河南2018中考数学总复习专题检测:圆(含答案)
2018河南中考数学总复习阶段检测卷6(圆)含答案 (1)
章节检测卷5 四边形(建议时间:90分钟总分:100分)一、选择题(本大题共7个小题,每小题4分,共28分)1.若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是(B) A.6 B.12 C.16 D.182.下列给出的条件中,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(A) A.AB∥CD,AD=BCB.∠A=∠C,∠B=∠DC.AB∥CD,AD∥BCD.AB=CD,AD=BC3.如图,AC是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠ACB的度数为(B) A.26°B.36°C.42°D.48°第3题图第4题图4.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且E,F分别为BC,CD的中点,则∠EAF等于(C)A.75°B.45°C.60°D.30°5.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为(D)A.5 B.4 C.342 D.34第5题图第6题图6.如图,在▱ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线分别交AD ,BC 于点E ,F ,连接CE ,若△CED 的周长为6,则▱ABCD 的周长为( B ) A .6 B .12 C .18 D .247.在△ABC 中,点D 是边BC 上的点(与B ,C 两点不重合),过点D 作DE ∥AC ,DF ∥AB ,分别交AB ,AC 于E ,F 两点,下列说法正确的是( D ) A .若AD ⊥BC ,则四边形AEDF 是矩形 B .若AD 垂直平分BC ,则四边形AEDF 是矩形 C .若BD =CD ,则四边形AEDF 是菱形 D .若AD 平分∠BAC ,则四边形AEDF 是菱形 二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)8.如图,平行四边形ABCD 的对角线互相垂直,要使ABCD 成为正方形,还需添加的一个条件是 ∠ABC =90°(不唯一) .(只需添加一个即可)9.在▱ABCD 中,AE 平分∠BAD 交边BC 于E ,DF 平分∠ADC 交边BC 于F ,若AD =11,EF =5,则AB = 8或3 .10.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =4,AC =6,点D ,E 分别是BC ,AD 的中点,AF ∥BC 交CE 的延长线于F .则四边形AFBD 的面积为 12 .11.如图,四边形ABCD 是菱形,AC =24,BD =10,DH ⊥AB 于点H ,则线段BH 的长为 5013 .第11题图 第12题图12.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AE ⊥BD ,垂足为E ,ED =3BE ,点P ,Q 分别在BD ,AD 上,则AP +PQ 的最小值为 92 . 三、解答题(本大题共4个小题,共52分)13.(10分)如图所示,已知平行四边形ABCD ,对角线AC ,BD 相交于点O ,∠OBC =∠OCB .(1)求证:平行四边形ABCD 是矩形; (2)请添加一个条件使矩形ABCD 为正方形.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠DAO =∠OCB ,∠ADO =∠OBC . ∵∠OBC =∠OCB , ∴∠DAO =∠ADO , ∴OB =OC ,OA =OD , ∴OB +OD =OA +OC , ∴AC =BD .∴平行四边形ABCD 是矩形; (2)解:AB =AD .(答案不唯一)14.(12分)如图,在平行四边形ABCD 中,边AB 的垂直平分线交AD 于点E ,交CB 的延长线于点F ,连接AF ,BE . (1)求证:△AGE ≌△BGF ;(2)试判断四边形AFBE 的形状,并说明理由.(1)证明:∵EF是AB的垂直平分线,∴AG=BG.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CF,∴∠AEG=∠BFG,∠EAG=∠FBG.在△AGE和△BGF中,∠AEG=∠BFG,∠EAG=∠FBG,AG=BG,∴△AGE≌△BGF(AAS);(2)解:四边形AFBE是菱形.理由如下:∵△AGE≌△BGF,∴AE=BF.∵AD∥CF,∴四边形AFBE是平行四边形.又∵AB⊥EF,∴平行四边形AFBE是菱形.15.(15分)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF.又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴EO =FO .∴四边形BEDF 是平行四边形;(2)解:当四边形BEDF 是菱形时,设BE =x ,则DE =x ,AE =6-x . 在Rt △ADE 中,DE 2=AD 2+AE 2, 即x 2=42+(6-x )2, 解得x =133.∵S 菱形BEDF =BE ·AD =12BD ·EF =133×4=523, ∴EF =2S 菱形BEDFBD .又∵BD =AB 2+AD 2=62+42=213, ∴EF =4133.16.(15分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D ,E 分别是边BC ,AB 上的中点,连接DE 并延长至点F ,使EF =2DE ,连接CE ,AF . (1)证明:AF =CE ;(2)当∠B =30°时,试判断四边形ACEF 的形状并说明理由.(1)证明:∵点D ,E 分别是边BC ,AB 上的中点, ∴DE ∥AC ,DE =12AC , ∴EF ∥AC . ∵EF =2DE , ∴EF =AC ,∴四边形ACEF 是平行四边形, ∴AF =CE ;(2)解:四边形ACEF 是菱形. 理由如下:∵∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵E是AB的中点,∴CE=AE=12AB,∴△ACE是正三角形,∴AC=CE.又∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形.。
2018年河南省中考数学试卷含答案解析
2018年河南省中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B.C.﹣ D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103 C.2.147×1010D.0.2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.2018年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B.C.﹣ D.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.【解答】解:﹣的相反数是:.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103 C.2.147×1010D.0.2147×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面.故选:D.【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=1【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断.【解答】解:A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误;B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误;C、x3•x4=x7,此选项正确;D、2x3﹣x3=x3,此选项错误;故选:C.【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则.5.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是0【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案.【解答】解:A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是:15.3%,故此选项错误;B、众数是15.3%,正确;C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)=14.98%,故选项C错误;D、∵5个数据不完全相同,∴方差不可能为零,故此选项错误.故选:B.【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义,正确把握相关定义是解题关键.6.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.【分析】设设合伙人数为x人,羊价为y线,根据羊的价格不变列出方程组.【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:.故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系是解题的关键.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.【解答】解:A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=xx2﹣x=0△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0两个不相等实数根;C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,方程无实根;D、(x﹣1)2+1=0(x﹣1)2=﹣1,则方程无实根;故选:B.【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.8.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率.【解答】解:令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示,可得:,一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种,故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:.故选:D.【点评】此题主要考查了树状图法求概率,正确列举出所有的可能是解题关键.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,进而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2).【解答】解:∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=,由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2【分析】通过分析图象,点F从点A到D用as,此时,△FBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知,BD=,应用两次勾股定理分别求BE和a.【解答】解:过点D作DE⊥BC于点E由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2.∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时,用s∴BD=Rt△DBE中,BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1,DC=aRt△DEC中,a2=22+(a﹣1)2解得a=故选:C.【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=2.【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.【解答】解:原式=5﹣3=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为140°.【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案.【解答】解:∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∴∠EOB=90°,∵∠EOD=50°,∴∠BOD=40°,则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°.故答案为:140°.【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义,正确把握相关定义是解题关键.13.(3分)不等式组的最小整数解是﹣2.【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,即可得出答案.【解答】解:∵解不等式①得:x>﹣3,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集为﹣3<x≤1,∴不等式组的最小整数解是﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为π.【分析】利用弧长公式L=,计算即可;【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′=∠BCA′=45°,∴∠BCB′=135°,∴S==π.阴【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4或4.【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4.【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'B=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB==4;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,【解答】解:当x=+1时,原式=•=1﹣x=﹣【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有2000人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是28.8°;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.【分析】(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360°乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.【解答】解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,故答案为:2000;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,故答案为:28.8°;(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人).【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.【分析】(1)将P点坐标代入y=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;(2)如图所示:矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,矩形的判定与性质,正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为30°时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为22.5°时,四边形ECOG为正方形.【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明△CEF和△FEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∵FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴EF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∴∠AOC=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OEG=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,而OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°,22.5°.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【分析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.【解答】解:在Rt△ACE中,∵tan∠CAE=,∴AE==≈≈21(cm)在Rt△DBF中,∵tan∠DBF=,∴BF==≈=40(cm)∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151cm答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是80元,当销售单价x=100元时,日销售利润w最大,最大值是2000元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式;(2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和w的最大值;(3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本.【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,,得,即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600,当x=115时,y=﹣5×115+600=25,即m的值是25;(2)设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80,100,2000;(3)设科技创新后成本为b元,当x=90时,(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750,解得,b≤65,答:该产品的成本单价应不超过65元.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答.22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为1;②∠AMB的度数为40°.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则=,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.【解答】解:(1)问题发现①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB,∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴=1,②∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°,故答案为:①1;②40°;(2)类比探究如图2,=,∠AMB=90°,理由是:Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴,同理得:,∴,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴=,∠CAO=∠DBO,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;(3)拓展延伸①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,BC=x﹣2,Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,∴AB=2OB=2,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,,x2﹣x﹣6=0,(x﹣3)(x+2)=0,x1=3,x2=﹣2,∴AC=3;②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,+(x+2)2=x2+x﹣6=0,(x+3)(x﹣2)=0,x1=﹣3,x2=2,∴AC=2;综上所述,AC的长为3或2.【点评】本题是三角形的综合题,主要考查了三角形全等和相似的性质和判定,几何变换问题,解题的关键是能得出:△AOC∽△BOD,根据相似三角形的性质,并运用类比的思想解决问题,本题是一道比较好的题目.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,﹣5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,﹣2),AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),∵B(5,0),C(0,﹣5),∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,∴AM=AB=×4=2,∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,∴PD=PQ=×2=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,综上所述,P点的横坐标为4或或;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,。
2018河南中考数学总复习阶段检测卷6(圆)含答案
班级: 姓若: 竟节检测卷6 圆章节检测卷6圆(建议时间:90分钟 总分:100分)、选择题(本大题共7个小题,每小题4分,共28分)1. 如图,△ ABC 内接于O 0,若/ A =a则/ 0BC 等于 (D )A . 180° — 2a C . 90°+ a2. 如图,AB 是。
O 的直径,FA 切。
O 于点A , PO 交。
O 于点C.连接BC ,若 / P =40°,则/B 等于(B )A . 20,B . 25,C . 30,D . 40,3. 如图,四边形ABCD 内接于。
O , AB 经过圆心,/ B = 3/BAC ,贝U/ ADC 等于(B )A . 100,B . 112.5,C . 120,D . 135,4. 已知圆锥的底面面积为9 n crm ,母线长为6 cm ,贝U 圆锥的侧面积是(A )2 2 2 2A . 18 n cmB . 27 n cmC . 18 cmD . 27 cm 5. 如图,。
O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E ,/ A = 15°,半径为2,则弦CD 的长为(A )A . 2B . — 1 C. 2 D . 4 6 .已知一个扇形的圆心B . 2 a D . 90°— a角为60°,它所对的弧长为2 n cm则这个扇形的半径为7. 如图,AB 是。
O 的直径,C , D 是。
O 上的点,且OC // BD , AD 分别与BC , OC 相交于点E , F ,则下列结论:①AD 丄 BD ;②/ AOC =Z AEC ;③BC 平分/ ABD ;④AF = DF ;⑤DB = 2OF ;©△ CEF ^A BED ,其中一定成立的是(D )A .②④⑤⑥B .①③⑤⑥D .①③④⑤、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)8. 如图,AB 是O O 的直径,AC 与O O 相切,CO 交O O 于点D.若/CAD = 30° 贝U/ BOD = 120 12. 如图,扇形OAB 中,/ AOB = 60°扇形半径为4,点C 在AB 上, CD 丄0A ,垂足为点D ,当△ OCD 的面积最大时,图中阴影部分的面积为 2n — 4 .13. 如图,在 Rt A ABC 中,/ ACB = 90° AC = BC = 1,E 为 BC 边上的一点,以A 为圆心,AE 为半径的圆弧交AB 于点D ,交AC 的延长线于点F ,若图 中两B . 12cm C . 2 3 cm D. 6 cmC .②③④⑥ 第8题图 第9题图第11题图第12题图个阴影部分的面积相等,贝U AF的长为並(结果保留根号).n三、解答题(本大题共4个小题,共48分)14. (12分)如图0是厶ABC的外接圆,BC为。
河南省2018年中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第六章 圆 第23讲 与圆有关的计算讲义
B.π3 D.12
【解析】 ∵∠ACB=90°,AC=BC=1,∴AB= 2.由 旋转的性质可知,∠BAD=30°,△ABC≌△ADE,∴S 扇形 BAD =30π×360 2 2=π6,S△ABC=S△ADE,∴S 阴影=S 扇形 BAD+S△ADE -S△ABC=S 扇形 BAD=π6,故选 A.
