学会三种近似计算的算法
有理数的整数次方根近似值的计算方法
因此可取a3或a4为结果，保留至6位小数可得≈ 1.414214，误差不超过10− 6。
【例1.2】计算的近似值，精确到10− 6。
解：这里a= 3，ε0= 10− 6，根据迭代公式（1.7）可得
an=(2an− 1+)（n∈N+），
因为4.913 = 1.73< 5 < 1.83= 5.832，取初值a0= 1.7，代入迭代公式，为精确到10− 6，计算结果均保留至7位小数：
这就是（1.6）式，同理（1.7）式也可以用微分法导出。
【例2.1】计算的近似值，精确到10− 3。
解：根据（2.9）式，≈ 1 +（x→ 0），如果取x= 1，则有
=≈ 1 + 1/2 = 1.5，
这显然是不准确的，因为x取的过大，近似公式不再适用了。
正确的做法是，可取x0= 1.42= 1.96，则Δx= 2 −x0= 0.04，可得
【例2.4】计算e1.02的近似值，精确到0.001。
解：根据（2.13）式，设f(x) =ex，则f'(x) =ex，可得
ex+h≈ex+ ex∙h= ex∙(1 +h)（h→ 0）；
令x= 1，h= 0.02，取e≈2.7183，则有
e1.02= e1 + 0.02≈e1∙(1 + 0.02) = 1.02e≈1.02×2.7183≈2.7727≈2.773。
为了应用方便，有时也把（2.3）式或（2.4）式写成另一种简单形式，把x0简写为x，把自变量的增量记为Δx=h，于是上述公式可以简写为
f(x+h) ≈f(x) +f'(x)∙h（h→ 0）（2.13）
高考数学应试技巧之近似算法
高考数学应试技巧之近似算法数学被誉为一门科学的基础学科，也被称作是最具有钻研性的学科之一。
在高中学习过程中，数学知识的学习和掌握对于每一个学生来说都至关重要。
在高考中，数学成绩的好坏可以决定一个学生的考取去向。
因此，在备考阶段掌握一些高考数学应试技巧是至关重要的。
本文将着重介绍一种高考数学中非常常见的近似算法。
一、近似算法的定义近似算法是一种利用简单的数学方法，将实际问题简化为可以计算的近似值，从而迅速得出高精度答案的方法。
在数学竞赛和高考中，很多问题都需要使用近似算法来解决，因为高次方程、三角函数的精确值都不易求解。
所以，掌握近似算法对于高考数学的学习是至关重要的。
二、近似算法的分类（一）上取整和下取整法当我们计算除法时，如果希望得到的结果更加精确，可以尝试使用上取整或者下取整法。
例如，当我们需要计算 $ \frac{7}{3} $ 的值时，近似算法可以选择上取整法将其转化为 $ \lceil\frac{7}{3} \rceil =3 $ 或下取整法将其转化为 $ \lfloor \frac{7}{3}\rfloor =2 $ 。
这样计算出来的结果是相对精确的。
但是，在应用这种算法时，需要注意一些特殊情况。
例如，当被除数为正数，而除数为负数时，需要使用下取整法。
（二）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高级的近似算法，可以用于求解各种方程的根。
比如，我们需要求解$x$的平方根的问题，可以使用如下的迭代公式：$ x_{n+1} = \frac{1}{2}( x_{n} + x_{0} / x_{n}), n\ge0 $ ，其中 $x_{0}$表示要求解的值。
当$n$足够大时，$x_{n}$则可以视作$x$的平方根。
三、近似算法的应用近似算法在高考数学中，常常被用于解决求解三角函数值、计算级数的问题。
例如，在计算三角函数的时候，我们可以使用泰勒公式来进行近似计算。
泰勒公式表达式如下：$ \sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ ，$ \cos x =1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$ 。
定积分的近似计算
dblquad
∫ ∫
c
d
b
a
f ( x , y )dxdy
积分： 抛物线法计算二重积分： dblquad
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6 为计算精度，若不指定， f 可以是： 可以是： 字符串； 定义的内联函数； 字符串；inline 定义的内联函数；函数句柄 的积分区间， [a,b] 是 第一积分变量 的积分区间， [c,d] 是 第二积分变量 的积分区间
n x i −1 + x i x i −1 + x i f( )∆xi = h∑ f ( ) 2 2 i =1
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， ，
并比较这三种方法的相对误差。 并比较这三种方法的相对误差。
dx I=∫ 0 1 + x2
1
解：a=0, b=1, n=100
x4
相加即得： 相加即得：
∫
b a
f ( x )dx = ∑ ∫
i =1 n
n
x2 i x2 i − 2
f ( x )dx
b−a ( y2 i − 2 + 4 y2 i −1 + y2 i ) ≈∑ i =1 6 n
15
抛物线法
整理后可得： 整理后可得：
∫
b
a
