静力学第04章平面任意力
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04.第四章 平面任意力系
刚体在平面任意力系作用下的平衡条件: 由
FR
FR' = 0
MO = 0
得到：
( F x ) ( F x )
2
2 0Fx =Fra bibliotek0Fy = 0
MO=MO(F ) = 0
平面任意力系平衡方程的基本形式：
Fx 0 Fy 0 M O (F ) 0
杆的重量不计, 求铰链 A 的约束反力和杆DC所受的力。
F 解: (1) 取AB杆为研究对象 (2) 画受力图 (3) 列平衡方程 FAy FAx D F A l 45° C l B
FC
§4.3
平面任意力系的平衡条件
Fx = 0, FAx+ FC cos45º= 0 Fy = 0, FAy +FC sin 45°－F = 0 MA = 0, FAy
解： 取AB及重物作为研究对象 列平衡方程
C
A D B E 1m
P
3m C C
Q
2m
cos P F 0 0 ， F AB sin 30 0 F ， M x(F ) 0 ，FF Ax F F BCcos 3030 0 AD Q AE 0 sin 30 F F 0 M y( 0 0 ，F F DB BC sin 30 F P Q Q 00 0 AB M ( F )) ， ，P Ay ABF Q EB P AD AE F AB sin 30 P AD Q AE 0 MA( ) 0 0 F M ( FF 0 ，P DBAC EB AD Q AE0 0 M ( F )) ，， BC Q P F AB
§4.3
FR
FR' = 0
MO = 0
得到：
( F x ) ( F x )
2
2 0Fx =Fra bibliotek0Fy = 0
MO=MO(F ) = 0
平面任意力系平衡方程的基本形式：
Fx 0 Fy 0 M O (F ) 0
杆的重量不计, 求铰链 A 的约束反力和杆DC所受的力。
F 解: (1) 取AB杆为研究对象 (2) 画受力图 (3) 列平衡方程 FAy FAx D F A l 45° C l B
FC
§4.3
平面任意力系的平衡条件
Fx = 0, FAx+ FC cos45º= 0 Fy = 0, FAy +FC sin 45°－F = 0 MA = 0, FAy
解： 取AB及重物作为研究对象 列平衡方程
C
A D B E 1m
P
3m C C
Q
2m
cos P F 0 0 ， F AB sin 30 0 F ， M x(F ) 0 ，FF Ax F F BCcos 3030 0 AD Q AE 0 sin 30 F F 0 M y( 0 0 ，F F DB BC sin 30 F P Q Q 00 0 AB M ( F )) ， ，P Ay ABF Q EB P AD AE F AB sin 30 P AD Q AE 0 MA( ) 0 0 F M ( FF 0 ，P DBAC EB AD Q AE0 0 M ( F )) ，， BC Q P F AB
§4.3
静力学第04章平面任意力系
零件强度校核
利用平面任意力系平衡方程可以 对机械零件进行强度校核，确保 零件在使用过程中能够承受各种
外力的作用。
机构运动分析
通过平面任意力系平衡方程可以对 机械机构进行运动分析，了解机构 中各部件的运动状态和受力情况， 优化机构的设计。
动力学仿真
利用平面任意力系平衡方程可以进 行动力学仿真，模拟机械系统的运 动和受力情况，为机械系统的优化 设计和改进提供依据。
平面任意力系平衡方程在航空航天领域的应用
飞机结构分析
在飞机设计中，利用平面任意力系平衡方程可以对飞机结构进行 受力分析，确保飞机的安全性和稳定性。
航天器姿态控制
在航天器设计中，通过平面任意力系平衡方程可以对航天器的姿态 进行控制，保证航天器的稳定运行。
火箭推进系统分析
利用平面任意力系平衡方程可以对火箭推进系统进行受力分析，优 化火箭的设计，提高火箭的安全性和可靠性。
通过实验测试，观察刚体 在平面任意力系作用下的 实际运动状态，与平衡方 程的预测结果进行比较。
理论分析
通过数学推导和解析的方 法，对平面任意力系的平 衡方程进行深入的理论分 析和证明。
03
平面任意力系平衡方程的应 用
平面任意力系平衡方程在工程中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，通过应用平面任 意力系平衡方程，可以确定各部 分结构的受力情况，确保桥梁的
各力在同一直线上的投影之和。
02
汇交力系是指各力的作用线都汇交于一点的力 系，合成结果是一个合力，方向和大小由各力
的矢量和决定。
04
任意力系是指既不满足汇交力系也不满足平行力系 条件的力系，合成结果是一个合的平衡条件是：作 用于刚体上的所有外力的矢量和 等于零，即合力为零。
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
