2020届高中数学一轮复习人教A版平面向量PPT课件(75张)

3.向量的线性运算
定义
加法
求两个向量和的 运算
减法 a+(-b)=a-b
数乘 实数λ 与向量a的积是一个_向__量__, 记作λ a
法则 (或几何
意义)
(1)模:|λ a|=|λ ||a| (2)方向:当λ >0时,λ a与a方向 _相__同__;当λ <0时,λ a与a方向 _相__反__;当λ =0时,λ a=0
【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选 项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在 同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不 相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误; 因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.
2.给出下列命题:
①零向量是唯一没有方向的向量;
个三等分点,那么 EF 等于 ( )
A. 1 AB 1 AD 23
C.1 AB 1 DA 32
B. 1 AB 1 AD 42
D. 1 AB 2 AD 23
【解析】选D.根据向量加法、减法的三角形法则可知
EF AF AE (AB BF) (AD DE)
(AB 1 AD) (AD 1 AB)
uuur
uuur
AD (1 )AC

uuur AD


uuur AO


uuur AD


uuur AC,
2
2
2
4
于是


2
,
得


2 3
,
1



4
,


4 3
,
所以
uur AF

2
uuur AD

1
uuur AC

2
uuur uuur OD OA
【知识梳理】
1.向量的有关概念
定义 既有_大__小__又有_方__向__的量
表示 方法
模
(1)用字母表示a,b,c
(2)用有向线段表示
,记作
uur AB
向量的大小,向量
uur AB
的模表示为_| _Auu_Br_|_
2.必记概念 (1)零向量:长度为_0_的向量,方向任意. (2)单位向量:长度为_1_的向量. (3)相等向量:方向_相__同__,长度_相__等__的向量. (4)相反向量:方向_相__反__,长度_相__等__的向量. (5)共线(平行)向量:方向_相__同__或方向_相__反__的非零向量.
题组二:走进教材
1.(必修4P80 例5改编)设非零向量a,b满足|a+b|=
|a-b|,则 ( )
A.a⊥b
B.|a|=|b|
C.a∥b
D.|a|>|b|
【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0, 所以a⊥b.
2.(必修4P87 A组T6改编)已知平行四边形ABCD的对角 线AC和BD相交于点O,且 OA =a,OB =b,则DC =______, BC =________(用a,b表示).
考点二 平面向量的线性运算
【典例】(1)(2018·晋城模拟)在△ABC中, AD＝2DC , BA =a,BD =b,BC =c,则下列等式成立的是
世纪金榜导学号( )
A.c=2b-a C.c= 3 a- 1 b
22
B.c=2a-b D.c= 3 b- 1 a
22
【解析】选D.依题意得 BD－BA =2( BC－BD ),

1
uuur AC
3
3
3
3

2

1
uuur BD

2

1
uuur AC

1
uuur AC

1
uuur BD

2
uuur AC
32
32
3
3
3
= 2 a+ 1 b.
33
【规律方法】 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形 中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等 性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.
6.下列四个命题: ①若|a|=0,则a=0; ②若|a|=|b|,则a=b或a=-b; ③若a∥b,则a与b同向或反向; ④若a=0,则-a=0.其中正确命题的序号为________.
【解析】若|a|=0,则a=0,故①错误;|a|=|b|只说明a与 b的模相等,它们的方向不能确定,故②错误;若a∥b且 a,b为非零向量时,a与b的方向相同或相反,当其中一个 向量为零向量时,另一个向量的方向任意,故③错误;④ 正确. 答案:④
2.给出下列四个命题:
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③λ a=0(λ 为实数),则λ 必为零;
④λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则a与b共线.
其中假命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.命题①因为两个向量具有公共终点,但其 起点不确定,所以这两个向量不一定共线,所以该命题 错误;对于命题②,因为向量是既有大小又有方向的量, 而方向是不能比较大小的,所以该命题正确;对于命题 ③,因为λa=0时,可能λ=0,也可能a=0,所以命题③不 正确;对于命题④,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,所以 命题④错误.
②零向量的长度等于0;
③若a,b都为非零向量,则使 a b
ab
与b反向共线.
=0成立的条件是a
其中错误的命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任
意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;
③正确,因为 a 与 b 都是单位向量,所以只有当 a 与
2.三种运算法则的关注点 (1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形 法则要求“起点相同”. (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向 “被减向量”. (3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实 数运算.
【对点训练】
1.如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一
ab
a
b b
是相反向量,即a与b反向共线时才成立.
3.设a是非零向量,λ 是非零实数,下列结论正确的是 ()
A.a与-λ a的方向相反 B.|-λ a|≥|a| C.a与λ 2a的方向相同 D.|-λ a|=|λ |a
【解析】选C.当λ<0时,a与-λa的方向相同,所以选项 A错误;当|λ|<1时,选项B不成立,所以选项B错误;因为 λ是非零实数,所以λ2>0,因此a与λ2a的方向相同,所 以选项C正确;又因为|-λa|是一个实数,|λ|a是一个 向量,所以选项D错误.
即
BC＝3 BD－1 BA 22
=
3 2
b- 1 a.
2
(2)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的
中点,AE的延长线与CD交于点F.若
uuur AC
=a,
BuuDur =b,则
uur AF
=
世纪金榜导学号( )
A. 1 a+ 1 b
42
C. 1 a+ 1 b
24
B. 2 a+ 1 b
2.两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模是
确定的,但方向不确定.
(2)非零向量a的同向单位向量为
a. a
3.三点共线 A,B,C三点共线,O为A,B,C所在直线外任意一点,则 OA OB OC 且λ +μ =1.
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来 表示向量. ( )
33
D. 1 a+ 2 b
33
【解析】选B.如图,因为E是线段OD的中点,所以由平行
四边形的性质得
EF EA

