连载13：实信号频谱的共轭对称性
数字信号处理-共轭对称、共轭反对称
XXXX大学实验报告学生姓名—xxx_ 学号_xxxxxxx_年级班级_ XXXXXX—实验项目—xxxxxxxx_实验时间—xxxxxxxxx_实验二一、实验目的：1. 充分熟悉复指数函数find、sigshift、sigfold函数的使用；2. 熟悉序列的加、减、乘、除、移位、折叠的计算；3. 能够画出结果的图形。
二、实验步骤：1. 用help查找find、sigshift、sigfold函数的使用情况；2. 编辑并生成函数sigadd.m序列相加)fun ctio n [y ,n] = sigadd(x1, n1,x2, n2)% 实现y(n) = x1(n)+x2(n)% [y, n] = sigadd(x1, n1,x2 ,n 2)% y =在包含n1和n2的n点上求序列和% x1 =在n1上的第一序列% x2 =在n2上的第二序列(n2可与n1不等)n = mi n( mi n(n 1),mi n(n 2)):max(max( n1),max( n2)); % y( n)的长度y1 = zeros(1,le ngth( n)); y2 = y1; % 初始化y1(find((n>=min(n 1))&(nv=max(n1))==1))=x1; % 具有y的长度的x1y2(find((n>=min(n2))&(nv=max(n2))==1))=x2; % 具有y的长度的x2% 序列相加 .3. 编辑并生成函数sigmult.m 序列相乘)fun ctio n [y, n] = sigmult(x1, n1,x2, n2) % 实现 y(n) = x1(n)*x2(n) % [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)% y =在n 区间上的乘积序列，n 包含n1和n2 % x1 = 在 n1 上的第一序列% x2 =在n2上的第二序列(n2可与n1不等)n = min(min(n 1),m in(n 2)):max(max( n1),max( n2)); % y(的长度 y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1;y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; y = y1 .* y2;4. 编辑并生成函数sigshift.m 序列移位)function [y,n] = sigshift(x,m,n0) % 实现 y(n) = x(n-n0) % [y,n] = sigshift(x,m,n0) n = m+n0; y = x;5. 编辑并生成函数sigfold.m 序列折叠)function [y,n] = sigfold(x,n) % 实现 y(n) = x(-n)y = y1+y2; %初始化% 具有 y 的长度的 x1 % 具有 y 的长度的 x2 % 序列相乘% [y,n] = sigfold(x,n)y = fliplr(x); n = -fliplr(n);6. 编辑并生成实现两序列相乘和相加程序clc;clear;x1=[0,1,2,3,4,3,2,1,0];n1=-2:6;x2=[2,2,0,0,0,-2,-2]; n2=2:8;[y1,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2);[y2,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);titie序列x1')xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(2,2,2);stem(n2,x2);titie序列x2')xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(2,2,3);stem(n,y1);titie两序列相乘')xlabel('n');ylabel('y1(n)');subplot(2,2,4);stem(n,y2);titie两序列相加’)xlabel(' n');ylabel('y2( n)');运行以上程序得到的图形：序列x1序列贬精选体会：相加或相乘时，两序列尺度要保持一致。
数字信号处理中的对称性问题
数字信号处理中的对称性问题虞粉英;陆锦辉【摘要】数字信号处理是利用计算机或信号处理设备、采用数值计算方法对信号进行处理的过程.该文分析了离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)、连续与非周期以及离散与周期的对称性,将N点序列的离散谱视为DTFT连续谱一个周期的采样,解决了利用计算机分析信号频谱的问题.通过对比分析DTFT和DFT 的对称性可知,将DFT的对称性应用到实序列DFT计算中,可减少约50％运算量.【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)005【总页数】7页(P615-621)【关键词】数字信号处理;奇偶对称性;共轭对称性;圆周共轭对称性【作者】虞粉英;陆锦辉【作者单位】南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094;南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】TN911.72数字信号处理(Digital signal processing,DSP)是利用计算机或通用(专用)的信号处理设备，采用数值计算的方法对信号进行处理的一门学科。
