扭转习题解答
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扭转习题解答
第7章圆轴扭转
主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；
（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；
（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。
圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图
1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
解：截面上与T对应的切应力分布图如下：
2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图7-2
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-31
1。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程06212
2=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-32
2。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-13
3。 b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-51
1。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-102
2。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-63
3。
3. 作下图各杆的扭矩图。
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-41
1。取2-2截
面右侧外力偶矩计算，可得m
kN T ⋅-=-22
2。作出扭矩
图。
a)
b)
图7-3
b) 由力矩平衡方程可得e
A
M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e
M T 21
1-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e
M T -=-2
2。作出扭矩图。
圆轴扭转时的应力和强度计算
4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定
（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；
（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。
解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩：
m N m N n P T ⋅=⋅⨯==716100
5
.795509550 （1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：
a
a P
P P d
W T 6
3
1
max
1040][16
716⨯=≤⨯==τπ
τ 解得
mm m T
d 0.451040716
][3
616
3
16
1=⨯⨯=⨯≥π
πτ
（2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径
D 2的大小应满足下式：
a
a P
P P D W
T 6432
max 1040][)
1(16
716⨯=≤-⨯=
=ταπτ 解
得
mm m T
D 0.46)5.01(1040716
)1]([34616
3
416
2=-⨯⨯⨯=-⨯≥π
π
ατ
5. 如图所示为皮带传动轴，轴的直径d =50mm ，轴的转速为n =180r/min ，轴上装有四个皮带轮。已知A 轮的输入功率为P A =20kW ，轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ，P C =10kW ，P D =7kW ，轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。 （1）画出轴的扭矩图。 （2）校核轴的强度。
图7-5
解：（1）画扭矩图
计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩：
m
N m N n P
M m
N m N n P
M m
N m N n P
M m N m N n P M D
D C
C B
B A A ⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯
==3711807
9550955053118010
955095501591803
95509550106118020
95509550
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B
⋅-=-=1591
；2-2截面的扭矩为m N M M T B
A ⋅=-=9022；
3-3截面的扭矩为m
N M T D ⋅==3713
。
绘出的扭矩图如图7-5所示。
（2）强度校核
由图可见AC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC 段内。
由于a
a a P
W T MP = 902 3 32 max τπ τ） （，所以轴满足强度条件。 圆轴扭转时的变形和刚度计算 6． 图示圆轴长l =500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝7kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a （1）画出轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力； （3）求轴的最大单位长度扭转角。 解：（1）绘扭矩图 用截面法求得1-1截面上的扭矩为 m kN M M T ⋅=-=31 2 1 ， 2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=41 2 。绘出扭矩图如右图。 （2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。得其最大切应力为 () a a P MP MP W T 3.94106016 1043 33 2 max =⨯⨯⨯==-πτ （3）BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。 m m GI T p οο25.2180106032 10801041804 393 max max =⨯⨯⨯⨯ ⨯⨯=⨯=-π ππθ） （ 7．如图示，在一直径为75mm 的等截面轴上，作用着外力偶矩：M 1=1000N ·m ，M 2=600N ·m ，M 3=M 4=200N ·m ，材料的剪切弹性模量G=80GP a 。要求： （1）画出轴的扭矩图；