排列组合复习学科导学案
排列组合导学案
建三江一中导学案 ( 高三 ) 编号：授课教师主备人王影备课组长樊春红备课时间2011年 12月日授课时间2011 年 12 月日年级（科目）高三课题排列组合【学习目标】1、知识与能力：通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法。
2、过程与方法：在教学活动中，我通过肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。
3、情感、态度与价值观：培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。
【考纲要求】1、理解排列、组合的概念.2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3、能解决简单的实际问题 .【重点难点】重点：理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.难点：能解决简单的实际问题.【学法指导】教是为了不教。
在教学过程中我注意指导学生学会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。
培养学生主动探究的学习方式。
一【知识链接】一、排列1 、排列的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n )个元素（这里的被取元素各不相同）____________________________________ ，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.4、排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n )个元素的__________叫做从n个元素中取出 m 元素的排列数，用符号_____表示 .5、排列数公式：______________________________________________A nn n(n 1)(n 2) 3 2 1 n! (叫做n 的阶乘)规定0! 1二、组合1、组合的定义：从n 个不同元素中，任取m (m n )个元素，_____________，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2、组合数：从n 个不同的元素中取出m (m n )个元素的____________，用符号____表示.3、组合数公式：__________________________________________________________规定 C n0 1，0! 1这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公n！m式的逆用，即由= C n4、组合数性质： (1) C n m=_______;(2) C n m+ C n m 1 =__________5、要弄清排列和组合的区别和联系：__________________ 。
导学案2-3组合
【 学习目标
1.对排列组合的知识有一个系统的了解，从而进一步掌握；
2.能运用列组合概念及两个原理解决排列组合的综合体；
3.提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力。
重点难点
重难点：排列、组合综合问题。
核心素养
a.数学抽象：对组合定义的理解。
b.逻辑推理：归纳推理出组合的概念。排列数和组合数的联系。
三、总结提升
1.有5本小说，6本杂志，从这11本书中任取3本，其中必须包括小说和杂志，则不同的取法总数是（）
A． B． C． D．
2．从单词“eguation”中取5个不同的字母排成一排，含有“gu”（其中“gu”相连且顺序不变）的不同排法共有（ ）
A．120种B．480种C．720种D．840种
3．某乒乓球队共有男、女队员18人，现从中选出男、女队员各一人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为（ ）
二．合作交流
1.平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．
（l）可以确定多少条直线？（2）可以确定多少个三角形？（3）可以确定多少个四边形？
2.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？
三．质疑探究
从五棱柱的10个顶点中选出5个顶点，最多可作多少个不同的四棱锥？
四．构建知识框架
组合数公式：
组合数公式还可以写出：
五．检测巩固
1．平面内有相异的11个点，有且仅有n（ ）个点在一条直线上，过每两点作直线共有50条不同的直线．（l）求n； （2）求这11个点可确定多少个圆？
排列组合复习学科导学案
课 题 排列组合复习学习目标与 考点分析 掌握排列组合的概念，分辨出什么时候需要排列什么时候需要组合 能够利用排列组合的思想进行快速的解题学习重点 排列组合中常用方法及问题转化学习方法学练结合学习内容与过程排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一． 直接法1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A =100。
【精品】高中数学 排列组合综合问题 导学案
学生/课程年级高二学科授课教师江老师日期时段核心内容排列组合综合问题1.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力2.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.教学重难点1．理解掌握排列、组合的概念2．利用排列数、组合数的公式和性质解决简单问题知识点回顾1.排列（1）排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
注意：排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。
（3）排列数公式：（）说明：公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数相乘；全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列。
全排列数公式如下：（叫做n的阶乘）（4）阶乘的概念：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，这时；把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘表示：，即规定．（5）排列数的另一个计算公式：即=。
（6）解排列题基本规律有：对于带限制条件的排列问题，通常从以下几种途径考虑：①特殊元素优先考虑法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；②特殊位置优先考虑法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数．相邻元素捆绑法：先把相邻的元素当成一个整体考虑，然后考虑其他位置，最再考虑相邻的整体。
不相邻元素插空法：先考虑不相邻之外的元素，然后不相邻的元素往空位里面放。
2.组合（1）组合：从n个不同元素中任取m个元素并成一组；（2）组合数：C==；由于，所以.（3）.解题策略：（1）解排列、组合题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；（2）解排列、组合问题应注意：①对结果恰当地分类，设计“分组方案”是解排列、组合题的关键所在；②是用“直接法”还是“间接法”求解，其原则是“正难则反”；（3）解决排列、组合问题的常规方法或类型：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；捆绑法：解决相邻问题的方法，把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”排列，要注意是否需要“松绑”，即特殊元素是否要全排列．插空法：解决某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．多排问题单排法：如个学生排成前后两排，每排各个学生的排法数等于个学生排成一排的排法数．隔板法：相同元素的分组分配问题．相同元素之间不考虑先后顺序．定序问题除法处理的策略．先选后排法：不同元素的分组分配问题．先将元素分组，再将元素进行排列．注意：分组问题要注意审清是平均分组还是非平均分组，若是平均分组（如平均分成组）则在计算分组的方法数时别忘了除以至多至少问题常用排除法．互斥问题分类处理！课前练习1.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本．2.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端.几种常见的做题方法：1.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.例1 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？变式练习：1.学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
排列与组合(经典导学案及练习答案详解)