巩固提升 4.(2017·自贡改编)圆锥底面圆的周长为6π,侧面展开扇形
的圆心角度数是216°,则该圆锥的母线长为___5___,全 面积是__2_4_π___.
( (
1.(2017·郑州适应性)如图,正方形 ABCD 的边长为 6,分别 以点 A 和点 B 为圆心,6 为半径画 BD 与 AC,则图中阴 影部分的面积为_9___3_-__3_π___.
多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的
中心角
_____________.
3.正多边形都是轴对称图形.一个正 n 边形共有_n____条对 称轴,每条对称轴都通过正 n 边形的__中__心__;边数为 _偶__数___的正多边形还是中心对称图形,它的对称中心是正 多边形的_中__心___.
命题点1 弧长与扇形面积的计算(仅2013年考查) 命题点2 阴影部分面积的计算(8年7考)
形的弧长为 2π,则该扇形的面积为_6_π____.
类型3 阴影部分面积的计算
(2017·济宁)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=BC=1,将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE,点 B 经过的路径为 BD,则图中阴影部分的面积是 ()
(
π A.6 C.π2-12
针旋转 60°,点 O,B 的对应点分别为
O′,B′,连接 BB′,则图中阴影部
中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)
专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图,⊙O 的半径为5,点P 在⊙O 外,PB 交⊙O 于A 、B 两点,PC 交⊙O 于D 、C 两点. (1)求证:P A ·PB =PD ·PC ;(2)若P A =454,AB =194,PD =DC +2,求点O 到PC 的距离.第1题图2. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB =AC ,点P 是AB ︵的中点,连接P A ,PB ,PC .(1)如图①,若∠BPC =60°,求证:AC =3AP ; (2)如图②,若sin ∠BPC =2425,求tan ∠P AB 的值.第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ,tan ∠ACD =32. (1)如图①,若AB 为⊙O 的直径,BE =8,求AC 的长;(2)如图②,若AB 不为⊙O 的直径,BE =4,F 为BC ︵上一点,BF ︵=BD ︵,且CF =7,求AC 的长.第3题图4.如图,△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,交CA 的延长线于点E ,连接AD 、DE .(1)求证:D 是BC 的中点;(2)若 DE =3,BD -AD =2,求⊙O 的半径; (3)在(2)的条件下,求弦AE 的长.第4题图5.如图,⊙O 的半径为1,A ,P ,B ,C 是⊙O 上的四个点, ∠APC =∠CPB =60°.(1)判断△ABC 的形状:________;(2)试探究线段P A ,PB ,PC 之间的数量关系,并证明你的结论; (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时,四边形APBC 的面积最大?求出最大面积.第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD 交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.(1)求证:AC与⊙O相切;(2)当BD=6,sin C=35时,求⊙O的半径.第1题图2.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.(1)求证:∠PCA=∠ABC;(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin ∠P =35,CF =5,求BE 的长.第2题图3. 如图①,在⊙O 中,直径AB ⊥CD 于点E ,点P 在BA 的延长线上,且满足∠PDA =∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②),当M 恰为BC ︵的中点时,试求DE BE 的值;(3)若P A =2,tan ∠PDA =12,求⊙O 的半径.第3题图二、与相似三角形结合1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,E 是BC 的中点,以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ,连接DE . (1)求证:△ABC ∽△CBD ; (2)求证:直线DE 是⊙O 的切线.第1题图2. 如图,⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上,⊙O 经过C 、D 两点,与斜边AB 交于点E ,连接BO 、ED ,有BO ∥ED ,作弦EF ⊥AC 于G ,连接DF .(1)求证:CO ·CD =DE ·BO ;(2)若⊙O 的半径为5,sin ∠DFE =35,求EF 的长.第2题图3. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径作半圆⊙O ,交BC 于点D ,连接AD ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E ,交AB 的延长线于点F .(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为5,sin ∠ADE =45,求BF 的长.第3题图4.如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B=30°,求证:以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,连接AD,求⊙O的半径和AD的长.第4题图5.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD =DC,延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;(2)如图②,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)第5题图6.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,OF延长线交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)求证:CE2=EH·EA;(3)若⊙O 的半径为5,sin A =35,求BH 的长.第6题图7.如图①,△ABC 内接于⊙O ,∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ,交BC 于点E (BE >EC ),且BD =2 3.过点D 作DF ∥BC ,交AB 的延长线于点F .(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若∠BAC =60°,DE =7,求图中阴影部分的面积;(3)若AB AC =43,DF +BF =8,如图②,求BF 的长.第7题图三、与全等三角形结合1.如图,已知PC 平分∠MPN ,点O 是PC 上任意一点,PM 与⊙O 相切于点E ,交PC 于A 、B 两点. (1)求证:PN 与⊙O 相切;(2)如果∠MPC =30°,PE =23,求劣弧BE ︵的长.第1题图2.如图,已知BC是⊙O的弦,A是⊙O外一点,△ABC为正三角形,D为BC的中点,M是⊙O上一点,并且∠BMC =60°.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O 的半径为2.试问BE+CF的值是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.第2题图3. 已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接AE.(1)求证:AE与⊙O相切;(2)连接BD,若ED∶DO=3∶1,OA=9,求AE的长和tan B的值.第3题图4. 如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O 交于点C,连接BC,AF.(1)求证:直线P A为⊙O的切线;(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;(3)若BC=6,tan∠F=12,求cos∠ACB的值和线段PE的长.第4题图5. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ,过点D 作⊙O 的切线PD ,交CA 的延长线于点P ,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证:PD ∥AB ; (2)求证:DE =BF ;(3)若AC =6,tan ∠CAB =43,求线段PC 的长.第5题图6.如图,点P 是⊙O 外一点,P A 切⊙O 于点A ,AB 是⊙O 的直径,连接OP ,过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ,连接AC 交OP 于点D . (1)求证:PC 是⊙O 的切线;(2)若PD =163,AC =8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,若点E 是AB ︵的中点,连接CE ,求CE 的长.第6题图7. 如图①,AB是⊙O的直径,OC⊥AB,弦CD与半径OB相交于点F,连接BD,过圆心O作OG∥BD,过点A作⊙O的切线,与OG 相交于点G,连接GD,并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证:GD=GA;(2)求证:△DEF是等腰三角形;(3)如图②,连接BC,过点B作BH⊥GE,垂足为点H,若BH=9,⊙O的直径是25,求△CBF的周长.第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明:如解图,连接AD,BC,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠P AD=∠PCB,∠PDA=∠PBC,∴△P AD ∽△PCB , ∴P A PD =PC PB , ∴P A ·PB =PD ·PC ;(2)解:如解图,连接OD ,过O 点作OE ⊥DC 于点E , ∵P A =454,AB =194,PD =DC +2,∴PB =P A +AB =16,PC =PD +DC =2DC +2, ∵P A ·PB =PD ·PC ,∴454×16=(DC +2)(2DC +2), 解得DC =8或DC =-11(舍去), ∴DE =12DC =4, ∵OD =5,∴在Rt △ODE 中,OE =OD 2-DE 2=3, 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明:∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角, ∴∠BAC =∠BPC =60°, 又∵AB =AC ,∴△ABC 为等边三角形, ∴∠ACB =60°, ∵点P 是AB ︵的中点, ∴P A ︵=PB ︵,∴∠ACP =∠BCP =12∠ACB =30°,而∠APC =∠ABC =60°, ∴△APC 为直角三角形, ∴tan ∠APC =AC AP , ∴AC =AP tan60°=3AP ;(2)解:连接AO 并延长交PC 于点E ,交BC 于点F ,过点E 作EG ⊥AC 于点G ,连接OC ,BO ,如解图,∵AB =AC , ∴AF ⊥BC , ∴BF =CF , ∵点P 是AB ︵中点, ∴∠ACP =∠PCB , ∴EG =EF .∵∠BPC =∠BAC =12∠BOC =∠FOC , ∴sin ∠FOC =sin ∠BPC =2425, 设FC =24a ,则OC =OA =25a ,∴OF =OC 2-FC 2=7a ,AF =25a +7a =32a , 在Rt △AFC 中,∵AC 2=AF 2+FC 2, ∴AC =(32a )2+(24a )2=40a , ∵∠EAG =∠CAF , ∴△AEG ∽△ACF , ∴EG CF =AE AC ,又∵EG =EF ,AE =AF -EF ,第2题解图∴EG 24a =32a -EG 40a , 解得EG =12a ,在Rt △CEF 中,tan ∠ECF =EF FC =12a 24a =12, ∵∠P AB =∠PCB ,∴tan ∠P AB =tan ∠PCB =tan ∠ECF =12. 3. 解:(1)如解图①,连接BD , ∵直径AB ⊥弦CD 于点E , ∴CE =DE ,∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角, ∴∠ACD =∠ABD , ∴tan ∠ABD =tan ∠ACD =32, ∴ED EB =AE CE =32,即ED 8=32, ∴ED =12, ∴CE =ED =12, 又∵AE =32CE =18, ∴AC =AE 2+CE 2=613;(2)连接CB ,过B 作BG ⊥CF 于G ,如解图②, ∵BF ︵=BD ︵, ∴∠BCE =∠BCG , 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE =∠BCG ∠BEC =∠BGC BC =BC, ∴△CEB ≌△CGB (AAS), ∴BE =BG =4,∵四边形ACFB 内接于⊙O , ∴∠A +∠CFB =180°, 又∵∠CFB +∠BFG =180°, ∴∠BFG =∠A , ∵∠FGB =∠AEC =90°, ∴△BFG ∽△CAE , ∴FG BG =AE CE =32, ∴FG =32BG =6, ∴CE =CG =13, ∴AE =32CE =392,∴AC =AE 2+CE 2=13213. 4. (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB =90°, 即AD ⊥BC , ∵AB =AC ,∴等腰△ABC ,AD 为BC 边上的垂线, ∴BD =DC , ∴D 是BC 的中点; (2)解:∵AB =AC ,∴∠ABC =∠C ,∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角, ∴∠ABC =∠AED , ∴∠AED =∠C , ∴CD =DE =3, ∴BD =CD =3, ∵BD -AD =2, ∴AD =1,在Rt △ABD 中,由勾股定理得AB 2=BD 2+AD 2=32+12=10, ∴AB =10,∴⊙O 的半径=12AB =102; (3)解:如解图,连接BE , ∵AB =10, ∴AC =10,∵∠ADC =∠BEA =90°,∠C =∠C , ∴△CDA ∽△CEB , ∴AC BC =CD CE ,由(2)知BC =2BD =6,CD =3, ∴106=3CE , ∴CE =9510,∴AE =CE -AC =9510-10=4510. 5. 解:(1)等边三角形.第4题解图【解法提示】∵∠APC =∠CPB =60°,又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角,∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角,∴∠BAC =∠CPB =60°,∠ABC =∠APC =60°, ∴∠BAC =∠ABC =60°, ∴AC =BC ,又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形, ∴△ABC 是等边三角形. (2)P A +PB =PC .证明如下:如解图①,在PC 上截取PD =P A ,连接AD , ∵∠APC =60°, ∴△P AD 是等边三角形, ∴P A =AD =PD ,∠P AD =60°, 又∵∠BAC =60°, ∴∠P AB =∠DAC , 在△P AB 和△DAC 中, ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP =AD ∠P AB =∠DAC ,AB =AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS), ∴PB =DC , ∵PD +DC =PC , ∴P A +PB =PC ,(3)当点P 为AB ︵的中点时,四边形APBC 的面积最大. 理由如下:如解图②,过点P 作PE ⊥AB ,垂足为E ,第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ,垂足为F , ∵S △P AB =12AB ·PE ,S △ABC =12AB ·CF , ∴S 四边形APBC =12AB ·(PE +CF ).当点P 为AB ︵的中点时,PE +CF =PC ,PC 为⊙O 的直径, 此时四边形APBC 的面积最大, 又∵⊙O 的半径为1,∴其内接正三角形的边长AB = 3 , ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3= 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明:连接OE ,如解图, ∵AB =BC 且D 是AC 中点, ∴BD ⊥AC , ∵BE 平分∠ABD , ∴∠ABE =∠DBE , ∵OB =OE , ∴∠OBE =∠OEB , ∴∠OEB =∠DBE , ∴OE ∥BD ,第1题解图∵BD ⊥AC , ∴OE ⊥AC , ∵OE 为⊙O 半径, ∴AC 与⊙O 相切;(2)解:∵BD =6,sin C =35,BD ⊥AC , ∴BC =BDsin C =10, ∴AB =BC =10.设⊙O 的半径为r ,则AO =10-r , ∵AB =BC , ∴∠C =∠A , ∴sin A =sin C =35, ∵AC 与⊙O 相切于点E , ∴OE ⊥AC ,∴sin A =OE OA =r 10-r =35,∴r =154, 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明:连接OC ,如解图, ∵PC 切⊙O 于点C , ∴OC ⊥PC , ∴∠PCO =90°, ∴∠PCA +∠OCA =90°, ∵AB 为⊙O 的直径,第2题解图∴∠ACB =90°, ∴∠ABC +∠OAC =90°, ∵OC =OA , ∴∠OCA =∠OAC , ∴∠PCA =∠ABC ; (2)解:∵AE ∥PC , ∴∠PCA =∠CAF , ∵AB ⊥CG , ∴AC ︵=AG ︵, ∴∠ACF =∠ABC , ∵∠PCA =∠ABC , ∴∠ACF =∠CAF , ∴CF =AF , ∵CF =5, ∴AF =5, ∵AE ∥PC , ∴∠F AD =∠P , ∵sin ∠P =35, ∴sin ∠F AD =35,在Rt △AFD 中,AF =5,sin ∠F AD =35, ∴FD =3,AD =4, ∴CD =CF +FD =8, 在Rt △OCD 中,设OC =r , ∴r 2=(r -4)2+82,∴r =10, ∴AB =2r =20, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AEB =90°,在Rt △ABE 中,sin ∠EAD =35, ∴BE AB =35, ∵AB =20, ∴BE =12.3. 解:(1)直线PD 与⊙O 相切, 理由如下:如解图①,连接DO ,CO , ∵∠PDA =∠ADC , ∴∠PDC =2∠ADC , ∵∠AOC =2∠ADC , ∴∠PDC =∠AOC , ∵直径AB ⊥CD 于点E , ∴∠AOD =∠AOC , ∴∠PDC =∠AOD , ∵∠AOD +∠ODE =90°, ∴∠PDC +∠ODE =90°, ∴OD ⊥PD , ∵OD 是⊙O 的半径, ∴直线PD 与⊙O 相切; (2)如解图②,连接BD , ∵M 恰为BC ︵的中点,第3题解图①∴∠CDM =∠BDM , ∵OD =OB , ∴∠BDM =∠DBA , ∴∠CDM =∠DBA , ∵直线PD 与⊙O 相切, ∴∠PDA +∠ADO =90°, 又∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,即∠ADO +∠BDM =90°, ∴∠PDA =∠BDM , ∴∠PDA =∠DBA =∠CDM , 又∵∠PDA =∠ADC , ∴∠PDM =3∠CDM =90°, ∴∠CDM =30°, ∴∠DBA =30°, ∴DE BE =tan30°=33; (3)如解图③,∵tan ∠PDA =12,∠PDA =∠ADC , ∴AE DE =12,即DE =2AE ,在Rt △DEO 中,设⊙O 的半径为r , DE 2+EO 2=DO 2, ∴(2AE )2+(r -AE )2=r 2, 解得r =52AE ,在Rt △PDE 中,DE 2+PE 2=PD 2,第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2+(2+AE )2=PD 2, ∵直线PD 与⊙O 相切,连接BD , 由(2)知∠PDA =∠DBA ,∠P =∠P , ∴△P AD ∽△PDB , ∴PD PB =P A PD ,∴PD 2=P A ·PB ,即PD 2=2×(2+2r ), ∴(2AE )2+(2+AE )2=2×(2+2r ), 化简得5AE 2+4AE =4r , ∵r =52AE , 解得r =3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明:(1)∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ADC =90°, ∴∠CDB =90°, 又∵∠ACB =90°, ∴∠ACB =∠CDB , 又∵∠B =∠B , ∴△ABC ∽△CBD ; (2)连接DO ,如解图,∵∠BDC =90°,E 为BC 的中点, ∴DE =CE =BE , ∴∠EDC =∠ECD ,第1题解图又∵OD =OC , ∴∠ODC =∠OCD ,而∠OCD +∠DCE =∠ACB =90°, ∴∠EDC +∠ODC =90°,即∠EDO =90°, ∴DE ⊥OD , ∵OD 为⊙O 的半径, ∴DE 与⊙O 相切.2. (1)证明:连接CE ,如解图, ∵CD 为⊙O 的直径, ∴∠CED =90°, ∵∠BCA =90°, ∴∠CED =∠BCO , ∵BO ∥DE , ∴∠BOC =∠CDE , ∴△CBO ∽△ECD , ∴CO DE =BO CD , ∴CO ·CD =DE ·BO ;(2)解:∵∠DFE =∠ECO ,CD =2·OC =10,∴在Rt △CDE 中,ED =CD ·sin ∠ECO =CD ·sin ∠DFE = 10×35=6,∴CE =CD 2-ED 2=102-62=8, 在Rt △CEG 中,EG CE =sin ∠ECG =35, ∴EG =35×8=245,第2题解图根据垂径定理得:EF =2EG =485. 