最新第二十二章四边形复习课

延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.
求证：∠E=∠F
E
证明：
A
G
D
四边形ABCD 是平行四边形
AB∥= CD BE=DF
B
H
C
AE∥= CF
F
四边形AFCE是 平行四边形
∠E=∠F
注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。
例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，
解法2
FO AO CD = AD
FO
5
6= 8
15 FO= 4
15 FE= 2
A
F
D
O
B
E
C
例4.如图,E为菱形ABCD边BC上的一点，AB=AE，AE交BD于
F，∠DAE=2∠BAE
(1)求证：EB=FA (2)求∠ABC的度数.
D
A
(1)证明 ∵AD//BC, ∴∠1=∠BAE
∵AE=AB, ∴∠1=∠ABC ∴∠ABC=∠DAE=2∠BAE ∴∠BAE=∠DBE=∠ADB
平行 且四边相等
平行 且四边相等 正方形
对角相等 邻角互补
四个角 都是直角 对角相等 邻角互补
四个角 都是直角
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
四、有关定理：
四边形的内角和等于 360°，外角和等于 360°。 n边形的内角和等于（n - 2）180°，外角和等于 360° 。
其他重要定理：
(1)两条平行线之间的垂线段处处相等 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (3)三角形中位线平行且等于底边的一半;
典例精析
例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，
1
1
= AB·BE - CD·DE
2
2
= 1 ×2×2√3 -
1
×1×√3
2
2
3
= √3
2
注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法 是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。
例3：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。
D
解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF， 若A，C两点重合，它们必关于EF对
长 的 时 间 隧 道，袅
第二十二章四边形复习课
知识回顾
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
矩形
任意四边形
菱 形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
平行四边形 正
矩形 方 菱形 形
二、几种特殊四边形的性质：
项目
对边
角
四边形
对角线
对称性
平行 平行且相等 四边形
矩形 菱形
平行且相等
A
称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC，
设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm
B 则FD=AD – AF=8 - x
∵在Rt△CDF中，FC 2= FD2 + CD2
∴ x 2 = （8 - x）2 + 62
解得x=
25 4
F
D
O
EH
C
∴AF=FC= 25 ,FD=8 – x= 7
4
4
作FH⊥Leabharlann BaiduC于H
∠A=60°， ∠B= ∠D=90 °，求四边形ABCD的面积。
解： 延长AD，BC交于点E，
A
∵在Rt△ABE中，∠A=60°，
2
D
∴∠E=30° 又∵AB=2
∴BE=√3AB=2 √3
B
∵在Rt△CDE中，同理可得 DE=√3CD= √3
1 C
E
∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
在Rt△FEH中， EF2 = FH2 + EH2
∴EF2 =62 + （ 25 4
答：折痕的长为7.5cm
7 ）2 4
∴EF=±7.5(负根舍去）
注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重 合两点的对称轴，会形成轴对称图形。
②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方 程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。
F
1
B
EC
∴△ABE≌△DAF
∴BE=AF
(2)解： 设∠BAE为x，则∠ABE=∠AEB=2x
∴x+2x+2x=180° ∴x=36° ∴∠ABC=72°
例5.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋 转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如 图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察 猜想，然后再证明你的猜想.
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等
2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
矩形 菱形 正方形
1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形