§10.2排列与组合学习目标1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.常用结论解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．(√)(3)若组合数公式C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)(4)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(×)教材改编题1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有()A．120种B．240种C．200种D．180种答案 B解析《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2A55＝240(种)．2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有()A．36种B．72种C．108种D．144种答案 B解析不同排法种数为A33A24＝72(种)．3．若C2n＝C2n－1＋C3n－1(n∈N*)，则n＝.答案 5解析由C m n＝C m－1＋C m n－1，n－1所以C2n＝C3n，又因为C m n＝C n－m，n所以n－2＝3，即n＝5.题型一排列问题例1(1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为() A．A77A1010B．A717A1010C．A717＋A1010D．A1717答案BD解析17名同学中选7名全部排序站在前排有A717种方法，剩下10名同学全排在后排有A1010种方法，根据乘法原理，共有A717A1010种方法．将前后排视为一排，共有A1717种方法．(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为()A．15 B．30 C．45 D．60答案 B解析由题意可知分两步：①先排a1，a3，a5，当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，当a1＝4时，a3＝5，a5＝6有1种，共5种；②再排a2，a4，a6，共有A33＝6(种)，所以不同的排列方法种数为5×6＝30.教师备选现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为()A．A36·A55B．A88－A66·A33C．A35·A33D．A88－A46答案 B解析在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即A88－A66·A33.思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为()A.8 B．24 C．48 D．64答案 C解析由1＋6＝2＋5＝3＋4，则可组成不同表格的个数为A22A22A22A33＝48.(2)(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有()A．36种B．24种C．18种D．12种答案 B解析由题意甲乙两人名次为2,3或3,4，所以5人的名次不同的排列情况有2×A22A33＝24(种)．题型二组合问题例2(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种答案 C解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C25种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法．故满足题意的分配方案共有C25·A44＝240(种)．(2)两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为()A．48 B．50C．98 D．68答案 A解析6人乘坐的所有情况有C26C44A22＋C36＝15×2＋20＝50(种)，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C12＝2(种)，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50－2＝48.教师备选泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有种(用数字作答)．答案840解析依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C47＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A44＝24(种)排法，故共有C47A44＝35×24＝840(种)方法．思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有()A．10种B．16种C．22种D．28种答案 A解析如果没有空盒，则小盒的球数是1,2,3，或是2,2,2，共有A33＋1＝7(种)放法；若是有一个空盒，则小盒的球数是3,3，首先选盒，再放小球，共有C23×1＝3(种)放法，所以不同的放法共有7＋3＝10(种)．(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为．答案86解析由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.题型三排列与组合的综合应用命题点1相邻、相间及特殊元素(位置)问题例3(2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为()A．A44A22B．A22A55C．A33A55D．A44A25答案 D解析先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为A44A25.延伸探究若要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(用数字作答)．答案240解析先将2个饮料类店铺进行捆绑，再和其他4个小吃类店铺进行排列，故排出的摊位规划总个数为A22A55＝240.思维升华相邻、相间问题的解题策略(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．命题点2定序问题例4某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是．答案120解析六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共6！3！＝120(种)．延伸探究若在本题中，再增加条件“工程丁必须在丙完成后立即进行”，那么安排这6项工程不同的排法种数是．答案20解析工程丁必须在丙完成后立即进行，等价于丙丁看成一个元素，共五个元素进行排序，保证甲乙(丙丁)三个元素顺序不变，再加入两个元素进行排序，共5！3！＝20(种)．思维升华 定序问题的处理策略对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n 个，新插入的元素为m 个，则排列数为(m ＋n )！n ！.命题点3 分组、分配问题例5 数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种B ．C 312C 39C 3634种C.C 312C 39C 36A 4443种D ．C 312C 39C 3643种答案 B解析 方法一 首先将12名同学平均分成四组，有C 312C 39C 36A 44种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A 44种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有C 312C 39C 36A 44·A 44·34＝C 312C 39C 3634(种)． 方法二 根据题意可知，第一组分3名同学有C 312种分法，第二组分3名同学有C 39种分法，第三组分3名同学有C 36种分法，第四组分3名同学有C 33种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有C 312C 39C 36C 3334种． 教师备选1．某地遭遇极端强降雨天气，一方有难，八方支援，全国各地救援团队奔赴此地．现有某救援团队5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛救灾志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为( ) A ．120 B ．150 C ．240 D ．300答案 B解析 有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人， 包括两种情况：一是按照2,2,1分配，有12C 25C 23A 33＝90(种)结果，二是按照3,1,1分配，有12C 15C 14A 33＝60(种)结果．不同分配方案的总数为90＋60＝150.2．(2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有 种．(结果用数字作答) 答案 54解析 分两类，C 24C 22A 22A 23＋C 24C 12C 11A 22A 33＝54(种)．思维升华 解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.跟踪训练3 (1)2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的方案有( )A ．10种B ．12种C ．20种D ．24种答案 B解析 将两名女领诵捆绑，再和另外两名男领诵进行全排列，共有A 22A 33＝12(种)．(2)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( ) A ．如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有30种 答案 ABC解析 如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A 44＝24(种)，故A 正确；最左端排甲时，有A 44＝24(种)不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有C 13A 33＝18(种)不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42(种)，故B 正确；因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有A 33A 24＝72(种)，故C 正确；甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有A 55A 33＝20(种)，故D 不正确．