3. (1)证明:如解图,连接OD , ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB =90°, ∵AB =AC ,∴AD 垂直平分BC ,即DC =DB , ∴OD 为△BAC 的中位线, ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC , ∴OD ⊥DE , ∵OD 是⊙O 的半径, ∴EF 是⊙O 的切线;(2)解:∵∠DAC =∠DAB ,且∠AED =∠ADB =90°, ∴∠ADE =∠ABD ,在Rt △ADB 中,sin ∠ADE =sin ∠ABD =AD AB =45,而AB =10, ∴AD =8,在Rt △ADE 中,sin ∠ADE =AE AD =45, ∴AE =325, ∵OD ∥AE , ∴△FDO ∽△FEA ,∴OD AE =FO F A ,即5325=BF +5BF +10,第3题解图∴BF =907.4. (1)证明:如解图①,连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D , ∴OD ⊥BC ,∴∠ODB =90°=∠C , ∴OD ∥AC , ∵∠B =30°, ∴∠A =60°, ∵OA =OE ,∴△AOE 是等边三角形, ∴AE =AO =OD ,∴四边形AODE 是平行四边行, ∵OA =OD ,∴平行四边形AODE 是菱形; (2)解:设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC , ∴△OBD ∽△ABC ,∴OD AC =OBAB ,即10r =6(10-r ). 解得r =154, ∴⊙O 的半径为154.如解图②,连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC , ∴∠DAC =∠ADO ,第4题解图①∵OA =OD , ∴∠ADO =∠DAO , ∴∠DAC =∠DAO , ∵AF 是⊙O 的直径, ∴∠ADF =90°=∠C , ∴△ADC ∽△AFD , ∴AD AC =AF AD , ∴AD 2=AC ·AF ,∵AC =6,AF =154×2=152, ∴AD 2=152×6=45,∴AD =45=3 5.(9分) 5. 解:(1)存在,AE =CE . 理由如下:如解图①,连接AE ,ED , ∵AC 是△ABC 的斜边, ∴∠ABC =90°, ∴AE 为⊙O 的直径, ∴∠ADE =90°, 又∵D 是AC 的中点, ∴ED 为AC 的中垂线, ∴AE =CE ;(2)①如解图②,∵EF 是⊙O 的切线, ∴∠AEF =90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE=90°,∴∠AED+∠EAD=90°,∵∠AED+∠DEF=90°,∴∠EAD=∠DEF.又∵∠ADE=∠EDF=90°∴△AED∽△EFD,∴ADED=EDFD,∴ED2=AD·FD.又∵AD=DC=CF,∴ED2=2AD·AD=2AD2,在Rt△AED中,∵AE2=AD2+ED2=3AD2,由(1)知∠AED=∠CED,又∵∠CED=∠CAB,∴∠AED=∠CAB,∴sin∠CAB=sin∠AED=ADAE=13=33.②sin∠CAB=a+2 a+2.【解法提示】由(2)中的①知ED2=AD·FD,∵CF=aCD(a>0),∴CF=aCD=aAD,∴ED2=AD·DF=AD(CD+CF)=AD(AD+aAD)=(a+1)AD2,在Rt△AED中,AE2=AD2+ED2=(a+2)AD2,∴sin ∠CAB =sin ∠AED =ADAE =1a +2=a +2a +2. 6. (1)证明:∵∠ODB =∠AEC ,∠AEC =∠ABC , ∴∠ODB =∠ABC , ∵OF ⊥BC , ∴∠BFD =90°,∴∠ODB +∠DBF =90°, ∴∠ABC +∠DBF =90°, 即∠OBD =90°, ∴BD ⊥OB , ∵OB 为⊙O 的半径, ∴BD 是⊙O 的切线;(2)证明:连接AC ,如解图①所示: ∵OF ⊥BC , ∴BE ︵=CE ︵, ∴∠ECH =∠CAE , ∵∠HEC =∠CEA , ∴△CEH ∽△AEC , ∴CE EH =EA CE , ∴CE 2=EH ·EA ;(3)解:连接BE ,如解图②所示: ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB =90°,∵⊙O 的半径为5,sin ∠BAE =35,第6题解图①第6题解图②∴AB =10,BE =AB ·sin ∠BAE =10×35=6, 在Rt △AEB 中,EA =AB 2-BE 2=102-62=8, ∵BE ︵=CE ︵, ∴BE =CE =6, ∵CE 2=EH ·EA , ∴EH =CE 2EA =628=92,在Rt △BEH 中,BH =BE 2+EH 2=62+(92)2=152.7. (1)证明:连接OD ,如解图①, ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D , ∴∠BAD =∠CAD , ∴BD ︵=CD ︵, ∴OD ⊥BC , ∵BC ∥DF , ∴OD ⊥DF , ∴DF 为⊙O 的切线;(2)解:连接OB ,连接OD 交BC 于P ,作BH ⊥DF 于H ,如解图①,∵∠BAC =60°,AD 平分∠BAC , ∴∠BAD =30°,∴∠BOD =2∠BAD =60°, 又∵OB =OD ,∴△OBD 为等边三角形, ∴∠ODB =60°,OB =BD =23,第7题解图①∴∠BDF =30°, ∵BC ∥DF , ∴∠DBP =30°,在Rt △DBP 中,PD =12BD =3,PB =3PD =3, 在Rt △DEP 中, ∵PD =3,DE =7,∴PE =(7)2-(3)2=2, ∵OP ⊥BC , ∴BP =CP =3,∴CE =CP -PE =3-2=1, 易证得△BDE ∽△ACE , ∴BE AE =DE CE ,即5AE =71, ∴AE =577. ∵BE ∥DF , ∴△ABE ∽△AFD ,∴BE DF =AE AD ,即5DF =5771277,解得DF =12,在Rt △BDH 中,BH =12BD =3, ∴S 阴影=S △BDF -S 弓形BD =S △BDF -(S 扇形BOD -S △BOD )=12·12·3-60·π·(23)2360+34·(23)2=93-2π;(7分)(3)解:连接CD ,如解图②,由AB AC =43可设AB =4x ,AC =3x ,BF =y , ∵BD ︵=CD ︵, ∴CD =BD =23, ∵DF ∥BC ,∴∠F =∠ABC =∠ADC , ∴∠FDB =∠DBC =∠DAC , ∴△BFD ∽△CDA , ∴BD AC =BF CD ,即233x =y 23,∴xy =4,∵∠FDB =∠DBC =∠DAC =∠F AD , 而∠DFB =∠AFD , ∴△FDB ∽△F AD , ∴DF AF =BF DF , ∵DF +BF =8, ∴DF =8-BF =8-y , ∴8-y y +4x =y 8-y , 整理得:16-4y =xy , ∴16-4y =4,解得y =3, 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明:连接OE ,过点O 作OF ⊥PN ,如解图所示, ∵PM 与⊙O 相切, ∴OE ⊥PM ,∴∠OEP =∠OFP =90°, ∵PC 平分∠MPN , ∴∠EPO =∠FPO , 在△PEO 和△PFO 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO =∠FPO ∠OEP =∠OFP OP =OP, ∴△PEO ≌△PFO (AAS), ∴OF =OE ,∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切;(2)解:在Rt △EPO 中,∠MPC =30°,PE =23, ∴∠EOP =60°,OE =PE ·tan30°=2, ∴∠EOB =120°,则劣弧BE ︵的长为120π×2180=4π3.2. (1)证明:如解图①,连接BO 并延长交⊙O 于点N ,连接CN , ∵∠BMC =60°, ∴∠BNC =60°, ∵∠BNC +∠NBC =90°, ∴∠NBC =30°,又∵△ABC 为等边三角形,第1题解图∴∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°, ∴∠ABN =30°+60°=90°, ∴AB ⊥BO ,即AB 为⊙O 的切线.(2)解:BE +CF =3,是定值. 理由如下:如解图②,连接D 与AC 的中点P , ∵D 为BC 中点, ∴AD ⊥BC , ∴PD =PC =12AC , 又∵∠ACB =60°,∴PD =PC =CD =BD =12AC , ∴∠DPF =∠PDC =60°, ∴∠PDF +∠FDC =60°, 又∵∠EDF =120°, ∴∠BDE +∠FDC =60°, ∴∠PDF =∠BDE , 在△BDE 和△PDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD =∠DPF BD =PD∠BDE =∠PDF, ∴△BDE ≌△PDF (ASA), ∴BE =PF ,∴BE +CF =PF +CF =CP =BD , ∵OB ⊥AB ,∠ABC =60°,第2题解图②∴∠OBC =30°, 又∵OB =2,∴BD =OB ·cos30°=2×32=3, 即BE +CF = 3.3. (1)证明:连接OC ,如解图①, ∵OD ⊥AC ,OC =OA , ∴∠AOD =∠COD . 在△AOE 和△COE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧OA =OC ∠AOE =∠COE OE =OE, ∴△AOE ≌△COE (SAS), ∴∠EAO =∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线, ∴∠ECO =90°, ∴∠EAO =90°. ∴AE 与⊙O 相切;(2)解:设DO =t ,则DE =3t ,EO =4t , 在△EAO 和△ADO 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA =∠AOD ∠EAO =∠ADO, ∴△EAO ∽△ADO , ∴AO DO =EO AO ,即9t =4t 9, ∴t =92,即EO =18.第3题解图①∴AE =EO 2-AO 2=182-92=93;延长BD 交AE 于点F ,过O 作OG ∥AE 交BD 于点G , 如解图②, ∵OG ∥AE , ∴∠FED =∠GOD 又∵∠EDF =∠ODG , ∴△EFD ∽△OGD , ∴EF OG =ED OD =31,即EF =3GO . 又∵O 是AB 的中点, ∴AF =2GO ,∴AE =AF +FE =5GO , ∴5GO =93, ∴GO =935, ∴AF =1835, ∴tan B =AF AB =35.4. (1)证明:如解图,连接OB , ∵PB 是⊙O 的切线, ∴∠PBO =90°,∵OA =OB ,BA ⊥PO 于点D , ∴AD =BD ,∠POA =∠POB , 又∵PO =PO ,∴△P AO ≌△PBO (SAS), ∴∠P AO =∠PBO =90°,第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ,∴直线P A 为⊙O 的切线;(2)解:线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2=4OD ·OP . 证明:∵∠P AO =∠PDA =90°,∴∠OAD +∠AOD =90°,∠OP A +∠AOP =90°,∴∠OAD =∠OP A ,∴△OAD ∽△OP A ,∴ OD OA =OA OP ,即OA 2=OD ·OP ,又∵EF =2OA ,∴EF 2=4OD ·OP ;(3)解:∵OA =OC ,AD =BD ,BC =6,∴OD =12BC =3,设AD =x ,∵tan ∠F =12,∴FD =2x ,OA =OF =FD -OD =2x -3,在Rt △AOD 中,由勾股定理,得(2x -3)2=x 2+32,解之得,x 1=4,x 2=0(不合题意,舍去),∴AD =4,OA =2x -3=5,∵AC 是⊙O 直径,∴∠ABC =90°,又∵AC =2OA =10,BC =6,∴ cos ∠ACB =610=35.∵OA 2=OD ·OP ,∴3(PE +5)=25,∴PE =103.5. (1)证明:连接OD ,如解图,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,∴∠ACD =∠BCD =45°,∴∠DAB =∠ABD =45°,∴△DAB 为等腰直角三角形,∴DO ⊥AB ,∵PD 为⊙O 的切线,∴OD ⊥PD ,∴PD ∥AB ;(2)证明:∵AE ⊥CD 于点E ,BF ⊥CD 于点F ,∴AE ∥BF ,∴∠FBO =∠EAO ,∵△DAB 为等腰直角三角形,∴∠EDA +∠FDB =90°,∵∠FBD +∠FDB =90°,∴∠FBD =∠EDA ,在△FBD 和△EDA 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD =∠DEA ∠FBD =∠EDA BD =DA, ∴△FBD ≌△EDA (AAS),∴DE =BF ;第5题解图(3)解:在Rt △ACB 中,∵AC =6,tan ∠CAB =43,∴BC =6×43=8,∴AB =AC 2+BC 2=62+82=10,∵△DAB 为等腰直角三角形,∴AD =AB 2=52, ∵AE ⊥CD ,∴△ACE 为等腰直角三角形,∴AE =CE =AC 2=62=32, 在Rt △AED 中,DE =AD 2-AE 2=(52)2-(32)2=42,∴CD =CE +DE =32+42=72,∵AB ∥PD ,∴∠PDA =∠DAB =45°,∴∠PDA =∠PCD ,又∵∠DP A =∠CPD ,∴△PDA ∽△PCD ,∴PD PC =P A PD =AD DC =5272=57, ∴P A =57PD ,PC =75PD ,又∵PC =P A +AC ,∴57PD +6=75PD ,解得PD =354,∴PC =57PD +6=57×354+6=254+6=494.6. (1)证明:如解图①,连接OC ,∵P A 切⊙O 于点A ,∴∠P AO =90°,∵BC ∥OP ,∴∠AOP =∠OBC ,∠COP =∠OCB ,∵OC =OB ,∴∠OBC =∠OCB ,∴∠AOP =∠COP ,在△P AO 和△PCO 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA =OC ∠AOP =∠COP OP =OP, ∴△P AO ≌△PCO (SAS),∴∠PCO =∠P AO =90°,∴OC ⊥PC ,∵OC 为⊙O 的半径,∴PC 是⊙O 的切线;(2)解:由(1)得P A ,PC 都为圆的切线,∴P A =PC ,OP 平分∠APC ,∠ADO =∠P AO =90°, ∴∠P AD +∠DAO =∠DAO +∠AOD ,又∵∠ADP =∠ADO ,∴∠P AD =∠AOD ,∴△ADP ∽△ODA ,∴AD PD =DO AD ,第6题解图①∴AD 2=PD ·DO ,∵AC =8,PD =163, ∴AD =12AC =4,OD =3,在Rt △ADO 中,AO =AD 2+OD 2=5,由题意知OD 为△ABC 的中位线,∴BC =6,AB =BC 2+AC 2=10.∴S 阴影=12S ⊙O -S △ABC =12·π·52-12×6×8=25π2-24;(3)解:如解图②,连接AE 、BE ,作BM ⊥CE 于点M , ∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90°,∵点E 是AB ︵的中点,∴AE =BE ,∠EAB =∠EBA =45°,∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45°,CM =MB =BC ·sin45°=32,BE =AB ·cos45°=52,∴EM =BE 2-BM 2=42,则CE =CM +EM =7 2.7. (1)证明:连接OD ,如解图①所示,∵OB =OD ,∴∠ODB =∠OBD .∵OG ∥BD ,∴∠AOG =∠OBD ,∠GOD =∠ODB ,∴∠DOG =∠AOG ,在△DOG 和△AOG 中,第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD =OA ∠DOG =∠AOG OG =OG, ∴△DOG ≌△AOG (SAS),∴GD =GA ;(2)证明:∵AG 切⊙O 于点A ,∴AG ⊥OA ,∴∠OAG =90°,∵△DOG ≌△AOG ,∴∠OAG =∠ODG =90°,∴∠ODE =180°-∠ODG =90°,∴∠ODC +∠FDE =90°,∵OC ⊥AB ,∴∠COB =90°,∴∠OCD +∠OFC =90°,∵OC =OD ,∴∠ODC =∠OCD ,∴∠FDE =∠OFC ,∵∠OFC =∠EFD ,∴∠EFD =∠EDF ,∴EF =ED ,∴△DEF 是等腰三角形;(3)解:过点B 作BK ⊥OD 于点K ,如解图②所示: 则∠OKB =∠BKD =∠ODE =90°,∴BK ∥DE ,∴∠OBK =∠E ,∵BH ⊥GE ,∴∠BHD =∠BHE =90°, ∴四边形KDHB 为矩形, ∴KD =BH =9,∴OK =OD -KD =72,在Rt △OKB 中,∵OK 2+KB 2=OB 2,OB =252, ∴KB =12,∴tan ∠E =tan ∠OBK =OK KB =724,sin ∠E =sin ∠OBK =OK OB =725,∵tan ∠E =OD DE =724,∴DE =3007,∴EF =3007,∵sin ∠E =BH BE =725,∴BE =2257,∴BF =EF -BE =757,∴OF =OB -BF =2514,在Rt △COF 中,∠COB =90°, ∴OC 2+OF 2=FC 2,∴FC =125214,在Rt △COB 中,∵OC 2+OB 2=BC 2,OC =OB =252, ∴BC =2522,∴BC +CF +BF =1502+757, ∴△CBF 的周长=1502+757.。
2018年河南省中考数学试卷含答案解析(word版)