b−a f ( x )dx ≈ [ y0 + y2 n + 4( y1 + y3 + ⋯ + y2 n−1 ) 6n + 2( y2 + y4 + ⋯ + y2 n− 2 )]
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点
matlab实验报告--定积分的近似计算
abs((inum2-integrate)/integrate))
fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum3-integrate)/integrate)) 【调试结果】
○2 使用函数 quad()
quad('sin(x)./x',0,inf) 【调试结果】 ans =
NaN
○3 程序法
%矩阵法
format long
n=inf;a=0;b=inf;
syms x fx
fx=sin(x)./x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n;
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定 积分的近似数值计算，Matlab 有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1． 矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计 算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
【调试结果】
inum =
0.78539816339745
the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016
【情况记录】
1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用 for 循环函数和求和函数时
的不同 matlab 命令，避免混淆出错。使用函数 trapz()，quad()时要注意被积函数是数 值形式，应使用数组计算，应用点除即 ./ ，否则将出错，不能调试出结果。
数学的实用技能速算和近似计算
数学的实用技能速算和近似计算数学的实用技能：速算和近似计算数学是一门广泛应用于日常生活中的学科，掌握一些实用的数学技能是非常有益的。
在实际应用中，速算和近似计算是一些非常实用而必要的技能。
本文将介绍数学中常用的速算和近似计算方法，以帮助读者更好地应对实际生活和工作中的计算问题。
一、速算技巧速算是指在不借助计算器或纸笔的情况下，快速有效地进行数学运算的技巧。
以下是几种常用的速算技巧：1. 快速乘法：快速乘法方法可以在短时间内计算大数相乘的结果。
一种常见的快速乘法方法是分步相乘法，即将乘数和被乘数分解成更小的数，然后相乘得到部分结果，再汇总得到最终结果。
2. 快速除法：快速除法是一种用近似值进行除法计算的方法。
它基于对被除数和除数进行适当的估算，然后进行近似计算得出结果。
3. 快速开方：对于一些平方数的开方计算，可以使用快速开方技巧。
其中一种方法是通过与已知平方数进行比较，逐渐逼近所需开方数。
二、近似计算方法在实际生活中，我们经常需要对数值进行近似计算，以便更好地理解和应用数学概念。
以下是一些常见的近似计算方法：1. 估算法：估算法是一种通过对数值进行适当的估算，得出近似结果的方法。
例如，在进行商品购买时，估算总价可以帮助我们快速判断是否付款能力足够。
2. 线性插值：线性插值是一种对数据进行近似计算的方法。
它基于给定的两个已知数据点，在这两个点之间进行线性推算，得出近似结果。
3. 四舍五入：四舍五入是一种常用的近似计算方法，常用于对小数进行近似值的取舍。
它基于一个简单的规则，即当小数部分大于等于5时，四舍五入到整数部分的下一个整数；小于5时，则直接舍去小数部分。
三、应用案例速算和近似计算技巧广泛应用于日常生活和工作中的各种计算问题。
以下是一些实际应用案例：1. 购物时的折扣计算：在购物时，我们常常需要计算打折后的价格。
通过灵活应用速算技巧，我们可以快速计算出折扣后的价格，帮助我们做出明智的购买决策。
四年级数学简便方法计算的几种类型
在四年级数学中，有许多简便方法可以用来计算。
这些方法可以帮助学生提高计算速度和准确性。
以下是四年级数学中常见的几种简便方法：1.近似法：近似法是一种用来快速计算的方法。
它适合于处理较长的数字或复杂的计算。
近似法的关键是将数字约简为一个较容易计算的数字。
例如，要计算27+15，我们可以将27近似为30，将15近似为20，然后计算30+20=50。
2.快速加法：快速加法是一种通过分解数字来进行快速计算的方法。
例如，要计算38+27，我们可以将27分解为20+7，然后将38+20=58，再加上7得到653.快速减法：快速减法是一种通过分解数字来进行快速计算的方法。
例如，要计算72-28，我们可以将28分解为30-2，然后将72-30=42，再减去2得到40。
4.快速乘法：快速乘法是一种通过将数字拆分成更小的部分来进行快速计算的方法。
例如，要计算24×6，我们可以将24拆分为20+4，然后将20×6=120，再加上4×6=24，得到总和1445.快速除法：快速除法是一种通过将数字拆分为更小的部分来进行快速计算的方法。