课时精练1．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案 B解析 因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A 33＝24(种)．2．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…，依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有 个矩形( )A ．3 025B ．2 025C ．1 225D ．2 525答案 A解析 要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C 211·C 211＝3 025.3．(2022·衡水模拟)同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A ，B ，C 三人两两不相邻，A 和D 是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有( ) A ．24种 B ．48种 C ．72种 D ．96种 答案 C解析 根据题意分3步进行分析：第一步，将除A ，B ，C 之外的三人全排列， 有A 33＝6(种)情况，第二步，由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有A23＝6(种)情况，则共有6×2×6＝72(种)不同的安排方法．4．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为()A．120 B．90C．60 D．40答案 D解析根据题意，将5个音阶全排列，共有5个位置，如图，从左至右依次记为1,2,3,4,5，进而可以分以下三类求解．当角音阶在2号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号位置，剩下的一个音阶和其余的两个任意安排到3,4,5号位置即可，故有A12A33＝12(种)；当角音阶在3号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号或2号位置，剩下的一个音阶放到4号或5号位置，最后安排剩余的商、徵两个音阶，共有C12A12A12A22＝16(种)；当角音阶在4号位置，此时与2号位置的安排方法相同，共有A12A33＝12(种)，故宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为12＋16＋12＝40.5．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为()A．120 B．240C．360 D．480答案 C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种，故共有C14C13(A25＋C15A22)＝360(种)．6．(2022·辽阳模拟)联考结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种答案 B解析分以下两种情况讨论：①若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有A55种；②若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有4A44种．综上所述，不同的排法共有A55＋4A44＝216(种)．7．(多选)现有4个编号为1,2,3,4不同的球和4个编号为1,2,3,4不同的盒子，把球全部放入盒内．则下列说法正确的是()A．恰有1个盒不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D．恰有2个盒不放球，共有84种放法答案BCD解析对于A，恰有1个盒不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C14C24A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C13种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C12＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C24C24＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C24(C14C12＋C24)＝6×14＝84(种)，故D正确．8．(多选)下列等式正确的有()A．A m n＋m A m－1n＝A m n＋1B．n C m n＝m C m－1n－1C．C33＋C34＋C35＋…＋C32 021＝C2 0182 022D．C02 022＋C12 022＋C22 022＋…＋C2 0222 022＝22 022答案ACD解析对于A，A m n＋m A m－1n ＝n！(n－m)！＋m·n！(n－m＋1)！＝(n－m＋1)·n！(n－m＋1)！＋m·n！(n－m＋1)！＝(n＋1)！[(n＋1)－m]！＝A m n＋1，选项A正确；对于B，n C m n＝n·n！m！(n－m)！＝n 2m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n 2m·C m －1n －1≠m C m －1n －1， 选项B 错误；对于选项C ，C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 32 021＝(C 44＋C 34)＋C 35＋…＋C 32 021＝(C 45＋C 35)＋C 36＋…＋C 32 021＝(C 46＋C 36)＋…＋C 32 021＝…＝C 42 021＋C 32 021＝C 42 022＝C 2 0182 022，选项C 正确；对于D 选项，二项式(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的二项式系数和等于2n ，选项D 正确．9．某高铁站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种(用数字作答)．答案 480解析 把四位乘客当做4个元素作全排列有A 44种排法，将一个空座位和余下的5个空座位作为2个元素插空有A 25种排法，∴共有A 44A 25＝480(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有 种．(用数字作答)答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的，则其不同的排列有12×A 44＝12(种)，其中正确的有一种，所以错误的方法共有12－1＝11(种)．11．为巩固防疫成果，现有7人排队接种加强针新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙、丁相邻，则有 种不同的排队方法．(用数字作答)答案 240解析 丙、丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲、乙、丙(丁)，其他3个任意排列，方法数为C 36A 22A 33＝240.12．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2021年的强基计划报名时间集中在4月8日－4月30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名清华、北大和南大的强基计划，若每所学校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所学校，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有 种不同的报名方式．(用数字作答)答案 36解析 根据题意，把甲乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有C 24A 33＝36(种)不同的方法．13．福厦高速铁路，正线全长300.483千米.2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米，预计2022年9月开通．为了加快推动重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设．项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有( )A ．6种B ．18种C ．36种D ．72种答案 D解析 根据题意把6人分成3组，共有C 26C 24C 22A 33＝15(种)不同的分法，其中甲乙在同一组中有C 24C 22A 22＝3(种)分法，可得甲乙不在同一组中，共有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12×A 33＝72(种)不同的方案．14．2021年是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 个不同的六位数．答案 150解析 依题意可组成不同的六位数有A 66A 22A 22－A 55A 22A 22＝180－30＝150(个)．15．(多选)众所周知，组合数C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，这里m ，n ∈N *，并且m ≤n .牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C m n 中的下标n 推广到任意实数，规定广义组合数C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！是组合数的一种推广，其中(m ∈N *，x ∈R )，且定义C 0x ＝1，比如C 52＝2(2－1)(2－2)(2－3)(2－4)5！＝0.下列关于广义组合数的性质说法正确的有( ) A ．C 4－7＝－210B ．