2018年河南省中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B.C.﹣ D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103 C.2.147×1010D.0.2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.治理杨絮一一您选哪一项?(单选)A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树C.选育无絮杨品种,并推广种植D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮E.其他根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE 的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF 为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M 的坐标.2018年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B.C.﹣ D.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.【解答】解:﹣的相反数是:.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103 C.2.147×1010D.0.2147×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.【解答】解:214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面.故选:D.【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=1【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断.【解答】解:A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误;B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误;C、x3•x4=x7,此选项正确;D、2x3﹣x3=x3,此选项错误;故选:C.【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则.5.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是0【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案.【解答】解:A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是:15.3%,故此选项错误;B、众数是15.3%,正确;C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)=14.98%,故选项C错误;D、∵5个数据不完全相同,∴方差不可能为零,故此选项错误.故选:B.【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义,正确把握相关定义是解题关键.6.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.【分析】设设合伙人数为x人,羊价为y线,根据羊的价格不变列出方程组.【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:.故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系是解题的关键.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.【解答】解:A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=xx2﹣x=0△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0两个不相等实数根;C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,方程无实根;D、(x﹣1)2+1=0(x﹣1)2=﹣1,则方程无实根;故选:B.【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.8.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率.【解答】解:令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示,可得:,一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种,故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:.故选:D.【点评】此题主要考查了树状图法求概率,正确列举出所有的可能是解题关键.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,进而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2).【解答】解:∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=,由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2【分析】通过分析图象,点F从点A到D用as,此时,△FBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知,BD=,应用两次勾股定理分别求BE和a.【解答】解:过点D作DE⊥BC于点E由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2.∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时,用s∴BD=Rt△DBE中,BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1,DC=aRt△DEC中,a2=22+(a﹣1)2解得a=故选:C.【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=2.【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.【解答】解:原式=5﹣3=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为140°.【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案.【解答】解:∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∴∠EOB=90°,∵∠EOD=50°,∴∠BOD=40°,则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°.故答案为:140°.【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义,正确把握相关定义是解题关键.13.(3分)不等式组的最小整数解是﹣2.【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,即可得出答案.【解答】解:∵解不等式①得:x>﹣3,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集为﹣3<x≤1,∴不等式组的最小整数解是﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为π.【分析】利用弧长公式L=,计算即可;【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′=∠BCA′=45°,∴∠BCB′=135°,∴S==π.阴【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4或4.【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4.【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'B=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB==4;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,【解答】解:当x=+1时,原式=•=1﹣x=﹣【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.治理杨絮一一您选哪一项?(单选)A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树C.选育无絮杨品种,并推广种植D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮E.其他根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有2000人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是28.8°;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.【分析】(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360°乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.【解答】解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,故答案为:2000;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,故答案为:28.8°;(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人).【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.【分析】(1)将P点坐标代入y=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;(2)如图所示:矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,矩形的判定与性质,正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为30°时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为22.5°时,四边形ECOG为正方形.【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明△CEF和△FEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∵FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴EF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∴∠AOC=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OEG=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,而OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°,22.5°.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE 的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF 为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【分析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.【解答】解:在Rt△ACE中,∵tan∠CAE=,∴AE==≈≈21(cm)在Rt△DBF中,∵tan∠DBF=,∴BF==≈=40(cm)∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151cm答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是80元,当销售单价x=100元时,日销售利润w最大,最大值是2000元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式;(2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和w的最大值;(3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本.【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,,得,即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600,当x=115时,y=﹣5×115+600=25,即m的值是25;(2)设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80,100,2000;(3)设科技创新后成本为b元,当x=90时,(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750,解得,b≤65,答:该产品的成本单价应不超过65元.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答.22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为1;②∠AMB的度数为40°.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则=,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.【解答】解:(1)问题发现①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB,∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴=1,②∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°,故答案为:①1;②40°;(2)类比探究如图2,=,∠AMB=90°,理由是:Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴,同理得:,∴,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴=,∠CAO=∠DBO,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;(3)拓展延伸①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,BC=x﹣2,Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,∴AB=2OB=2,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,,x2﹣x﹣6=0,(x﹣3)(x+2)=0,x1=3,x2=﹣2,∴AC=3;②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,+(x+2)2=x2+x﹣6=0,(x+3)(x﹣2)=0,x1=﹣3,x2=2,∴AC=2;综上所述,AC的长为3或2.【点评】本题是三角形的综合题,主要考查了三角形全等和相似的性质和判定,几何变换问题,解题的关键是能得出:△AOC∽△BOD,根据相似三角形的性质,并运用类比的思想解决问题,本题是一道比较好的题目.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M 的坐标.【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,﹣5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,﹣2),AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的。
2018年河南省中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页(共20页) 数学试卷 第2页(共20页)绝密★启用前河南省2018年初中学业水平考试数 学(考试时间100分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.25-的相反数是( )A .25-B .25C .52-D .522.今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元.数据“214.7亿”用科学记数法表示为( ) A .22.14710⨯ B .30.214710⨯ C .102.14710⨯D .110.214710⨯ 3.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是( ) A .厉 B .害 C .了 D .我(第3题) 4.下列运算正确的是()A .235()x x -=-B .235x x x +=C .347x x x =gD .3321x x -=5.河南省游资源丰富,2013—2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是( )A .中位数是12.7%B .众数是15.3%C .平均数是15.98%D .方差是06.《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱.问:合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x 人,羊价为y 钱,根据题意,可列方程组为( )A .54573y x y x =+⎧⎨=+⎩B .54573y x y x =-⎧⎨=+⎩C .54573y x y x =+⎧⎨=-⎩D .54573y x y x =-⎧⎨=-⎩7.下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( )A .2690x x ++=B .2x x =C .232x x +=D .2(1)10x -+=8.现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“♢”,1张卡片正面上的图案是“♣”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取2张卡片,则这两张卡片正面图案相同的概率是( )A .916B .34C .38 D .129.如图,已知AOBC Y 的顶点0,0,(),2()1O A -,点B 在x 轴正半轴上.按以下步骤作图:①以点O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边,OA OB 于点,D E ;②分别以点,D E 为圆心,大于12DE 的长为半径作弧,两弧在AOB ∠内交于点F ;③作射线OF ,交边AC 于点G .则点G 的坐标为( ) A .1,2) B . C .(3- D .2,2)-10.如图1,点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发,沿A D B →→以1cm/s 的速度匀速运动到点B .图2是点F 运动时,FBC △的面积2(cm )y 随时间(s)x 变化的关系图象,则a的值为( ) A B .2-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------国我的了害厉毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第3页(共20页) 数学试卷 第4页(共20页)C .5D .(第10题)二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 11.计算:|5|-= .12.如图,直线,AB CD 相交于点O ,EO AB ⊥于点O ,50EOD ∠=,则BOC ∠的度数为 .(第12题)13.不等式组5243x x +⎧⎨-⎩≥>的最小整数解是 .14.如图,在ABC △中,90,2ACB AC BC ∠===.将ABC △绕AC 的中点D 逆时针旋转90得到A B C '''△,其中点B 的运动路径为BB ',则图中阴影部分的面积为 .(第14题)15.如图,90MAN ∠=,点C 在边AM 上,4AC =,点B 为边AN 上一动点,连接BC ,A BC '△与ABC △关于BC 所在直线对称.点,D E 分别为,AC BC 的中点,连接DE 并延长交A B '所在直线于点F ,连接A E '.当A EF '△为直角三角形时,AB 的长为 .(第15题)三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分8分)先化简,再求值:21(1)11xx x -÷+-,其中1x . 17.(本小题满分9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰.为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如右表所示),并根据调查结果绘制(第17题)根据以上统计图,解答下列问题: (1)本次接受调查的市民共有 人.(2)扇形统计图中,扇形E 的圆心角度数是 . (3)请补全条形统计图.(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数. 18.(本小题满分9分)如图,反比例函数0ky x x=(>)的图象过格点(网格线的交点)P .(1)求反比例函数的解析式.(2)在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点,O P . ②矩形的面积等于k 的值.(第18题)19.(本小题满分9分)如图,AB 是O e 的直径,DO AB ⊥于点O ,连接DA 交O e 于点C ,过点C 作O e 的切线交DO 于点E ,连接BC 交DO 于点F .(1)求证:CE EF =.ABCD EOC D B A 调查结果扇形统计图E 25%40%12%15%调查结果条形统计图NM F EA′BCD B数学试卷 第5页(共20页) 数学试卷 第6页(共20页)(2)连接AF 并延长,交O e 于点G ,填空:①当D ∠的度数为 时,四边形ECFG 为菱形. ②当D ∠的度数为 时,四边形ECFG 为正方形.(第19题)20.(本小题满分9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自已的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上,A B 两点间的距离为90cm ,低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155cm ,高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234cm ,已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角CAE ∠为82.4,高杠的支架BD 与直线AB 的夹角DBF ∠为80.3,求高、低杠间的水平距离CH 的长.(结果精确到1cm .参考数据:sin82.40.991≈,cos82.40.132,tan82.47.500,sin80.30.983,cos80.30.168≈≈︒≈︒≈,tan80.3 5.850≈)(第20题)21.(本小题满分10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y (个)与销售单价x (元)之[注:日销售利润=日销售量⨯(销售单价-成本单价)](1)求y 关于x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)及m 的值;(2)该产品的成本单价是 元.当销售单价x = 元时,日销售利润ω最大,最大值是 元.(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元? 22.(本小题满分10分) (1)问题发现如图1,在OAB △和OCD △中,,,40OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠=,连接,AC BD 交于点M .填空:①AC BD的值为 ;②AM B ∠的度数为 . (2)类比探究如图2,在OAB △和OCD △中,90,30AOB COD OAB OCD ∠=∠=∠=∠=,连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断ACBD的值及AM B ∠的度数,并说明理由. (3)拓展延伸在(2)的条件下,将OCD △绕点O 在平面内旋转,,AC BD 所在直线交于点M .