DE EB

DF AB
1, 3
所以
uur uuur uur AF AD DF

uuur AD

1
uuur DC

3
uuur uuur AO OD
1 3
uuur uuur OC OD
4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , 使_b_=_λ__a_.
【常用结论】 1.相等向量 (1)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等. (2)两相等向量,如果起点相同,则其终点也相同. (3)两相等向量,如果起点不同,则其终点也不同. (4)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性. (5)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.

2 3
uuur AC

1 3
uuur BD

2 a+
3
1 3
b.
【一题多解微课】本例题(2)还可以
采用以下方法求解:
பைடு நூலகம்待定系数法:
选B.由题意易知
uur AF

uuur AD

1
AuuBr，设
uur AF

uuur xAC

yBuuDur，因为
3
uuur uuur uur uuur uuur uur
4.设a0为单位向量, ①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0; ②若a与a0平行,则a=|a|a0; ③若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0. 上述命题中,其中是假命题的是________(填序号).
【解析】对于命题①,当a与a0方向不同时,该命题是错 误的;对于命题②,当a与a0反向时,该命题是错误的;对 于命题③,当a与a0反向时,该命题是错误的. 答案:①②③
5.下列与共线向量有关的命题: ①相反向量就是方向相反的向量; ②a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件. 其中错误命题的序号为________.
【解析】因为相反向量是方向相反,大小相等的两个向量, 所以命题①是错误的;因为向量是既有大小又有方向的量, 所以任何两个向量都不能比较大小,所以命题②是错误的; 因为两个向量平行不能推出两个向量相等,而两个向量相 等,则这两个向量平行,因此两个向量平行是这两个向量相 等的必要不充分条件,所以命题③是正确的. 答案:①②
【解析】DC = AB OB OA =b-a, BC OC OB OA OB =-a-b. 答案:b-a -a-b
考点一 平面向量的基本概念 【题组练透】 1.下面说法正确的是 ( ) A.平面内的单位向量是唯一的 B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆 C.所有的单位向量都是共线的 D.所有单位向量的模相等
【拓展】三角形四心的向量表示 在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足: 1. OA OB OC =0,则点O为三角形的重心. 2.| OA || OB || OC |，则点O为三角形的外心. 3. OA OB OB OC OC OA,则点O为三角形的垂心. 4.| BC | OA | AC | OB | AB | OC=0,则点O为三角形的内心.
AC AD AB，BD AD AB，
所以
uur
uuur
uur
AF x yAD x yAB，
于是: 所以
x x
uur AF
y 1,
y 1, 3
2
uuur AC

得
x

2 3
,
1

uuur BD
y
=
1， 3
2 a+
1
b.
33
33
三点共线法:选B.因为D,F,C三点共线,所以存在实数λ ,
使
uur uuur
uuur
AF AD (1 )AC,
uur AE

1
uuur AD

1
uuur AO，
2
2
又因为E是OD的中点,所以
因为A,E,F三点共线,所以存在μ
∈R,使
uur AF
uur AE,
所以
【规律方法】 解答向量概念型题目的要点 (1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大 小和方向. (2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运 算律仍需从大小和方向角度去理解.
【特别提醒】(1)两个向量不能比较大小,只可以判断 它们是否相等,但它们的模可以比较大小. (2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数 特征与几何特征. (3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到 同一直线上.
3
2
1 AB 2 AD. 23
2.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为
AD的中点,则 EB = ( )
A. 3 AB 1 AC 44
C. 3 AB 1 AC 44
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( ) (3)若向量a与b不相等,则a与b一定不可能都是零向量.
()
提示:(1)×.向量是既有大小又有方向的量,而有向线 段是有起点和终点的线段,两者并不一样,所以命题(1) 错误. (2)×.当b=0时,a与c不一定平行,所以命题(2)错误. (3)√.假设a与b都是零向量,则向量a与b相等,所以命 题(3)正确.