例如，要计算72÷8，我们可以将72拆分为70+2，然后将70÷8=8，再加上2÷8=0.25，得到总和8.256.括号法则：括号法则是一种用来处理复杂计算的规则。
根据括号法则，我们首先计算括号中的内容，然后进行其他运算。
例如，要计算(12+8)×4，我们首先计算12+8=20，然后将20×4=80。
7.数表法：数表法是一种通过制作一个数表来找出解决方案的方法。
数表法适用于解决一系列相关问题。
例如，要计算2的倍数，我们可以制作一个数表，将2进行乘以1、2、3等，然后在数表中找到相应的答案。
8.计算规律法：计算规律法是一种通过观察数字之间的规律来进行计算的方法。
例如，要计算20+30，我们可以观察到20和30之间的差距为10，所以答案为50。
实验二：定积分的近似计算
0 1 x2
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
==>
1 dx 0 1 x2
h
y0 2
y1
yn1
yn 2
0.78539399673078
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)
函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
2021/4/21
22
二重积分的计算
抛物线法计算二重积分： dblquad
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
bd
a c f (x, y)dxdy
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6
1
中点法：
0
1
dx x
2
n
h
i 1
f
(
xi1 2
xi
)
0.78540024673078
2021/4/21
6
矩形法举例
误差分析
理论值：
1 dx 0 1 x2
arctan x
1 0
π 4
左点法相对误差：0.78789399673078 / 4 0.003178 /4
右点法相对误差：0.78289399673078 / 4 0.003188 /4
i 1
x
2021/4/21
8
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
计算结果的近似处理方法
计算结果的近似处理方法作者：于梦梅来源：《试题与研究·中考物理》2015年第03期在解答物理计算问题时，计算结果往往会出现非整数（小数点位数较多或除不尽）的情况，需对其作必要的近似处理。
由于物理计算是应用物理知识通过一定的计算研究物理量之间的关系，其计算结果不仅是数量关系的表述，而且具有一定的实际的物理意义，若近似处理不当，会使整个解题功亏一篑，因此，能否正确处理计算结果是解题成功与否的关键一步，掌握正确处理计算结果的方法，是运用物理知识分析解决相关问题的必备的技能之一。
对于具体问题，应在应用相关物理知识对计算结果进行分析的基础上，以符合有关的物理规律和实际情况为前提，确定正确、合理的处理方法。
常用的计算结果的近似处理方法有以下几种：一、四舍五入法一般情况下，可依数学上的“四舍五入法”来处理计算结果（计算结果用有限小数表示），即根据题意确定保留位数，之后的那一位数字若小于或等于4，则将它和后面的数字全部舍去；若大于或等于5，则在需保留的最后一位数字上加1，再舍去后面的数字。
1.根据题目要求“四舍五入”有些计算中，考题明确提出“保留×位小数”，只需按要求对计算结果“四舍五入”即可。
图1例1.有一种电子秤的原理图如图1所示，它主要由三部分构成：踏板和压力杠杆ABO，压力传感器R（电阻值会随所受压力大小发生变化的可变电阻），显示重力大小的仪表（实质是电流表），其中AO长20cm，BO长5cm，压力传感器R的阻值与所受压力的关系如下表所示。
踏板和杠杆组件的质量可以忽略不计，电源电压为6V。
（1）重300N的学生站在踏板上时，双脚与踏板的接触面积为0.07m2，此时对踏板的压强是多大？（2）当重300N的学生站在踏板上时，通过压力传感器R的电流为________________________________________A。
（保留两位小数）解析：（1）学生对踏板的压强p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa采用“四舍五入法”，因保留的两位小数后的那一位是“4”，应舍去“4”及其后面的所有数字，故学生对踏板的压强p≈4285.71Pa。
综合实验一 定积分的近似计算
a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( xi )xi = h ∑ f ( xi )
i =1 i =1
n
中点法:
b
a
f ( x )dx ≈ ∑
i =1
n
n xi 1 + xi xi 1 + xi f( )xi = h ∑ f ( ) 2 2 i =1
矩形法举例
数学实验
例:用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 ), 并比较这三种方法的相对误差.