当m ，n 为正整数且m >n 时，C m n ＝0C ．当m 为正奇数时，C m －1＝－1D ．当n 为正整数时，C m －n ＝(－1)m C m n ＋m －1答案 BCD解析 选项A ，由题意，C 4－7＝－7(－7－1)(－7－2)(－7－3)4！＝210， 故A 不正确．选项B ，由C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！， 当m ，n 为正整数且m >n 时，则n －m ≤－1，所以n －m ＋1≤0，所以n ，n －1，n －2，…，n －m ＋1这m 个数中，一定有某个数为0，所以C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝0， 故B 正确．选项C ，当m 为正奇数时，C m －1＝－1×(－2)…(－1－m ＋1)m ！ ＝－1×(－2)…(－m )m ！＝－1， 故C 正确．选项D ，当n 为正整数时，C m －n ＝－n (－n －1)(－n －2)…(－n －m ＋1)m ！＝(－1)m n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋m －1)m ！. C m n ＋m －1＝(n ＋m －1)(n ＋m －2)…(n ＋m －1－m ＋1)m ！ ＝(n ＋m －1)(n ＋m －2)…(n ＋1)n m ！. 所以C m －n ＝(－1)m C m n ＋m －1，故选项D 正确．16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有 种不同的答题顺序．答案 60解析将6只灯笼全排，即A66，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有A66A33·A22＝60(种)．。
高三数学一轮复习导学案：12.1.2排列组合
《12.1.2 排列与组合》导学提纲教师：高三年级 7 班学科: 数学课型: 一轮复习课【学习目标】1. 通过知识回顾，基础自测，梳理排列数与组合数的公式和性质；2. 通过对例1的学习，能用排列解决一些简单的实际问题；3. 通过对例2的学习，能用组合解决一些简单的实际问题。
【核心任务】任务一：回归教材，梳理排列数与组合数的公式和性质，完成下列问题：（一）回归教材：1.两个概念(1)排列：从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)，按照______________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)组合：从n个元素中取出m个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2.两个公式(1)排列数公式．A n m＝____________________＝_________．规定0！＝___．(2)组合数公式．C n m＝_________________________＝____________．规定C n0＝___．3.组合数的两个性质(1)C n m＝； (2)C n＋1m＝．（二）基础自测：1.填空题(用数字作答)（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_________条毕业留言．(用数字作答)3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A．324 B．328C．360 D．6484．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48C．60 D．725．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)任务二：题型归纳题型一：排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端；(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面.【归纳小结】求解排列应用题的主要方法：【追踪训练1】有3名男生、4名女生，站成一排：(1)甲站中间的站法共有_________种；(2)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，共有种排法；(3)若3名男生顺序已定的站法有_________种．题型二：组合问题【例2】7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．【归纳小结】组合问题常有以下两类题型①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：②“至少”或“最多”：【追踪训练2】某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假货．现从35件商品中选取3件．(1)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？(2)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？(3)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？【课堂检测】1.3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有（）A．48种 B．36种 C．24种 D．18种2.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种.3.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则一共有分法，恰有1位学生分到写有自己学号卡片有分法。
高中数学高二理科选修23排列组合导学案
《排列（1）》导学案【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【重点难点】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【学法指导】（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？【教学过程】（一）导入探究任务一：排列问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？新知1：排列的定义一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试：写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？探究任务二：排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从个元素中取出（nm≤）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合表示.试试：从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？⑶从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数是多少？新知3 排列数公式从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数=mnA新知4 全排列从n个不同元素中取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为=nnA（二）深入学习例1计算：⑴410A;⑵218A; ⑶441010AA÷.变式：计算下列各式：⑴215A; ⑵66A⑶28382AA-; ⑷6688AA.例2若17161554mnA=⨯⨯⨯⨯⨯L，则n=，m=．变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n----L用排列数符号表示．（,n N∈）例3 求证： 11--=m n m n nA A变式 求证： 7766778878A A A A =+-小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 动手试试练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ .【当堂检测 】1. 计算：=+243545A A ;2.. 计算：=+++44342414A A A A ；3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.1. 求证：11211--++=-n n n n n n A n A A2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？【反思 】1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式《排列（2）》导学案【学习目标 】1熟练掌握排列数公式；2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【重点难点 】1熟练掌握排列数公式；2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【学法指导 】（预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处）复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也复习2：排列数公式：mn A ＝ （,,m n N m n *∈≤） 全排列数：n n A ＝ ＝ .复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是【教学过程 】（一）导入探究任务一：排列数公式应用的条件 问题1： ⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二：解决排列问题的基本方法问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.