不定积分的应用
不定积分的原理及应用
不定积分的原理及应用引言在微积分中,积分是导数的逆运算,而不定积分就是求解函数的原函数。
不定积分在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
本文将介绍不定积分的原理和应用。
不定积分的原理不定积分可以理解为在给定函数的情况下,求出其一个原函数。
不定积分可以通过反复应用求导的运算,来得到一个原函数。
不定积分的结果通常用C表示,C 代表常数。
通过不定积分,我们可以求解出函数的反函数,从而得到函数的面积、曲线长度等信息。
不定积分的运算规则在进行不定积分时,我们需要遵循一定的运算规则,以确保结果的正确性。
1.常数的积分规则:对于任意常数c,积分(c)等于c乘以x再加上常数C。
2.幂函数的积分规则:对于幂函数x n,当n不等于-1时,积分(x n)等于x的n+1次幂再除以n+1,再加上常数C。
当n等于-1时,积分(x^n)等于ln|x|再加上常数C。
3.指数函数和对数函数的积分规则:积分(e x)等于e x再加上常数C。
积分(1/x)等于ln|x|再加上常数C。
4.三角函数的积分规则:积分(sin(x))等于-cos(x)再加上常数C。
积分(cos(x))等于sin(x)再加上常数C。
5.反三角函数的积分规则:积分(1/√(1-x2))等于arcsin(x)再加上常数C。
积分(1/(1+x2))等于arctan(x)再加上常数C。
不定积分的应用不定积分在数学、物理、经济等领域的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用示例:1.几何应用:通过不定积分,我们可以计算函数的面积、体积等几何属性。
例如,利用不定积分可以计算曲线下的面积、旋转曲线所得的体积等。
2.物理应用:不定积分在物理学中有广泛的应用。
例如,利用不定积分可以求解出物体的位移、速度、加速度等。
在力学中,不定积分可以用来计算物体所受的力的功。
3.经济应用:经济学中的一些问题可以通过不定积分进行分析和求解。
例如,通过不定积分可以计算经济曲线的弹性、总收入和总成本之间的关系等。
高中数学知识点归纳不定积分的应用
高中数学知识点归纳不定积分的应用不定积分是高中数学中的一个重要知识点,它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在本文中,我们将对不定积分的应用进行归纳总结,帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、定积分与不定积分的关系不定积分是定积分的逆运算,也就是说,如果一个函数的原函数存在,那么该函数的不定积分就是原函数加上一个常数。
我们用符号∫f(x)dx表示函数f(x)的不定积分,其中dx表示自变量x的微元,∫表示积分运算。
二、求不定积分的方法1. 基本积分法:基本积分法是指通过查表或者记住一些基本函数的不定积分公式,利用常见函数的积分性质进行计算。
例如,对于多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数,我们可以直接利用基本积分法求得它们的不定积分。
2. 代入法:有时候,对于一些特殊的函数,我们可以通过代入一些合适的变量来简化计算。
例如,对于含有根号的函数,我们可以通过代入一些合适的变量进行化简,然后再进行不定积分运算。
3. 分部积分法:分部积分法是求解复合函数不定积分的一种方法。
主要思想是通过对一个函数的导数和另一个函数的不定积分的乘积进行分解,将原来的积分转化为两部分的积分,从而简化计算过程。
4. 换元法:换元法是将一个积分换成另一个积分的方法,通过引入一个新的变量进行代换,从而将原来的积分式转换为容易求解的形式。
换元法是解决一些复杂的积分问题的有效方法。
三、不定积分的应用不定积分在数学的各个领域中都有广泛的应用,下面我们将介绍不定积分的几个常见应用:1. 面积与弧长问题:通过使用不定积分,我们可以求解曲线与坐标轴所围成的面积和曲线的弧长。
这在几何学和物理学中都有重要的应用,在计算某个区域的面积或者求解物体的弧长时,可以通过不定积分进行计算。
2. 几何体的体积与质量问题:对于一些具有规则形状的几何体,我们可以通过不定积分求解它们的体积。
例如,圆柱体、圆锥体和球体等常见几何体的体积计算,可以通过不定积分进行求解。
不定积分的实际应用案例
不定积分的实际应用案例
案例名称:购物优惠券的价值估计
背景:
一家电商公司推出了一种购物优惠券,顾客可以在该电商平台使用优惠券抵扣购物金额。
公司希望通过数学模型来评估这种优惠券的实际价值,以便更好地制定促销策略。
问题:
该电商公司希望通过不定积分的方法来估计每张优惠券的平均价值,并与优惠券面额做对比。
公司认为,优惠券所带来的每张订单附加收入是该优惠券的价值。
他们决定使用不定积分来计算这个价值。
解决方案:
公司根据历史数据发现,顾客在使用优惠券后,平均下单金额是一个与购物金额成正比的函数。
假设这个函数为f(x),其中x表示不打折时的购物金额。
为了计算优惠券的价值,公司决定将不定积分应用于该函数。
他们计算了不定积分
\int f(x)dx,其中积分变量x从0到无穷大。
这个不定积分表示的是,将所有可能的购物金额与下单金额的函数值乘积相加,从0到无穷大的总和。
通过计算此不定积分,公司确定了每张优惠券的平均价值。
然后,他们将这个平均价值与优惠券的面额进行比较,以评估优惠券的实际效果。
结论:
通过不定积分的实际应用,该电商公司成功估计了每张优惠券的平均价值,并基于这个价值制定了更好的促销策略。
这个案例表明,不定积分作为数学工具,可以在实际应用中发挥重要作用,帮助企业做出决策。
§4.5 不定积分应用案例
因此
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
dR ( t ) 300 (18 0.3 t ) dt
即
dR ( t ) 5400 90 t , dt
两边同时求不定积分,得
R( t ) (5400 90 t )dt 5400 t 60 t C ,
3 2
而 R(0) 0, 得 C 0 ,于是
R( t ) 5400 t 60t ,
由于这口井将在36个月后干枯,于是将来的总收入是 (美元). R(36) 5400 36 60 36 207360
3 2
3 2
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
二、石油的消耗量的估计
(2)停车线的确定
停车线的确定需考虑两点: ①驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段的反应时间 t1 ,在此段时间 内,驾驶员尚未刹车. ②驾驶员刹车后,车还需继续向前行驶一段距离,此段距离称为 刹车距离.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
一般驾驶员的反应时间 t 1 可以根据经验或由统计数据确定.而刹 车距离可采用如下方法确定. 当驾驶员踩动刹车踏板时,便产生 一种摩擦力,它使汽车减速并最终停下. 设道路规定的速度为 v 0 , 汽车质量为 m , 刹车摩擦系数为 k ,
T ( t ) 是石油消耗总量, 所以 T ( t ) 就是石油消耗率 R( t ) ,即
T (t ) R(t ) .那么 T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
T ( t ) R( t )dt 161 e 0.07 t dt 161 e 0.07 t C 2300 e 0.07 t C , 0.07 由 T (0) 0 , 得 C 2300 ,
不定积分定义及其应用
例1 sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数 (, )
ln x 1
ln x 是
1
x
的一个原函数 (0, )
x
例如 在(,上) 是sin x 的c原os函x 数 而 sin x 1,ssiin x 21,sin x 3 也是它的原函数
即 sin x 加任意常数都是 cos x 的原函数.
2
解
1 x3
dx x
7
x 2dx
71
x2 71
C
2 5
5
x2
C.
2
例10 求(1) 1 dx, (2)2x exdx
解
x3 x
a xdx a x C ln a
(1)
1 dx x3 x
4
x 3dx
1
4 1
x3
C
1
3x 3
C
4 3
1
(2) 2x exdx 2x e x C ln 2 (2e)x dx (2e)x C ln(2e)
练习:求
2x ex dx
三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和,即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
性质1可以推广到有限多个函数的情形,即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx
f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx.
