类：所涂颜色相同和不同，分别求解．[解]第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．(变条件)本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？[解]依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种)．第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.解决较为复杂的计数问题综合应用1．合理分类，准确分步：(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．(2)分类时要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．2．特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A．6种B．7种C．8种D．9种D[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．]2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为()A．30B．20C．10 D．6D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6种取法．]3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.108[A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法．]4．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．18[根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．] 5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？[解]法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．。
教学设计2:1.1第2课时 基本计数原理
基本计数原理第二课时教学目标1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.教学重点：两个基本原理的进一步理解和体会教学难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程一、课前准备复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N+=mn种不同的方法.分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N⨯=mn种不同的方法.区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.⑴选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵每组选1名组长，有多少种不同的选法？(1)7+8+9=24;(2)7×8×9=504二、新课导学※ 学习探究探究任务一：两个原理的应用问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z , 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？【解析】由分类加法计数原理可知，首字符共有7+6=13种选法，由分步乘法计数原理可知共有13×9×9=1053个不同的名称.新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.试试：积()()()4321321321c c c c b b b a a a +++++++展开后共有多少项？反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.※ 典型例题例1 核糖核酸（RNA ）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A ,C ,G ,U 表示.在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA 分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？【解析】100个碱基组成的长链共有 100个位置，如图1 . 1一2所示．从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有1001004444⋅⋅⋅=（个）变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问： ⑴ 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．【解析】(1）用图1.1一3 来表示一个字节．图 1 . 1 一 3一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 28 =256 个不同的字符；( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符．前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256×256 = 65536汉字个数 6 763．所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示．小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.例2计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？（课本P8）【解析】由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块2 或子模块3 中的子路径共有18 + 45 + 28 = 91 （条）;子模块4 或子模块5 中的子路径共有38 + 43 = 81 （条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有91×81 = 7 371（条）.变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？【解析】将汽车牌照分为2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4 位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） .同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个）辆汽车上牌照．※动手试试练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？练2.由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）三、总结提升※学习小结1. 正确选择是分类还是分步的方法2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.※知识拓展乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.四、当堂检测（时量：5分钟满分：10分）1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有种不同的选法.2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有个.3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成个不同的分数，可以构成个不同的真分数.4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 .五、课后作业1. 设x,y *∈N ，4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点()M x,y 共有 个；2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y 轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.3. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .4. 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有 种.5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为 .六、教学反思七、板书设计（略）。
两个基本计数原理应用的教案
两个基本计数原理应用的教案一、计数原理简介计数原理是计算机科学中的基础概念，用于描述计算机系统中的数据计数和处理方法。
在计算机系统中，存在着两个基本的计数原理，即二进制计数和十进制计数。
•二进制计数：二进制计数是一种基于二进制数系统的计数方法。
二进制数系统只有两个数字0和1，通过不断累加或减少这两个数字，可以完成各种计算任务。
•十进制计数：十进制计数是我们平时最常用的计数方法。
十进制数系统由0-9这10个数字组成，通过不断累加或减少这10个数字，可以完成各种计算任务。
二、二进制计数原理应用的教案1. 了解二进制计数目标•了解二进制计数的基本原理•掌握二进制计数的转换方法教学内容1.介绍二进制计数的基本原理和特点。
2.演示如何将十进制数转换为二进制数。
3.演示如何将二进制数转换为十进制数。
教学步骤1.在黑板上绘制二进制计数的示意图，引导学生了解二进制计数的基本原理和特点。
2.指导学生通过举例子将十进制数转换为二进制数，解释转换的步骤和方法。
3.让学生自己尝试将几个十进制数转换为二进制数，并互相核对答案。
4.指导学生通过举例子将二进制数转换为十进制数，解释转换的步骤和方法。
5.让学生自己尝试将几个二进制数转换为十进制数，并互相核对答案。
6.对学生的表现进行点评和总结。
目标•掌握如何应用二进制计数解决实际问题教学内容1.演示如何使用二进制计数解决计算机存储问题。
2.演示如何使用二进制计数解决计算机网络传输问题。
教学步骤1.通过举例子演示如何使用二进制计数解决计算机存储问题，如计算机内存的容量表示、文件大小的计算等。
2.通过举例子演示如何使用二进制计数解决计算机网络传输问题，如数据传输速度的计算、网络带宽的计算等。
3.引导学生思考其他应用二进制计数的实际问题，并指导他们自己进行解决。
4.对学生的表现进行点评和总结。
三、十进制计数原理应用的教案1. 了解十进制计数目标•了解十进制计数的基本原理•掌握十进制计数的转换方法教学内容1.介绍十进制计数的基本原理和特点。
学案2：3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用