理论力学第四章 平面任意力系(H)
第4章平面任意力系※平面任意力系的简化※简化结果的分析※平面任意力系的平衡条件※物体系的平衡※平面静定桁架的内力计算※结论与讨论§4-1 平面任意力系向作用面内一点的简化1.力的平移定理AFBd ′F F ′′A F ′BM =F . d=M B (F )可以把作用于刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。
M(b )F为什么钉子有时会折弯？FF (a )(b )图示两圆盘运动形式是否一样？M′F ′F MF 31F 2O2.平面任意力系向作用面内一点的简化·主矢和主矩OOF R ′M OF 1′M 1F 1 =F 1′M 1=M O (F 1)F 2′M 2F 2 =F 2′M 2=M O (F 2)F 3′M 3F 3 =F 3′M 3=M O (F 3)简化中心OF R =F 1+F 2+F 3= F 1+F 2+F 3M O =M 1+M 2+M 3=M O (F 1)+ M O (F 2) + M O (F 3)′′′′∑∑====′n i i OO ni iRMM 11)(F FF 主矢F R′M O主矩OxyM OF R ′★平面任意力系向作用面内任一点O 简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。
这个力偶的矩等于力系对于点O 的主矩。
∑∑==−==ni xi i yiini i OO F y Fx MM 11)()(F RyiRRxiR yi xi RF F F F F F ′∑=′′∑=′∑+∑=′),cos(,),cos()()(22j F i F F§4-2 平面任意力系的简化结果分析●F R =0，M O ≠0′●F R ≠0M O =0′●F R ≠0，M O ≠0′●F R =0，M O =0′1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形●F R =0，M O ≠0′∑==ni i OO MM 1)(F ★因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。
平面任意力系
平面任意力系
平面任意力系是探究力学问题中采用的一种数学模型。
该模型被广泛用于研究坐标系内的任意力的作用的原点以及其对物体的影响。
它是一种理论模型，用于理解物体在任意力作用下的受力方向和大小。
平面任意力系以三个坐标轴x, y以及z为基础，以这三个轴上的一组受力大小作为决定物体位置、速度和加速度的参数来描述它。
在静力学中，平面任意力系经常被用来模拟物体受若干外力作用下的质点力学运动。
假设物体受到x轴、y轴和z轴上的n条外力作用，其受力状态可以用平面任意力系来描述。
这些外力在平面任意力系上唯一确定，根据它们的方向以及大小可以计算得到受力物体的转动惯量和转矩。
在运动学中，平面任意力系也被用来描述物体的位置、速度和加速度情况。
根据物体受到的初始加速度以及力学运动的运动方程，可以求得物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
这也可以看作是在一组外力的作用下，物体在平面任意力系中运动的过程，通过求解平面任意力系可以计算出物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
平面任意力系是一个复杂的理论模型，但它可以简单有效地用于模拟坐标系内多外力作用情况下物体受力情况以及物体的运动状态，在力学和运动学方面都显示出其重要的应用价值。
第四章平面任意力系
ΣMB=0 3）解方程
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点平移
r
r F F
力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？
力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
M=800N· m。(图中
长度单位为mm)
试求支撑A和C处的
FAx A A FAy
x
约束力。
解： 1 、取梁 AB为研究对象。 例题：支撑阳台的水平梁所受的载荷可
2、受力分析，建立坐标。 以看作均布载荷q，从柱子上传下来的楼
3、列出平衡方程： ∑Fx=0
上的载荷可以看作集中力F，如图所示。 柱子轴线到墙面的距离为L，求梁插入端 的约束力。 ∑M (F)=0
i=1
n
FRx= Fix
其分量式为：
n
FRy= Fiy
i=1
i=1 n
力系的主矢
思考：力系的主矢和合力有什么区别？
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉
及作用点和作用线,因而主矢是自由矢量，不是
一个力。
力系的主矩
主矩(Principal moment)：
移到刚体的任意点而不改变该力对刚体的作用.
