离散数学课程特点与教学方法改革

离散数学课程特点与教学方法改革

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0 引言

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学理论，是现代数学

的一个重要分支，也是计算机相关专业学生必修的专业基础平台课程。离散数学对于计算机相关专业来说非常重要，它为后续课程，如数据库、数据结构、计算机网络、操作系统等提供必要的数学基础；同时

通过该课程的学习可以提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，并

有助于提高学生的编程能力。这门课程为本科生后续课程和研究生课

程学习打下坚实理论基础，在专业课程体系中占有重要地位。

1 离散数学课程特点与教学现状

离散数学是一门概念多、定理多、理论性强、内容丰富和高度抽象的

课程。其核心内容分为 4 部分：第 1 部分是数理逻辑，其中包括命

题逻辑和谓词逻辑；第 2 部分是集合论，主要包括集合、关系和函数；第 3 部分是代数结构也称近世代数；第 4 部分是图论，主要包括图

的基本概念、基本定理和基本方法。离散数学一般开设在大二上学期，此时计算机相关专业学生已经修完高等数学、线性代数、概率论、大

学物理等理论课程。就难易程度而言，离散数学与这几门先修课程相

比更容易理解和掌握，因为大部分离散数学中的概念简单易懂、定理

证明清晰明了，很多内容学生在初、高中都接触过，只是没有进行系

统抽象的学习。但实际上很多学生仍感觉这门课程学习起来比较困难，主要原因是概念繁多，容易遗忘，同一学期还开设许多其他课程，如

果学生课下不抽出时间巩固，就很难保证对概念和定义的理解和掌握。同时，多方面的因素导致学生不重视离散数学的学习，产生学习兴趣

不高、教学效果不理想的状况。

2 教学方法改革措施

教学方法是实现教学目的和教学任务的重要手段，是教学活动中最重

要的组成部分[1].同样的知识点，可以用多种方法教授给学生。

2.1 强调重点和难点的讲解

许多教师讲到集合知识时讲解速度都很快，认为集合基本知识已经在

高中学过，但是学过并不代表已经学会并掌握。比如在集合一节有一

个例题[2]84,A={{a},a} 和 {a} 这两者之间的关系，{a} ∈ A 和 {a} A 都成立。学生往往不明白为什么二者都成立，因为元素与集合之间

是属于和不属于关系，而集合与集合之间是包含和不包含关系。对于

这类题要告诉学生分 2 步走：第 1步，先看关系符，如果关系符是∈，则判断前后是否为属于关系，如果关系符是 ,则判断前后是否为包含

关系；第 2 步，如果关系符是∈，则看前者是否为后者集合里的元素，如果是，则属于关系成立，否则属于关系不成立，如果关系符是 ,则

看后者集合的子集里有没有和前者相等的集合，如果相等则包含关系

成立，否则包含关系不成立。另外，书上讲解属于关系为不同层次上

的 2 个集合，并画出了图形示意，学生看后很好理解；而包含关系为

同一层次上的 2 个集合，学生就不好理解，应该同样用图形表示。

对于前一个例题，可画出同一层的图示，如图 1 所示。根据子集的定

义[2]84,由定义和图示可知，a ∈ {a} → a ∈ A ,因此得到 {a} A.

这样，同一个问题可以从不同角度分析和理解。

对于难点和不易理解的部分，要用直观和学生易懂的语言来讲解。以

离散数学数理逻辑部分中的一阶谓词逻辑公式类型判断（即给定一个

公式，判断公式的类型）为例，根据前面的知识可知，命题公式和谓

词公式都分为3类：重言式、矛盾式和非重言式的可满足式。命题公

式是重言式的置换和矛盾式的置换，则谓词公式仍然是重言式和矛盾式，因此判断一个谓词公式是重言式和矛盾式比较容易，根据命题公

式即可直接判断。但是对于学生来说，判断非重言式的可满足式比较

困难，即给定一个抽象的谓词逻辑公式，要找到一个成真解释和成假

解释比较难，原因在于学生不知道如何找到这样的解释。这就需要教

师给学生分析并用简易的语言来说明，找到问题的本质。在一阶逻辑

命题符号化中先有一段话，并且这段话无论真假 , 其真值已经确定，

可以用谓词符号化，而逻辑公式的类型判断正好是这个过程的逆过程。首先，找一句话，这句话为真，并且能够符号化为这个公式形式，则

此公式不是矛盾式；其次，再找一句话，这句话为假，并且能够符号

化这个公式形式，则此公式不是重言式，结合这两种情况就可以推出

此公式为非重言式的可满足式。这样就把不易理解的内容讲得清楚易懂，并且教给了学生解题的思路方法。

2.2 强调前后章节的联系

一般离散数学教材将数理逻辑放在集合论之前。这两部分看似关联不大，实际上内容联系比较紧密，如果将二者之间的联系讲解清楚，学

生就更容易理解和掌握。讲到真值表时，可知有n（n ≥ 1）个命题

变项的公式共有 2n 个不同的赋值。在计算机导论中已经学过，每一

个命题变项的取值非 0 即 1,共有 2 种情况，因此 n 个命题变项根

据高中排列组合知识可以得到共有 2n 种情况。

在后面集合论中，集合 A 有 n 个元素，集合 A 的幂集有 2n 个元素，因为幂集是 A 的所有子集构成的集合，而在 A 的子集里面，A 中的

每个元素可以出现或不出现，即每个元素都有 2 种可能，因此，共有

2n 个。也可以按真值表的形式求解，n 个元素赋值从00…0 开始，

然后按二进制加法依次写出每个赋值，直到11…1 为止。n 个 0 对

应于 A 的子集 ,也即 A 中的 n 个元素一个也不出现；n 项中哪一位

有 1,则 A 中对应位的元素在 A 的子集中出现；当 n 位全为 1 的时候，就是对应 A 的子集为 A 本身。另一方面，命题公式中的命题变

项个数可以构成一个集合，该集合的幂集元素个数也正好为 2n.在讲

到函数时，函数的类型分为 3 种：单射函数、满射函数和双射函数。

由此部分知识可以推出，n 个命题变项的赋值与 n 个元素集合的幂集

之间存在一个双射函数。这样就可以把前后知识联系起来，达到融会

贯通的目的。

2.3 强调习题和作业