参数曲线

❖ 连续曲线，光滑曲线．不声明时在局部总考虑 C3 类参 数曲线，并简称为曲线．
❖ 在数学分析或者解析几何课程中所接触到的曲线，要 么其本身就是参数化的，要么总可以进行适当的局部 参数化．
二．正则曲线
参数曲线的行为的复杂性需要得到注意．对所考虑的曲 线做出必要的限制是合理的．
定义1 给定参数曲线 C: r r(t) , t(a, b) ． 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r(t0) 为 C 的一个奇
反． 令函数 t t(t*) t* ，则上述两种参数化的关系用复合函
数关系表达为 r*(t*) r(t*) r(t(t*)) ．使用自变量代 换的语言来说，上述关系实质上是一种参数变换．
二．正则曲线
定义3 给定正则曲线 C: r r(t) ，若参数变换 t t(u) 满 足
这只要注意到复合求导关系即得．
例6中所给定的参数变换是容许的反向参数变换．例6与 例5的参数化之间不存在容许的参数变换．
三．曲线的等价
❖ 一个曲线点集实体允许存在许多种参数化的方式，不同的参 数表示之间对应有参数变换．
❖ 曲线实体的几何属性是不依赖于其参数化的方式的，当 然也不依赖于空间直角坐标系的选取.
❖ 参数曲线 C 上对应于参数值 t 的点是指向径 r(t) OP(t) 的终点 P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))E3 ，表示 为实点 P(t) 或向量值 r(t) 或参数值 t ．
❖ C0 类参数曲线也称为连续曲线，C 类参数曲线也称为 光滑曲线．
❖ 约定：由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简 便起见，以后不声明时在局部总考虑 C3 类参数曲线， 并简称为曲线．
§1.1 参数曲线
一．E3 中参数化曲线的定义
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下， 取单位正交向量 i , j , k 为基向量． 给定三个函数 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 作向量值函数
r: (a, b)E3 t r(t) x(t)i + y(t)j + z(t)k (x(t), y(t), z(t)) ，
r(t0)
r(t0)
dr dt
(t0)
lim r(t0+t) r(t0)
t0
t
.
r(t0)
[r(t0+t)r(t0)] 定义2 称单位切向量
r(t0+t)
r (t0)/r (t0)
为正则曲线 C: r r(t) 在
切点 r(t0) 处的单位切向，
记为 T(t0) ；称单位切向的
仅仅表示一点，而不是正常的曲线； 此时所有的参数值对应于图形实体的同一点． 这是非正则曲线的极端例子． 例3 圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为
r(t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的
O
指向为正则曲线的正向．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体． ❖ 定义2 称单位切向量 r (t0)/r (t0) 为正则曲线 C: r
r(t) 在切点 r(t0) 处的单位切向，记为 T(t0) ；称单位切 向的指向为正则曲线的正向． ❖ 正则曲线的正向即为当参数增加时位置向量终点的走 向．正则曲线是有向曲线． ❖ 例6 半径为 a > 0 的圆周的有向参数化. 若参数化为 r(t) = (a cos t , a sin t , 0) , tR ，则其单 位切向计算过程为
（异）点； 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r(t0) 为 C 的一个正
则点． 若 C 之上点点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t
为正则参数． 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数 在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
二．正则曲线
例2 若参数曲线 C: r r(t) a const. , tR ，则其几 何图形
若相差一个反向的容许参数 变换，则称这两条曲线是方 向相反的有向正则曲线．
三．曲线的等价
有向正则曲线的单位切向对于每一个参数值都是唯一确 定的，相应的切线或有向切线也有意义；
对于曲线实体，其切线行为并没有如此简单． 观察下例．
例7 E3中的参数曲线
C: r(t) = (sin3t cost , sin3t sint , 0) , tR 的点集实体是平面上的一条三叶玫瑰线．在参数的一 个最小正周期 [0, ) 内，三个参数值对应于曲线实体上的 同一个点 O ．点 O 处的有向切线有三条． 定义4 若 E3 中的一条参数曲线 C: r = r(t) 在定义域开区 间之上为单值映射，则称 C 是简单的或是不自相交的； 否则称 C 是自相交的．
曲线的整体概念和整体性质将留待在第七章和第八章中 进行较为深入的讨论．
约定：在讨论局部性质的各节中，不声明时总考虑正则 曲线和容许参数变换，并分别简称为曲线和参数变换．
❖ 因而，不仅认为两个合 ❖ 若两条正则曲线之间仅仅相 同的曲线实体是同一 差一个容许的参数变换，则
曲线实体的不同位置 表现形式，还可以对
称这两条正则曲线是相同的 正则曲线．
参数曲线进行适当的
分类，使得表示同一
曲线实体的不同参数 曲线是等价的．
若相差一个保向的容许参数 变换，则称这两条曲线是相 同的有向正则曲线；
O
f(u) r(t0) + u r (t0) , uR ．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体．
❖ 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的切线．
❖ 设曲线 C: r r(t) , t(a, b) 正则，曲线 C 在切点 r(t0) 处的切线的方向向量确定为 r (t0) ．
r(t0)
r(t0)
dr dt
(t0)
lim r(t0+t) r(t0)
t0
t
.