F : 力;
O : 简化中心;
r F
: F与O 所在平面;
n : 平面的法线; en : n方向的单位矢.
4.1力向一点平移
r
r F F
力向一点平移
r
F
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效？
力向一点平移
加减平衡力系
F
r
( F , 二 者 等
Fx 0 0 0 0 0 Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
静力学 第04章 平面任意力系
§4-5静定与静不定问题的概念
对于平面问题 一般任意运动的自由度数 3 平面力系独立的平衡方程数 3 完全约束所需约束力个数 3 约束状态 约束力个数Nr ＝3 时—完全约束 约束力个数Nr < 3 时— 不完全约束 约束力个数Nr > 3 时— 多余约束
§4-5静定与静不定问题的概念
§4-3 平面任意力系的平衡条件
③三矩式
m (F ) 0
A
m (F ) 0 m (F ) 0
B
C
条件：A,B,C不 在同一直线上
证明：必要性条件：简单，只要平衡，上式一定 成立。充分性条件： 力系简化有三种可能：合力偶、合力和力系平衡。 假设力系不平衡。由条件，不可能简化成合力偶， 则必简化为合力FR,且作用线过A,B,C三点。而由 附加条件，三点不共线。只可能是FR=0。
M
O
(F ) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
§4-3 平面任意力系的平衡条件
②二矩式 F 0 m (F ) 0
x
A
mB ( Fi ) 0
条件：x 轴不垂 直AB连线 B A O
FR
x
证明：必要性条件：简单，只要平衡，上式一定成 立。充分条件： 力系简化有三种可能：合力偶、合力和力系平 衡。假设力系不平衡。由条件，不可能简化成 合力偶，因此必简化为合力FR,且作用线过A,B两 点。由 Fx 0 FR cos 0 FR 0 且 90
平面一般力系简化的结果
一 般力系
汇交力系
合力 FR=Fi
力 偶 系
合力偶 MO= MO ( Fi )
§4-2 平面任意力系的一点简化
工程力学-4-平面任意力系
Fn
cos( FR ,
i)
Fx FR
cos( FR ,
j)
Fy FR
y
FR′
j MO
Oi
x
3.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
n
n
MO MO (F i ) (xi Fyi yi Fxi )
3.2.4 平面平行力系的平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面
平行力系。
y
平面平行力系作为平面任意力系 的特殊情况，当它平衡时，也应满足
F1
F3 Fn
平面任意力系的平衡方程，选如图的
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
Fy 0; MO (F ) 0
轮子的反力？
解：⑴ 首先考虑满载时，起重
机不向右翻倒的Q：
mB (F ) 0
Fx FR
200 250
0.8
∴ =36.9°
mA mA(Fi ) F2 6 506 300Ncm
2、简化最终结果
主矢 FR 250N 方向： =36.9°
y F1
mA
F2
B
R R
A
4
6
3C
F3 x
主矩 mA 300N cm
最终结果 合力 大小：FR FR 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
A
x
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
4章 平面任意力系
30°
3m
F
B
D
Fq
1m
F
P
y
0 FAy P F sin30 0
0
FAy
M 0 M A A A x 0 0 M M F 1 F cos30 3 F sin30 1 0 FAx A q
解得：
FAx 316.4kN（方向如图） FAy 300 kN（方向如图） M A 1188 kN m(顺时针)
' FR Mo O' ' FR=源自 FR FRO
O '' d FR
O
'
=
O
d
O'
作用线在o点的哪一侧，可以由主矩的MO符号决 定。
合力矩定理（The law of the resultant moment）：
平面任意力系的 合力FR 对作用面内任一点的 矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 M O FR M O Fi
a RB a q a a m P 2a 0 RB a q a 2 m P 2a 0 2 qa P 0 F 0 Y R y A B M ( F ) 0 ; M A (F ) 0 ;
