拉格朗日方程的应用及举例08讲

拉格朗日方程的应用及举例

拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。

纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。

应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。

一、动能的计算

对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。

例1-1 已知质量为m，半径为r的均质圆盘D，

沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲

杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过

O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。

解：取广义坐标x和ϕ，x为圆盘与曲杆接触点到

曲杆A点的距离，ϕ为曲杆OAB的转角，ϕ = ω1t。

应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C的速度和相对于质心平动坐标- - 优质资料

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系的角速度。若以曲杆OAB 为动参考系，C 为动点，

2

1221e r ,,ωυωυυx x x x

C +=== 再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法，圆盘的角速度为

r

x

-

=1ωω 于是圆盘的动能为

2

12212241)(21⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-++=r x

mr x x m T ωω 若将动能表达式展开，得到

2

12221124

1212143ωωωmr x m x mr x m T ++-=

可以看出，圆盘的动能包含广义速度x

的二次项，广义速度x 的一次项和它的零次项。

二、广义力的计算

概括地说，广义力有三种计算方法： 1）根据广义力的定义，有 N j q z F q y F q x F Q i i iz i i iy j i iz N

i j ,,2,11

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=

∑

=

我们可以按照这个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。

2）我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之和等于诸广义力对于相应的广义坐标的虚位移元功之和，即

j

j

n

i i i

N

i q

Q δδ1

1

∑∑===

⋅r F

对于完整系统，广义坐标的变分δq 1，δq 2，…，δq n 是彼此独立的。若给出某一广义坐标的变分为δq j ，而令其它坐标变分均为零，即 δq j ≠0，δq 1 = δq 2 = … = δq j －1 = δq j ＋1= … =δq n = 0 则上式为

j j i i

N

i q Q δδ1

⋅=⋅∑=r F

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于是n j q Q j

i

i N

i j ,,2,1,

δδ1

=⋅=

∑=r

F

由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和

i i

N

i r F

δ1

⋅∑=的计算是我们熟悉的，则广义力Q j

可较易地计算出。依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，则可依次计算出与广义坐标对应的广义力。这种方法是我们经常应用的。

3）若作用于系统上的主动力有势，则通过势能函数即可求出广义力。设势能函数为V ，则可应用式 j

j q V

Q ∂∂-

= 进行广义力的计算。

例1-3 均质杆OA 和AB 在A 点铰链连接，并在O 点用铰链支承。杆重分别为P 1和P 2，F 1为作用于B 点的水平力，试求对应于ϕ和ψ的广义力。

解：系统具有两个自由度。依题意，取ϕ和ψ为广义坐标，对应于ϕ和ψ的广义力以Q ϕ和Q ψ表示。于是， ψ

ψϕϕψ

ϕψψϕϕψϕϕ

ϕϕ

δsin 2δcos 2δsin 2sin 2δsin δsin 2δcos cos 2δsin δcos b a x b a x b a y b a y a y a y B B D D C C +=+=--=+=-== 当ϕ获得变分δϕ，而ψ保持不变，即δψ = 0时， ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕsin 2sin cos 2δδδ)sin 2sin cos 2()

δδδ(δδ2111

211

1P a P a F C A Q a P a P a F z Z y Y x

X A i i i i i i

i

N

i --==

--=++=

⋅∑=∑=r F

当ψ获得变分δψ，而δϕ = 0时， ψψψ

ψψψψψsin cos 2δδδsin δcos 2δδ212

212b P b F A Q b P b F A -==

-=⋅∑=r

F