随着信息、通信、计算机科学与技术的迅速发展，数字信号处理理论得到快速发展，在信息与通信领域应用广泛。
文献[1]利用多路欠采样的方法对多分量线性调频(Linear frequency modulation，LFM)信号进行参数估计。
文献[2，3]研究了中继协作通信系统中数字信号处理算法的对称性问题，用于设计上下行链路。
数字信号处理理论在自动控制、生物医学、机械、能源、电力、纺织、仪器仪表等领域的应用也日益广泛[4，5]。
我国中东部经济发达地区电力供应相对紧缺，为此，在国家西电东输工程中，电力的转换与传输中存在大量的数据监测和监控，利用数字信号处理的方法就可以进行数据的自动分类、准确监控，从而实现高效率、高精度的电力转换与传输。
数字信号处理理论在电网储能优化配置中也有着重要作用[6]。
离散傅里叶变换的衍生，负频率、fftshift、实信号、共轭对称
离散傅⾥叶变换的衍⽣，负频率、fftshift、实信号、共轭对称封⾯是福州的福道，从⾼处往下看福道上的⼈在转圈圈。
从傅⾥叶变换后的频域⾓度来看，我们的⽣活也是⼀直在转圈圈，转圈圈也是好事，说明⽣活有规律，⽽我们应该思考的是，如何更有效率地转圈圈……哦别误会，我真不是在说内卷（狗头）。
本⽂会讲到离散傅⾥叶、实信号、负频率、fftshift、实信号、共轭等概念。
离散傅⾥叶变换写到了离散傅⾥叶变换。
公式如上，我发现，只要掌握初中的数学——加减乘除以及三⾓函数，就可以掌握离散傅⾥叶变换的运算。
上⽂中说过：如果有时域数据如: [1, 2, 3] 的话，那么代⼊公式算得频域数据的结果为:[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]频域数据，就是时域数据依次代⼊到离散傅⾥叶变换公式的结果。
下⾯是对频域数据第⼆个复数：-1.5 + 0.86603i的推算过程。
如下：此时N = 3，k = 1，n = [0, 1, 2]代⼊到上述公式得：只要懂得计算:即可得出整个式⼦的结果。
以上式⼦表达的即为，⼀个长度为3的线段，⼀端在坐标原点上，且线段和X轴（实部）的正半轴重叠。
然后线段以坐标原点为圆⼼，顺时针旋转4π/3。
该线段在X轴上的投影即为实部，在Y轴上的投影即为虚部。
如下(⼿残字丑预警)：这⾥多说⼀句，如果时域信号也是复数且虚部有值的话，例如[3, 1]，那么上图中，起始位置的[3, 0]改成[3, 1]即可，再做同样的4π/3旋转。
实部：-3 * cos(π/3) = -1.5虚部：3 * sin(π/3) = 2.59808即为:同理可得：以上相加：1 + (-1 - i*1.732050) + (-1.5 + i*2.59808) = -1.5 + 0.86603i⾄此，我们⼤约已经掌握了DFT（离散傅⾥叶变换）。
DFT即计算三⾓函数和数据累加的过程，甚⾄我们也可以⾃⼰实现⼀个DFT函数。
实序列的傅里叶变换必是共轭偶对称
实序列的傅里叶变换必是共轭偶对称1. 概述傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个函数在时域或空域上的表示转换为在频域或空间域上的表示。
在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在一些特定的情况下，对于实序列而言，它的傅里叶变换是共轭偶对称的。
本文将探讨实序列的傅里叶变换为何必是共轭偶对称。
2. 实序列的定义实序列是指其傅里叶变换中包含了实部和虚部的序列。
所谓实部指的是只包含实数部分的序列，虚部指的是只包含虚数部分的序列。
一个信号如果是实数的，那么其频谱必然是共轭对称的。
傅里叶变换这种性质在实际应用和理论研究中具有重要意义，因为它可以简化计算和分析过程。
3. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种将时域或空域上的信号转换到频域或空间域上的数学工具，其定义如下：F(u) = ∫f(x)e^-j2πux dx其中F(u)表示频率为u的信号的复数表示，f(x)表示时域或空域上的信号，e^-j2πux表示欧拉公式中的指数部分。
4. 实序列的傅里叶变换对于一个实序列f(x)（假设x为实数），其傅里叶变换F(u)满足以下性质：- F(-u) = F(u)*- F(u)为实数即傅里叶变换的频谱是共轭对称的，并且频谱中不包含虚部。
5. 证明实序列的傅里叶变换为共轭偶对称我们用Fourier变换中的定义来证明该结论F(u) = ∫f(x)e^-j2πux dx其中f(x)是实函数F(-u) = ∫f(x)e^j2πux dx= ∫f*(x)e^-j2πux dx= F(u)*其中f*(x)为f的共轭复数所以F(-u) = F(u)*F(u)为实数我们假设f(x)的傅里叶变换F(u)包含虚部，则F(-u)也包含虚部，即F(-u) = F(u)*不能成立。
所以F(u)为实数实序列的傅里叶变换必是共轭偶对称的。
6. 总结实序列的傅里叶变换是共轭偶对称的这一结论在信号处理领域中有着重要的应用价值。
它简化了计算和分析的复杂度，也有利于对信号的特性进行分析和提取。
傅里叶变换共轭对称序列