若1,OD OB ==请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图1 图2 备用图(第22题)23.(本小题满分11分)如图,抛物线26y ax x c =++交x 轴于,A B 两点,交y 轴于点C .直线5y x =-经过点,B C .(1)求抛物线的解析式.(2)过点A 的直线交直线BC 于点M .①当AM BC ⊥时,过抛物线上一动点P (不与点,B C 重合),作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ,若以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标. ②连接AC ,当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时,请直接写出点M 的坐标.MOD CBA M DCOBA OAB毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页(共20页) 数学试卷 第8页(共20页)(第23题) 备用图数学试卷 第9页(共20页) 数学试卷 第10页(共20页)河南省2018年初中学业水平考试数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】25-的相反数是25. 【考点】相反数. 2.【答案】C【解析】214.7亿1021470000000 2.14710==⨯. 【考点】科学记数法. 3.【答案】D【解析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面. 故选:D .【考点】正方体的表面展开图. 4.【答案】C【解析】A 、236()x x -=-,此选项错误; B 、2x 、3x 不是同类项,不能合并,此选项错误; C 、347x x x =g ,此选项正确; D 、3332x x x -=,此选项错误; 故选:C .【考点】整式的运算. 5.【答案】B【解析】A 、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%, 故中位数是:15.3%,故此选项错误; B 、众数是15.3%,正确;C 、1(15.3%12.7%15.3%14.5%17.1%)14.98%5++++=,故选项C 错误;D 、∵5个数据不完全相同, ∴方差不可能为零,故此选项错误. 故选:B .【考点】中位数,众数,平均数,方差.6.【答案】A【解析】设合伙人数为x 人,羊价为y 线,根据题意,可列方程组为:54573y x y x =+⎧⎨=+⎩.故选:A .【考点】列二元一次方程组解应用题. 7.【答案】B【解析】A 、2690x x ++=264936360∆=-⨯=-=,方程有两个相等实数根; B 、2x x =20x x -=2(1)41010∆=--⨯⨯=>,两个不相等实数根; C 、232x x +=2230x x -+=2(2)41380∆=--⨯⨯=-<,方程无实根; D 、2(1)10x -+=2(1)1x -=-,则方程无实根; 故选:B .【考点】一元二次方程根的判别式. 8.【答案】D数学试卷 第11页(共20页) 数学试卷 第12页(共20页)【解析】根据题意可列表如下表所示.通过表格可以看出,所有等可能结果共有12种,其中2张卡片正面图案相同的结果有6种,所以P (2张卡片正面图案相同)61122==.【考点】概率. 9.【答案】A【解析】∵AOBC 的顶点(0,0),(1,2)O A -,∴1,2AH HO ==,∴Rt AOH △中,AO =OF 平分AOB ∠,∴AOG EOG ∠=∠,又∵AG OE ∥,∴AGO EOG ∠=∠,∴AGO AOG∠=∠,∴AG AO =,∴1HG =,∴1,2)G ,故选:A .【考点】平行四边形的性质,角平分线的画法,平面直角坐标系中点的坐标. 10.【答案】C【解析】过点D 作DE BC ⊥于点E ,由图象可知,点F 由点A 到点D 用时为s a ,FBC △的面积为2cm a . ∴AD a =∴12DE AD a =g ∴2DE =当点F 从D 到B∴BD =Rt DBE △中,1BE ==∵ABCD 是菱形 ∴1EC a =-,DC a =Rt DEC △中,2222(1)a a =+-解得32a =.故选:C .【考点】函数图象的阅读理解. 二、填空题 11.【答案】2【解析】原式532=-=. 【考点】实数的运算. 12.【答案】140【解析】∵直线,AB CD 相交于点O ,EO AB ⊥于点O , ∴90EOB ∠=, ∵50EOD ∠=, ∴40BOD ∠=,则BOC ∠的度数为:18040140-=.故答案为:140.【考点】垂直的性质和补角的性质. 13.【答案】2-数学试卷 第13页(共20页) 数学试卷 第14页(共20页)【解析】5243x x +⎧⎨-⎩>①≥②∵解不等式①得:3x >-, 解不等式②得:1x ≤, ∴不等式组的解集为31x -<≤, ∴不等式组的最小整数解是2-, 故答案为:2-.【考点】解一元一次不等式组及其最小整数解.14.【答案】53π42-【解析】如图,连接,BD B D '.由旋转可知,90BDB BCD B C D '''∠=,△≌△. ∵2AC BC ==,点D 为AC 的中点,∴1CD =.又∵90ACB ∠=,∴B D BD '===∴153(12)1π242BDB CDC B S S S '''=-⨯+⨯=-阴影部分扇形梯形.【考点】阴影部分的面积. 15.【答案】4或【解析】当A EF '△为直角三角形时,存在两种情况: ①当∠A'EF=90°时,如图1,∵A BC '△与ABC △关于BC 所在直线对称, ∴'4,'A C AC ACB A CB ==∠=∠, ∵点,D E 分别为,AC BC 的中点, ∴D 、E 是ABC △的中位线,∴DE AB ∥,∴90CDE MAN ∠=∠=, ∴CDE A EF '∠=∠, ∴AC A E '∥, ∴ACB A EC '∠=∠, ∴A CB A EC ''∠=∠, ∴4A C A E ''==,Rt A CB '△中,∵E 是斜边BC 的中点,∴28BC A B '==,由勾股定理得:222AB BC AC =-,∴AB == ②当90A FE '∠=︒时,如图2, ∵90ADF A DFB ∠=∠=∠=, ∴90ABF ∠=,∵A BC '△与ABC △关于BC 所在直线对称, ∴45ABC CBA '∠=∠=, ∴ABC △是等腰直角三角形, ∴4AB AC ==;综上所述,AB的长为或4;故答案为:或4.【考点】直角三角形的性质,轴对称的性质. 三、解答题16.【答案】解:原式11(1)(1)1x x xx x--+-=+1x=-.当1x=时,原式11)=-=【解析】根据分式的运算法则即可求出答案.【考点】分式的运算.17.【答案】解:(1)2000(2)28.8(3)补全条形统计图如图所示.(4)9040%36⨯=(万人)即估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数约为36万人.【解析】(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.【考点】条形统计图和扇形统计图的综合运用.18.【答案】解:(1)∵点(2,2)P在反比例函数(0)ky xx=>的图象上,∴22k=,即4k=.∴反比例函数的解析式为4yx=.(2)如图所示,矩形OAPB,矩形OCDP,矩形OEFP都是符合题意的图形,任意画出两个即可.【解析】(1)将P点坐标代入kyx=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.【考点】应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,矩形的判定与性质.19.【答案】(1)证明:连接OC.∵CE 是O的切线,∴OC CE⊥.∴90FCO ECF∠+∠=.∵DO AB⊥,∴90B BFO∠+∠=.∵CFE BFO∠=∠,∴90B CFE∠+∠=.∵,OC OB FCO B=∠=∠.∴ECF CFE∠=∠.∴CE EF=.(2)解:①30②22.5【解析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得1490∠+∠=,再利用等腰三角形和互余证明12∠=∠,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;(2)①当30D∠=时,60DAO∠=,证明CEF△和FEG△都为等边三角形,从而得到EF FG GE CE CF====,则可判断四边形ECFG为菱形;②当22.5D∠=时,67.5DAO∠=,利用三角形内角和计算出45COE∠=,利用对称得45EOG∠=,则90COG∠=,接着证明OECOEG△≌△得到90OEG OCE∠=∠=,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形数学试卷第15页(共20页)数学试卷第16页(共20页)数学试卷 第17页(共20页) 数学试卷 第18页(共20页)ECOG 为正方形.【考点】切线的性质. 四、解答题20.【答案】解:在Rt CAE △中,15515520.7(cm)tan 7.500tan82.4CE AE CAE ==≈≈∠.在Rt DBF △中,23423440(cm)tan 5.850tan80.3DF BF DBF ==≈=∠.∴20.79040150.7151(cm)EF AE AB BF =++≈++=≈. ∵四边形CEFH 为矩形,∴151cm CH EF =≈. 即高、低杠间的水平距离CH 的长约是151cm .【解析】利用锐角三角函数,在Rt ACE △和Rt DBF △中,分别求出AE 、BF 的长.计算出EF .通过矩形CEFH 得到CH 的长. 【考点】锐角三角函数解直角三角形.21.【答案】解:(1)设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+.由题意,得85175,95125,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得5,600.k b =-⎧⎨=⎩∴y 关于x 的函数解析式为5600y x =-+. (2)80 100 2 000(3)设该产品的成本单价为a 元.由题意,得(590600)(90)3750a -⨯+-≥, 解得65a ≤.答:该产品的成本单价应不超过65元.【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式; (2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和ω的最大值; (3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本. 【考点】二次函数的应用,一元二次方程的应用,不等式的应用. 22.【答案】解:(1)①1②40 (2)90ACAMB BD=∠=. 理由如下:∵9030AOB COD OAB OCD ∠=∠=∠=∠=,, ∴tan603CO AODO BO===, COD AOD AOB AOD ∠+∠=∠+∠,即AOC BOD ∠=∠,∴AOC BOD △∽△. ∴AC COCAO DBO BD DO=∠=∠. ∵90AOB ∠=,∴90DBO ABD BAO ∠+∠+∠=, ∴90CAO ABD BAO ∠+∠+∠=,∴90AMB ∠=.(3)AC的长为【解析】(1)①证明()COA DOB SAS △≌△,得AC BD =,比值为1;②由()COA DOB SAS △≌△,得CAO DBO ∠=∠,根据三角形的内角和定理得:180()18014040AMB DBO OAB ABD ∠=-∠+∠+∠=-=;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ,则 = ,由全等三角形的性质得∠AMB 的度数;(3)正确画图形,当点C 与点M 重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:AOCBOD △∽△,则90,ACAMB BD∠=AC 的长.【考点】三角形全等和相似的性质和判定,几何变换问题.23.【答案】解:(1)∵直线5y x =-交x 轴于点B ,交y 轴于点C , ∴(5,0),(0,5)B -.∵抛物线26y ax x c=++过点,B C ,数学试卷 第19页(共20页) 数学试卷 第20页(共20页)∴25300,5,a c c ++=⎧⎨=-⎩∴1,5.a c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为265y x x =-+-.(2)①∵5,90OB OC BOC ==∠=,∴45ABC ∠=. ∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于,A B 两点, ∴(1,0)A .∴4AB =. ∵AM BC ⊥,∴AM =. ∵PQ AM ∥,∴PQ ⊥.若以点,,,A M P Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ AM ==过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ,则45PDQ ∠=.∴4PD ==.设2(,65)P m m m -+-,则(,5)D m m -. 分两种情况讨论:a .当点P 在直线BC 上方时,2265(5)54PD m m m m m =-+---=-+=. ∴11m =(舍去),24m =. b .当点P 在直线BC 下方时,225(65)54PD m m m m m =---+-=-=.∴345522m m +==. 综上所述,点P 的横坐标为4或52+52-. ②1317(,)66M -或237(,)66-. 【解析】(1)利用一次函数解析式确定(0,5)C -,(5,0)B ,然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程2650x x -+-=得(1,0)A ,再判断OCB △为等腰直角三角形得到45OBC OCB ∠=∠=,则A M B △为等腰直角三角形,所以AM =平行四边形的性质得到PQ AM PQ BC ==⊥,作PD x ⊥轴交直线BC 于D ,如图1,利用45PDQ ∠=得到4PD ==,设2(,65)P m m m -+-,则(,5)D m m -,讨论:当P 点在直线BC 上方时,265(5)4PD m m m =-+---=;当P 点在直线BC 下方时,25(65)4PD m m m =---+-=,然后分别解方程即可得到P 点的横坐标;②作AN BC ⊥于N ,NH x ⊥轴于H ,作AC 的垂直平分线交BC 于1M ,交AC 于E ,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到12AM B ACB ∠=∠,再确定(3,2)N -,AC 的解析式为55y x =-,E 点坐标为15(,)22-,利用两直线垂直的问题可设直线1EM 的解析式为15y x b =-+,把15(,)22E -代入求出b 得到直线1EM 的解析式为11255y x =--,则解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩得1M 点的坐标;作直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ,如图2,利用对称性得到212AM C AM B ACB ∠=∠=∠,设2(,5)M x x -,根据中点坐标公式得到13632x =,然后求出x 即可得到2M 的坐标,从而得到满足条件的点M 的坐标.【考点】二次函数综合题.。
(真题)2018年河南省中考数学试卷(有答案)
2018年河南省中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B.C.﹣ D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103 C.2.147×1010D.0.2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.2018年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B.C.﹣ D.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.【解答】解:﹣的相反数是:.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103 C.2.147×1010D.0.2147×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面.故选:D.【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=1【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断.【解答】解:A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误;B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误;C、x3•x4=x7,此选项正确;D、2x3﹣x3=x3,此选项错误;故选:C.【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则.5.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是0【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案.【解答】解:A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是:15.3%,故此选项错误;B、众数是15.3%,正确;C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)=14.98%,故选项C错误;D、∵5个数据不完全相同,∴方差不可能为零,故此选项错误.故选:B.【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义,正确把握相关定义是解题关键.6.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.【分析】设设合伙人数为x人,羊价为y线,根据羊的价格不变列出方程组.【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:.故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系是解题的关键.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.【解答】解:A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=xx2﹣x=0△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0两个不相等实数根;C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,方程无实根;D、(x﹣1)2+1=0(x﹣1)2=﹣1,则方程无实根;故选:B.【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.8.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率.【解答】解:令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示,可得:,一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种,故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:.故选:D.【点评】此题主要考查了树状图法求概率,正确列举出所有的可能是解题关键.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,进而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2).【解答】解:∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=,由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2【分析】通过分析图象,点F从点A到D用as,此时,△FBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知,BD=,应用两次勾股定理分别求BE和a.【解答】解:过点D作DE⊥BC于点E由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2.∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时,用s∴BD=Rt△DBE中,BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1,DC=aRt△DEC中,a2=22+(a﹣1)2解得a=故选:C.【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=2.【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.【解答】解:原式=5﹣3=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为140°.【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案.【解答】解:∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∴∠EOB=90°,∵∠EOD=50°,∴∠BOD=40°,则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°.故答案为:140°.