解: a=0, b=1, n=100 ==> h =1/100=0.01, xi = i*h,
dx ≈ h f ( x ) = h 1 左点法:∫0 ∑ i1 ∑ 1 + x 2i1 1 + x2 i =1 i =1
1
1 n
dx ∫0 1 + x 2
1
n
n
(i = 0,1,2,...,100)
dx ≈ h ∑ f ( xi ) ≈ 0.78289399673078 右点法: ∫0 2 1+ x i =1
二重积分的计算
抛物线法计算二重积分: dblquad
数学实验
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
∫∫
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
d
c
f ( x, y )dxdy
tol 为计算精度,若不指定,则缺省精度为 10-6 f(x,y) 可以由 inline 定义,或通过一个函数句柄传递 [a,b] 是第一积分变量的积分区间,[c,d] 是第二积分变量 的积分区间 按字母顺序,大写字母排在小写字母的前面
实验二, 实验二,定积分的近似计算
矩形法
第七讲-定积分的近似计算
quad 举例
例：用 quad 计算定积分：
dx 0 1 x 2
1
解：
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1)
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10) 函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
dblquad
i 1
n
通常我们取
x1 x2 xn
h ba n
点 i [ xi 1, xi ] 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 xi 1 ，右端点
xi 和中点 ( xi 1 xi ) / 2 。
中点法
左点法
右点法
左点法、右点法和中点法
步长
xi h (b a) / n xi a ih, i 1,2, n
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有
x2
x0
f ( x)dx p1 ( x)dx x ( x2 x )dx
x2
0
x2
x0
x x x
3 2
x2
x2 x0 (y0 4y1 y2 ) 6 ba (y0 4 y1 y2 ) 6n
i 1 n
x2 i 2
f ( x )dx
ba ( y2i 2 4 y2i 1 y2i ) i 1 6n
抛物线法
整理后可得：
baຫໍສະໝຸດ b a f ( x)dx [ y0 y2n 4( y1 y3 y2n1 ) 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
土地亩数的计算方法
土地亩数的计算方法土地亩数的计算方法是指根据土地面积来计算其对应的亩数。
亩（mu）是中国传统的计量单位之一，用于计量面积。
在中国，1亩等于15亩分，亩分等于10亩厘，厘等于10亩毫，毫等于10平方米。
下面将详细介绍土地亩数的计算方法。
1.直接计算法：直接计算法是指根据土地的实际面积进行计算。
假设土地面积为S（单位：平方米），则土地的亩数（单位：亩）可以通过以下公式计算：亩数=S/666.67这个公式的原理是：1亩等于666.67平方米（即1亩=15亩分*10亩厘*10亩毫=15*10*10=1500平方米，然后将1500平方米除以10再除以10），所以可以通过将土地面积除以666.67，得到其对应的亩数。
例如，如果土地面积为2000平方米，则亩数=2000/666.67≈3亩。
2.近似计算法：近似计算法是指根据土地的大致面积进行估算，以求得一个相对准确的亩数。
这种方法适用于无法准确测量土地面积的情况。
近似计算法有很多种方法，其中较为常用的方法有：脚步测算法、目测法和根据地界长度估算法。
-脚步测算法：这是一种通过平均步长测算土地面积的方法。
首先，在一节平坦的地面上，用枪尺等工具测量出一次迈出的平均步长（例如1步约等于0.5米），然后在土地上用这个步长逐步行走，将整个土地的长度测量出来，最后将这个长度乘以步长，得到土地的面积。
-目测法：这是一种通过肉眼观察和估算土地形状和面积的方法。
首先，通过肉眼观察土地的边界形状，估算它的形状是矩形、三角形还是其他形状。
然后使用一些简单的几何图形的面积计算公式，如矩形面积公式（面积=长*宽）、三角形面积公式（面积=底边*高/2）等，根据实际情况估算土地的面积。
-根据地界长度估算法：这是一种通过地界的周长和形状估算土地面积的方法。