（二）深入学习例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？ （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？变式：：某小组6个人排队照相留念．(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法. 例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数. （1）没有重复数字的四位偶数？ （2）比1325大的没有重复数字四位数？变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？ ⑵ 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？※ 动手试试 练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？【当堂检测】1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有块.2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有种.3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有种不同的方法.5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有种.1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？【反思】1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.《组合（1）》导学案【学习目标】1.正确理解组合与组合数的概念；2.弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算；.【重点难点】1.正确理解组合与组合数的概念；2.弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算；【学法指导】（预习教材P21~ P23，找出疑惑之处）复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是和 . 复习2：排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的排列的个数叫做从n个元素中取出m 元素的排列数，用符号表示复习3：排列数公式：mnA= （,,m n N m n*∈≤）【教学过程】（一）导入探究任务一：组合的概念问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？新知：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？ 探究任务二．组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式 m n C ＝ ＝我们规定：=0nC （二）深入学习例1 甲、乙、丙、丁4个人，（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况； （2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.例2 计算：（1）47C ； （2）710C变式：求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C※ 动手试试 练1.计算：⑴ 26C ； ⑵ 38C ；⑶ 2637C C -； ⑷ 253823C C -.练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？【当堂检测 】1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有 个.3. 计算：310C = .4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .5.写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合1.计算：⑴ 215C ； ⑵ 2836C C ÷；2. 圆上有10个点：⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？ 、【反思 】1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==L 或者：)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且《 组合（2）》导学案【学习目标 】1. 2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题； 【重点难点 】 1. 2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题； 【学法指导 】 （预习教材P 24~ P 25，找出疑惑之处） 复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示.复习2： 组合数公式： m n C ＝ ＝【教学过程 】 （一）导入探究任务一：组合数的性质问题1：高二（6）班有42个同学⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？新知1：组合数的性质1：mn n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=试试：计算：1820C反思：⑴若y x =，一定有yn x n C C =？⑵若yn x n C C =，一定有y x =吗？问题2 从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这 个元素中取出 个元素组成的，共有个．从中你能得到什么结论？ 新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m n C +1-m n C （二）深入学习例1（1）计算：69584737C C C C +++；变式1：计算2222345100C C C C ++++L例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C变式2：证明：111m m m n n n C C C ++++=小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.例3解不等式()321010n n-C n -<∈+C N .练3 ：解不等式：46n nC C <※ 动手试试练1.若542216444x x C -C C C -=+，求x 的值练2. 解方程：（1）3213113-+=x x C C（2）333222101+-+-+=+x x x x x A C C【当堂检测 】1. 908910099C -C ＝2. 若231212n n-C C =，则n =3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；4. 若7781n n n C C C +=+，则n = ； 5. 化简：9981m m m C -C C ++= .1. 计算：⑴ 197200C ; ⑵ 21-+•n n n n C C2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？3. 若128n n C C =，求21n C 的值【反思 】1. 组合数的性质1：mn n m n C C -= 2. 组合数性质2：mn C 1+＝mn C +1-m n C《组合（3）》导学案【学习目标 】1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题. 【重点难点 】1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题. 【学法指导 】（预习教材P 27~ P 28，找出疑惑之处）复习1：⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．，用符号 表示；从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.⑵ mn A ＝m n C ＝ ＝ m n A 与m n C 关系公式是复习2：组合数的性质1： ． 组合数的性质2： ．【教学过程 】 （一）导入探究任务一：排列组合的应用问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问： ⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？ 反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？（二）深入学习例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. ⑴ 有多少种不同的抽法？⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ ⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：⑴其中恰有2件次品的抽法有多少种？⑵其中恰有1件次品的抽法有多少种？⑶其中没有次品的抽法有多少种？⑷其中至少有1件次品的抽法有多少种？小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步.例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：⑴分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；⑵分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；⑶平均分成三堆.变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例 3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条；2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有个；3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是；4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是；5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？⑷如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.。