这族曲线称为f (x)的积分曲线族.
O
x
y F(x) C
y F(x)
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因 此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线 彼此平行(如图).f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的 切线斜率.
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应用
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应⽤不定积分、定积分与反常积分不定积分⼀、不定积分概念1.定义\begin{align} &原函数:设对于区间I上的任意⼀点x均有F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数\\ &不定积分:设函数f(x)于区间I上有原函数,则其余原函数的全体称为f(x)于区间I上的不定积分,记为\int{f(x)dx}\\ &线性:\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}2.计算\begin{align} &计算⽅法\begin{cases}&1.基本公式\\&2.线性\\&3.积分法\begin{cases}&1.换元法\\&2.分部积分法\\\end{cases}\\\end{cases}\\ \end{align}(1)第⼀换元法(凑微分)\begin{align} &设F'(u)=f(u),则\int{f(\Phi(x))\Phi'(x)}dx=\int{f(\Phi(x))d(\Phi(x))}=F(\Phi(x))+C\\ &注解:找到合适的凑微分\Phi'(x)dx=d(\Phi(x)) \end{align}常见凑微分:\begin{align} &1.\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)}}(a\neq0)\\ &eg1.\int{\sin (2x+3)}dx=\frac{1}{2}\int\sin (2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}\cos{(2x+3)}+C\\\ &2.\int{f(ax^n+b)x^{n-1}dx}=\frac{1}{na}\int{f(ax^n+b)d(ax^n+b)}\\ &eg2.\int{\cos(2x^4+3)x^3dx}=\frac{1}{4*2}\int{\cos(2x^4+3)d(2x^4+3)}=\frac{1}{8}\cos{(2x^4+3)}+C\\ &3.\int{f(a^x+c)a^xdx}=\frac{1}{\ln{a}}\int{f(a^x+c)}d(a^x+c)\\ &eg3.\int{\sin(2^x+3)2^xdx}=\frac{1}{\ln2}\int{\sin{(2^x+3)}d(2^x+3)}=\frac{1}{\ln 2}\cos{(2^x+3)}\\ &4.\int{f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}}dx=-\int{f(\frac{1} {x})}d(\frac{1}{x})\\ &eg4.\int{\ln(\frac{1}{x})}\frac{1}{x^2}dx=-\int\ln (\frac{1}{x})d({\frac{1}{x}})+C\\ &5.\int{f(\ln |x|})\frac{1}{x}d(x)=\int{f(\ln{|x|)}}{d(\ln|x|)}\\ &eg5.\int{\sin ({\ln{|x|}}})\frac{1} {x}dx=\int{\sin(\ln(|x|)d(\ln{|x|})}=\cos(\ln x)+C\\ &6.\int{f(\sqrt x)\frac{1}{\sqrt x}}dx=2\int{f(\sqrt x)}d(\sqrt x)\\ &7.\int f(\sin x)\cos xdx=-\int{(\sin x)}d(\sin x)\\ &8.\int{f(\cos x)\sin dx}=\int{f(\cos x)d(\cos x)}\\ &9.\int{f(\tan x)\sec^2 xdx}=\int{f(\tan x)d(\tan x)}\\ &10.\int{f(\cot x)\csc^2xdx}=-\int{f(\cot x)d{(\cot x)}}\\ &11.\int{f{(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}dx=\int{f(\arcsin x)d({\arcsin x})}\\ &12.\int{f(\arccos x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}})dx=\int{f(\arccos x)d(\arccos x)}\\ &13.\int{f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx}=\int{f(\arctan x)d(\arctan x)}\\ &14.\int{f(\sqrt{x^2+a})}\frac{x} {\sqrt{x^2+a}}dx=\int{f(\sqrt{x^2+a})}d(\sqrt{x^2+a})\\ &注解:(\sqrt{x^2\pm a})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}},(\sqrt{a^2-x^2})'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \end{align}(2)第⼆换元法\begin{align} &设F'(u)=f(\Phi(u))\Phi'(u),则\\ &\int{f(x)dx}\overset{x=\Phi(u)}{=}\int{f(\Phi(u))\Phi'(u)du}=F(u)+C=F(\Phi^{-1}(x))+C\\ &注解:找到合适的x=\Phi(u)\\ \end{align}1)三⾓换元\begin{align} &x=a\sin u,x=a\tan u,x=a \sec u\\ &\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\sin u}{=}a\cos u,u\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],x\in[-a,a]\\ &\sqrt{a^2+x^2}\overset{x=a\tan u}{=}a\sec u,u\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})},x\in{(-\infty,\infty)}\\ &\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a\sec u}{=}a\tan u,u\in(\frac{\pi}{2},\pi]\cup(0,\frac{\pi}{2}]\\ \end{align}2)倒变换\begin{align} &x=\frac{1}{u}常⽤于含\frac{1}{x}的函数\\ \end{align}3)指数(或对数)变换\begin{align} &a^x=u或x=\frac{\ln u}{\ln a}常⽤于含a^x的函数\\ \end{align}4)⽤于有理化的变换\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}⽤x=u^6\\ &\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}⽤u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}或x=-\frac{du^n-b}{cu^n-a}\\ \end{align}(3)分部积分法\begin{align} &\int{u(x)v'(x)dx}=\int{u(x)d(v(x))}=u(x)v(x)-\int{v(x)u'(x)dx}\\ &注解:找到合适的u(x),v(x)\\ \end{align}1)降幂法\begin{align} &\int{x^ne^{ax}dx},\int{x^n\sin axdx},\int{x^n\cos ax dx}\\ &取u(x)=x^n\\ \end{align}2)升幂法\begin{align} &\int{x^a\ln xdx},\int{x^a\arcsin xdx},\int{x^a\arccos x dx},\int{x^a\arctan x dx}\\ &取u(x)=\ln x\\ \end{align}3)循环法\begin{align} &\int{e^{ax}\sin ax dx},\int{e^{ax}\cos {ax} dx}\\ &取u(x)=e^{ax}或\sin{ax} \end{align}4)递推公式法\begin{align} &与n有关的结果I_n,建⽴递推关系I_n=f(I_{n-1})或f(I_{n-2})\\ \end{align}定积分⼀、定积分概念1.定义\begin{align} &定义:设函数f(x)在区间[a,b]上有定义且有界\\ &(1)分割:将[a,b]分成n个[x_{i-1},x_{i}]⼩区间\\ &(2)求和:[x_{i-1},x_{i}]上取⼀点\xi_{i},\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Deltax_i},\lambda=\max{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}}\\ &(3)取极限:若\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x}\exist,且极值不依赖区间[a,b]分发以及点\xi_{i}的取法,则称f(x)在区间[a,b]上可积,\\ &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{f(\xi)\Delta x_{i}} &\\ &注解:\\ &(1)\lambda \rightarrow0 \rightarrow \nleftarrow n\rightarrow \infty\\ & (2)定积分表⽰⼀个值,与积分区间[a,b]有关,与积分变化量x⽆关\\ &\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\\ &(3)如果积分\int_{0}^{1}{f(x)dx}\exist,将[0,1]n等分,此时\Delta{x_{i}}=\frac{1}{n},取\xi_{i}=\frac{i}{n},\\ &\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\\ \end{align}\begin{align} &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta_i=\begin{cases}&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+(i-1)\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},左侧\\&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+i\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},右侧\\\end{cases}\\ &中点:\Phi_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{2n}\\ \end{align}Processing math: 0%定理:(线性)\begin{align} &\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}注解:积分⽆⼩事\begin{align} &\int{e^{\pm x^2}dx,\int{\frac{\sin x}{x}}}积不出来\\ &F'(x)=f(x),x\in I,连续函数⼀定存在原函数,⽆穷多个\\ &[F(x)+C]'=f(x) \end{align}2.