傅里叶变换共轭对称序列简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，它将一个函数或信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的和，帮助我们理解和分析信号的频域特性。
在傅里叶变换的研究中，共轭对称序列是一种比较特殊的形式。
本文将介绍傅里叶变换共轭对称序列的定义、性质以及在实际应用中的重要性。
1. 共轭对称序列的定义与性质1.1 定义共轭对称序列是指实数序列中的元素满足一定的对称性质。
设序列为x[n]，其中n 为整数，则x[n]是共轭对称序列当且仅当存在一个整数m，使得x[n]=x[m-n]。
1.2 性质共轭对称序列具有以下几个重要的性质：•对称中心：共轭对称序列的对称中心位于序列的中心，即在序列的长度为N 时，对称中心位于第(N+1)/2个元素。
如果序列长度为偶数，则有两个对称中心。
•共轭对称：共轭对称序列中的元素具有共轭对称的性质，即如果x[n]是共轭对称序列，那么x[n]是其共轭序列，即x[n]=x[-n]。
•傅里叶变换的共轭对称性：傅里叶变换后，共轭对称序列的频谱也是共轭对称的，即X[k]=X[N-k]，其中X[k]为原始序列的傅里叶变换结果，X[k]为其共轭。
2. 共轭对称序列的性质证明共轭对称序列的性质可以通过数学证明得出。
首先，我们考虑共轭对称序列的对称中心点，从而推导共轭对称性。
2.1 对称中心假设序列长度为N，我们可以通过推导得出共轭对称序列的对称中心。
根据共轭对称序列的定义，有x[n]=x[m-n]。
当n=0时，x[0]=x[m-0]由于共轭对称序列是实数序列，所以x[0]和x[m-0]的共轭是相等的，即x[0]=x*[0]。
将两边的共轭平移项展开，x[0]=x*[0]将其分解为实部和虚部的形式，x[0]=Re(x[0])+iIm(x[0])x*[0]=Re(x[0])-iIm(x[0])由于x[0]=x*[0]，所以Re(x[0])=Re(x[0])，Im(x[0])=-Im(x[0])。
实信号的傅里叶变换是共轭对称的
实信号的傅里叶变换是共轭对称的实信号的傅里叶变换是共轭对称的引言：傅里叶变换是信号处理领域中一种重要的数学工具，通过将信号从时域转换到频域，可以揭示信号的频率组成和信号转换过程中的信息丢失等问题。
其中，傅里叶变换的共轭对称性质在处理实信号时扮演着重要的角色。
在本文中，我们将探讨实信号的傅里叶变换为何具有共轭对称性质，以及这一特性在信号处理中的应用。
正文：1. 实信号和复信号的区别在信号处理中，我们经常会遇到两种类型的信号，即实信号和复信号。
实信号表示实际存在的物理量，可以直观地理解为在时间轴上具有实际物理意义的振幅变化。
而复信号则是由实部和虚部组成的复数信号，其振幅和相位信息可同时进行描述。
2. 实信号的傅里叶变换傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的过程。
对于实信号，其傅里叶变换一般是复数形式。
值得注意的是，实信号的傅里叶变换有一个重要的特性，即变换结果的实部和虚部之间具有共轭对称性。
3. 共轭对称性的定义与推导共轭对称是指变换结果的实部和虚部在频域上相对于零频率点对称。
如果将实信号的傅里叶变换表示为X(f)，那么X(f)的实部和虚部满足X(f) = X*(-f)，其中*表示共轭。
这种共轭对称性可以通过傅里叶变换的定义以及实信号的性质进行推导。
4. 实信号的共轭对称性应用举例实信号的共轭对称性在信号处理和通信系统中有着广泛的应用。
通过利用共轭对称性，可以简化傅里叶变换的计算过程，从而降低计算复杂度；在频谱分析中，共轭对称性可以帮助我们快速判断信号的频谱对称性和信号存在的频率成分；在通信系统中，共轭对称性有助于简化信号的调制和解调过程，提高系统的效率和性能。
结论：通过本文的讨论，我们可以得出实信号的傅里叶变换具有共轭对称性这一重要结论。
共轭对称性不仅在理论分析中扮演着重要角色，而且在信号处理和通信系统中也有着广泛的应用。
深入理解和利用实信号的傅里叶变换的共轭对称特性，将有助于我们更好地处理实际应用中的信号处理问题。
南京理工大学研究生课程信号分析与处理作业答案
1. 证明周期信号)(t f 的傅里叶级数可表示为如下指数形式)()(11∑∞-∞==n t jn e n F t f ωω其中 ∞-∞==⎰-,...,,)(1)(011n dt e t f T n F Tt jn ωω证明：)( 22212221)22(21)sin cos (21)(11111111110110101110∑∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞=∞--=∞=--∞--=∞=-∞==-+-+=-+++=-+++=++=n t jn n tjn n n tjn n n n n tjn n n tjn n n n n tjn n n t jn n n n n ne n F e jb a e jb a a e jb a e jb a a e jb a e jb a a t n b t n aa t f ωωωωωωωωωω 当0=n 时⎰⎰=⨯==TTdt t f T dt t f Ta F 00)(1)(22121)0(当0≠n 时()dte tf Tdt t n j t n t f Tdt t n t f jdt t n t f T jb a n F T tjn TTTn n ⎰⎰⎰⎰-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=-=0011010111)(1sin cos )(1sin )(cos )(2212)(ωωωωωω2. 