排列组合综合导学案(11)
班级 第 小组， 姓名 学号高二（下）数学导学案（11） 第 1 页 共 1页第十章 排列组合-----综合应用（1）一、学习目标：1.处理排列组合问题的总原则：①弄清事件的背景，首先搞清有无顺序要求，若有则用m n A ，反之用mn C ；②弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类达到的，从而正确运用计数原理，一个复杂问题往往是分类与分步交织在一起的；③最后看一下元素可否重复。
2掌握典型题型的技巧解法 ⑴相邻问题----捆绑法 ⑵相离问题----插空法 ⑶多元问题----分类法 ⑷标号排位问题----分步法 ⑸至少问题----间接法 ⑹选排问题----先取后排法 ⑺组排问题----先组后排法 二、学习重点与难点 重点：提高实战能力； 难点：提高实战能力；三、学习过程1.将9人排成三排，每排3人，甲在第一排，乙、丙在第三排，这样的排法有（ ）A ．662313A A A 种B ．()3331426A C C 种 Ｃ．3333143326A C A A C ++种 Ｄ．331426A A A 种2.从7名运动员中选出4名组成1004⨯米接力队，其中，甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？3.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有多少个（有数字作答）？4.有10个三好生的名额，分配给高二年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？5.（1）四个不同．．的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子内，问恰有一个空盒的放法有多少种？ （2）四个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子内，恰有一个空盒的放法有多少种？6.（09辽宁）从5名男医生，4名女医生中选3名医生，组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有 种。
7.在北京奥运会开始前，组委会要在8名志愿服务者中挑选6人分别去奥运会场馆“鸟巢”和“水立方”进行实地培训，每处3人，其中甲、乙两人不能分到同一组，且乙不能去水立方，则不同的安排方法种数为 。
导学案排列组合复习(日照实验高中导学案)
日照实验高中2007级导学案——计数原理排列组合单元复习学习目标：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．学习重点难点：排列组合的综合应用自主学习:1.基本概念: 排列与排列数、组合与组合数2.基本公式: 排列数公式、组合数公式、组合数的两个性质3.排列组合的解题原则:（1）深入弄清问题的情景要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气.具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理.事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理.（2）两个方向的解题途径对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法.前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.这两个途径的优劣因题而异.一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然.（3）分析问题的两个方向分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题.但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。
因此平常做题时，这两种训练都要进行. （4）特别强调一题多解一题多解，可以从不同角度分析同一问题，加深对分类计数原理、分步计数原理及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解排列组合问题最有效，最主要的检验方法.4．对常见问题分类总结关于数字问题，要注意“0”这个特元，关于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“捆绑法”看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“插空”的方法.例题解析：例1．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？教师备课学习笔记（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？解:（1）直接分类法:①特元法:②特位法:先考虑首位，可以从1，2，3，4四个数字中任取一个，共种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个.即种方法，则共有=96种方法，即96个无重复数字的四位数.间接排除法:先从五个数字中任取四个排成四位数:，再排除不符合要求的四位数即0在首位的四位数:.则共有=96个.（2）能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数.分析:因为不含0时，1+2+3+4=10.10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0，1，2，3或0，2，3，4，共有2()=36个.例2．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列.（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？解:（1）首位是1，2，3，4组成的五位数各24个.所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30124.（2）首位为1组成=24个数；首位为2，第二位为0，1共组成=12个数.首位为2，第二位为3，第三位为0的数共=2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23104.由分类计数原理: +++1=39.按照从小到大的顺序排列23104后面的五位数就是23140，所以23140是第40个数.例3．5男6女排成一列，问（1）5男排在一起有多少种不同排法？（2）5男都不排在一起有多少种排法？教师备课学习笔记（3）5男每两个不排在一起有多少种排法？（4）男女相互间隔有多少种不同的排法？解:（1）先把5男看成一个整体，得，5男之间排列有顺序问题，得，共种.（2）全排列除去5男排在一起即为所求，得.（3）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得. （4）分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得. 例4．3名医生和6名护士被分配到3个单位为职工体检，每单位分配1名医生和2名护士，不同的分配方案有多少种？解:3名医生分到3个单位有种方案，6名护士分到3个单位，每个单位2名有种，根据分步计数原理，共有=540种方案.例5．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？解:组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法.从10个点中任取4个点有中，其中4个点共面有三类情况:①4个点位于四面体的同一面中，有4种；②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有-4-6-3=141种.例6．求证（1）；（2）证明:（1）另一种解释:对于含某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的排列可分为两类，一教师备课学习笔记类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的，有m个，因此共有(+m)个，即+m=.（2）∴.另一种解释:对于含有某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的有个，因此共有(+)个，即课堂巩固：1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）.A、24个B、30个C、40个D、60个2．5男2女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（）.A、480种B、960种C、720种D、1440种3．某天课表中6节课需从4门文科，4门理科中选出6门课程排出，其中文科交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有_________种.归纳反思：合作探究：1．在50件产品中有4件是次品，其余均合格，从中任意取出5种，至少3件是次品的取法共有________种.2. 正方体的8个顶点可确定不同的平面个数为________，以这些顶点为顶点的四面体共有__________个. 教师备课学习笔记。
