课件 测量平差3
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测量平差3
-16-
第三章 协方差传播律
权的定义
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。 是表征精度的相对的数字指标。
02 pi 2 i
例1 量AB间距离，得两组观测值 L1 ,
差
1 3mm,
3 5mm
2
L2 ，已知它们的中误 2mm ，求 L1 , L2 的权。
本次课的主要内容 观测值线性函数的方差 多个观测值线性函数的方差-协方差阵 两个函数的互协方差阵 非线性函数的情况
-1-
第二章 误差分布与精度指标 五、随机向量的数字特征(Character of Random Variable ) 1 2 3
随机向量 随机向量的数学期望 随机向量的方差-协方差阵 (Variances-Covariance ) 协方差阵的定义 协方差阵的特点 互协方差阵 协方差阵的定义 协方差阵的特点
4
-2-
上次课的内容 随机向量的数学期望和协方差阵
例1有观测向量 X L1 L2
T XX L3 的协方差 D 3, 3
试写出各观测值的中误差及协方差 L1L2 , L2 L3
8 1 0 1 4 0 . 5 ， 0 0.5 16
例2 已知随机向量 X , Y
-15-
第三章 协方差传播律 八、权及定权的常用方法
权的概念
权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测量上可 作为衡量精度的标准。如有一组观测值时等精度的，那么， 在平差时，应该将它们同等对待，因此说这组观测值是等 权的，而对于一组不等精度的观测值，在平差时，就不能 等同处理，容易理解，精度高的观测值在平差结果中应占 较大的比重，或者说，应占较大的权，所以平差时，对于 一组不等精度的观测值应给予不同的权。
《误差理论与测量平差》课件
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样 函数的估计。 1 x 子样均值 n x 是母体数学期望的最优无偏估计，它是子 样的一阶原点矩。 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
n i 1 i
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
参数估计的优劣进行评价是按以下三个方面来进行的 为 的无 (1)无偏性：设 为参数 的估计量，若 E ( ) ，则 偏估计。
1 E ( x ) E ( x1 ) E ( x2 ) ... E ( xn )} n x X ~ N ( , )
dV
ˆ
得极值点 V P 1 AT K
（利用 P P T）
第四讲 平差方法——条件平差
3、将V代入条件方程AV+W=0 得 AP1 AT K W 0
Na K W 0
K Na 1W
4、 5、
V P1 AT K QAT K
ˆ L V L
第四讲 平差方法——条件平差
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ 为未知参数， 对 χ 抽得到的子样为（ x1，x2，…xn），则 χ 落在 χi（1≤i≤n） 邻域 dx 上的概率为 f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为
P f ( x1 ; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; )(dx) f ( xi ; ) (dx) n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则： ①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则 —— 最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
测量平差-获奖课件
2 X1
D XX
2 X
2
X1
2 X
n
X1
2 X1X 2
2 X2
2 XnX2
2 X1X n
2 X2Xn
2 Xn
若有X旳t个函数：
z1
Z
t1
z2
KX
K0
zt
k11 k12
K
tn
k21
k22
kt1 kt 2
1n
k2n
ktn
k10
K0
k20
t1 kt0
DZZ
1
xe
(
x)2 2 2
dx
2
数学期望旳传播规律：
常数c旳数学期望为E（c）=c
随机变量X乘以常数c，则有 ECX CEX
随机变量X1, X 2,, X之n 和旳数学期望为
EX1 X2 Xn EX1 EX2 EXn
相互独立旳随机变量 X1, X 2，，X 之n 积旳数学期望为：
二、协因数传播律
Y FX F 0 Z KX K 0
由协方差传播律得：
DYY F DXX F T DZZ K DXX K T DYZ F DXX K T
2 0
DYY
F
2 0
DXX
FT
2 0
DZZ
K
2 0
DXX
KT
2 0
DYZ
F
2 0
DXX
KT
即：
QYY F QXX F T QZZ K QXX K T QYZ F QXX K T
例4：设有函数， Z t ,1
F1
t,n
X
n,1
F1
t,r
《平差数学模型》PPT课件
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F(X~)
n1
或：
L~BX~d
n1 nt t1 n1
将 L ~L代入上式，并令
则：
l Ld
BX~l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
03.02.2021 8