【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义,正确把握相关定义是解题关键.13.(3分)不等式组的最小整数解是﹣2.【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,即可得出答案.【解答】解:∵解不等式①得:x>﹣3,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集为﹣3<x≤1,∴不等式组的最小整数解是﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为π.【分析】利用弧长公式L=,计算即可;【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′=∠BCA′=45°,∴∠BCB′=135°,==π.∴S阴【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4或4.【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4.【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'B=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB==4;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,【解答】解:当x=+1时,原式=•=1﹣x=﹣【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有2000人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是28.8°;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.【分析】(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360°乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.【解答】解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,故答案为:2000;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,故答案为:28.8°;(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人).【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.【分析】(1)将P点坐标代入y=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;(2)如图所示:矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,矩形的判定与性质,正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为30°时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为22.5°时,四边形ECOG为正方形.【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明△CEF和△FEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∵FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴EF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∴∠AOC=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OEG=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,而OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°,22.5°.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【分析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.【解答】解:在Rt△ACE中,∵tan∠CAE=,∴AE==≈≈21(cm)在Rt△DBF中,∵tan∠DBF=,∴BF==≈=40(cm)∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151cm答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是80元,当销售单价x=100元时,日销售利润w最大,最大值是2000元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式;(2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和w的最大值;(3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本.【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,,得,即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600,当x=115时,y=﹣5×115+600=25,即m的值是25;(2)设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80,100,2000;(3)设科技创新后成本为b元,当x=90时,(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750,解得,b≤65,答:该产品的成本单价应不超过65元.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答.22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为1;②∠AMB的度数为40°.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则=,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.【解答】解:(1)问题发现①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB,∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴=1,②∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°,故答案为:①1;②40°;(2)类比探究如图2,=,∠AMB=90°,理由是:Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴,同理得:,∴,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴=,∠CAO=∠DBO,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;(3)拓展延伸①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,BC=x﹣2,Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,∴AB=2OB=2,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,,x2﹣x﹣6=0,(x﹣3)(x+2)=0,x1=3,x2=﹣2,∴AC=3;②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,+(x+2)2=x2+x﹣6=0,(x+3)(x﹣2)=0,x1=﹣3,x2=2,∴AC=2;综上所述,AC的长为3或2.【点评】本题是三角形的综合题,主要考查了三角形全等和相似的性质和判定,几何变换问题,解题的关键是能得出:△AOC∽△BOD,根据相似三角形的性质,并运用类比的思想解决问题,本题是一道比较好的题目.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,﹣5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,﹣2),AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),∵B(5,0),C(0,﹣5),∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,∴AM=AB=×4=2,∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,∴PD=PQ=×2=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,综上所述,P点的横坐标为4或或;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣,∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,解方程组得,则M1(,﹣);作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),∵3=,∴x=,。
2018年河南省中考数学真题试卷(含答案及详细解析)
2018年河南省中考数学真题试卷(含答案及详细解析)一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣B.C.﹣D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103C.2.147×1010D.0.2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7%B.众数是15.3%C.平均数是15.98%D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a 的值为()A.B.2C.D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.治理杨絮一一您选哪一项?(单选)A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树C.选育无絮杨品种,并推广种植D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮E.其他根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD 的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.【参考答案】一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.B【解析】﹣的相反数是:.故选:B.2.C【解析】214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,故选:C.3.D【解析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面.故选:D.4.C【解析】A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误;B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误;C、x3•x4=x7,此选项正确;D、2x3﹣x3=x3,此选项错误;故选:C.5.B【解析】A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是:15.3%,故此选项错误;B、众数是15.3%,正确;C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)=14.98%,故选项C错误;D、∵5个数据不完全相同,∴方差不可能为零,故此选项错误.故选:B.6.A【解析】设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:.故选:A.7.B【解析】A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=xx2﹣x=0△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0两个不相等实数根;C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,方程无实根;D、(x﹣1)2+1=0(x﹣1)2=﹣1,则方程无实根;故选:B.8.D【解析】令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示,可得:,一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种,故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:.故选:D.9.A【解析】∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=,由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.10.C【解析】过点D作DE⊥BC于点E由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2.∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时,用s∴BD=Rt△DBE中,BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1,DC=aRt△DEC中,a2=22+(a﹣1)2解得a=故选:C.二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)11.2【解析】原式=5﹣3=2.故答案为:2.12.140°【解析】∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∴∠EOB=90°,∵∠EOD=50°,∴∠BOD=40°,则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°.故答案为:140°.13.﹣2【解析】∵解不等式①得:x>﹣3,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集为﹣3<x≤1,∴不等式组的最小整数解是﹣2,故答案为:﹣2.14.π【解析】△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′=∠BCA′=45°,∴∠BCB′=135°,∴S阴==π.15.4或4【解析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'B=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB==4;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.解:当x=+1时,原式=•=1﹣x=﹣17.解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,故答案为:2000;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,故答案为:28.8°;(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人).18.解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;(2)如图所示:矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.19.(1)证明:连接OC,如图,∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∵FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴EF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∴∠AOC=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OEG=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,而OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°,22.5°.20.解:在Rt△ACE中,∵tan∠CAE=,∴AE==≈≈21(cm)在Rt△DBF中,∵tan∠DBF=,∴BF==≈=40(cm)∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151cm,答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.21.解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,,得,即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600,当x=115时,y=﹣5×115+600=25,即m的值是25;(2)设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80,100,2000;(3)设科技创新后成本为b元,当x=90时,(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750,解得,b≤65,答:该产品的成本单价应不超过65元.22.解:(1)问题发现①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB,∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴=1,②∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°,故答案为:①1;②40°;(2)类比探究如图2,=,∠AMB=90°,理由是:Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴,同理得:,∴,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴=,∠CAO=∠DBO,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;(3)拓展延伸①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,BC=x﹣2,Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,∴AB=2OB=2,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,,x2﹣x﹣6=0,(x﹣3)(x+2)=0,x1=3,x2=﹣2,∴AC=3;②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,+(x+2)2=x2+x﹣6=0,(x+3)(x﹣2)=0,x1=﹣3,x2=2,∴AC=2;综上所述,AC的长为3或2.23.解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),∵B(5,0),C(0,﹣5),∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,∴AM=AB=×4=2,∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,∴PD=PQ=×2=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,综上所述,P点的横坐标为4或或;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣,∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,解方程组得,则M1(,﹣);作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),∵3=,∴x=,∴M2(,﹣),综上所述,点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).。
2018年河南省中考数学试卷含答案解析-(27780)