高三一轮复习数学排列组合(师生共用)导学案基础知识
高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（九）一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素．．．．．．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m ·m ·… m = m n.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ 二、排列.1. ⑴对排列定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmmn m n -=+--==Λ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②mn m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式nn n n n n C C C 2210=+++Λλ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n kn m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nCkC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m π个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnn n k n kn AC C C Λ)1(-⋅.注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m ≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C . ⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列与组合习题课(1)导学案 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
排列与组合习题课（1）【学习目标】1. 通过结合具体实例，能区别排列与组合，并能利用排列组合知识解决有关排列组合的简单实际问题；2. 能够分析事件如何完成，并从不同角度解决同一个问题；3. 能正确理解“至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词，合理利用直接法和排除法解决实际问题.【知识梳理】1、排列与组合的概念 名称定 义 排列从n 个不同元素中取出()m m n ≤个不同元素 组合2、排列数与组合数（1）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.（2）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3、排列数、组合数的公式及性质 公式 （1）A m n =；（2）C m n =()!!!n m n m =-（*,n m ∈N ，且m n ≤）.特别地0C n =. 性质（1）0!= ；A n n = ；（2）C C m n m n n -=；11C C C m m m n n n -+=+.【学习任务】例1 （1）有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）例2 用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?【变式1】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个三位数?【变式2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位的偶数?【变式3】由0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正奇数?【变式4】用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个.(用数字作答)【变式5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有多少个？例3 现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）若每个盒子都不空，有多少种不同的放法？（3）恰有一个盒子没放球，有多少种不同的放法？（4）恰有两个盒子没放球，有多少种不同的放法？（5）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种不同的放法？【小结】1. 如何区分排列问题和组合问题？2. 如何应用计数原理解决实际问题？3. 本节课你获得了哪些解决排列组合问题的方法？4. “至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词如何转化？。
(完整)排列组合导学案
排列组合的综合应用学习目标1、会用排列、组合解决“在"与“不在”问题、“邻”与“不邻"问题2、用排列、组合解决定序问题、分组分配问题。
重点难点学习重点：“在”与“不在”、“邻”与“不邻”、定序问题、分组分配问题。
学习难点:解决这四个问题的方法策略。
探究案探究:排列组合综合问题类型一:“在”与“不在”问题例1、6个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同站法？（1）甲不站在两端。
（2）甲、乙站两端。
（3）甲不站左端，乙不在右端。
变式：4名动员参加4＊100接力赛，根据平时队员训练成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒,则有多少种不同的出场顺序？类型二:“邻”与“不邻"问题例2、由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数（1）求三人偶数必相邻的七位数的个数.（2）求三人偶数互不相邻的七位数的个数。
变式：3名男生4名女生按照下列不同的要求排队，求不同的排队方法的种数？（1）全体站成一排，男女各间在一起。
（2）全体站成一排，男生必须站在一起。
（3）全体站成一排，男女各不相邻。
类型三：定序问题例3、8个人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？变式：10人身高各不相同，排成前后两排，每排5人要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法?类型四：分组分配问题例4、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本变式：6本不同的书分给4个不同的人每人至少一本,有多少种不同的方案？小结:我的收获：巩固案：A级1、从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( ）2、四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有_____种。
排列、组合、二项式定理的精品教案3篇
排列、组合、二项式定理的精品教案排列、组合、二项式定理的精品教案精选3篇（一）教案主题：排列、组合、二项式定理教学目标：1. 了解和理解排列、组合的概念和特点；2. 学习排列、组合的计算公式；3. 通过实际问题应用排列、组合的知识；4. 理解和应用二项式定理。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿；2. 排列、组合的计算示例；3. 计算器。
教学流程：一、导入（5分钟）1. 引出学生对于排列、组合的了解，以及他们对于二项式定理的了解。
2. 引出排列、组合涉及到的实际问题，如抽奖、排座位等。
二、讲解排列（15分钟）1. 讲解排列的概念：从n个元素中选取r个元素进行排列，一共有多少种不同的排列方式。
2. 讲解排列的计算公式：P(n, r) = n!/(n-r)!。
3. 讲解排列的特点：次序有关，一个元素不能重复选取。
三、讲解组合（15分钟）1. 讲解组合的概念：从n个元素中选取r个元素进行组合，一共有多少种不同的组合方式。
2. 讲解组合的计算公式：C(n, r) = n!/[(n-r)!r!]。
3. 讲解组合的特点：次序无关，一个元素不允许重复选取。
四、讲解二项式定理（15分钟）1. 讲解二项式定理的概念：将一个二项式表达式展开后的结果。
2. 讲解二项式定理的公式：(a+b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^n-1 b^1 + ... + C(n, n-1) a^1 b^n-1 + C(n, n) a^0 b^n。
3. 讲解二项式定理的应用：展开二项式表达式，求特定项的值。
五、练习与应用（20分钟）1. 给出一些排列、组合的计算问题，让学生自主计算并回答。
2. 提供一些实际问题，让学生应用排列、组合的知识进行解决。
六、总结与延伸（5分钟）1. 对排列、组合和二项式定理进行简要总结。
2. 探讨一些延伸问题，如多项式展开、二项式系数等。
教学反思：1. 教学内容安排合理，从概念到计算公式，再到实际应用，能够让学生逐步理解和掌握知识。
排列组合导学案
排列组合导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
建三江一中导学案 (高三)编号：
[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有( )
A．2个 B．5个 C．6个 D．8个
A10有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是 ( ) A．384 B．396 C．432 D．480
A11将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 8．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．
