高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.pptx

分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
归纳升华
【答案】
20 11
(2)①由 a2n＋2an＝4Sn＋3，(*)
可知 a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.(**)
(**)－(*)，得 a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即 2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由 an>0，得 an＋1－an＝2.
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法． 4．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而 求得其和．
(2)裂项时常用的三种变形：
①nn1＋1＝1n－n＋1 1；
②2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
考点分类突破
考向 1 分组转化法求和 1．已知数列{an}的前 n 项是 3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，
3n＋2n－1，则其前 n 项和 Sn＝________.
【解析】 由题意知 an＝3n＋2n－1， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n＋2n－1 ＝3×(1＋2＋3＋…＋n)＋21＋22＋…＋2n－n ＝3×1＋n2×n＋211－－22n－n ＝3n22＋n＋2n＋1－2. 【答案】12(3n2＋n)＋2n＋1－2
【解析】 (1)由题意有 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上 各式相加，得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－122＋n＝n2＋2n－2.
又∵a1＝1，∴an＝n2＋2 n(n≥2)． ∵当 n＝1 时也满足此式，∴an＝n2＋2 n(n∈N*)．
∴a1n＝n2＋2 n＝21n－n＋1 1. ∴S10＝2×11－12＋12－13＋…＋110－111 ＝2×1－111＝2110.
又 a21＋2a1＝4a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3.
所以{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an＝2n＋1.
②由 an＝2n＋1 可知 bn＝ana1n＋1＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3 ＝32nn＋3.
2．(2015·福建高考)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an－2＋n，求 b1＋b2＋b3＋…＋b10 的值．
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由已知得aa1＋1＋d3＝d4＋，a1＋6d＝15， 解得da＝1＝13.， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
考点分类突破
考向 2 裂项相消法求和 (1)(2015·江苏高考)设数列an满足 a1＝1，且 an＋1－an＝n＋1(n∈N*)， 则数列a1n前 10 项的和为______． (2)(2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3. ①求{an}的通项公式； ②设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和．
第五章 数列 5.4 数列求和
考纲解读
1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式． 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识 解决相应的问题.
知识梳理
知识点 数列求和的常见方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式：
③
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成， 则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 6．并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－ 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.