3.1.1第2课时基本计数原理的应用类型1 组数问题【例1】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)比2 000大的四位偶数？规律方法1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[跟进训练]1．四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“1”、“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6B．9C．12D．24类型2 抽取(分配)问题【例2】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________种．规律方法求解抽取(分配)问题的方法1．当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[跟进训练]2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？类型3 涂色(种植)问题[探究问题]1．用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？2．在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？3．在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【例3】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.<课堂小结·提素养>必备素养解决较为复杂的计数问题综合应用1．合理分类，准确分步：(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．(2)分类时要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．2．特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．学以致用1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A．6种B．7种C．8种D．9种2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为()A．30B．20C．10D．63．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.4．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．参考答案<情景导学·探新知>类型1 组数问题【例1】解：(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个)．(3)法一：按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二：按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．[跟进训练]1．【答案】B【解析】法一：(列举法)根据0的位置分类：第一类：0在个位有：2110,1210,1120，共3个．第二类：0在十位有：2101,1201,1102，共3个．第三类：0在百位有：2011,1021,1012，共3个．故共有3＋3＋3＝9个不同的四位数，故选B.法二：(树形图法)如图，可知这样的数共有9个，故选B.]类型2 抽取(分配)问题【例2】【答案】(1)C(2)9【解析】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．[跟进训练]2．解：法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．类型3 涂色(种植)问题[探究问题]1．[提示]涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．2．[提示]恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．3．[提示]若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．【例3】解：第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．学以致用1．【答案】D【解析】可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．2．【答案】D【解析】从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6种取法．3．【答案】108【解析】A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法．4．【答案】18【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．5．解：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．。
基本计数原理教学设计
1.1基本计数原理教学设计教学目标：
1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决
一些简单的应用问题；.通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力.
2.提高比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生学
习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力.
重点：分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别.
难点：对较为复杂事件的分类和分步.
基本知识点
1.分类记数原理：
做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有町种不同的方法,在第二类办法中有加，种不同的方法，……，在第n类办法中有乙种不同的方法.那么完成这件事共有N =种不同的方法.
2.分步记数原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有吗种不同的方法，……，做第n步有明种不同的方法，那么完成这件事有N =种不同的方法.
例题配置例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有不同的语文书，下层放有2 本不同的英语书：
⑴从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
⑵从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少重不同的取法？
例2用0, 1, 2, 3, 4这五个数可以组成多少个无重复数字的:
（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数?
例3我们把一元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面。
现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正，反，反，反，正”。
问：一共可以得到多少种不同的这样的序列？。
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第二课时基本计数原理的应用
[对应学生用书P4]
[例1](1)从
为
() A．120B．80
C．90 D．100
(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
[思路点拨](1)分三步，即分百位、十位、个位；(2)此题可利用间接法，即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解．
[精解详析](1)分三步：第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数．
(2)若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．
[答案](1)D(2)14
[一点通]
对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数．当分类较多时，可先求出总个数，再减去不符合条件的数的个数．
1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为()
A．15 B．12
C．10 D．5
解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．答案：D
2．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中，且能被5整除的数共有________
个．
解析：能被5整除的数个位为5或0，若个位为0，千位有5种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有5×4×3＝60个；若个位为5，千位有4种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有4×4×3＝48个．故能被5整除的且没有重复数字的四位数共有60＋48＝108个．
答案：108
[例2]如图所示，要给三、维、设、计四个区域分别涂上3种不
同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同
的颜色，有多少种不同的涂色方法？
[思路点拨]从“三”或“计”区域开始涂色，分四步完成．
[精解详析]三、维、设、计四个区域依次涂色，分四步完成．
第一步，涂三区域，有3种选择；
第二步，涂维区域，有2种选择；
第三步，涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；
第四步，涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6种．
[一点通]
涂色(种植)问题的一般思路：①为便于分析问题，先给区域(种植品种)标上相应序号；
②按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植品种)恰当选取情况分类；③选择适当的计数原理求解．
3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()
A．24种B．18种
C．12种D．6种
解析：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．
答案：B
4.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各
色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方
法．
解析：法一：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方法．
法二：分两类：第一类，操场与教学区用同一种颜色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．
答案：480
加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？
[思路点拨]第(1)问属于分类问题，用分类加法计数原理；第(2)问属于分步问题，用分
步乘法计数原理；第(3)问是综合类问题，需先分类再分步．
[精解详析](1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．
第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．
[一点通]
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．
5．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不排第三、d不排第四的不同排法有()
A．9种B．18种
C．23种D．24种
解析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b，c，d中的一个．把第一个排b的不同排法逐一列出如下：
b a d c
b c d a
b d a c
共3种不同的排法．
同理可得，第一个排c，d各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有9种．答案：A
6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
解：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
1．使用两个原理解题的本质：
分类→将问题分成互相排
斥的几类，逐类解决
→加法计数原理
分步→把问题分化为几个互相
关联的步骤，逐步解决
→乘法计数原理
2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法：
列举法――――→种数较少
将各种情况一一列举 间接法――――→正面复杂
用总数减去不满足条件的种数。