定积分存在的充分条件\begin{align} &若f(x)在[a,b]上连续,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上有上界,且只有有限个间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上只有有限个第⼀类间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ \end{align}3.定积分的⼏何意义\begin{align} &(1)f(x)\geqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S\\ \end{align}\begin{align} &(2)f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-S\\ \end{align}\begin{align} &(3)f(x)\geqslant{0}\cup f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S_1+S_3-S_2\\ \end{align}注解:\begin{align} &(1)当f(x)\geq0时,定积分的⼏何意义是,以区间[a,b]为底,y=f(x)为曲边的曲边梯形⾯积\\ &(2)定积分是⼀个常数,只与f和区间[a,b]有关,与积分变量⽤什么字母⽆关\\ &\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(t)dt}\\ &(3)\int_a^bdx=b-a\\ &(4)\int_{a}^{a}f(x)=0,\int_a^bf(x)dx=-\int_b^a{f(t)}dt \end{align}⼆、定积分的性质1.不等式性质\begin{align} &(1)保序性:若在区间[a,b]上f(x)\leqslant{g(x)},则\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{\int_a^{b}{g(x)dx}}\\ &推论:\\ &(1)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq0\\ & (2)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],且[c,d]\subset[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq\int_c^d{f(x)dx}\\ &(3)|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b{|f(x)|dx}\\ &-|f|\leq f\leq |f|\Rightarrow \int_a^b-|f|\leq \int_a^bf\leq \int_a^b|f|\Rightarrow |\int_a^bf|\leq\int_a^b|f|\\ &如:x^2\leq x^3,x\in[0,1],则\int_0^1{x^3dx}\leq\int_0^1{x^2dx}\\ \end{align}\begin{align} &(4)(估值不等式)若M及m分别是f(x)在[a,b]上的最⼤值和最⼩值,\\ &则m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}\\ \end{align}\begin{align} &证明:M(b-a)=S_{AFDC}=S_1+S_2+S_3\\ &m(b-a)=S_{EBDC}=S_3\\ &\int_a^{b}{f(x)dx}=S_{ADBC}=S_2+S_3\\ &S_3\leqslant{S_2+S_3\leqslant{S_1+S_2+S_3}}\\&\Leftrightarrow{m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}}\\ \end{align}\begin{align} &(3)|\int_a^{b}{f(x)dx}|\leqslant{\int_a^{b}{|f(x)|dx}}\\ \end{align}2.中值定理\begin{align} &(1)若f(x)在[a,b]上连续,则\int_a^{b}{f(x)dx}=f(\xi)(b-a),(a<\xi<b)\\ &称\frac{1}{b-a}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值}\\ &注解:F'(x)=f(x),F(b)-F(a)=\int_a^b{f(x)dx},f(\xi)(b-a)=F'(\xi)(b-a)\\ &(2)若f(x),g(x)在[a,b]上连续,g(x)不变号,则\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_a^b{g(x)dx}\\ \end{align}注解:\begin{align} &\int_0^1{\frac{x}{\sin x}}dx\\ &f(x)=\begin{cases}&\frac{x}{\sin x},x\in[0,1]\\&1,x=0\\\end{cases}\\ &结论:有限处点的函数不影响定积分\\ &f(x)={\begin{cases}&x+1,[1,2]\\&x, [0,1]\\\end{cases}}\\ &\int_0^2{f(x)dx}=\int_0^1{xdx}+\int_1^2{(x+1)dx}\\ \end{align}\begin{align} &证明:\frac{1}{2}\leq\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^n}}dx\leq\frac{\pi}{6}\\ &估值积分:x\in[0,\frac{1}{2}]\\ &\\ \end{align}例题:\begin{align} &1.求极限\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\\ &根据积分容易知道0\leq\frac{x^ne^x}{1+e^x}\leq x^n,x\in[0,1],n\in N^*\\ &⽤积分的保号性\\&0\leq\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\leq \int_0^1{x^n}dx=\frac{1}{n+1}\\ &⽤夹逼定理\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\\ &\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}=0\\ \end{align}\begin{align} &2.设I_1=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{\tan x}{x}dx,I_2=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{x}{\tan x}dx则\\ &(A)I_1>I_2>1(B)1>I_1>I_2(C)I_2>I_1>1(D)1>I_2>I_1\\ &解:⽤保序性a<b,f(x)\leq g(x),\int_a^b f(x)\leq \int_a^b g(x)\\ &\tan x>x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\ &\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &根据保序性\\ &\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}dx>\int_0^{\frac{\pi}{4}}1dx=\frac{\pi}{4}>\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &证:\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}与1的关系\\ &积分中值定理\\ &\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}=f(\xi)(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\tan \xi}{\xi}*\frac{\pi}{4},\xi\in{[0,\frac{\pi}{4}]}\\ &根据\frac{\tan x}{x}在x\in[0,\frac{\pi}{4}]上单调递增\\ &0<f(\xi)<\frac{4}{\pi},0<\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}<1\\ &选(B)\\ \end{align}三、积分上限函数\begin{align} &如果f(x)在区间[a,b]上连续,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且\int_a^b{f(t)dt})\\ &(\int_a^xf(t)dt)'=f(x),(\int_a^{x^2}f(t)dt)'=f(x^2)*2x\\ &如果f(x)在区间[a,b]上连续,\phi_1(x),\phi_2(x)为可导函数,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(t)dt})'\\ &=f[\phi_2(x)]*\phi_2'(x)-f[\phi_1(x)]*\phi_1'(x)=(\int_{\phi_1(x)}^0{f(t)dt}+\int_{\phi_2(x)}^0{f(t)dt})'\\ &设函数f(x)在[-l,l]上连续,则\\ &如果f(x)为奇函数,那么\int_0^xf(t)dt必为偶函数\\ &如果f(x)为偶函数,那么\int_0^xf(t)dt必为奇函数\\\end{align}\begin{align} &任取x\in[a,b),取\Delta x>0,使x+\Delta x\in[a,b)\\ &\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}[\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt]=\frac{1} {\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(x+\sigma\Delta x)\rightarrow f(x)(\Delta x\rightarrow 0^+)\\ \end{align}推论:\begin{align} &若f(x)、\phi'(x)、\psi(x)于[a,b]上连续,则\\ &(1)(\int_a^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)\\ &(2)(\int_b^{\psi(x)}f(t)dt)'=-f(\psi(x))\psi'(x)\\ &(3)(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\\ \end{align}例题\begin{align} &1.