证明在能量误差最小准则下，用)sin cos (211110t n q t n pp n Nn nωω∑=++近似表示周期函数)(t f ，则N p p p ,...,,10和N q q ,...,1如何取值？ 能量误差最小，即min )sin cos (21)(021110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰∑=dt t n q t n p p t f Tn Nn n ωω 0)sin cos (21)(021110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--∂∂⎰∑=dt t n q t n p p t f p Tn N n n nωω 0cos )sin cos (21)(2101110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰∑=tdt n t n q t n p p t f Tn Nn n ωωωn TTn p Tdt t n p t n t f 2cos cos )(0121==⎰⎰ωω dt t n t f T p Tn ⎰=01cos )(2ω，N n ...,2,1=同理dt t n t f Tq Tn ⎰=01sin )(2ω，N n ...,2,1= 3. 证明：①实信号频谱共轭对称性⎰∞∞--=dt e t f F t j ωω)()()()(**)(ωω-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰∞∞---F dt e t f t j②具有共轭对称频谱特性的信号一定是实信号[]⎰⎰∞∞-∞∞--+==ωωωωωωωd eF F d eF t f tj tj )()(21)()(*⎰⎰∞∞-∞∞--+=ωωωωωωd e F d eF tj tj )(21)(21*⎰∞∞--+=ωωωd eF t f tj )(21)(21*[])()(21)(21)(21**t f t f d eF t f tj +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞∞-ωωω )()(*t f t f ≡4. 设)(t x 为因果信号，即0<t 时，0)(=t x 。
数字信号处理作业-2012
《数字信号处理Ⅰ》作业姓名：学号：学院：2012 年春季学期第一章 时域离散信号和时域离散系统月 日一 、判断：1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。
（ ）2、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为模拟信号。
（ ）3、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为数字信号。
（ ）4、时域离散信号就是数字信号。
（ ）5、正弦序列都是周期的。
（ ）6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时，则)n (h )n (x *的长度为N+M 。
（ ）7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和，则该系统稳定。
（ ）8、若满足采样定理，则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω（采样频率）为周期进行周期延拓的结果。
（ ）9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和，则)n (h )n (x *有（1n n 21-+）个元素。
（ ）二、选择1、R N (n)和u(n)的关系为（ ）：A. R N (n)=u(n)-u(n-N)B. R N (n)=u(n)+u(n-N)C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1)D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1)2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ，则f(n)*h(n)的长度为 （ ）： A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+13、若模拟信号的频率范围为[0，1kHz],对其采样，则奈奎斯特速率为（ ）： A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的（ ）： A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积5、线性系统需满足的条件是（ ）：A.因果性B.稳定性C.齐次性和叠加性D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是（ ）： A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统7、、若模拟信号的频率范围为[0，Fs],对其采样，则奈奎斯特间隔为（ ）：A.1/4FsB. 1/3FsC.1/2FsD.1/Fs 三、填空题1、连续信号的（ ）和（ ）都取连续变量。