A
X
A
A
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN)
n
平面任意力系向O点简化结果：
y Mo O
FR
x
力
该力系的主矢 （Principal vector） 。
05平面任意力系
方向 作用点
作用c于os简(Fr化'R中, ir心) 上FFRix
r cos(F
'R ,
r j)
Fiy FR
主矩
MO MO (Fi )
FR ( Fx )2 ( Fy )2
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR , j)
Fy
由n个刚体组成的刚体系，总共有不多于3n个独立
的平衡方程。
2020年2月9日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§4-4、刚体系的平衡
单个物体
空间一般力系
6
空间平行力系
3
空间汇交力系
3
空间力偶系
3
平面一般力系
3
平面平行力系
2
平面汇交力系
2
平面力偶系
1
2020年2月9日星期日
n个物体组成的物 体系统
§4-2、平面任意力系向一点简化 结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用 在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。 几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
2020年2月9日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§4-2、平面任意力系向一点简化
如何求出主矢、主矩?
FRx Fix Fix Fx
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
MO 0 MO 0
理论力学之静力学平面任意力系
o 于是，O´点的位置可由式d=M 确定。 于是， ' 确定。
R
一、简化结果讨论
4.2 平 由主矩的定义知： 由主矩的定义知： M O = ∑ mO ( Fi ) 面 任 mO ( R ) = ∑ mO ( Fi ) 所以： 意 力 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩 结论： 等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面 等于力系中各力对同一点之矩的代数和。 任意力系的合力矩定理。 任意力系的合力矩定理。
二、
4.3 平 面 任 意 力 系 的 平 衡 条 件 和 平 衡 方 程 1、二矩式 、
的
∑ X = 0 ∑ m A ( F ) = 0 ∑ mB ( F ) = 0
式
限制A 两点的连线AB不能垂直于 限制 、B两点的连线 不能垂直于 轴。 两点的连线 不能垂直于x轴
的 能 的
FR
q
x
x
2、合力的方向与线荷载的方向相同。 、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。 、合力的作用线通过荷载图的形心。
二、平行分布线荷载的简化
4.2 平 面 任 意 力 系 1、均布荷载 Q = ql 、
d
Q
l
2、三角形荷载 、
l d = 2
q
l
2
2
1 Q = ql 2 2 d = l 3
B A
x
平衡
4.3 平 面 任 意 力 系 的 平 衡 条 件 和 平 衡 方 程
的
形
如果力系对点A的主矩等 这是因为，如果力系对点 的主矩等 于零， 于零，则这个力系不可能简化为一个 力偶；但可能有两种情形 两种情形： 力偶；但可能有两种情形：这个力系 或者是简化为经过A的一个力 的一个力， 或者是简化为经过 的一个力，或者平 如果力系对另一点B的主矩也同时 衡，如果力系对另一点 的主矩也同时 为零， 为零，则这个力系或有一 力 A，B ， 两点的 3—12 ，或者平衡
R
一、简化结果讨论
4.2 平 由主矩的定义知： 由主矩的定义知： M O = ∑ mO ( Fi ) 面 任 mO ( R ) = ∑ mO ( Fi ) 所以： 意 力 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩 结论： 等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面 等于力系中各力对同一点之矩的代数和。 任意力系的合力矩定理。 任意力系的合力矩定理。
二、