设函数f(x)在R上连续,且是奇函数,则其原函数均是偶函数.当f(x)是偶函数时?是周期函数?\\ &证:\\ &令F_0(x)\int_0^xf(t)dt,x\in R\\ &F_0(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt\overset{t=-u} {=}\int_0^xf(-u)d(u)=\int_0^xf(u)du=F_0(x)\Rightarrow F_0(x)为偶函数\\ \end{align}\begin{align} &求变现积分导数\\ &(1)F(x)=\int_x^{e^{-x}}f(t)dt\\ &(2)F(x)=\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt\\ &(4)设函数y=y(x)由参数⽅程\begin{cases}&x=1+2t^2\\&y=\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du\\\end{cases}(t>1),求\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=9}\\ &解:\\ &(1)F(x)'=(\int_x^{e^{-x}}f(t)dt)'=f(e^{-x})(-e^{-x})-f(x)\\ &(2)F(x)'=(\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt)'=(\int_0^{x^2}x^2f(t)dt-\int_0^{x^2}tf(t)dt)'\\ &=2x\int_0^{x^2}f(t)dt+x^2f(x^2)2x-x^2f(x^2)2x=2x\int_0^{x^2}f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt=-\frac{1}{2}\int_0^xf(x^2-t^2)d(x^2-t^2)\overset{u=x^2-t^2}{=}-\frac{1}{2}\int_0^xf(u)du\\ &F(x)'=\frac{1}{2}f(x^2)2x=xf(x^2)\\ &(4)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{e^{1+2\ln t}}{1+2\ln t}\frac{2}{t}}{4t^2}=\frac{e}{2(1+2\ln t)}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{e}{2}(-\frac{\frac{2}{t}}{(1+2\ln t)^2})\frac{1}{4t}\\ \end{align}\begin{align} &2.求变现积分的积分:\\ &(1)设f(x)=\int_0^x{\frac{\sin t}{\pi -t}dt},求\int_0^\pi{f(x)}dx\\ &解:\\ &\int_0^\pi{f(x)}dx=\int_0^{\pi}\int_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dt\space dx\\&=x\int_0^x\frac{\sin t}{\pi t}|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}x\frac{\sin x}{\pi -x}dx\\ &=\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{\pi t}+\int_0^{\pi}\frac{[(\pi-x)-\pi]\sin x}{\pi-x}dx=\int_0^{\pi}\sin xdx=2\\ &(2)\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(\int_0^x{e^{t^2}}dt)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(2\int_0^{x}e^{t^2}dt)e^{x^2}}{e^{2x^2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2\int_0^{x}e^{t^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x}=0\\ \end{align}\begin{align} &(3)设f(x)连续,\phi(x)=\int_0^1{f(tx)dt},且\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=A(常数),求\phi'(x)并讨论\phi'(x)在x=0处的连续性\\ &当x\neq0时\\ &令u=tx,t\in[0,1],u=tx\in[0,x],\phi(x)=\int_0^1f(tx)dt\overset{tx=u}{=}\int_0^x{f(u)d(\frac{u}{x})}=\frac{\int_0^xf(u)du}{x}\\ &\phi'(x)=\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}\\ &当x=0时,f(0)=0,\phi(0)=f(0)=0,\phi'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^xf(u)du}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}A\\&\lim_{x\rightarrow0}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}}=A-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}A=\phi'(0)\Leftrightarrow\phi'(x)在x=0处连续\\ \end{align}注解:\begin{align} &注意变限积分进⾏正逆运算时上下限的映射\\ &例如F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\overset{t=-u}{=}\int_{-a}^{x}f(-u)d(-u)\\ \end{align}四、定积分的计算1.⽜顿莱布尼茨公式\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)2.换元积分法\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta{f(\Phi(t))\Phi'(t)dt}3.分部积分法\int_a^budv=uv|_a^b-\int_a^bvdu4.奇偶性和周期性\begin{align} &直接使⽤奇偶性周期性定义证明\\ &(1)设f(x)为[-a,a]上的连续函数(a>0),则\\ &\int_{-a}{a}f(x)dx=\begin{cases}0,&f(x)奇函数\\2\int_0^af(x)dx,&f(x)偶函数\end{cases}\\ &证:\int_{-a}^0{f(x)dx}\overset{x=-t}{=}\int_0^a{f(-t)d(-t)}=-\int_{0}^{a}f(t)d(t)=-\int_0^a{f(x)dx}\\ \end{align}\begin{align} &(2)设f(x)是以T为周期的连续函数,则对\forall A,有\int_a^{a+T}f(x)=\int_0^T{f(x)dx}\\ &\int_a^{a+T}f(x)dx\overset{x=a+t}{=}\int_0^T{f(a+t)d(a+t)}=\int_0^{a+t}f(a+t)dt\\\end{align}\begin{align} &\Phi:x\in[a,b]\rightarrow y\in[c,d],令\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-c}{d-c},y=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a)\\ \end{align}\\5.奇偶函数积分后的奇偶性(奇偶函数求导后的奇偶性)1.奇偶函数求导后的奇偶性\begin{align} &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrowf'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为奇函数\\ \end{align}2.奇偶函数求积分后的奇偶性\begin{align} &设F(x)为f(x)的原函数\\ &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=-F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为奇函数\\ \end{align}3.奇偶函数复合后的奇偶性\begin{align} &\exist f(x),g(x),F(x)=f(g(x))\\ &设f(x)为奇函数\\ &(1)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x),F(x)为奇函数\\ &设f(x)为偶函数\\ &(1)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &注解:外偶全偶,外奇奇偶\\\end{align}例题:\begin{align} &1.