首先，测量土地的周长，然后根据土地的形状，将其分成若干个简单的几何形状（如矩形、三角形、梯形等），分别计算出每个几何形状的面积，最后将这些面积相加，得到土地的总面积。
Matlab数值实验定积分的近似计算教程
Matlab数值实验定积分的近似计算教程一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1．矩形法2．梯形法3．抛物线法4.直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline 定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开文件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，0.78540024673078，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式．仍用的近似计算为例，取，0.78539399673078，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．仍用的近似计算为例，取，=0.78539816339745，理论值，此时计算的相对误差4. 直接应用Matlab命令计算结果（1）数值计算方法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)方法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）方法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算方法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）方法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法二重数值积分）四、自己动手1．实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算，取，并比较三种方法的精确程度．2．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．3．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法？并找出其他例子支持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．。
快速计算的技巧和方法
快速计算的技巧和方法在日常生活中，我们经常需要进行各种各样的计算，无论是在学校学习还是在工作中。
而掌握快速计算的技巧和方法，不仅可以提高我们的计算效率，还可以增强我们的数学思维能力。
本文将介绍一些实用的快速计算技巧和方法，帮助中学生及其父母们更轻松地应对各种计算问题。
一、近似计算法有时候，我们并不需要得到非常精确的计算结果，而只是需要一个大致的估算。
这时候，近似计算法就能派上用场了。
比如，我们可以将一个较大的数近似为最接近的一个整数或者一个简单的分数，这样可以简化计算过程。
另外，我们还可以利用四舍五入的原则，将小数近似为整数，从而简化计算。
举个例子，假设我们需要计算37乘以24的结果。
我们可以将37近似为40，将24近似为25，这样计算结果就变成了40乘以25，即1000。
虽然这个结果并不是非常精确，但是在一些情况下，这样的近似计算已经足够满足我们的需求。
二、倍数计算法倍数计算法是一种非常实用的快速计算技巧。
它适用于那些需要计算某个数的倍数的情况。
比如，我们需要计算一个数的2倍、3倍、4倍等等。
这时候，我们可以利用数字的规律来进行计算。
以计算一个数的2倍为例，我们只需要将这个数乘以2即可。
而如果需要计算一个数的3倍，我们可以先计算它的2倍，然后再加上原数。
同样地，如果需要计算一个数的4倍，我们可以先计算它的2倍，然后再将这个结果乘以2。
三、分解计算法分解计算法是一种将复杂的计算问题分解成简单的计算问题来解决的方法。
它适用于那些需要进行多步计算的情况。
比如，我们需要计算一个较大的数加上一个较小的数的结果。
假设我们需要计算345加上27的结果。
我们可以将345分解为300加上40加上5，然后再将这三个数分别与27相加。
这样一来，我们就将一个较大的计算问题分解成了三个较小的计算问题，大大简化了计算过程。
四、利用乘法法则乘法法则是一种利用数学规律进行计算的方法。
它适用于那些需要进行大量乘法计算的情况。
比如，我们需要计算一个数乘以10、100、1000等等。
近似数及其计算方法