实数频谱和复数频谱-概述说明以及解释
实数频谱和复数频谱-概述说明以及解释1.引言1.1 概述频谱是指信号在频率域上的表示，它描述了信号在不同频率上的能量分布情况。
实数频谱和复数频谱是频谱分析中常用的两种表示方式。
实数频谱是指将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的幅度和相位，以实数形式表示。
实数频谱分析是一种常见的信号处理技术，它通过将信号分解为各个频率分量，可以提取出信号中存在的各个频段的信息。
实数频谱的性质包括对称性和实性，这使得实数频谱在实际应用中具有很好的稳定性和可解释性。
复数频谱是指将信号分解为不同频率的复指数函数的系数，以复数形式表示。
复数频谱分析是一种更为全面和强大的信号处理技术，它将信号表示为复数形式可以更准确地描述信号在不同频率上的相位信息。
复数频谱广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域，例如通过正弦和余弦波的复数频谱可以实现信号的调制和解调，通过复数频谱可以实现音频信号的降噪和回声消除等。
本文将对实数频谱和复数频谱进行详细介绍和比较分析。
首先，我们将介绍实数频谱的定义以及实数频谱的性质，包括对称性和实性，以及实数频谱在实际应用中的优势。
然后，我们将介绍复数频谱的定义和复数频谱的应用领域，包括信号调制和解调、降噪和回声消除等。
最后，我们将讨论实数频谱与复数频谱之间的关系，并探讨实数频谱和复数频谱在信号处理中的意义和应用前景。
通过对实数频谱和复数频谱的深入了解和比较分析，我们可以更好地理解频谱分析的原理和方法，并在实际应用中选择合适的频谱表示方式。
同时，对于进一步研究和应用频谱分析技术也具有一定的借鉴意义。
接下来，本文将从实数频谱的基本概念开始介绍，带领读者进入频谱分析的精彩世界。
1.2 文章结构本文将以实数频谱和复数频谱为主题，介绍它们的概念、性质、应用以及它们之间的关系和意义。
文章将分为以下几个部分：1. 引言：在本部分将对实数频谱和复数频谱的背景和重要性进行简要说明，并提出本文的目的。
2. 正文：2.1 实数频谱：2.1.1 什么是实数频谱：本小节将给出实数频谱的定义，并介绍相关概念和基本原理。
dft共轭对称证明
dft共轭对称证明要证明DFT（离散傅里叶变换）的共轭对称性，首先需要明确DFT的定义。
DFT将一个长度为N的离散序列x(n)转换为一个长度为N的频谱序列X(k)。
其定义为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j2πkn/N)], n=0,1,2,...,N-1, k=0,1,2,...,N-1现在我们来证明DFT的共轭对称性。
设x(n)为一个长度为N的离散序列，则DFT的共轭对称性可以表示为：X(N-1-k) = X*(k), k=0,1,2,...,N-1即，X(N-1-k)与X(k)的共轭相等。
证明：首先，将X(N-1-k)的定义代入DFT的定义中：X(N-1-k) = Σ[x(n) * exp(-j2π(N-1-k)n/N)], n=0,1,2,...,N-1接下来，我们将k替换为N-1-k，此时原来的求和变为：X(N-1-k) = Σ[x(n) * exp(-j2π(N-1-k)n/N)], n=0,1,2,...,N-1因此，我们可以将下标n替换为N-1-n，得到：X(N-1-k) = Σ[x(N-1-n) * exp(-j2π(N-1-k)(N-1-n)/N)],n=0,1,2,...,N-1接下来，我们可以交换求和中的n和N-1-n的顺序，并且将exp中的指数进行简化：X(N-1-k) = Σ[x(n) * exp(-j2π(k+n)/N)], n=0,1,2,...,N-1然后，我们将求和中的n替换为m，得到：X(N-1-k) = Σ[x(m) * exp(-j2π(k+m)/N)], m=0,1,2,...,N-1注意到，这与DFT的定义非常相似，只是指数的符号相反。
我们知道exp函数的共轭是exp函数的倒数，即exp(-jθ)的共轭是exp(jθ)。
因此，将指数中的负号移到前面，可以得到：X(N-1-k) = Σ[x(m) * [exp(-j2π(k+m)/N)]*], m=0,1,2,...,N-1即，X(N-1-k)等于X(k)的共轭。
实序列的共轭对称性及其工程应用 (1)
03 共轭对称性的工程应用
共轭对称性的工程应用
●共轭对称性在磁共振图像处理消除伪影技术上的应用
Ghost伪影是回波平面成像(EPI)中一个很普遍的伪影，利用K空间原始数据的共轭对称性 来消除ghost伪影的方法，且可以自动进行而不需要参考扫描。首先利用K空间的上述特 性估计产生ghost伪影的K空间数据奇数和偶数行间的相位差，然后用迭代的方法对K空间 数据进行校正，直到达到最好的ghost伪影消除效果。
证明共轭对称性
结果图：
xep
4
2
0
-2
0
2
4
2
0
-2
-4
0
2
xop
共轭对称分量
4
6
8
n
共轭反对称分量
10
12
4
6
8
10
12
n
证明共轭对称性
结果图：
10 5 0 -5
-10 0
10 5 0 -5
-10 0
real(X)
5
10
k
DFT[xep(n)]
5
10
k
10 0
-10 0
10 0
-10 0
imag(X)
证明共轭对称性
主程序：