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F(X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1(X~) 0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
产生矛盾
平差
求改正数V
L1L2L3180
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。
V称为观测值的改 正数
03.02.2021 5
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
7
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~ 何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u 1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
测量平差教学课件PPT
实用文档
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
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x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
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Chapter 3. spread of covariance
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Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
经典的测量平差ppt
练习（一）填空题1．在图1所示水准路线中，A 、B 为已知点，为求C 点高程，观测了高差1h 、2h ，其观测中误差分别为1σ、2σ。
已知1212σσ=，取单位权中误差02σσ=。
要求平差后P 点高程中误差2C mm σ≤， 则应要求1σ≤ ① 、2σ≤ ② 。
2．已知观测值向量1,13,12,1X Z Y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的协方差阵310121013ZZD -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12,12Y Y Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若设权11Y P =，则权阵XX P = ③ ，YY P = ④ ，协因数阵12Y Y Q = ⑤ ，1Y X Q = ⑥ 。
3．已知平差后某待定点P 的坐标的协因数和互协因数为P X Q ˆ、P Y Q ˆ和PP Y X Q ˆˆ，则当 PPY X Q Q ˆˆ=，0ˆˆ<PP Y X Q 时，P 点位差的极大方向值=E ϕ ⑦ ，极小方向值=F ϕ ⑧ 。
二、问答题1．在图2所示三角形中，A 、B 为已知点，C 为待定点，同精度观测了1234,,,L L L L共4个方位角，1S 和2S 为边长观测值，若按条件平差法平差：（1）应列多少个条件方程；（2）试列出全部条件方程（不必线性化）。
2．在上题中，若设BAC ∠、ABC ∠和ACB ∠为 参数1X 、2X 、3X ，（1）应采用何种函数模型平差；图2（2）列出平差所需的全部方程（不必线性化）。
3. 对某控制网进行了两期观测。
由第一期观测值得到的法方程为111111ˆT T B PB X B PL =， 由第二期观测值得到的法方程为222222ˆT T B P B X B P L =。
有人认为将两期观测值一起 平差得到的参数估值为1111222111222ˆ()()T T T T X B PB B P B B PL B P L -=++ 这样作对吗？为什么？三．计算题1．有一长方形如图3所示，421,,,L L L 为独立同 精度观测值，mm L 3.121=，mm L 5.82=，mm L 6.143=，mm L 6.124=。
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
TopSURV导线测量与平差示例-3-PPT课件
本示例将以前面描述的导线为例演示导线测量操 作步骤。
1. 开机，运行TopSURV软件，进入主界面。 2. 创建一个新作业或者打开一个已存在的作业。 3. 输入已知控制点（a、b）坐标。
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
4、设置导线测量方法和限差
在主菜单点击[作业]，进入[设置]子菜单，选择[测量]，显示如 下对话框：
TopSURV导线测量与平差操作示例
拓普康（中国）技术中心
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
一、导线测量示意图
6 5 c 7 4 a d 8 b
1
11 9 10 3 2
图1-1
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
其中a/b/c/d为已知控制点；1/2/3等均为导线点。
注：如果后视时不 测量距离，只要不 选中“测量BS距离” 即可。
如图设置各参数；同时还可以将当前设置参数保存为缺省值。
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
其中限差设置部分，
Hz表示水平角限差：[盘左-(盘右-180)] VA表示垂直角限差：[盘左+盘右-360]
D表示距离限差：[盘左-盘右]
TopSURV不允许在盘右状态下进行后视定向。 如图1-1，以下将演示全站仪放置在测站点a时导 线测量的操作过程，其中后视点为b，前视点 为1。