设M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1+x^2}\cos^4xdx},N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin x^3+\cos^4x)dx},P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx,则\\ &(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N\\ &根据对称性判断\\ &M:f_M(x)为奇函数,F_M(x)为偶函数\\ &N:N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sinx^3+\cos^4x)dx}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos ^4xdx\geq 0,\Rightarrow N\geq 0\\ &P:P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4xdx\geq0,\Rightarrow P\leq0\\ &\Leftrightarrow P<M<N,\space\space选(D)\\\end{align}\begin{align} &2.设f(x)=\begin{cases}&kx,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&c,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases},求F(x)=\int_0^xf(t)dt,x\in[0,a]\\ &F(x)=\begin{cases}&\int_0^xktdt=\frac{1}{2}kt^2|_0^x=\frac{1}{2}kx^2,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&\int_0^{\frac{1}{2}a}ktdt+\int_{\frac{1}{2}a}^c cdt=\frac{1}{8}ka^2+c^2-\frac{1}{2}ac,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases}\\ \end{align} \begin{align} &3.证明:\int_0^{2\pi}f(|\cos x|)dx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(|\cos x|)dx\\ \end{align}6.已有公式\begin{align} &(1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2},&n为偶数\\\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{2}{3},&n为⼤于1的奇数\\\end{cases}}\\ &(2)\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx(f(x)为连续函数)\\ \end{align}7.与定积分有关的证明8.经典例题:例题1:\begin{align} &\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}\\ &法1:夹逼定理+基本不等式\\ &\frac{1}{1+x}<\ln(x+1)<x\\ &令x=\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}<\ln(\frac{1}{n}+1)=\ln(n+1)-\ln(n)<\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)<\frac{1}{n+1}\\ &得\frac{1}{n+n}<\ln(n+n)-\ln(n+n-1)<\frac{1}{n+n-1}\\ &得\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<ln(2n)-ln(n)=ln2\\ &法2:\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}中\\ &\frac{1}{n+1}中n为主体,1为变体\\ &\frac{变体}{主体}\rightarrow^{n \rightarrow{\infty}}\begin{cases}0,次(夹逼定理)\\A\neq 0,同(定积分)\end{cases}\\ &\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Deltax_i}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(b-a)}=\int_0^1\frac{1}{1+x}=\ln(1+x)|_{0}^{1}=\ln2\\ \end{align}例题2\begin{align} &设f(x)=\int_0^{\pi}{\frac{\sin x}{\pi-t}dt},计算\int_0^{\pi}f(x)dx.\\ &法1:分部积分+换元法\\ &原式=xf(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}dx}\\ &=\pi{\int_0^{\pi}{\frac{\sin{t}}{\pi-t}dt}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}}dx}\\ &=\int_0^{\pi}{\frac{(\pi-x)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法2:\\ &原式=\int_0^\pi{f(x)d(x-{\pi})}=(x-\pi)f(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{(x-\pi)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法3:⼆重积分转化为累次积分\\ &原式=\int_0^{\pi}{\int_0^{\pi}\frac{x\sin t}{\pi-t}dt}dx\\ \end{align}例题3\begin{align} &法1:构造辅助函数\\ &根据题意f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1\Rightarrow f(x)为偶函数,f最低点函数值为-1\\ &可以构造符合题意的辅助函数f(x)=2x^2-1\\ &法2:根据函数的性质直接判断 \end{align}例题4\begin{align} &因为\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=c(c\neq 0)\\ &所以\lim_{x\rightarrow 0}{ax-\sin x}=0并且\lim_{x \rightarrow 0}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}=0\\ &化简,使⽤洛必达法则上下求导\\ &\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{\frac{\ln{1+x^3}}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{x^2}}\\ &\Rightarrow a=1,c=\frac{1}{2},b=0\\ \end{align}反常积分⼀、⽆穷区间上的反常积分\begin{align} &(1)\int_a^{+\infty}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty}{\int_{a}^{t}f(x)dx}\\ &(2)\int_{-\infty}^{b}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty}{\int_{t}^{b}f(x)dx}\\ &(3)\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx和{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}都收敛,则{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}收敛\\ &且{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}=\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx+{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}\\ &如果其中⼀个发散,结果也发散\\ &常⽤结论:\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}\begin{cases}&p>1,收敛\\&p\leq1 ,发散\\\end{cases},(a>0)\\ \end{align}⼆、⽆界函数的反常积分\begin{align} &如果函数f(x)在点a的任⼀领域内都⽆界,那么点a为函数f(x)的瑕点(也称为⽆界点).⽆界函数的反常积分也成为瑕积分\\ &(1)设函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.如果极限\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\exist,\\ &则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常区间,记作\int_{a}^{b}f(x)dx,即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\\ &这时也称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,如果上述极限不存在,则反常积分\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &(2)设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为函数f(x)的瑕点,则可以类似定义函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}{\int_a^tf(x)dx}\\ &设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,点c为函数f(x)的瑕点,如果反常积分\int_a^c{f(x)dx}和\int_c^b{f(x)dx}都收敛\\ &则称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,且\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}\\ &如果⾄少⼀个发散,则称\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &常⽤结论:\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ \end{align}三、例题例题1\begin{align} &\int\frac{1}{\ln^{\alpha}x}d(\ln x)\rightarrow^{\ln x=u}\int{\frac{du}{u^{\alpha+1}}}\begin{cases}&{\alpha-1< 1}\\&{\alpha+1>1}\\\end{cases}\Rightarrow 0<\alpha<2\\\end{align}定积分的应⽤⼀、⼏何应⽤1.