2020年寒假八年级数学课程第八讲 梯形

第八讲梯形

第一部分知识梳理

一、梯形的性质和判定

1．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．

2．等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．

3．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．

第二部分例题与解题思路方法归纳

类型一梯形的面积

【例题1】如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（）

A、逐渐增大

B、逐渐减小

C、始终不变

D、先增大后变小

〖选题意图〗考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．

〖解题思路〗易得此四边形为直角梯形，AB的长度一定，

那么直角梯形的高为AB的长度的一半，上下底的和也一定，所以面积不变．

〖参考答案〗解：当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，设两个等边三角形的边长分别为a，b，

根据等边三角形的性质，等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变，

即DM+EN=MC+CN=AC+CB=AB，

而且MN的长度也不会改变，即MN=AC+CB=AB．

∴四边形DMNE 面积= AB 2

， ∴面积不会改变．故选C ．

【课堂训练题】

1．某校研究性学习小组在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图，若v 是关于t 的函数，图象为折线O ﹣A ﹣B ﹣C ，其中A （t 1，350），B （t 2，350），C （

，0），四边形OABC 的面积为70，则t 2﹣t 1=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

〖参考答案〗解：根据题意得， （AB+

）×350=70，解之得，AB= ；读图可知，t 2﹣t 1=AB=

．故选B ． 2．如图为菱形ABCD 与正方形EFGH 的重迭情形，其中E 在CD 上，AD 与GH 相交于I

点，且AD ∥HE ．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯

形HEDI 的面积为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10﹣2

D ．10+2

〖参考答案〗解：四边形ABCD 为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°

﹣60°=120°，

又AD ∥HE ⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，

作DM ⊥HE 于M 点，则△DEM 为30°﹣60°﹣90°的三角形，

又DE=4⇒EM=2，DM=2 ，

且四边形EFGH 为正方形⇒∠H=∠I=90°，

即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，

梯形HEDI 面积=

（ ）

=8 ． 故选B ．

类型二梯形的中位线相关

【例题2】如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（）

A．6 B．8

C．4 D．4

〖选题意图〗解决此题的关键是确定点M的位置．如果在直线的同侧有两个点，要在直线上找一点到两个点的距离之和最短，方法是找其中一个点关于直线的对称点，连接该点和另一个点，与直线的交点即为到两个点的距离之和最小的点的位置．

〖解题思路〗此题关键是确定M的位置，将EM、MN转化到一条直线上，就可求出其和最小值．

〖参考答案〗解：作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M

∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，

∴∠ACB=∠DCA，

∵点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2

又∵DC=4

∴EN’为等腰梯形的中线

∴EN′=（AD+BC）=6，

∴EM+MN最小值为：EN′=6

故选A

【课堂训练题】

1．如图所示，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8，则FG等于（）

A．2cm B．3cm

C．4cm D．6cm

〖参考答案〗解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC=×8=4；

∵FG为梯形BCED的中位线，

∴FG=（DE+BC）=（4+8）=6．

故选D．

2．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF 与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）

A．B．

C．D．

〖参考答案〗解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，

∵EF是梯形的中位线，

∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，

∴AM=CM，BN=DN．

∴EM=CD，NF=CD．

∴EM=NF，

∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，

∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，

∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，

S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，

S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，

S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，

∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，

图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，

∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．

故选：C．

类型三角度的相关问题

【例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，求证：AC是∠DAB的平分线．