figure(1) n=0:11;x=[2.5 0 1.6 -3 -2 2 1.6 -3 -1 4 4.5 2]； [xep,xop]=gedc(x); subplot(2,1,1); stem(n,xep); title('共轭对称分量');xlabel('n'); ylabel('xep'); axis([-0.5,12.5,-3,4]); subplot(2,1,2); stem(n,xop); title('共轭反对称分量'); xlabel('n'); ylabel('xop'); axis([-0.5,12.5, 4,4]); figure(2) X=dft(x,12) ; Xep=dft(xep,12);Xop=dft(xop,12); subplot(2,2,1); stem(n,real(X)); axis([-0.5,12.5,-10,10]); title(' real(X)'); xlabel('k'); subplot(2,2,2); stem(n,imag(X)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title(' imag(X)'); xlabel('k'); subplot(2,2,3); stem(n,Xep); axis([-0.5,12.5, -10,10]); title('DFT[xep(n)]'); xlabel('k'); subplot(2,2,4); stem(n,imag(Xop)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title('DFT[xop(n)]'); xlabel('k'); figure(3) X=dft(x,12) ; [Xe,Xo]=gedc(X); subplot(2,2,1); stem(n, Xe); axis([-0.5,12.5,-10,10]); title(' Xep'); xlabel('k'); subplot(2,2,2); stem(n,Xo); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title(' Xop'); xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,real(X)); axis([-0.5,12.5, -10,10]); title('DFT[real(xn)]'); xlabel('k'); subplot(2,2,4); stem(n,i*imag(X)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title('DFT[imag(xn)]'); xlabel('k');
陈爱军 深入浅出通信原理
很多原理一旦上升为理论，常常伴随着繁杂的数学推导，很简单的本质反而被一大堆公式淹没，通信原理因此让很多人望而却步。
非常复杂的公式背后很可能隐藏了简单的道理。
真正学好通信原理，关键是要透过公式看本质。
信号与系统、数字信号处理中很多复杂的公式其本质都是很简单的，我们可以通过图、动画等方式更好、更透彻地理解这些公式和原理，而不是仅仅局限于会套用这些公式（我大学毕业时就是这个水平，相信很多人和我一样）。
这个帖子面向的主要是非通信专业和通信专业在大学没真正学明白的人（我就是这样的人，不是我不想学明白，大学里老师讲的太抽象了，很难理解），大部分人对“希尔伯特空间”没有什么概念，所以虽然你能用上述理论将傅立叶级数讲得很简单，但大部分人无法理解和接受。
，“深入浅出通信原理”就是希望用尽可能少的公式推导和大量的图片，让大家真正理解通信原理。
虽然这样有时候会显得啰嗦，但对大部分读者来讲是只有好处没有坏处的。
以复傅立叶系数为例，很多人都只是会套公式计算，真正理解其含义的人不多。
对于经常出现的“负频率”，真正理解的人就更少了。
连载1：从多项式乘法讲起连载2：卷积的表达式连载3：利用matlab计算卷积连载4：将信号表示成多项式的形式连载5：著名的欧拉公式连载6：利用卷积计算两个信号的乘积连载7：信号的傅立叶级数展开连载8：时域信号相乘相当于频域卷积连载9：用余弦信号合成方波信号连载10：傅立叶级数展开的定义连载11：如何把信号展开成复指数信号之和？连载12：复傅立叶系数连载13：实信号频谱的共轭对称性连载14：复指数信号的物理意义－旋转向量连载15：余弦信号的三维频谱图连载16：正弦信号的三维频谱图连载17：两个旋转向量合成余弦信号的动画连载18：周期信号的三维频谱图连载19：复数乘法的几何意义连载20：用成对的旋转向量合成实信号连载21：利用李萨育图形认识复信号连载22：实信号和复信号的波形对比连载23：利用欧拉公式理解虚数连载24：IQ信号是不是复信号？连载25：IQ解调原理连载26：用复数运算实现正交解调连载27：为什么要对信号进行调制？连载28：IQ调制为什么被称为正交调制？连载29：三角函数的正交性连载30：OFDM正交频分复用连载31：OFDM解调连载32：CDMA中的正交码连载33：CDMA的最基本原理连载34：什么是PSK调制？连载35：如何用IQ调制实现QPSK调制？连载36：QPSK调制信号的时域波形连载37：QPSK调制的星座图连载38：QPSK的映射关系可以随意定吗？连载39：如何使用IQ调制实现8PSK？连载1：从多项式乘法说起多项式乘法相信我们每个人都会做：再合并同类项的方法得到的，要得到结果多项式中的某个系数，需要两步操作才行，有没有办法一步操作就可以得到一个系数呢？下面的计算方法就可以做到：这种计算方法总结起来就是：反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。