2018年河南省中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣ B. C.﹣ D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103C. 2.147×1010 D.0.2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A. B.C. D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B. C. D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A (﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)10.(2018.河南.10)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C. D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣= .12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD 的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B 两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB 的2倍时,请直接写出点M的坐标.2018年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(2018.河南.1)﹣的相反数是()A.﹣ B. C.﹣ D.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.【解答】解:﹣的相反数是:.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103C. 2.147×1010 D.0.2147×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面.故选:D.【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=1【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断.【解答】解:A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误;B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误;C、x3•x4=x7,此选项正确;D、2x3﹣x3=x3,此选项错误;故选:C.【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则.5.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是0【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案.【解答】解:A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是:15.3%,故此选项错误;B、众数是15.3%,正确;C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)=14.98%,故选项C错误;D、∵5个数据不完全相同,∴方差不可能为零,故此选项错误.故选:B.【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义,正确把握相关定义是解题关键.6.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A. B.C. D.【分析】设设合伙人数为x人,羊价为y线,根据羊的价格不变列出方程组.【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:.故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系是解题的关键.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.【解答】解:A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=xx2﹣x=0△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0两个不相等实数根;C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,方程无实根;D、(x﹣1)2+1=0(x﹣1)2=﹣1,则方程无实根;故选:B.【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.8.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B. C. D.【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率.【解答】解:令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示,可得:,一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种,故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:.故选:D.【点评】此题主要考查了树状图法求概率,正确列举出所有的可能是解题关键.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A (﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,进而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2).【解答】解:∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=,由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C. D.2【分析】通过分析图象,点F从点A到D用as,此时,△FBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知,BD=,应用两次勾股定理分别求BE和a.【解答】解:过点D作DE⊥BC于点E由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC 的面积为acm2.∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时,用s∴BD=Rt△DBE中,BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1,DC=aRt△DEC中,a2=22+(a﹣1)2解得a=故选:C.【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣= 2 .【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.【解答】解:原式=5﹣3=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为140°.【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案.【解答】解:∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB 于点O,∴∠EOB=90°,∵∠EOD=50°,∴∠BOD=40°,则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°.故答案为:140°.【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义,正确把握相关定义是解题关键.13.(3分)不等式组的最小整数解是﹣2 .【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,即可得出答案.【解答】解:∵解不等式①得:x>﹣3,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集为﹣3<x≤1,∴不等式组的最小整数解是﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为π.【分析】利用弧长公式L=,计算即可;【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′=∠BCA′=45°,∴∠BCB′=135°,∴S 阴==π.【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4或4 .【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4.【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'B=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB==4;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,【解答】解:当x=+1时,原式=•=1﹣x=﹣【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有2000 人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是28.8°;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.【分析】(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360°乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.【解答】解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,故答案为:2000;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,故答案为:28.8°;(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人).【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.【分析】(1)将P点坐标代入y=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;(2)如图所示:矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,矩形的判定与性质,正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为30°时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为22.5°时,四边形ECOG为正方形.【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明△CEF 和△FEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∵FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴EF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∴∠AOC=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OEG=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,而OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°,22.5°.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【分析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF 中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.【解答】解:在Rt△ACE中,∵tan∠CAE=,∴AE==≈≈21(cm)在Rt△DBF中,∵tan∠DBF=,∴BF==≈=40(cm)∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151cm答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是80 元,当销售单价x= 100 元时,日销售利润w最大,最大值是2000 元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式;(2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和w的最大值;(3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本.【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,,得,即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600,当x=115时,y=﹣5×115+600=25,即m的值是25;(2)设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80,100,2000;(3)设科技创新后成本为b元,当x=90时,(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750,解得,b≤65,答:该产品的成本单价应不超过65元.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答.22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠C OD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为 1 ;②∠AMB的度数为40°.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD 的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则=,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.【解答】解:(1)问题发现①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB,∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴=1,②∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°,故答案为:①1;②40°;(2)类比探究如图2,=,∠AMB=90°,理由是:Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴,同理得:,∴,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴=,∠CAO=∠DBO,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;(3)拓展延伸①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,BC=x﹣2,Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,∴AB=2OB=2,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,。
2018年河南省中考数学试卷含答案解析
2018年河南省中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣B.C.﹣D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214。
7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2。
147×102B.0.2147×103C.2。
147×1010D.0。
2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15。
3%,12。
7%,15.3%,14。
5%,17。
1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7%B.众数是15.3%C.平均数是15.98%D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2) C.(3﹣,2) D.(﹣2,2)10.(2018.河南.10)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣=.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A’B′C’,其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.治理杨絮一一您选哪一项?(单选)A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树C.选育无絮杨品种,并推广种植D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮E.其他根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE 为82。
河南2018年中考数学试卷及答案解析(word版)
2018年河南省中考数学试卷一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣B.C.﹣D.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103C.2.147×1010D.0.2147×10113.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5 C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=15.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是06.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=08.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣= .12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC 的度数为.13.(3分)不等式组的最小整数解是.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE 的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD 交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M 的坐标.2018年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)1.(3分)﹣的相反数是()A.﹣B.C.﹣D.【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.【解答】解:﹣的相反数是:.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.2.(3分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为()A.2.147×102B.0.2147×103C.2.147×1010D.0.2147×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.【解答】解:214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是()A.厉B.害C.了D.我【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“的”与“害”是相对面,“了”与“厉”是相对面,“我”与“国”是相对面.故选:D.【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.4.(3分)下列运算正确的是()A.(﹣x2)3=﹣x5B.x2+x3=x5 C.x3•x4=x7D.2x3﹣x3=1【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断.【解答】解:A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误;B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误;C、x3•x4=x7,此选项正确;D、2x3﹣x3=x3,此选项错误;故选:C.【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则.5.(3分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是()A.中位数是12.7% B.众数是15.3%C.平均数是15.98% D.方差是0【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案.【解答】解:A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%,故中位数是:15.3%,故此选项错误;B、众数是15.3%,正确;C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)=14.98%,故选项C错误;D、∵5个数据不完全相同,∴方差不可能为零,故此选项错误.故选:B.【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义,正确把握相关定义是解题关键.6.(3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为()A.B.C.D.【分析】设设合伙人数为x人,羊价为y线,根据羊的价格不变列出方程组.【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:.故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系是解题的关键.7.