TOPCON 北京技术中心击[BS/FS测量]开始测量。
显示的对话框如下：
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
10、盘右观测后视点（b）
盘右观测完前视点后，TopSURV自动切换到后视点盘右观 测界面：
按[ENT] 观测并记录数据（如果超限也会有提示窗口出现）。
1. 开机，运行TopSURV软件，进入主界面。 2. 创建一个新作业或者打开一个已存在的作业。 3. 输入已知控制点（a、b）坐标。
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
4、设置导线测量方法和限差
在主菜单点击[作业]，进入[设置]子菜单，选择[测量]，显示如 下对话框：
TopSURV导线测量与平差操作示例
拓普康（中国）技术中心
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
一、导线测量示意图
6 5 c 7 4 a d 8 b
1
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图1-1
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
其中a/b/c/d为已知控制点；1/2/3等均为导线点。
注：如果后视时不 测量距离，只要不 选中“测量BS距离” 即可。
如图设置各参数；同时还可以将当前设置参数保存为缺省值。
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
其中限差设置部分，
Hz表示水平角限差：[盘左-(盘右-180)] VA表示垂直角限差：[盘左+盘右-360]
D表示距离限差：[盘左-盘右]
TopSURV不允许在盘右状态下进行后视定向。 如图1-1，以下将演示全站仪放置在测站点a时导 线测量的操作过程，其中后视点为b，前视点 为1。
TOPCON 北京技术中心击[BS/FS测量]开始测量。
显示的对话框如下：
TOPCON 北京技术中心 86-1067802799
10、盘右观测后视点（b）
盘右观测完前视点后，TopSURV自动切换到后视点盘右观 测界面：
按[ENT] 观测并记录数据（如果超限也会有提示窗口出现）。
《测量误差与平差》PPT课件
• 精度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但 与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常 用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低 的指标。此处的平均值大小并非简单的算术平均大 小，而是指均方差。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
第5章测量误差及测量平差ppt课件
四.测量误差处理
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
测量平差
§9.2 点位误差
• 三、位差的极大值E 和极小值F（没有采用教 材方法讲授） ˆ 2 ˆ 2 ，由于 ˆ 0 与ϕ 无关， σ ϕ = σ 0 Qϕϕ σ2 • 任意方向的位差 σϕ Qϕϕ 可见 取决于 ∂Qϕϕ • 令 ∂ 2 2
∂ϕ = ∂ϕ (Qxx cos ϕ + Q yy sin ϕ + Qxy sin 2ϕ ) = 0
• 由于 tan 2ϕ 0 = tan( 2ϕ 0 + 180 ° ) ，所以ϕ 0有两个根，一 个为 ϕ 0 ，一个为 ϕ 0 + 90° ，即极值方向有两个， 相差90°，一个是极大值，一个是极小值。 • 将 sin 2 ϕ0 = 1 − cos 2ϕ 0 ， 2 ϕ 0 = 1 + cos 2ϕ 0 ， cos 2 2 2 2 • 代入 Qϕϕ = Qxx cos ϕ + Qyy sin ϕ + Qxy sin 2ϕ • 得 1 Qϕϕ = (Q xx + Q yy ) + 2(ctg 2 2ϕ 0 + 1)Q xy sin 2ϕ 0
Qsu Qss
• 要求某一个未知参数的协因数（权倒数）， 可直接从矩阵主对角线上提取。
§9.2 点位误差
• 2、条件平差和附有参数的条件平差法
•
N −1 = Q KK 对于条件平差法，法方程系数阵逆阵
•
。 而k 作为建立数学模型所需的参数，属于“多余参 Q KK 数”， 无实际意义。因此，要求坐标未知数的协 因数，首先要将其表示为观测值平差值的函数，为 此列出函数式： T ˆ ˆ xi = f xi ( L ) dx = f X dL ˆ ) 权函数式：dy = f T dL ˆ y i = f yi( L Y
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第三章 协方差传播律及权
DLL E L E(L)L E(L)T
nn
l2l21l1
l1l2 2
l2
T
l1ln
l2ln
lnl1
lnl2
2 ln
式中：
E(L) E(l1) E(l2) E(ln )T为观测向量的期望；
2 li
D(li )
E
(li
E(li
))2
为第i组观测值的方差；
DZZ
2 z
k12
2 1
k 22
2 2
k 2n
2 n
2 x
=
（1 7
）2
2 1
+（72
）2
2 2
+（-
4 7
）2
2 3
= 1 ×9+ 4 ×4+ 16×1
49
49
4三章 协方差传播律及权
4、多个观测向量线性函数的方差—协方差矩阵
若观测向量的多个线性函数为
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2 k21X1 k22 X 2 k2n X n k20
其矩阵形式为： Y FX F0
第三章 协方差传播律及权
则有：
DYY FDXX F T DYTY