数字信号处理_证明题(3道)_
证明：由DFT的共轭对称性可知，如果
x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］
则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］
所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。
题干
证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，
证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)
答案
证：因为：
所以：
由于：
所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0, 1, …,N－1
题干
如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：
答案
证:由IDFT定义式：
可知：
题干
证明:若x(n)为实序列， 则X(k)为共轭对称序列，即 。
答案
证明：
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
实序列的Fourier变换具有共轭对称性
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
虚数Fourier变换具有共轭反对称性
答案
证明：因为
令m′=n－m,则
题干
证明线性卷积服从分配律，即证明下面等式成立：x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
信号的共轭
信号的共轭信号的共轭是信号处理中一个非常基础而又重要的概念。
在数字信号处理和模拟信号处理中，信号的共轭在很多不同的领域都有广泛的应用，被广泛使用于信号的分析，过滤和传输。
本文将介绍信号的共轭的概念、性质和应用，并分析其在信号处理中的重要作用。
一、什么是信号的共轭在信号处理过程中，常常需要对信号进行数学操作。
与连续信号不同，数字信号是离散的，因此在数字信号处理中，通常需要将信号的连续性质抛弃，而移向更为严谨的数学表达式。
在数字信号处理中，我们经常使用的表达式为离散傅里叶变换(DFT)和离散时间傅里叶变换(FFT)。
在计算傅里叶变换时，我们需要把信号分解成频谱。
信号的频谱可以用实部和虚部表示，其中，虚部通常称为信号的共轭。
具体来说，如果一个信号为$f(t)$，其中$t$为时间变量，那么其傅里叶变换为$F(\omega)$，其中$\omega$代表频率，$F(\omega)$可以表示为：$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt $$在数字信号处理中，$F(\omega)$通常表示为：$$ F(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-i\frac{2\pi kn}{N}},k=0,1,\cdots,N-1 $$其中，$f(n)$表示具体的信号值，$k$代表数字频率，$N$代表信号长度。
在这个公式中，$e^{-\frac{2\pi kn}{N}}$是$twiddle$因子。
这种表达式中，我们会发现一个神奇的特性，那就是共轭对称的特性。
通常，我们用$\overline{z}$来表示$z$的复共轭。
如果用$\overline{F(k)}$来表示$F(k)$的共轭，那么我们可以得到一个非常重要的公式：$$ F(N-k) = \overline{F(k)} $$这个公式被称为共轭对称性质，是在信号处理中非常常见的性质。
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
实信号的幅频特性为什么是偶对称？相频特性为什么是奇对称？
讨论实序列的幅频特性为什么是偶对称的？相频特性为什么是奇对称的？一、基本性质序列[]x n 的DTFT ()jwX e 定义如下：[]()jwjwnn X e x n e∞-=-∞=∑ (1-1)一般情况下，()jwX e 都是实变量w 的复函数，写成直角坐标的形式为：()()()jw jw jw re im X e X e jX e =+(1-2)式中，()jw re X e 和()jw im X e 分别是()jw X e 的实部和虚部，由式(1-2)可得:()()(){}12jw jw jw re X e X e X e *=+ (1-3)()()(){}12jw jw jw im X e X e X e j*=- (1-4)其中，()jw X e *为()jw X e 的复共轭。
()jw X e 也可用极坐标表示为：()()()w j jw jw X e X e eθ= (1-5)其中，(){}arg ()jw w X e θ=(1-6)量()jw X e 称为幅度函数，()w θ称为相位函数，这两个函数都是自变量为w 的实函数。