A12在△AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有________个．
A13有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：
(1)共有多少种放法
(2)恰有一个空盒，有多少种放法？
(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
C14一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、蓝、白、绿、黑6种颜色，如图．
(1)6个小扇形分别着上6种颜色，有多少种不同的方法
(2)从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，有多少种不同的方法
B15用1,2,3,4,5,6组成无重复数字的四位数，然后把它们从小到大排成一个数列．
(1)3145是这个数列的第几项？。
高二数学 排列组合综合运用导学案(一) 新人教A版
江西省吉安市凤凰中学2014高二数学排列组合综合运用导学案（一）新人教A版一．学习目标：1. 加深理解排列与组合的概念；2. 能正确运用分类加法计数原理、分步乘法计数原理及排列、组合的方法解决一些实际问题，培养学生抽象思维能力。
二．课前复习题:1. 4个旅客到3家旅社去住宿，有种不同的住法。
2.从4名男生3名女生中选出3人组成一个学习小组，且小组中至少有1名女生，则选派方案有种.3. 直线a、b是异面直线,直线a上有4个点, 直线b上有5个点,以这些点为顶点的三角形个数共有（）A.4B.10C.70D. 1804. 现有男、女共8名学生中选2名男同学和1名女同学分别参加三项不同的活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数分别是（）A.男2人，女6人B. 男3人，女5人C. 男5人，女3人D. 男6人，女2人5. 从5名男生，4名女生中选4人组织一场混合双打表演赛，则搭配方法有（）A. A52A42B. C52C42C. C52A42D. C52C42C21C216、（09天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种三.课内探究题:探究1.例1. 7位同学站成一排，（1）甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？（2）甲、乙、丙三同学必须相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙、丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（4）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？探究2. 例2. 九张卡片分别写着0,1,2,3,.....8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？变式训练2.某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作,并按照顺序前后排成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那么不同排法总数为（）A. 360B. 520C. 600D.720探究3.探究：将3件不同的礼品（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？（2）分成三堆，一堆一件，有几种分法？例3：将6件不同的礼品（1）分给三人，甲得1件，乙得2件，丙得3件，有几种分法？（2）分成三堆，一堆1件，一堆2件，一堆3件，有几种分法？（3）分给三人，一人得1件，一人得2件，一人得3件，有几种分法？（4）分给甲乙丙三人，每人各得两件，有多少种分法？（5）平均分成3堆，有几种分法？变式训练3、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间；（4）分成三组,其中一组2人,另外两组都是 5人.四.检测提升题:1. 在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，至少有两件一级品的抽法共有（）（A）60种（B）81种（C）100种（D）126种2. 从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A）20个（B）19个（C）25个（D）30个3. 将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红袋不能装入红球，则有种不同的放法．4．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则有种分派方法。
高二数学 排列组合 导学案
排列、组合年级：高二 班级： 学科：数学 姓名： 日期：6月12日【考点】：排列一般地，从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个元素，_______________________排成一列， 叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。
m nA =___________________=______________________。
【基础训练】1.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有________种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）。
2.解方程：（1）2213623x x x A A A +=+（2）19843-=x x A A【考点】：组合一般地，从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个元素________叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。
m nC =__________________=_____________________。
组合数的两个性质：m n C =______；m n C +1-m n C =________。
【基础训练】1.圆上有10个点：⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画________条弦；⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有________个圆内接三角形.3.如图，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有多少种？4.正12班边形的对角线条数为________。
5.平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成______个平行四边形。
6.求证：11+⋅-+=m n m n C mn m CN【典型例题】例1. 用0,1,2,3,4,5这六个数字：⑴可组成多少个无重复数字的自然数？⑵可组成多少个无重复数字的四位偶数？⑶组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少个？例2.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴前线，10名专家中有4名是外科专家(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家有多少种方法？(2)抽调的6名专家中至少有2名是外科专家有多少种方法？(3)抽调的6名专家中至多有2名是外科专家有多少种方法？【当堂检测】1、用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个2、由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是（）（A）42031 （B）42103 （C）42130 （D）430213.用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?4.已知平面α//平面β，在α内有4个点，在β内有6个点。
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整除：（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中
Ⅰ、能被5整除的数有多少个
Ⅱ、能被3整除的数有多少个
Ⅲ、能被6整除的数有多少个
倍数：（3）在1、2、3 100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法共有多少种（取7,11与取11,7认为是同一种取法）
（4）在1、2、3 30这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法
约数：（5）数2160共有多少个正约数（包括1和本身在内）其中共有多少个正的偶约数
十、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组（分堆）的区别。
例10．（1）将12本不同的书
Ⅰ、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有种分法。
Ⅱ、平均分成三堆，有种分法。
（2）7本不同的书
Ⅰ、全部分给6个人，每人至少一本，共有种不同的分法。
Ⅱ、全部分给5个人，每人至少一本，共有种不同的分法。
（3）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法
a、甲一本、乙二本、丙三本；有种分法。
b、一人一本、一人二本、一人三本；有种分法。
c、甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。
d、一人一本、一人一本、一人四本；有种分法。