平⾯图形的⾯积\begin{align} &(1)若平⾯域D由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成,则平⾯域D的⾯积为\\ &S=\int_a^b{[f(x)-g(x)]dx}\\ &(2)若平⾯域D由曲线由\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)所围成,则其⾯积为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{\rho^2(\theta)d\theta} \end{align}2.旋转体的体积\begin{align} &若区域D由曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成,则\\ &(1)区域D绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_x=\pi\int_a^b{f^2(x)dx}\\ &(2)区域D绕y轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_y=2\pi\int_a^b{xf(x)dx}\\ &(3)区域D绕y=kx+b轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V=2\pi\int_D\int{r(x,y)d\sigma}\\ &例如:求y=x,y=x^2在第⼀象限的封闭图形绕转轴的体积\\ \end{align}\begin{align} &V_x=2\pi\int_D\int yd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}ydy\\ &V_y=2\pi\int_D\int xd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}xdy\\ &V_{x=1}=2\pi\int_D\int (1-x)d\sigma\\ &V_{y=2}=2\pi\int_D\int (2-y)d\sigma\\ \end{align}3.曲线弧长\begin{align} &(1)C:y=y(x),a\leq x\leq b,s=\int_a^b{\sqrt{1+y'^2}dx}\\ &(2)C:\begin{cases}&x=x(t)\\&y=y(t)\\\end{cases},\alpha \leq t\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{x'^2+y'^2}dx}\\ &(3)C:\rho=\rho(\theta),\alpha \leq \theta\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}dx}\\ \end{align}4.旋转体侧⾯积\begin{align} &曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成的区域绕x轴旋转所得到的旋转体的侧⾯积为\\ &S=2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx}\\ \end{align}⼆、物理应⽤1.压⼒2.变⼒做功3.引⼒(较少考)例题1\begin{align} &分析题意可知,该容器由x^2+y^2=1的圆和x^2+(y-1)^2=1的偏⼼圆组成\\ &根据图像的对称性可以避免不同表达式带来的困难\\ &对圆的⼩带⼦进⾏积分,带⼦长度为x,积分区间为-1到\frac{1}{2},\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{\pi x^2dy}\\ &由于图像的对称性,将积分结果乘⼆\\ &(1)V=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{x^2}dy=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{(1-y^2)dy}=\frac{9\pi} {4}\\ \end{align}\begin{align} &(2)W=F*S=G*S=mg*S=\rho VSg\\ &上部为W_1=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2y-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &下部为W_2=\int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &W=W_1+W_2\\ \end{align}例题2\begin{align} &F_p=P*A=\rho gh*A\\ &将图像分为上部和下部,上部为矩形区域和下部的抛物线围成的⾯积区域,对其进⾏依次求解\\ &P_1=2\rho gh\int_1^{h+1}{h+1-y}dy=\rho gh^2\\ &P_2=2\rho gh\int_0^1{(h+1-y)\sqrt{y}dy=4\rho g(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15})}\\ &\frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow h=2,h=-\frac{1}{3}(舍去) \end{align}。
不定积分与定积分的概念
不定积分与定积分的概念在微积分学中,不定积分和定积分是两个重要的概念。
它们分别代表了对函数的积分运算,但在运算方法、符号表示和应用场景上有所不同。
一、不定积分的概念不定积分,又称原函数或者积分函数,是对函数的反导数运算。
对于函数f(x),如果它的导数为F(x),即f'(x)=F(x),那么F(x)就是f(x)的不定积分。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx,其中f(x)为被积函数,dx表示对x的积分。
换句话说,不定积分就是求导运算的逆运算。
在这个过程中,我们可以得到一个函数的无数个原函数,因为对于任意常数C,F(x)+C也是f(x)的不定积分。
不定积分也可以理解为曲线与坐标轴围成的面积函数。
例如,函数f(x)=x^2,它的不定积分为F(x)=1/3x^3+C,其中C为常数。
通过不定积分,我们可以解决一些函数的原函数问题,同时也可以计算函数的面积、曲线长度、物理学中的质量、重心等问题。
不定积分在微积分学中占据重要地位,是很多进一步积分运算的基础。
二、定积分的概念定积分是对函数在一个闭区间上的积分运算。
与不定积分不同,定积分的结果是一个具体的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx,其中f(x)为被积函数,[a,b]表示积分的区间范围。
定积分可以理解为曲线下的面积,也可以看作是函数在一段区间上的平均值与区间长度的乘积。
通过将区间细分成无限小的小矩形,并将这些矩形的面积相加,我们可以得到定积分。
定积分在各个学科中有广泛的应用。
例如,在物理学中,我们可以使用定积分来计算物体的质量、压力、功率等。
在统计学中,定积分可以用来计算概率密度函数下的概率值。
在经济学中,定积分可以用来计算收益和成本之间的差异。
三、不定积分与定积分的关系在不定积分和定积分之间有着紧密的联系。
根据牛顿-莱布尼茨公式,不定积分和定积分是互逆运算。
具体地说,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么它就存在定积分∫[a,b]f(x)dx。
不定积分的基本方法与应用
不定积分的基本方法与应用不定积分是微积分中的重要概念,它是求函数的原函数的过程。
在本文中,我们将介绍不定积分的基本方法以及其在实际应用中的具体运用。
一、基本方法1. 代入法(反导法)代入法是最常用的不定积分求解方法之一。
当需要求解一个函数的不定积分时,我们可以通过将该函数的导函数代入到不定积分的表达式中,来求解原函数。
例如,对于函数 f(x) = x^2,我们可以求解其不定积分∫ x^2 dx = 1/3 x^3。
2. 分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
根据分部积分法,当需要求解一个函数积分的时候,我们可以将该函数分解为两个函数之积,并应用积分的线性性质进行求解。
例如,对于函数f(x) = x e^x,我们可以通过分部积分法求解其不定积分∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx。
3. 换元法换元法是通过变量代换来求解不定积分的方法。
当需要求解一个复杂函数的不定积分时,我们可以通过引入一个新的变量并进行代换,从而将原来的不定积分变为一个简单的形式。
例如,对于函数 f(x) =sin(x^2),我们可以通过换元法求解其不定积分∫ sin(x^2) dx = ∫ 2xcos(x^2) dx。
二、应用不定积分在物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用案例:1. 面积计算通过不定积分,我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积。
这在几何学和物理学领域中非常有用。
例如,通过计算曲线 y = x^2 和坐标轴之间的面积,我们可以求解二次函数的不定积分∫ x^2 dx,并得到面积为1/3。
2. 弹性力学不定积分在弹性力学中起着重要的作用。
通过应变-位移关系的不定积分,我们可以求解物体受力下的形变情况。
例如,通过对应变关系的不定积分,我们可以求解弹簧受力下的位移,从而帮助设计弹簧的使用和有效性。
3. 经济学在经济学中,不定积分被广泛用于边际利润和成本分析。
通过求解边际效益和边际成本的不定积分,我们可以得到投入和产出之间的最优关系,在经济决策中有着重要的应用。
不定积分的现实应用
不定积分的现实应用
不定积分在现实生活中的应用非常广泛,以下是一些例子:
计算曲线面积:不定积分可以用于计算曲线所包围的面积。
例如,如果需要计算曲线y = f(x)与x轴之间的面积,可以将曲线分成若干个小区间,然后对每个区间进行不定积分,最终将它们加起来就可以得到整个曲线所包围的面积。
求解定积分:通过不定积分可以得到函数的原函数,从而可以帮助我们更加轻松地求解定积分。
根据牛顿-莱布尼兹公式,只需要找出函数在积分区间两端点处的值,就可以求解定积分。
求函数的原函数:不定积分可以用于求函数的原函数,即反导数或不定积分。
通过在已知函数上进行逆运算,可以得到该函数的无穷多个原函数,这对于计算机科学、物理学等领域都具有重要意义。
解微分方程:微分方程是自然科学和工程学等领域中常见的一种数学模型。
通过求解微分方程,可以研究系统的性质和行为。
