时间响应

任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，
由关系式
X 01(s) G(s) X 02 (s)
X i1(s)
极点虚部:决定自由响应的振荡情况，决定系统 的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，其大小 影响响应的准确性。
结论：
1.若所有特征根实部均为负值（所有极点均位于[s]平面左半平 面），系统自由响应收敛。系统稳定。
2.若存在特征根实部负值（ [s]平面右半平面存在极点），系统 自由响应发散。系统不稳定。 3.若存在一对特征根实部为零，而其余特征根实部均为负值 （ [s]平面虚轴上存在一对极点，其余极点位于左半平面），系 统自由最终为等幅振荡。系统临界稳定。
其次介绍典型的输入信号及一阶、二 阶系统的典型时间响应。
•
采用典型输入信号便于对系统进行时
间响应分析。因为任何高阶系统均可化为
零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输
入产生的时间响应均可由典型输入信号产
生的典型时间响应而求得。
3.1 时间响应及其组成
首先来分析最简单的振动系统，即无阻尼的单自由 度系统。如图3.1.1所示。
A y&(0) ,
n
B
y(0)
F k
1
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
代入式（3.1.6），整理得通解：
y(t)
y&(0)
n
sin
nt
y(0) cosnt
F k
1
1 2
cosnt
F k
1
1 2
cos t
（3.1.8）
第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由 响应，第三项:作用力引起的自由响应，其振
动频率均为ωn，幅值受到F的影。第四项:作
在建立系统的数学模型（包括微分方程与 传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通 过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响 应分析是重要的方法之一。
本章首先概括地讨论系统的时间响应及其 组成。因为这是正确进行时间响应分析的基础； 所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统 的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统 本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历 程。
着时间而逐渐增大，当 t 时，自由响
应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就 不是瞬态响应。
稳态响应:指强迫响应。
可见，稳定性、响应快速性、响应准确性都与 自由响应密切相关。
极点实部的正负:决定自由响应是衰减与发散， 系统稳定与不稳定；
极点实部为负时,其绝对值的大小决定自由响应 衰减速度及系统响应趋于稳态响应的速度；
y(t)
Asin nt
B
cos nt
F k
1
1 2
cos t
（3.1.6）
求解常数A与B：将上式对t求导，有
y&(t)
An
cos nt
Bn
sin nt
F k
1
2
sin t
（3.1.7）
设 t 0 时， y(t) y(0), y&(t) y&(0) ，代入式（3.1.6）与 （3.1.7），联立解得：
系统稳定性判据
4.特征根实部Im[si]的大小决定自由响应的振荡频率。
3.2 典型输入信号
输入信号分为确定性信号和非确定性信号。
确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函 数描述。非确定性信号则反之，变量与自变量之间的关系 是随机的，只服从某些统计规律。
分析和设计系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。
用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力 频率ω。
系统的时间响应分类: 振动性质:
自由响应 强迫响应； 振动来源:
零输入响应（“初态”引起的自由响应） 零状态响应（仅由输入引起的响应）。 控制工程主要研究:零状态响应。
一般的情况，设系统的动力学方程为：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y&(t) a0 y(t) x(t) （3.1.9）
n
n
y1(t) A1iesit A2iesit
i 1
i 1
（3.1.11）
第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入引起的自由响应。
全解:
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
i 1
i 1
其中:n和 si 只取决于系统的结构与参数。 当输入函数有导数项:方程为：
（3.1.12）
传递函数(初态为零)求解:Laplace逆变换y(t) L1[Y(s)] 就是系统的零状态响应。
瞬态响应：
若所的 Re si 0，自由响应随着时间逐渐衰减, 当 t 时自由响应则趋于零,系统稳定,自 由响应称为瞬态响应.
反之，s只i 要有一个 Re si 0，即传递函数的相应 极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y&(t) a0 y(t)
（3.1.13）
bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) L b1x&(t) b0 x(t), n m
利用线性原理:利用方程(3.1.9)的解[3.1.12）]，可分 别求出 x&(t), &x&(t),L , x(m)(t) 作用时的响应函数，然后叠加， 就可以求得方程（3.1.13）的解，即系统的响应函数。
图3.1.1 单自由度的m-k系统
质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力 Fcoswt的作用下，系统的动力学方程为3.1.1。
my(t) ky(t) F cost
（3.1.1）
这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
（3.1.2）
式中，y1(t) 是齐次微分方程的通解；y2(t) 是其一个 特解。由理论力学与微分方程中解的理论知：
y1(t) Asin nt B cosnt
（3.1.3）
yo (t) Y cost
（3.1.4）
式中，n k / m ，为系统的无阻尼固有频率。 将式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有
(m2 k)Y cost F cost
化简得，
F1
Y k 12
（3.1.5）
式中 /n，于是，式（3.1.1）的完全解为
方程的解（时间响应）为通解 y1(（t) 即自由响应）与特解 y2 (t) （ 即强迫响应）所组成，
y(t) y1(t) y2 (t)
若式（3.1.9）的齐次方程的特征根 si (i 1,..., n) 各相同，则
n
y1(t) Aiesit
y2 (t) B(t)
（3.1.10）
i 1
而 y1(t)又分为两部分，即