课件 测量平差3
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Z的方差为:
DZZ E[(Z E(Z ))( Z E(Z ))T ] E[(KX k0 KE(X ) k0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] KE[( X E( X ))( X E(EX ))T ]K T KDXX K T
DZZ KDXX K T
第三章 协方差传播律及权
12 12 1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
12
2 2
2n
DXTX
1n
2n
2 n
第三章 协方差传播律及权
观测向量线性函数为:
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
Z的期望为: E(Z ) E(KX k0 ) KE( X ) k0
DZZ
2 z
k12
2 1
k 22
2 2
k 2n
2 n
2 x
=
（1 7
）2
2 1
+（72
）2
2 2
+（-
4 7
）2
2 3
= 1 ×9+ 4 ×4+ 16×1
49
49
49
= 0.84
x = 0.9mm
第三章 协方差传播律及权
4、多个观测向量线性函数的方差—协方差矩阵
若观测向量的多个线性函数为
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2 k21X1 k22 X 2 k2n X n k20
作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的
精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多 组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测量中， 基线观测值 L (x y z)T 就是观测向量。
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
L
n1
(l1
l2
ln )T
则其方差——协方差矩阵定义为：
FDXX K T
同理：
DZY KDXX F T DYTZ
tr
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题 习题：3.2.14
第三章 协方差传播律及权
例3-4：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1 ，L2，L3，其中误差为σ。试求将三角形闭合差平均分配后 的各角 Lˆ 1、Lˆ 2、Lˆ 3 的协方差阵。
lilj E (li E(li ))(l j E(l j )) 为第i组观测值关于第j组观
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观
测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播律及权
§3-2 协方差传播律
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
第三章 协方差传播律及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵 §3-2 协方差传播律 §3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传播律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 §3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
例3-1：在1:500的地图上，量得某两点间的距离d=23.4mm， d的量测中误差σd=0.2mm，求两点实地距离S及其中误σs。
解：
S = 500d = 500×23.4 = 11700mm= 11.7m
2 s
=
5002
2 d
S = 500 d = 500×0.2= 100mm = 0.1m
C
S L1 a
a0
L2 B
A
S0
图3-1侧方交会示意图
第三章 协方差传播律及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y ) E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
当随机变量 X1, X 2 ,, X n两两独立时，有
其矩阵形式为： Y FX F0
第三章 协方差传播律及权
则有：
DYY FDXX F T DYTY
rr
而 DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
rt
E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] FE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
故有：
DZZ KDXX K T
若还有观测向量的另外r个线性函数 Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2n X n f 20
Yr f r1 X 1 f r2 X 2 f rn X n f r0
最后写成 S = 11.7m±0.1m
第三章 协方差传播律及权
例3-2：设X为独立观测值L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
-4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1=3mm， 2 =2mm及 3 =1mm，
求函数X的中误差 x 。
第三章 协方差传播律及权
解：因为L1，L2，L3是独立观测值，所以按照下式
E(X1, X 2,, X n ) E(X1)E(X 2)E(X n )
X、Y相互独立时：
E(X ,Y ) E(X )E(Y )
第三章 协方差传播律及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
第三章 协方差传播律及权
DLL E L E(L)L E(L)T
nn
l2l21l1
l1l2 2
l2
T
l1ln
l2ln
lnl1
lnl2
Biblioteka Baidu
2 ln
式中：
E(L) E(l1) E(l2) E(ln )T为观测向量的期望；
2 li
D(li )
E
(li
E(li
))2
为第i组观测值的方差；
3-2-6 3-2-7 （1） 3-2-10 （1）
第三章 协方差传播律及权
Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
则令
Z1
Z
t1
Z2
,
Zt
k11
K
tn
k21
kt1
k12 k22
kt 2
k1n
k2n
,
ktn
k10
K0
t1
k20 kt0
第三章 协方差传播律及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K0
DZZ E[(Z E(Z ))( Z E(Z ))T ] E[(KX k0 KE(X ) k0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] KE[( X E( X ))( X E(EX ))T ]K T KDXX K T
DZZ KDXX K T
第三章 协方差传播律及权
12 12 1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
12
2 2
2n
DXTX
1n
2n
2 n
第三章 协方差传播律及权
观测向量线性函数为:
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
Z的期望为: E(Z ) E(KX k0 ) KE( X ) k0
DZZ
2 z
k12
2 1
k 22
2 2
k 2n
2 n
2 x
=
（1 7
）2
2 1
+（72
）2
2 2
+（-
4 7
）2
2 3
= 1 ×9+ 4 ×4+ 16×1
49
49
49
= 0.84
x = 0.9mm
第三章 协方差传播律及权
4、多个观测向量线性函数的方差—协方差矩阵
若观测向量的多个线性函数为
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2 k21X1 k22 X 2 k2n X n k20
作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的
精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多 组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测量中， 基线观测值 L (x y z)T 就是观测向量。
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
L
n1
(l1
l2
ln )T
则其方差——协方差矩阵定义为：
FDXX K T
同理：
DZY KDXX F T DYTZ
tr
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题 习题：3.2.14
第三章 协方差传播律及权
例3-4：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1 ，L2，L3，其中误差为σ。试求将三角形闭合差平均分配后 的各角 Lˆ 1、Lˆ 2、Lˆ 3 的协方差阵。
lilj E (li E(li ))(l j E(l j )) 为第i组观测值关于第j组观
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观
测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播律及权
§3-2 协方差传播律
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
第三章 协方差传播律及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵 §3-2 协方差传播律 §3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传播律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 §3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
例3-1：在1:500的地图上，量得某两点间的距离d=23.4mm， d的量测中误差σd=0.2mm，求两点实地距离S及其中误σs。
解：
S = 500d = 500×23.4 = 11700mm= 11.7m
2 s
=
5002
2 d
S = 500 d = 500×0.2= 100mm = 0.1m
C
S L1 a
a0
L2 B
A
S0
图3-1侧方交会示意图
第三章 协方差传播律及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y ) E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
当随机变量 X1, X 2 ,, X n两两独立时，有
其矩阵形式为： Y FX F0
第三章 协方差传播律及权
则有：
DYY FDXX F T DYTY
rr
而 DYZ E[(Y E(Y ))(Z E(Z ))T ]
rt
E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] FE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
故有：
DZZ KDXX K T
若还有观测向量的另外r个线性函数 Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2n X n f 20
Yr f r1 X 1 f r2 X 2 f rn X n f r0
最后写成 S = 11.7m±0.1m
第三章 协方差传播律及权
例3-2：设X为独立观测值L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
-4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1=3mm， 2 =2mm及 3 =1mm，
求函数X的中误差 x 。
第三章 协方差传播律及权
解：因为L1，L2，L3是独立观测值，所以按照下式
E(X1, X 2,, X n ) E(X1)E(X 2)E(X n )
X、Y相互独立时：
E(X ,Y ) E(X )E(Y )
第三章 协方差传播律及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
第三章 协方差传播律及权
DLL E L E(L)L E(L)T
nn
l2l21l1
l1l2 2
l2
T
l1ln
l2ln
lnl1
lnl2
Biblioteka Baidu
2 ln
式中：
E(L) E(l1) E(l2) E(ln )T为观测向量的期望；
2 li
D(li )
E
(li
E(li
))2
为第i组观测值的方差；
3-2-6 3-2-7 （1） 3-2-10 （1）
第三章 协方差传播律及权
Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
则令
Z1
Z
t1
Z2
,
Zt
k11
K
tn
k21
kt1
k12 k22
kt 2
k1n
k2n
,
ktn
k10
K0
t1
k20 kt0
第三章 协方差传播律及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K0