而通过不定积分,可以将微分方程转化为求解原函数的问题,从而为解决微分方程提供了一种有效的方法。
总的来说,不定积分在解决各种数学问题中都发挥着重要的作用,不仅在理论研究中有着广泛的应用,也在实际生活中有着广泛的应用。
不定积分的形式
不定积分的形式不定积分的形式及其应用在微积分学中,不定积分是求解函数积分的一种方法。
它在工程、物理、经济学等领域中拥有广泛的应用。
本文从不定积分的形式以及应用两个方面进行探讨,并按类别进行划分。
一、不定积分的形式(1)幂函数积分对于幂指函数,例如f(x) = xn,则其不定积分可以表示为:∫xn dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C其中C为任意常数。
举个例子,对于f(x) = x^2,则其不定积分为:∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C(2)三角函数积分对于三角函数,例如f(x) = sinx和f(x)=cosx,则其不定积分可以表示为:∫sinxdx = -cosx + C∫cosxdx = sinx + C其中C为任意常数。
(3)指数函数积分对于指数函数f(x) = e^x,则其不定积分可以表示为:∫e^xdx = e^x + C其中C为任意常数。
二、不定积分的应用(1)计算函数值对于一些特定函数,通过求解其不定积分,可以得到函数在某一点的值。
例如,对于f(x) = (1/x),我们在x=a处的函数值为:f(a) = ∫(1/x)dx(从1到a)= ln(a) - ln(1)= ln(a)(2)计算曲线下面积不定积分还可以用来计算曲线下面的面积。
假设我们有一条函数曲线y=f(x),且在区间[a,b]上是连续的,则该曲线下面的面积可以表示为:∫b[a]f(x)dx举个例子,对于y=x^2,在[a,b]上的曲线下面的面积可以表示为:∫b[a]x^2dx = (1/3)x^3(b) - (1/3)x^3(a)(3)求解微分方程不定积分可以用于求解微分方程的解。
例如,对于微分方程y'=3x^2,则其的通解可以表示为:y = ∫3x^2dx + C= x^3 + C其中C为任意常数。
综上所述,不定积分的形式和应用十分广泛。
无论是在求解特定函数的函数值,计算曲线下面积,还是在解微分方程时,不定积分都扮演着重要的角色。
不定积分和定积分的几何意义
不定积分和定积分的几何意义摘要:一、不定积分的几何意义1.不定积分的概念2.不定积分的几何意义与应用3.不定积分与定积分的联系与区别二、定积分的几何意义1.定积分的概念2.定积分的几何意义与应用3.定积分与不定积分的联系与区别三、实例分析与计算1.简单实例分析2.复杂实例分析3.实际问题求解正文:一、不定积分的几何意义1.不定积分的概念不定积分是一种数学运算,通常表示为∫f(x)dx,其中f(x)是关于x的函数,x的取值范围为(a,b)。
在不定积分中,我们关心的是函数f(x)在区间(a,b)上的“面积”。
2.不定积分的几何意义与应用不定积分在几何上的意义可以理解为曲线y=f(x)与x轴所围成的面积。
在实际应用中,不定积分广泛应用于物理、化学、经济学等领域,如求解速度、加速度、密度等问题。
3.不定积分与定积分的联系与区别不定积分与定积分有着密切的联系,它们都是对函数进行积分运算。
不同的是,不定积分关注的是曲线与x轴所围成的面积,而定积分关注的是曲线与坐标轴所围成的面积。
二、定积分的几何意义1.定积分的概念定积分是一种数学运算,通常表示为∫∫f(x,y)dydx,其中f(x,y)是关于x 和y的函数,x和y的取值范围为(a,b)和(c,d)。
在定积分中,我们关心的是函数f(x,y)在区域内的“体积”。
2.定积分的几何意义与应用定积分在几何上的意义可以理解为曲面z=f(x,y)与xy平面所围成的体积。
在实际应用中,定积分广泛应用于物理、力学、地理信息系统等领域,如求解流量、速度场、密度场等问题。
3.定积分与不定积分的联系与区别定积分与不定积分都是积分运算,它们之间存在着联系。
定积分是三维空间中的积分,通常关注的是曲面与坐标平面所围成的体积,而不定积分是二维空间中的积分,关注的是曲线与坐标轴所围成的面积。
三、实例分析与计算1.简单实例分析例如,求解函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分。
根据定积分的几何意义,我们可以将问题转化为求解曲线y=x^2与x轴所围成的面积。
不定积分的应用解析
不定积分的应用解析不定积分是微积分中的重要概念之一,它与定积分一起构成了积分的两种主要形式。
不定积分的应用十分广泛,可以用于求解函数的原函数、计算曲线下的面积以及解决一些实际问题等。
本文将对不定积分的应用进行详细解析,探讨其在数学和实际问题中的具体应用。
一、函数的原函数与不定积分在微积分中,不定积分是函数的反导数概念的数学表示。
给定函数f(x),如果存在一个函数F(x),使得F'(x)=f(x),那么F(x)就称为f(x)的一个原函数。
不定积分∫f(x)dx表示函数f(x)的原函数的全体。
通过不定积分,我们可以求解函数的原函数。
例如,对于函数f(x)=2x,可以通过积分将其求解为原函数F(x)=x^2+C,其中C为常数。
不定积分提供了求解原函数的方法,为我们进一步研究函数性质提供了基础。
二、曲线下的面积计算不定积分在计算曲线下的面积时起到了重要作用。
通过不定积分,我们可以将曲线下的面积等价转化为函数不定积分的计算。
例如,对于函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的曲线下面积的计算,可以通过不定积分得到。
我们可以将曲线下的面积表示为∫[0,1]x^2dx,进行计算后可以得到1/3。
不定积分的应用能够使我们更加高效地计算曲线下的面积,为数学问题的求解提供了便利。
三、实际问题中的应用不定积分的应用不仅限于数学问题,还可以在解决实际问题中发挥作用。
例如,在物理学中,不定积分可以用于计算物体的位移、速度和加速度等问题。
以匀加速运动为例,设物体的加速度为a,初始速度为v0,初始位移为s0,时间t。
则物体的位移s可以通过不定积分计算得到。
我们可以将加速度a看作是速度v的导数,速度v看作是位移s的导数,通过∫adt得到速度v,再通过∫vdt得到位移s。
这种通过不定积分解决物理问题的方法,使得我们能够更加深入地研究和理解物理学中的运动规律。
四、结语总之,不定积分的应用在数学和实际问题中起到了重要的作用。
它不仅帮助我们求解函数的原函数,计算曲线下的面积,还能够解决一些实际问题。
不定积分和定积分在经济生活中的应用
不定积分和定积分在经济生活中的应用
不定积分和定积分是微积分中的重要概念,它们在经济生活中有广泛的应用。
计算收益和成本:不定积分可以用于计算企业的收益和成本。
对于一个企业来说,经营过程中会有许多收入和支出,这些数据可以通过建立合适的数学模型进行计算。
不定积分可以帮助企业对收入和支出进行积分计算,以便更好地掌握经营状况。
评估投资价值:定积分可以用于评估不同投资方案的价值。
在投资决策中,需要综合考虑各种因素,如收益率、风险等。
通过建立合适的数学模型,可以用定积分计算不同投资方案的总收益或总成本,从而比较它们的优劣,作出合理的决策。
估算市场需求:定积分可以用于估算市场的需求量。
对于某种商品或服务,需求量通常随着价格的变化而变化。
通过建立合适的数学模型,可以用定积分计算不同价格下的市场需求量,以便制定合适的价格策略。
风险分析和管理:定积分可以用于分析和管理风险。
在金融领域中,不同的金融工具会涉及不同的风险,如市场风险、信用风险等。
通过建立合适的数学模型,可以用定积分计算不同风险下的概率和损失,从而更好地进行风险管理和控制。
综上所述,不定积分和定积分在经济生活中有广泛的应用,可以帮助企业和个人更好地理解和应对经济变化,制定合理的决策和策略,实现自身和社会的利益最大化。
不定积分的应用
不定积分的应用【引言】不定积分是微积分中的重要概念之一,它是求解函数的原函数,也是求解定积分的一种方法。
在实际应用中,不定积分有着广泛的应用,例如在物理学、经济学、工程学等领域中的模型建立与求解、曲线的长度与面积计算等。
本文将以物理学中的运动学问题和经济学中的边际分析为例,来探讨不定积分的应用。
【主体部分】一、不定积分在物理学中的应用a. 运动学问题中的位移、速度和加速度在物理学中,不定积分常常被用来求解运动学问题中的位移、速度和加速度。
以匀加速直线运动为例,设物体的位移函数为S(t),速度函数为v(t),加速度函数为a(t)。
通过对加速度函数进行不定积分,可以求得速度函数v(t),再对速度函数进行不定积分就可以求得位移函数S(t)。
这样,我们可以通过不定积分的方法求解物体在运动过程中的位移、速度和加速度。
b. 动能和功率动能是物体运动过程中的重要物理量,它定义为物体的质量m与速度的平方的乘积。
在一维运动中,假设物体的速度函数为v(t),将其平方再乘以常数1/2m,就得到了物体的动能函数K(t)。
通过对动能函数进行不定积分,可以求得物体在任意时刻的动能。
二、不定积分在经济学中的应用a. 边际收益和边际成本在经济学中,边际分析是一种非常重要的方法,它分析的是增加一单位产品所带来的额外收益或成本变化。
而不定积分则可以帮助我们计算边际值。
例如,在生产函数中,设产量函数为Q(x),其中x 为某种输入资源的使用量。
则边际收益函数MR(x)表示增加一单位输入资源所带来的额外盈利变化。
通过对MR(x)进行不定积分,可以求得总收益函数TR(x)。
同样地,边际成本函数MC(x)表示增加一单位输入资源所带来的额外成本变化,通过对MC(x)进行不定积分,可以求得总成本函数TC(x)。
b. 边际效用在消费者行为分析中,边际效用是指多消费一单位商品所带来的额外满足程度。
不定积分帮助我们计算边际效用。
例如,设消费者的效用函数为U(x),其中x为消费某种商品的数量。
例谈高职数学中不定积分的应用
例谈高职数学中不定积分的应用1. 不定积分在面积计算中的应用不定积分可以用来计算任意形状的图形的面积,例如,可以用不定积分来计算椭圆、曲线、圆等图形的面积。
此外,不定积分还可以用来计算平面图形中某一部分的面积,例如,可以用不定积分来计算椭圆内某一部分的面积,或者是椭圆外某一部分的面积。
另外,不定积分还可以用来计算曲面图形的表面积,例如,可以用不定积分来计算球体的表面积。
2. 不定积分在重力势能计算中的应用在重力势能计算中,不定积分可以用来计算物体在重力场中的势能。
这是因为重力势能可以表示为物体在重力场中的势能与物体质量的乘积,而不定积分可以用来求出物体质量的积分。
因此,可以使用不定积分来计算物体在重力场中的势能。
在求曲线长度中,不定积分可以用来计算曲线在某一区间上的长度。
具体来说,曲线的长度可以用不定积分的形式来表示,即:$$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$其中,L表示曲线在区间[a,b]上的长度,f'(x)表示曲线的导数。
因此,只需要将曲线的函数表达式和其导数表达式代入上式即可求出曲线在某一区间上的长度。
不定积分在求曲面积中的应用可以用来计算曲面上某一点到曲面上另一点之间的距离,从而计算出曲面的面积。
例如,当曲面是一个圆柱体时,可以使用不定积分来计算圆柱体的表面积。
此外,不定积分还可以用来计算曲线在某一点的切线斜率,从而计算出曲面的面积。
不定积分在求曲线速度中的应用:不定积分可以用来求曲线的速度,即求曲线上任意一点的速度。
例如,设曲线y=f(x),其中f(x)为一关于x的连续函数,则曲线上任意一点的速度可以用不定积分的方法求出,即V=∫f'(x)dx。
不定积分和不定积分的意义