4.3 平 面 任 意 力 系 的 平 衡 条 件 和 平 衡 方 程 1、二矩式 、
的
∑ X = 0 ∑ m A ( F ) = 0 ∑ mB ( F ) = 0
式
限制A 两点的连线AB不能垂直于 限制 、B两点的连线 不能垂直于 轴。 两点的连线 不能垂直于x轴
的 能 的
FR
q
x
x
2、合力的方向与线荷载的方向相同。 、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。 、合力的作用线通过荷载图的形心。
二、平行分布线荷载的简化
4.2 平 面 任 意 力 系 1、均布荷载 Q = ql 、
d
Q
l
2、三角形荷载 、
l d = 2
q
l
2
2
1 Q = ql 2 2 d = l 3
B A
x
平衡
4.3 平 面 任 意 力 系 的 平 衡 条 件 和 平 衡 方 程
的
形
如果力系对点A的主矩等 这是因为，如果力系对点 的主矩等 于零， 于零，则这个力系不可能简化为一个 力偶；但可能有两种情形 两种情形： 力偶；但可能有两种情形：这个力系 或者是简化为经过A的一个力 的一个力， 或者是简化为经过 的一个力，或者平 如果力系对另一点B的主矩也同时 衡，如果力系对另一点 的主矩也同时 为零， 为零，则这个力系或有一 力 A，B ， 两点的 3—12 ，或者平衡
静力学第04章平面任意力系
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用 位移谐调条件来求解。
作业
➢ 4-1 (a), (c), (e) ➢ 4-5 ➢ 4-7 ➢ 4-12 ➢ 4-16 ➢ 4-17 ➢ 4-18
对于平面问题 一般任意运动的自由度数 3 平面力系独立的平衡方程数 3 完全约束所需约束力个数 3
约束状态 约束力个数Nr ＝3 时—完全约束 约束力个数Nr < 3 时— 不完全约束 约束力个数Nr > 3 时— 多余约束
§4-5静定与静不定问题的概念
机构与结构 机 构 — 不完全约束（能够运动）
§4-2 平面任意力系的一点简化
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 MO m1 m2 m3
mO (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
主矢 R 方向： tg1 Ry tg1 Y
（移动效应）
Rx
X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 R
合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n
M O mO (Fi )
i 1
mO (R )Rd M O (主矩)
n
M O (R )mO (Fi )
———合力矩定理
i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力 系中各力对于同一点之矩的代数和。
总结：平衡方程的三种形式
形式
基本
二力矩
三力矩
平衡 方程
∑X = 0 ∑Y = 0 ∑MO(F) = 0
工程力学——平面任意力系
点的主矩都等于零。即
FR 0 MO 0
(4-7)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据式(4-3)和式(4-4)，上面的平衡条件可由下面的解
析式表示为 Fx 0
Fy 0
(4-8)
MO 0
式(4-6)称为平面任意力系的平衡方程。它有三个独
立的平衡方程，最多只能求解三个未知量。
二、二矩式
Fx 0 或 Fy 0
MA 0
主矢的大小
FRx Fxi FRy Fyi
(4-2)
FR
FR x2 FRy2
Fx2
Fy 2
(4-3)
Fy
主矢的方向 tan
Fx
(4-4)
其中夹角 ( FR′，x)为锐角，FR′的指向由 Fx 和 Fy 的正负号来决定。
(2) 附加力偶系MO1，MO2，…，MOn，可以合成为 一个合力偶矩MO。即
1. FR 0, MO 0
力系简化为一个合力偶 MO= MO (F)，合力偶矩等于
主矩。此时，主矩与简化中心的选择无关。 2. FR 0, MO = 0 力系简化为一个合力，合力的大小、方向与主矢相同，
合力的作用线通过简化中心。
3. FR 0, MO 0 根据力的平移定理逆过程，可将 FR′和 MO 简化为 一个合力 FR，合力的大小、方向与主矢相同，合力的 作用线不通过简化中心，到简化中心的距离为
FRx 因为 FRx′为正，FRy′为负，故主矢 FR′的指向如图所示。
MO MOi F 3 W1 1.5 W2 1 450kN • m
负号表示主矩 MO 顺时针转向。