r(t0)
[r(t0+t)r(t0)] 而正则性保证 r (t0) 0 ，
r(t0+t)
故 C 在切点 r(t0) 处的切线
的方向向量确定为 r (t0) ，
该切线的向量形式参数方
程为：向径
t) 的割线当 t 0 时的极限位置，亦即切线的位置．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体．
❖ 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的切线．
❖ 设 C: r r(t) , t(a, b) 正则，考虑过点r(t0) 和 r(t0 + t) 的割线当 t 0 时的极限位置，亦即切线的位置．
r (t) (a sin t , a cos t , 0) ， r (t) a ，r (t)/r (t) (sin t , cos t , 0) ． 此时，其正向为 xOy 坐标平面上的逆时针方向．
二．正则曲线
❖ 正则曲线足以作为曲线局部的主体． ❖ 单位切向 T(t0) ；正向即为当参数增加时位置向量终点
y y(t) , t(a, b) ． z z(t)
一．E3 中参数化曲线的定义
❖ 给定 x(t), y(t), z(t)Ck((a, b)) ， 则 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为 C 的参 数；可用其参数方程表示．
三．曲线的等价
对参数曲线而言，在任意一个正则点附近（即存在相应 参数值的一个在该点处的小邻域）对应于一小段简单正 则曲线；这由r (t) 的连续性以及具有非零导函数的普通 函数的局部单调性即可得证．
因而，关于局部性质的讨论只需要关心简单的正则曲线 即可；从这个意义上说，象自相交这种性质是曲线的大 范围性质，也就是整体性质．
的走向．正则曲线是有向曲线． ❖ 例6 半径为 a > 0 的圆周的有向参数化. 若 r(t) = (a cos t , a sin t , 0) , tR ，则 T(t) (sin t ,
cos t , 0) ．其正向为 xOy 坐标平面上的逆时针方向． r*(t*) (a cos t*, a sin t*, 0) , t*R 是另外一个参数化， 其正向为 xOy 坐标平面上的顺时针方向，与前者恰好相
r(t) (cos t2 , sin t2 , 0) , tR ．
Байду номын сангаас
二．正则曲线
一般地，存在奇点的参数曲线在奇点附近的性质需要单 独加以讨论，且奇点若对应于参数的一个区间则等价于 对应参数的一个点；
而对于连续可微参数曲线，正则点附近总存在较小弧 段使正则性得到满足，
这是由于导向量函数的模长具有连续性． 正则曲线足以作为曲线局部的主体．因此，将曲线论的 局部基本理论建立在正则曲线之上是具有一般性的， 正则曲线的意义还在于能够方便地确定曲线的所谓切 线． 设曲线 C: r r(t) , t(a, b) 正则，考虑过点r(t0) 和 r(t0 +
则其位置向量终点全体 C {(x(t), y(t), z(t))E3t(a, b)} 称为E3 中的一条 Ck 类参数化曲线， 简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数； C 可用其向量形式的参数方程表示为r = r(t) , t(a, b) ， 或写为分量形式的参数方程 x x(t)
① t(u) 是 C3 阶的； ② t (u) 处处非零， 则称之为容许参数变换； 且当 t (u) 0 时称之为保向的， 当 t (u) 0 时称之为反向的．
容许参数变换只有保向或反向两种；
这只要注意到 t (u) 处处非零蕴含着恒正或恒负即得．
容许参数变换保持正则性和可微性不变；