不定积分和不定积分的意义摘要:一、不定积分的概念与意义二、不定积分的主要应用场景三、不定积分的计算方法与技巧四、实例分析五、总结与展望正文:一、不定积分的概念与意义不定积分是一种数学概念,指的是函数f(x)在区间[a, b]上的不定积分,用符号∫f(x)dx表示。
它表示的是函数f(x)在该区间上的面积、曲线长度、体积等几何量。
不定积分不仅具有实际意义,而且在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
二、不定积分的主要应用场景1.求解微分方程:不定积分可以用来求解某些微分方程,如分离变量微分方程、恰当微分方程等。
2.计算面积和体积:利用积分公式,可以求解曲线围成的面积和曲面围成的体积。
3.求解曲线长度:通过计算不定积分,可以求解曲线在给定区间上的长度。
4.计算质心、惯性矩等物理量:利用不定积分,可以求解物体在空间中的质心、惯性矩等物理量。
三、不定积分的计算方法与技巧1.基本积分公式:掌握常见的基本积分公式,如三角函数、指数函数、对数函数等的积分公式。
2.分部积分法:将两个可积函数的乘积变为另两个可积函数的乘积,从而简化积分计算。
3.替换法:将复杂函数变为简单函数,降低积分难度。
4.三角换元法:将含有三角函数的积分问题转化为不含三角函数的积分问题。
5.分段积分:将复杂函数分解为多个简单函数,分别积分后再求和。
四、实例分析以求解函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的不定积分为例:∫f(x)dx = ∫x^2dx = (1/3)x^3 + C,其中C为常数。
五、总结与展望不定积分在数学、物理等领域具有广泛的应用,掌握其概念、计算方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
希望通过本文的介绍,读者能够更好地理解和应用不定积分,为解决实际问题提供帮助。
x平方+a平方分之一的不定积分
标题:关于x平方+a平方分之一的不定积分的推导和应用在数学分析中,不定积分是一个非常重要的概念,它在解决函数的积分问题以及求解一些特定问题中扮演着至关重要的角色。
特别是在求解x平方+a平方分之一的不定积分时,我们需要对其进行一定的推导和分析,以便更好地理解其性质和应用。
本篇文章将对x平方+a平方分之一的不定积分进行深入探讨,旨在帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、不定积分的基本概念不定积分是微积分中的一个重要概念,它是求解函数的原函数的过程。
具体来说,对于函数f(x),如果F(x)是它的一个原函数,即F'(x)=f(x),则称F(x)是f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx=F(x)+C,其中C为任意常数。
不定积分的本质是寻找一个函数F(x),使得它的导数等于被积函数f(x),并且在求得的不定积分上加上一个任意常数C。
二、x平方+a平方分之一的不定积分的推导对于函数x平方+a平方分之一,我们试图求其不定积分。
我们尝试使用换元法,通过对x平方+a平方分之一中的x进行变换,来化简或者解决不定积分的问题。
考虑到a是一个常数,我们可以尝试将x用a*tanθ表示,即x=a*tanθ,其中θ为一个新的自变量。
此时,我们可以得到dx=a*sec²θdθ。
接下来,我们来计算x平方+a平方分之一的不定积分∫(x²+a²)⁻¹dx。
将x用a*tanθ表示,即x=a*tanθ,代入被积函数中,得到∫(a²tan²θ+a²)⁻¹a*sec²θdθ。
接下来,我们需要尝试通过对θ的变换,来化简被积函数。
此时,我们可以通过将tan²θ用sec²θ-1表示,来进一步化简。
经过一系列代换和化简,最终我们可以得到∫(x²+a²)⁻¹dx= 1/a arctan(x/a)+C,其中C为任意常数,arctan为反正切函数。
§4.5 不定积分应用案例
§4.5 不定积分应用案例
微积分 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
§4.5 不定积分应用案例
一、石油的消耗量的估计 近年来,世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长,增长指数 大约为0.07. 1970年初,消耗率大约为每年161亿桶. 设R( t ) 表示
0.07 t R ( t ) 161 e t 从1970年起第 年的石油消耗率,则 (亿桶).试用
T (t ) R(t ) .那么 T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
微积分 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
那么T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
T ( t ) R( t )dt 161 e 0.07 t dt 161 e 0.07 t C 2300 e 0.07 t C , 0.07
4.5 不定积分应用案例
三、人在月球上能跳多高
某人身高2米,在地面上可跳过与其身高相同的高度. 假设他以
同样的初速度在月球上跳,请问能跳多高?又为了能在月球上跳
过2米,他需要多大的初速度? 解: 在地面跳高,就是克服地球引力把身体“抛”到高 这里 处. 跳过了2米,是指把人体的重心约在身高的一米偏上一点处,故, 若把人体当作质点来看,则可视跳高为以初速 v0 把位于(身高 2 )
kg
2
2 kg
③黄灯时间的确定 黄灯时间应当保证已经过线的车辆顺利通过路口. 若十字路口的宽度为 D , 车辆平均车身长为 l ,则过线的车辆应通过
L D l . v0
的路程最长可达到 L D l . 因而,为了保证过线的车辆全部顺利通
过,黄灯持续时间至少为 T
微积分 第4章 不定积分
xcosnxdx的不定积分
xcosnxdx的不定积分在微积分中,不定积分(indefinite integral)是最重要的概念之一,它有广泛的应用。
它和定积分(definite integral)不同,它不仅能够求出两个点之间的函数值,还能够求出整个函数曲线的面积。
Xcosnxdx的不定积分,也就是cosnx的不定积分,是一种重要的应用。
cosnx的不定积分有很多种形式。
可以用积分技巧来求解,也可以使用不定积分的定理,如积分替换定理等。
解决cosnx的不定积分时,需要将cosnx表示为一阶或者多阶不定积分的形式。
当n=0时,cosnx=1,所以:∫cos0x dx = x + C当n=1时,cos1x=sinx,所以:∫cos1x dx = -sinx + C当n=2时,cos2x =cosx,所以:∫cos2x dx = sinx + C当n=3时,cos3x= cos2x*sinx-sinx2,所以:∫cos3x dx = -cos2x + C当n=4时,cosnx=cos3x*cosx-sin2x,所以:∫cos4x dx = sin2x + C当n=5时,cos5x=cos4x*sinx-sin3x,所以:∫cos5x dx = -cos4x + C以此类推,当n=6,7,8……时,cosnx均可以通过相应的积分技巧求出它们的不定积分,例如:当n=6时,cos6x=cos5x*cosx-sin4x∫cos6x dx = sin4x + C当n=7时,cos7x=cos6x*sinx-sin5x∫cos7x dx = -cos6x + C当n=8时,cos8x=cos7x*cosx-sin6x∫cos8x dx = sin6x + C因此,对于cosnx的不定积分,当n=2k时(k是正整数),积分结果为:∫cosnx dx = sin(n-1)x + C而当n=2k+1时(k是正整数),积分结果为:∫cosnx dx = -cos(n-1)x + Ccosnx的不定积分在实际应用中也有着重要的作用,例如可以用不定积分的技巧来解决几何问题中面积的计算,还可以用来解决一些时间和量的计算问题。
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换元积分法
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) f (u)du F (u) C F[(x)] C
例 例1 1
2 cos 2 xdx cos 2 x (2 x)dx cos 2 xd (2 x)
一、不定积分在几何中的应用
案例1 【曲线方程】 设曲线通过点(1,2)且曲线上任一点处的切线斜率等于这点 横坐标的两倍,求此曲线的方程。 ������ 解:设所求曲线方程为 y = f (x)������ 依题意f (x)是 2 x的一个原函数。
二、不定积分在物理中的应用
如果 t=0时开始结冰的厚度为0 即 y(0)=0代入上式得 C=0������
cos cos udu sin sin u C cos udu sin u C sin2 2 x C udu u C sin 2 x C sin x C
例 2 例
2
1 dx 1 1 (3 2x)dx 1 1 d (3 2x) 3 2x 2 3 2x 2 3 2x
三、不定积分在经济学中的应用
思考题 不定积分在我们的生活中有哪些实 际应用?������Fra bibliotek习题解答
第四节 不定积分的应用
课程回顾:基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
(2) x dx
1 1 x C 1
(9) csc2 xdx cot x C
1 dx arctan x C 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) 1 x 2 (10) (12) sec x tan xdx sec x C (13) csc x cot dx csc x C
x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C 2 x 2 x 2 x x 2 x e dx x de x e e dx
例2
例3
例2
例3
x 2e x 2 xe x dx x 2e x 2 xdex x 2e x 2 xe x 2 e x dx
1 (3) dx ln | x | C x (4) e x dx e x C
(5) a x dx
a C ln a
x
cosxdx xdx sin sin x x C C (6) (6) cos
(7) sin xdx cos x C
u
e e C C e e C C
u u
22 xx
分部积分法: uvdx udv uv vdu uv uvdx
例1
例1
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin xcos xC
2 xe x dx x 2e x 2 xdex x 2e x 2 xe x 2 e x dx
x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C
不定积分的应用
1.不定积分在几何上的应用 2.不定积分在物理上的应用
3.不定积分在经济学上的应用
4.小结 习题解答
1 1 1 1 dx ln | u | C ln | 3 2x | C 2 u 2 2
例3
例3
2 xe dx e ( x ) dx e d ( x ) euudu
2 2 x2 x 2 xe dx 2 2 x2 2 x e d ( x2 )
2 2 x2 2 x e ( x2 ) dx