近似数及其计算方法江苏省泗阳县李口中学沈正中一、求近似数的三种方法1. 四舍五入法这是一种最常用的求近似数的方法，就是看确定保留数位的下一位数字，比5小的（即0、1、2、3、4），就把这个数字以及后面的所有数字舍去；如果这个数字比4大（即5、6、7、8、9），就把这个数字以及后面的所有数字舍去后，向前一位进一。
如64.96283，保留到万分位写为64.9628，即64.96283≈64.9628（以下类推），保留到千分位写作64.963，保留到百分位写作68.96，保留到十分位写作64.0，保留到整数写作64。
由此可以看出：“四舍”时，近似数比准确值小，“五入”时，近似数比准确值大。
2. 进一法在实际生活中，有时把一个数的保留数位确定后，只要下一位数字或后面的数字有不为0的（即1、2、3、……、9），都要向前一位进一。
如：同学们同时去划船，每只船上最多能载7个同学，17个同学至少需几只船？17÷7≈2.4，就是说17个同学需要2只船还余3人，这3人还需一只船，所以一共需要3只船。
即17÷7＝≈3 (只)。
由此可知：用进一法得到的近似数总比准确值大。
3. 去尾法在实际生活中，有时把一个数的保留数位确定后，不管下一位i nt he i rb ei n ga re go od fo 数字或后面的数字是几（即0、1、2、3、……、9），都不要向前一位进一。
如：用一根5m 米长水管做成一批27cm 长相同规格的水管，可以做成多少根？500÷27＝ ≈18（根）由此可知：用去尾法得到的近似数总比准确数小。
二、近似数的四则混合运算1. 近似数的加减法在一般情况下，近似数相加减的和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同，计算法则：（1）确定结果精确到哪一个数位（与已知数中精确度最低那个数精确数位相同）；（2）把已知数中的其它数，四舍五入到已知数中精确度最低那个数数位的下一位；（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。
基于近似计算的算法设计与优化
基于近似计算的算法设计与优化在计算机科学领域，算法设计与优化一直是研究重点。
传统的算法设计方法主要基于精确计算，但在实际应用中，精确计算的代价往往十分高昂。
随着人工智能技术的不断发展，基于近似计算的算法设计与优化逐渐成为新的研究热点。
一、近似计算的概念近似计算是指在保证结果质量的基础上，尽量减少计算过程的时间或空间复杂度。
传统的算法设计是以精确计算为前提，总是追求精确结果，而近似计算则更注重结果的实用性。
近似计算通常有三种主要方法：概率近似算法、启发式算法和贪心算法。
概率近似算法是基于统计方法和概率分布理论来实现近似计算的算法。
这种方法的典型应用是用于求解NP难问题，例如旅行商问题和背包问题。
启发式算法是一种基于经验和直觉、不依赖于精确结果的搜索算法。
它通过先验知识和搜索策略来指导搜索过程，以期达到较好的近似结果。
其中最典型的方法是遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
贪心算法是一种基于“贪心”策略的算法，它总是选择在当前情况下最优的决策。
贪心算法也常常用于求解NP难问题。
二、基于近似计算的算法优化基于近似计算的算法优化是指在算法设计过程中，尽量通过近似计算来优化算法的时间和空间复杂度，以降低算法的成本和提高算法的执行效率。
例如，在图像处理中，基于近似计算的算法可以有效减少图像压缩和图像识别的时间复杂度。
类似的，基于近似计算的算法也可以用于分布式计算、模式识别、数据挖掘等领域中，以提高计算效率和性能。
三、基于近似计算的算法设计案例为了更好地展示基于近似计算的算法设计，在这里我们以哈希算法为例进行分析。
哈希算法是一种高效的数据结构，它能够将任意长度的输入数据映射为固定长度的散列值。
由于哈希函数的设计本质上是一种近似计算，因此哈希算法也可以看作是一种基于近似计算的算法。
哈希函数的设计原则是要尽量提高哈希值的分散性，以使哈希表的冲突率尽量低。
同时，由于哈希函数的计算量会成为程序的瓶颈，因此我们也需要优化哈希函数的时间复杂度。
数值积分常用算法设计与实现
数值积分是一种近似计算定积分的方法，常用于在实际问题中求解无法通过解析方法得到精确结果的积分。
下面介绍几种常见的数值积分算法设计与实现。
1. 矩形法（矩形规则）：
- 基本思想：将积分区间等分为若干小区间，然后用每个小区间的函数值乘以该小区间的宽度来近似计算积分。
- 实现步骤：选择适当的步长（小区间的宽度），计算每个小区间的函数值，再将这些函数值乘以对应的宽度，最后将所有小区间的计算结果相加即得到近似的积分值。
2. 梯形法（梯形规则）：
- 基本思想：将积分区间划分为若干小区间，每个小区间近似为一个梯形，并计算每个梯形的面积，将这些面积相加得到近似积分值。