根据力的平移定理，本问题主矢FR′与主矩MO还可
进一步简化为一个合力FR，其大小、方向与主矢FR′相同。
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结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 R
合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n
M O mO (Fi )
i 1
mO (R )Rd M O (主矩)
n
M O (R )mO (Fi )
———合力矩定理
i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力 系中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-5静定与静不定问题的概念
关于刚体的三种约束状态 运动的自由度数 N =Ne-Nr 独立的平衡方程数 Ne 约束力个数 Nr
约束状态 完全约束 — Ne=Nr ， N=0 不完全约束 — Ne Nr ， N 0 多余约束 — Ne < Nr ， N < 0
§4-5静定与静不定问题的概念
FRy Y P1 P2 F2 sin 670.1kN
M o P1 1.5 P2 3.9 F1 3 2355KN m
§4-2 平面任意力系的一点简化
式中
ACB arctg AB 16.7
CB
主矢FR’的大小
FR X 2 Y 2 709.4kN
tg FRy / FRx, 70.84
平行的力系。
如选 x 轴与各力垂直就有∑X ≡
FN
0，则独立的平衡方程数只有两 个
F1
F2
y
∑ Y = 0, ∑ MO ( F ) = 0
或者
∑ MA ( F ) = 0, ∑ MB ( F ) = 0
(A、B 连线不与力平行)
O
F3
x
§4-3 平面任意力系的平衡条件
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m，求：A、B的支反力。
合力 R
合力的作用线通过简化中 心。
合力 R
MO ≠0
大小等于 主矢
此力为原力系的合力， 合力的作用线距简化中心 的距离 d M O R
§4-2 平面任意力系的一点简化
平面一般力系简化的结果 一 般力系
汇交力系
合力 FR=Fi
力偶系
合力偶 MO= MO ( Fi )
§4-2 平面任意力系的一点简化
总结：平衡方程的三种形式
形式
基本
二力矩
三力矩
平衡 方程
∑X = 0 ∑Y = 0 ∑MO(F) = 0
∑X = 0 ∑MA(F) = 0 ∑MB(F) = 0
∑M A (F)= 0 ∑M B (F)= 0 ∑M C (F)= 0
限制条件 要求x轴不平 行y轴
要求AB 联线 不与x 轴垂直
要求A、B、C
M2 O An
F2’ A2 F2
Mn Fn’ Fn
O Mo FR
§4-2 平面任意力系的一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系）
汇交力系 力 ， R'(主矢) ，(作用在简化中心)
力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
§4-2 平面任意力系的一点简化
解：研究AB梁，由
由 X 0, X A 0
mA(F )0 ;
RB
a
qa
a 2
m
P2a
0
Y 0 YA RB qaP0
RB
qa 2
m a
2
P
200.8 2
16 0.8
220
12(kN
)
YA Pqa RB 20200.81224(kN)
§4-4 刚体系的平衡
刚体系：指若干刚体用约束联结起来的系 统。
静力学第04章平面任意力系
第四章 平面任意力系
§4-1 力的平移 §4-2 平面任意力系的一点简化 §4-3 平面任意力系的平衡条件 §4-4 刚体系的平衡 §4-5 静定与静不定问题的概念
§4-2 平面任意力系的一点简化
一、平面任意力系的一点简化
F1
F1 A1
O An
A2
Fn
F2
AM1 1 F1’
立。充分条件：
力系简化有三种可能：合力偶、合力和力系平
衡。假设力系不平衡。由条件，不可能简化成
合力偶，因此必简化为合力FR,且作用线过A,B两
点。由
Fx
0 FR
且
cos 90
0
FR
0
§4-3 平面任意力系的平衡条件
③三矩式
mA(F) 0
mB (F ) 0
条件：A,B,C不 在同一直线上
对于平面问题 一般任意运动的自由度数 3 平面力系独立的平衡方程数 3 完全约束所需约束力个数 3
约束状态 约束力个数Nr ＝3 时—完全约束 约束力个数Nr < 3 时— 不完全约束 约束力个数Nr > 3 时— 多余约束