由式(1-2)和式(1-5)，可以得到()jw X e 的直角坐标和极坐标形式之间的关系如下：()()()cos jw jw re w X e X e θ=(1-7)()()()sin jw jw im w X e X e θ=(1-8) ()()()()()222jwjw jw jw jw re im X eX e X e X e X e *==+(1-9)()()()tan jw im w jwre X e X eθ=(1-10)二、对称关系对于一个给定的序列[]x n ，其FT 为()jwX e，由式(1-1)可知:[]{}[][]()jwnjwm jw n m F x n x n ex m e X e ∞-∞--=-∞=∞-=-==∑∑即[]()Fjw x n X e --−−→(2-1)同理，由式(1-1)有[]{}[][]()jwnjwn jw n n F x n x n ex n e X e *∞∞**-*-=-∞=-∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ 即[]()Fjw x n X e **-−−→(2-2)结合式(2-1)和式(2-2)，可得[]()F jw x n X e **-−−→(2-3)类似()jwX e 的直角坐标系表示，[]x n 可写成[][][]re im x n x n jx n =+(2-4)代入式(1-1)有[][]()()[][]()[][]()()cos sin cos sin cos sin jwreim n reimn im re n X e x n jx n wn j wn x n wn x n wn j x n wn x n wn ∞=-∞∞=-∞∞=-∞=+-=++-∑∑∑ (2-5)根据上式有()[][]()cos sin jwre reimn X e x n wn x n wn ∞=-∞=+∑(2-6)()[][]()cos sin jwim imren X ex n wn x n wn ∞=-∞=-∑(2-7)()jw X e 在如下情况下被定义为w 的共轭对称函数：()()jw jw X e X e *-=即()()jw jw re re X e X e -=，()()jw jw im im X e X e -=-。
实序列的傅里叶变换必是什么函数
实序列的傅里叶变换必是什么函数
实序列的傅里叶变换在频率域中必定是一对共轭对称的复指数
函数。
具体来说，如果我们有一个实序列x(n)，其傅里叶变换X(ω)满足以下关系：
X(ω) = X(-ω)。
其中X(-ω)表示X(ω)的共轭。
这意味着实序列的傅里叶变换
在频率域中是关于零频率的对称函数。
这是因为实序列的傅里叶变
换中包含了实部和虚部，而实部和虚部之间是共轭对称的关系。
从数学角度来看，这意味着实序列的傅里叶变换中不会出现奇
异的频率成分，而是以对称的方式分布在频率轴上。
这对于分析实
序列的频谱特性非常有用，因为它可以帮助我们理解实序列在频率
域中的性质。
另外，从信号处理的角度来看，实序列的傅里叶变换的共轭对
称性也意味着我们可以通过分析频率域中的一半数据来完全描述整
个频谱。
这样可以节省计算资源，并简化信号处理的过程。
总之，实序列的傅里叶变换必定是一对共轭对称的复指数函数，在频率域中呈现出对称的特性，这对于理解信号的频谱特性和进行
信号处理都具有重要意义。
正交信号的一些理解
《正交信号：复数，但不复杂》读后心得体会姓名：学号：信号是信息的载体，实际的信号总是实的，但在实际应用中采用复信号却可以带来很大好处，由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。
正交信号，也称为复信号，被用于数字信号处理的很多领域，比如：数字通信系统、雷达系统、无线电测向中对到达时间差异的处理、相关脉冲测量系统、天线波束形成的应用、信号边带调制器等等。
实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。
正交信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。
（实部和虚部的称谓是传统的叫法，在我们日常应用中一直被延用。
在通信工程中分别用同相和正交相表示。
）复数具有实部和虚部，实数我们很好理解，对于虚数的难于理解，一定程度上是由于难以想像它究竟是个什么东西，就像4维以上的空间，难以在脑子里建立其形象的影像一样。
对于j，这个-1的平方根，容易产生一种直觉的排斥，除了掌握能够解出数学题目的运算规则以外，一般人都不会去琢磨它有没有实际意义，有什么实际意义。
在“达芬奇的密码”里，Langdon关于科学家对j的信仰以及教徒对宗教的信仰的类比，是对j之虚无缥缈和其重要性的绝妙诠释。
但是，对于一个搞通信或是信号处理的人来说，由于quadrature signal 的引入，j被赋予了确确实实的物理含义。
从数学上说，虚数真正确立其地位是在十八世纪欧拉公式以及高斯复平面概念建立起来之后。
欧拉公式告诉我们实数的正弦余弦与任意一个复数的关系；高斯复平面则给出了形象表示复数的方法，并暗示了实部与虚部的正交性。
欧拉公式：exp（-jφ）=cos（φ）-j sin（φ）的极坐标表达式非常有用，因为：‐它简化了数学微分和分析：--把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且；--复数的数学运算完全遵循实数的运算法则；‐它使信号的相加仅仅是复数的加法(向量相加)；‐最简洁的记法；‐在文献中用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观；这也进一步说明了正交信号为什么会被用于数字通信系统。