- 实现步骤：选择适当的步长，计算每个小区间两个端点的函数值，然后使用梯形面积公式计算每个小区间的面积，最后将所有小区间的面积相加即可得到近似的积分值。
3. 辛普森法（辛普森规则）：
- 基本思想：将积分区间划分为若干小区间，每个小区间近似为一个二次函数，并通过拟合这些二次函数来计算积分。
- 实现步骤：选择适当的步长，将每两个相邻的小区间作为一个整体进行拟合，使用辛普森公式计算每个整体的积分值，最后将所有整体的积分值相加即得到近似的积分值。
以上仅是数值积分的几种常见算法，实际应用中还有其他更复杂的方法，如高斯求积法、龙贝格积分法等。
在实现时，需要根据具体问题选择合适的算法，并注意步长的选择和积分误差的控制。
此外，编程语言中也提供了一些库函数或工具包，可以方便地进行数值积分的计算。
1。
c++π的近似计算
c++π的近似计算
在C++中，可以使用多种方法来计算π的近似值。
下面是两种常见的方法：
撒豆子算法：该算法通过向正方形内撒豆子，计算豆子在圆内的比例，从而估计π的值。
具体来说，将圆的半径设为1，然后计算圆的面积和正方形的面积，两者的比值即为π/4。
接着，向正方形内撒豆子，计算豆子在圆内的比例，即为k。
最后，通过等式4k/b=π，计算π的近似值。
蒙特卡洛方法：该方法通过随机生成大量的随机数，并判断这些随机数是否落在圆内。
圆内的随机数个数与总的随机数个数的比值，即为圆的面积与正方形的面积的比值，也就是π的近似值。
请注意，这些方法的计算精度和效率可能会受到具体实现方式和输入参数的影响。
在实际应用中，你可以根据需求和具体情况选择合适的方法来计算π的近似值。
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4.结论及分析
经过试验得出结论实验无误。
三、实验小结
经过实验可以更熟练的掌握matlab的运行环境和编译程序。发现了matlab可以解决很多复杂的问题，一个实验可以拥有多种解法。通过实验让我获得很多。
函数的调用格式function (f,a,b,n)
【实验环境】
Matห้องสมุดไป่ตู้abR2010b
二、实验内容
分别用中点矩形法、梯形法、抛物线法计算 ，其中 的值分别为 .
1.分析问题
每种方法运用各自的思想，但要注意所编的函数只能保存不能运行，调用时要在工作区直接输对应调的函数名还有对应的变量值，切记不要在m文件里输并运行.
新乡学院
数学与信息科学系实验报告
实验名称定积分的近似计算
所属课程数学软件与实验
实验类型综合型实验
专业信息与计算科学
班级2011级1班
学号11111021022
姓名朱三杰
指导教师朱耀生
一、实验概述
【实验目的】
学会三种近似计算的算法：矩形法，梯形法，抛物线法。理解其各自的中心思想。
【实验原理】
将自变量区间平均分为n份
h=(b-a)/n;
y=[];
fori=1:n
x1=a+h*(i-1);
x2=a+i*h;
x3=(x1+x2)/2;
y=[y,feval(fun,x3)];
end
s=sum(y)*h
梯形法：
functionf=tixing(fun,a,b,n);
h=(b-a)/n;
y=[];
fori=1:n+1
x=(i-1)*h+a;
end
fori=2:2*n
ifmod(i,2)==0
y(i)=y(i)*4;
else
y(i)=2*y(i);
end
end
s=sum(y)*h/3
3.结果
p
0.1
0.5
0.9
中点矩形法s=
6.2989
6.6592
7.4082
梯形法s=
6.2989
6.6592
7.4082
抛物线法s=
6.2989
6.6592
y=[y,feval(fun,x)];
end
y(1)=y(1)/2;
y(n+1)=y(n+1)/2;
s=sum(y)*h
抛物线法：
functionf=paowuxian(fun,a,b,n);
h=(b-a)/(2*n);
x=a:h:b;
y=[];
fori=1:2*n+1
y=[y,feval(fun,x(i))];
2.问题求解
functionf=f1(x);
f=sqrt(1+0.01*(cos(x)^2));
functionf=f2(x);
f=sqrt(1+0.25*(cos(x)^2));
functionf=f3(x);
f=sqrt(1+0.81*(cos(x)^2))
矩形法：
functionf=juxing(fun,a,b,n)
矩形法：取每份的中点对应的函数值进行积分，也就是把这个区间看成矩形，高也就是中点对应的函数值。
梯形法:将每份积分区间看成梯形，上底就是该小区间的左点对应的函数值，下底就是该小区间的右点对应的函数值。利用最左和最右的点函数值加了一次，剩余的加两次，可以使过程简便点。
抛物线法：将每份积分区间看成抛物线，抛物线为一般的形式。按此思路积分，结果也就是辛普森公式，在算积分时就运用该公式大大简便解题。