rr
而 DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
rt
E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] FE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的
精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多 组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测量中， 基线观测值 L (x y z)T 就是观测向量。
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
L
n1
(l1
l2
ln )T
则其方差——协方差矩阵定义为：
第三章 协方差传播律及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵 §3-2 协方差传播律 §3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传播律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 §3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
3-2-6 3-2-7 （1） 3-2-10 （1）
第三章 协方差传播律及权
12 12 1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
12
2 2
2n
DXTX
1n
2n
2 n
第三章 协方差传播律及权
观测向量线性函数为:
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
Z的期望为: E(Z ) E(KX k0 ) KE( X ) k0
E(X1, X 2,, X n ) E(X1)E(X 2)E(X n )
X、Y相互独立时：
E(X ,Y ) E(X )E(Y )
第三章 协方差传播律及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
Z的方差为:
DZZ E[(Z E(Z ))( Z E(Z ))T ] E[(KX k0 KE(X ) k0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] KE[( X E( X ))( X E(EX ))T ]K T KDXX K T
DZZ KDXX K T
第三章 协方差传播律及权
最后写成 S = 11.7m±0.1m
第三章 协方差传播律及权
例3-2：设X为独立观测值L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
-4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1=3mm， 2 =2mm及 3 =1mm，
求函数X的中误差 x 。
第三章 协方差传播律及权
解：因为L1，L2，L3是独立观测值，所以按照下式
FDXX K T
同理：
DZY KDXX F T DYTZ
tr
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题 习题：3.2.14
第三章 协方差传播律及权
例3-4：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1 ，L2，L3，其中误差为σ。试求将三角形闭合差平均分配后 的各角 Lˆ 1、Lˆ 2、Lˆ 3 的协方差阵。
C
S L1 a
a0
L2 B
A
S0
图3-1侧方交会示意图
第三章 协方差传播律及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y ) E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
当随机变量 X1, X 2 ,, X n两两独立时，有
例3-1：在1:500的地图上，量得某两点间的距离d=23.4mm， d的量测中误差σd=0.2mm，求两点实地距离S及其中误σs。
解：
S = 500d = 500×23.4 = 11700mm= 11.7m
2 s
=
5002
2 d
S = 500 d = 500×0.2= 100mm = 0.1m
lilj E (li E(li ))(l j E(l j )) 为第i组观测值关于第j组观
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观
测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播律及权
§3-2 协方差传播律
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
故有：
DZZ KDXX K T
若还有观测向量的另外r个线性函数 Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2n X n f 20
Yr f r1 X 1 f r2 X 2 f rn X n f r0
Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
则令
Z1
Z
t1
Z2
,
Zt
k11
K
tn
k21
kt1
k12 k22
kt 2
k1n
k2n
,
ktn
k10
K0
t1
k20 kt0
第三章 协方差传播律及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K0