(3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.【解答】解:A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0,方程有两个相等实数根;B、x2=xx2﹣x=0△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0两个不相等实数根;C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,方程无实根;D、(x﹣1)2+1=0(x﹣1)2=﹣1,则方程无实根;故选:B.【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.8.(3分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.B.C.D.【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率.【解答】解:令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示,可得:,一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种,故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:.故选:D.【点评】此题主要考查了树状图法求概率,正确列举出所有的可能是解题关键.9.(3分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,进而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2).【解答】解:∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),∴AH=1,HO=2,∴Rt△AOH中,AO=,由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.10.(3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()A.B.2 C.D.2【分析】通过分析图象,点F从点A到D用as,此时,△FBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知,BD=,应用两次勾股定理分别求BE和a.【解答】解:过点D作DE⊥BC于点E由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2.∴AD=a∴∴DE=2当点F从D到B时,用s∴BD=Rt△DBE中,BE=∵ABCD是菱形∴EC=a﹣1,DC=aRt△DEC中,a2=22+(a﹣1)2解得a=故选:C.【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上)11.(3分)计算:|﹣5|﹣= 2 .【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.【解答】解:原式=5﹣3=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.12.(3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC 的度数为140°.【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案.【解答】解:∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∴∠EOB=90°,∵∠EOD=50°,∴∠BOD=40°,则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°.故答案为:140°.【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义,正确把握相关定义是解题关键.13.(3分)不等式组的最小整数解是﹣2 .【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,即可得出答案.【解答】解:∵解不等式①得:x>﹣3,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集为﹣3<x≤1,∴不等式组的最小整数解是﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解,能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键.14.(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为π.【分析】利用弧长公式L=,计算即可;【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′=∠BCA′=45°,∴∠BCB′=135°,∴S阴==π.【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.15.(3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4或4 .【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4.【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'E F=90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A'EF,∴AC∥A'E,∴∠ACB=∠A'EC,∴∠A'CB=∠A'EC,∴A'C=A'E=4,Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A'B=8,由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,∴AB==4;②当∠A'FE=90°时,如图2,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°,∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA'=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)16.(8分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,【解答】解:当x=+1时,原式=•=1﹣x=﹣【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上统计图,解答下列问题:(1)本次接受调查的市民共有2000 人;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是28.8°;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.【分析】(1)将A选项人数除以总人数即可得;(2)用360°乘以E选项人数所占比例可得;(3)用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数,据此补全图形即可得;(4)用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得.【解答】解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人,故答案为:2000;(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°,故答案为:28.8°;(3)D选项的人数为2000×25%=500,补全条形图如下:(4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人).【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.18.(9分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.【分析】(1)将P点坐标代入y=,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2),∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=;(2)如图所示:矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式,矩形的判定与性质,正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.19.(9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:①当∠D的度数为30°时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为22.5°时,四边形ECOG为正方形.【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明△CEF和△FEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵CE为切线,∴OC⊥CE,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°,∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC,∴∠4=∠B,∴∠1=∠2,∴CE=FE;(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°,而AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠3=∠2=60°,而CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∵FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴EF=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形;②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,而OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∴∠AOC=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易得△OEC≌△OEG,∴∠OEG=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,而OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°,22.5°.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE 的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【分析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长.【解答】解:在Rt△ACE中,∵tan∠CAE=,∴AE==≈≈21(cm)在Rt△DBF中,∵tan∠DBF=,∴BF==≈=40(cm)∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm)∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151cm答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表:(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是80 元,当销售单价x= 100 元时,日销售利润w最大,最大值是2000 元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式;(2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和w的最大值;(3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本.【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,,得,即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600,当x=115时,y=﹣5×115+600=25,即m的值是25;(2)设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80,100,2000;(3)设科技创新后成本为b元,当x=90时,(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750,解得,b≤65,答:该产品的成本单价应不超过65元.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答.22.(10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD 交于点M.填空:①的值为 1 ;②∠AMB的度数为40°.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则=,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.【解答】解:(1)问题发现①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB,∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴=1,②∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°,故答案为:①1;②40°;(2)类比探究如图2,=,∠AMB=90°,理由是:Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴,同理得:,∴,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴=,∠CAO=∠DBO,在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;(3)拓展延伸①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,BC=x﹣2,Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,∴AB=2OB=2,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,,x2﹣x﹣6=0,(x﹣3)(x+2)=0,x1=3,x2=﹣2,∴AC=3;②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,,设BD=x,则AC=x,在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,+(x+2)2=x2+x﹣6=0,(x+3)(x﹣2)=0,x1=﹣3,x2=2,∴AC=2;综上所述,AC的长为3或2.【点评】本题是三角形的综合题,主要考查了三角形全等和相似的性质和判定,几何变换问题,解题的关键是能得出:△AOC∽△BOD,根据相似三角形的性质,并运用类比的思想解决问题,本题是一道比较好的题目.23.(11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M 的坐标.【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,﹣5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,﹣2),AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),∵B(5,0),C(0,﹣5),∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,∴AM=AB=×4=2,∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,∴PD=PQ=×2=4,设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,综上所述,P点的横坐标为4或或;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣),设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣,∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣,解方程组得,则M1(,﹣);作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,。
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圆
(建议时间:90分钟总分:100分)
一、选择题(本大题共7个小题,每小题4分,共28分)
1.如图,△ABC内接于⊙O,若∠A=α,则∠OBC等于(D) A.180°-2αB.2α
C.90°+αD.90°-α
第1题图第2题图
2.如图,AB是⊙O的直径,P A切⊙O于点A,PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=40°,则∠B等于(B)
A.20°B.25°C.30°D.40°
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB经过圆心,∠B=3∠BAC,则∠ADC等于(B)
A.100°B.112.5°C.120°D.135°
第3题图第5题图
4.已知圆锥的底面面积为9π cm2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是(A) A.18π cm2B.27π cm2C.18 cm2D.27 cm2 5.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为(A)
A.2 B.-1 C.2D.4
6.已知一个扇形的圆心角为60°,它所对的弧长为2π cm,则这个扇形的半径为
(A)
A .6 cm
B .12cm
C .2 3 cm D. 6 cm
7.如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上的点,且OC ∥BD ,AD 分别与BC ,
OC 相交于点E ,F ,则下列结论:
①AD ⊥BD ;②∠AOC =∠AEC ;③BC 平分∠ABD ;④AF =DF ;⑤DB =2OF ; ⑥△CEF ≌△BED ,其中一定成立的是( D )
A .②④⑤⑥
B .①③⑤⑥
C .②③④⑥
D .①③④⑤
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)
8.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 与⊙O 相切,CO 交⊙O 于点D .若∠CAD =30°,
则∠BOD = 120 °.
第8题图 第9题图 9.如图,AB 为⊙O 的直径,C ,D 为⊙O 上的点,︵AD =︵CD .若∠CAB =40°,则
∠CAD = 25° .
10.在半径为20的⊙O 中,弦AB =32,点P 在弦AB 上,且OP =15,则AP =
7或25 .
11.如图,小明自制一块乒乓球拍,正面是半径为8 cm 的⊙O ,︵
AB =90°,弓形
ACB (阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为 (48π+32)cm 2 .
第11题图 第12题图
12.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在︵
AB上,CD⊥OA,
垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为2π-4. 13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E为BC边上的一点,以A为圆心,AE为半径的圆弧交AB于点D,交AC的延长线于点F,若图
中两个阴影部分的面积相等,则AF的长为π(结果保留根号).
三、解答题(本大题共4个小题,共48分)
14.(12分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF,BE.
(1)求证:DB=DE;
(2)求证:直线CF为⊙O的切线.
证明:(1)∵E是△ABC的内心,
∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC,∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE;
(2)连接CD ,如解图所示.
∵E 是△ABC 的内心,
∴∠DAB =∠DAC ,
∴BD =CD .
∵BD =DF ,
∴CD =DB =DF ,
∴∠BCF =90°,
∴BC ⊥CF ,
∴CF 是⊙O 的切线.
15.(12分)如图,AB 为⊙O 的直径,C ,D 为⊙O 上两点,∠BAC =∠DAC ,过
点C 作直线EF ⊥AD ,交AD 的延长线于点E ,连接BC .
(1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若DE =1,BC =2,求劣弧BC ︵
)的长l .
(1)证明:连接OC ,如解图所示.
∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA .
又∵∠OAC =∠DAC ,∴∠DAC =∠OCA ,
∴AD ∥OC .
∵EF ⊥AD ,∴EF ⊥OC ,
∴EF 是⊙O 的切线;。