第三章随机过程作业

第三章随机过程作业

1. 设A 、B 是独立同分布N(0,σ2)的随机变量，求随机过程{X t =At +B,t ∈R 1}的均

值函数、自相关函数和协方差函数。

2. 设{X t ,t ≥a}是独立增量过程，且X a =0，方差函数为σX t 2。

记随机过程Y t =kX t +c ，k 、c 为常数，c≠0。

（1） 证明Y t 是独立增量随机过程；

（2） 求Y t 的方差函数和协方差函数。

3. 设随机过程X t =X +Y ⋅t +Z ⋅t 2，其中X,Y,Z 是相互独立的随机变量且均值为0、

方差为1，求{X t }的协方差函数。

4. 设U 是随机变量，随机过程X t =U,−∞

(1) X t 是严平稳过程吗？为什么？

(2) 如果E(U)=μ ,Var(U)=σ2，证明：X t 的自相关函数是常数。

5. 设随机过程X t =U cos t +V sin t,−∞

(1) X t 是平稳过程吗？为什么？

(2) X t 是严平稳过程吗？为什么？

6. 设随机变量X 的分布密度为f X ( x), 令 Y( t) = e − X t ( t > 0 ,X > 0), 试求Y( t)的

一维概率分布密度及E(Y ( t ))、R X (s,t)。

7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令

X (t )={cos πt ,如t 时手机接收到短信息，2t ，如t 时手机未接收到短信息，

试求：X (t )的一维分布函数 F [12;x],F[1;x]

8. 设随机过程Y n =∑X k n k=1,Y 0=0, 其中X k ( 1 ≤ k ≤ n) 是相互独立的随机变量 ,

且P( X k = 1 ) = p ,P( X k = 0 ) = 1 − p = q , 试求{ Y n } 的均值与协方差函数 .

9. 设X( t) = A sin (ωt +Z) ,其中A 、ω为常数 , 随机变量Z ～ U( −π ,π) , 令

Y ( t) = X 2 ( t ) , 试求 :EY ( t ) 和R Y ( t,t +τ)。

10. 设有随机过程X ( t )，并设x 是一实数，定义另一个随机过程Y ( t )={1 ,X (t )≤x 0, X (t )>x

试证Y ( t )的均值和自相关函数分别为随机过程X ( t )的一维和二维分布函数。

11. 设有随机过程{X(t),− ∞ < t < ∞},X(t) =Ycos t ，其中Y 为均匀分布于(0,1)间的

随机变量，即f Y ( y) ={1, 0≤y <10, 其他

试证： （1）自相关函数R X (t 1,t 2)=13

cos t 1cost 2

（2）协相关函数k X (t 1,t 2)=112cos t 1cost 2

12. 质点在直线上作随机游动，即在t ＝ 1,2,3,…时质点可以在x 轴上往右或往左作一个

单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为p ，往左移动一个单位距离的概率为q ，即P{X i = +1} = p,P{X i = −1} = q,p + q = 1 ，且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动，质点所处的位置为Y n =∑X i n i=1。

（1）Y n 的均值；

（2）求Y n 的相关函数和自协方差函数R Y (n 1 ,n 2 )和k Y (n 1 ,n 2 )。

13. 设X ( t )= sin θt ，其中θ服从( 0 ,2π )上的均匀分布。试证 : { X( t) ,t = 1 ,2 ,… }

是宽平稳序列。

14. 设X ( t )= sin θt,其中θ服从( 0 ,2π ) 上的均匀分布. 试证 :{ X( t) ,t ≥ 0}既不是宽

平稳也不是严平稳过程 .

15. 设随机过程X( t)和Y( t)都不是平稳的，且 X( t) =A (t) cos t,Y( t) = B( t) sin t,其

中A (t)和B( t)是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证Z( t) = X( t) + Y( t)是平稳过程。

16. 设{ X ( n ),n = 0 ,± 1 ,± 2 ,…}是均值为零的平稳随机过程。试证 :

Y( n)= A X( n)+ B X( n − m)

仍是一平稳随机过程, 其中A、 B为复常数，m为整数。

17.若平稳过程X( t)满足条件 P( X( t + T)= X( t) )= 1 ，则称X( t)是周期为T的平稳

过程。试证X( t)是周期为T的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数R X(τ)= E(X(t),X(t+τ))必为周期等于T的周期函数。