【高二数学试题精选】反证法测试题(含答案)

反证法测试题(含答案)

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选修2-2222反证法

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )

A．有一个解

B．有两个解

c．至少有三个解

D．至少有两个解

[答案] c

[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选c 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

c．a、b、c都是偶数

D．a、b、c中至少有两个偶数

[答案] B

[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况①全是奇数；

②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )

A．假设三内角都不大于60°

B．假设三内角都大于60°

c．假设三内角至多有一个大于60°

D．假设三内角至多有两个大于60°

[答案] B

[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B

4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a、b，c都不是偶数

c．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

[答案] B

[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．

5．命题“△ABc中，若∠A ∠B，则a b”的结论的否定应该是( ) A．a b

B．a≤b

c．a＝b

D．a≥b

[答案] B

[解析] “a b”的否定应为“a＝b或a b”，即a≤b故应选B 6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

c．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

[答案] c

[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选c

7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中( ) A．都不大于－2

B．都不小于－2

c．至少有一个不大于－2

D．至少有一个不小于－2

[答案] c

[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c

＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c

∵a，b，c∈(－∞，0)，

∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2

b＋1b＝－－b＋－1b≤－2

c＋1c＝－－c＋－1c≤－2

∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6

∴三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一个不大于－2，故应选c

8．若P是两条异面直线l、外的任意一点，则( )

A．过点P有且仅有一条直线与l、都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l、都垂直

c．过点P有且仅有一条直线与l、都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、都异面

[答案] B

[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥

则有l∥，与l、异面矛盾；对于c，过点P与l、都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、都异面的直线不唯一．

9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说“我获奖了”，丁说“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )

A．甲

B．乙

c．丙

D．丁

[答案] c

[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选c

10．已知x1 0，x1≠1且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn xn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( ) A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

c．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1

D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

[答案] D

[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D

二、填空题

11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．

[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形

[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．

12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案] a，b都不能被5整除

[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．

13．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤

①∠A＋∠B＋∠c＝90°＋90°＋∠c 180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠c中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°

正确顺序的序号排列为____________．

[答案] ③①②

[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②

14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下

假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1

显然，p不含因数p1、p2、…、pn故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外

[解析] 由反证法的步骤可得．

三、解答题

15．已知a＋b＋c 0，ab＋bc＋ca 0，abc 0

求证a 0，b 0，c 0

[证明] 用反证法

假设a，b，c不都是正数，由abc 0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a 0，b 0，c 0，则由a＋b＋c 0，

可得c －(a＋b)，

又a＋b 0，∴c(a＋b) －(a＋b)(a＋b)

ab＋c(a＋b) －(a＋b)(a＋b)＋ab

即ab＋bc＋ca －a2－ab－b2