§4-5静定与静不定问题的概念
机构与结构 机 构 — 不完全约束（能够运动）
两个独立方程，只能求两个独立未知数。 力偶系（∑MO(Fi)=0）
一个独立方程，只能求一个独立未知数。 平面任意力系(∑Y=∑X=∑MO(Fi)= 0)
三个独立方程，只能求三个独立未知数。
§4-5静定与静不定问题的概念
静定问题:独立方程数目≥未知数数目（可 求解）。
静不定问题（超静定问题）：独立方程数 目<未知数数目（不能解） 。
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 MO m1 m2 m3
mO (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
主矢 R 方向： tg1 Ry tg1 Y
（移动效应）
Rx
X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
刚化原理：变形体在已知力系作用下处于 平衡，若将变形后的变形体换成刚体（刚 化），则平衡状态不变。
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件， 而不是充分条件。
刚体系的平衡：可以选择刚体系整体或其 某个部分为研究对象，写出相应的平衡方 程。
§4-5静定与静不定问题的概念
一、静定与静不定问题的概念 平面汇交力系（∑Y=∑X=0）
O
Mo
主矩 合成结果
说明
MO ≠ 0 合力偶
此力偶为原力系的合力偶， 由简化结果彼此等效知： 此情况下，主矩与简化中
心 O 无关。
MO = 0 平 衡
§4-3 节将重点讨论。
§4-2 平面任意力系的一点简化
情况二：主矢不等于零，
R
即 R’≠ 0
O
主矩 合成结果
说明
此力为原力系的合力，
MO = 0
一般力系的平衡方程 Fx 0
①一矩式(基本形式） Fy 0
MO(F) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
§4-3 平面任意力系的平衡条件
②二矩式
Fx 0 mA(F) 0
mB (Fi ) 0
条件：x 轴不垂 直AB连线 B
A
O
FR
x
证明：必要性条件：简单，只要平衡，上式一定成
mC (F ) 0
证明：必要性条件：简单，只要平衡，上式一定 成立。充分性条件：
力系简化有三种可能：合力偶、合力和力系平衡。 假设力系不平衡。由条件，不可能简化成合力偶， 则必简化为合力FR,且作用线过A,B,C三点。而由 附加条件，三点不共线。只可能是FR=0。
§4-3 平面任意力系的平衡条件
三点不共线
§4-3 平面任意力系的平衡条件
一般力系的平衡方程说明
①一矩式，二矩式，三矩式，三种形式的 平衡方程是完全等价的。可视具体问题而 选用其中的任一种。但都只有三个独立方 程，只能求出三个未知数。
②在求解平面一般力系的平衡问题时，尽 可能采用二矩式或者三矩式方程，以减少 单个平衡方程中未知量的个数。
§4-3 平面任意力系的平衡条件
[例] 已知：P, a , 求：A、 B两点的支座反力？
解：①选AB梁研究；②
画受力图。
mA(F) 0
P2a
N
B
3a 0,
N
B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB N B P0,
Y
A
P 3
§4-3 平面任意力系的平衡条件
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用 位移谐调条件来求解。
作业
➢ 4-1 (a), (c), (e) ➢ 4-5 ➢ 4-7 ➢ 4-12 ➢ 4-16 ➢ 4-17 ➢ 4-18
§4-2 平面任意力系的一点简化
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 + —
（转动效应）简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
固定端（插入端）约束：在工程中常见的
雨搭
车刀
§4-2 平面任意力系的一点简化
二、平面力系的简化结果分析
情况一：主矢等于零，即 R’ = 0
§4-2 平面任意力系的一点简化
例重力坝受力如图所示。设
P1=450kN ,P2=200kN,F1=300kN
,F2=70kN 。求力系的合力。
解：(1)先将力系向点 O简化，求主矢FR’
和主矩MO，如图(b)。由图(a)计算主矢FR’
B
在x 、y 轴上的投影。
FRx X F1 F2 cos 232.9kN
（2）合力的大小和方向与主矢相同。其作用 线位置根据合力矩定理求得（图），即
M O M O FR M O FRx M O FRy