高考中的分布列、期望、方差问题
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率
例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。
二、从不等式大小比较的角度看概率
例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？
三、从“至多”、“至少”的角度看概率.
例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。 四、从“或”、“且”的角度看概率
例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。
相关练习
1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）
51
1
（B ）
681（C ）3061 （D ）408
1
2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.
16
625
B.
96625
C. 192
625
D.
256
625
3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
2
1
与p ，且乙投球2
次均未命中的概率为
16
1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
1）求至少3人同时上网的概率；
2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。
（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 关于统计问题
1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
_______，____，_______辆。
3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2
）:
其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁。
4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 ．
5．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
6．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人 （C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人
7．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁
0.0005
300035000.00030.0004
200015000.00020.0001
400025001000月收入（元）频率/组距
－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 （D ）50
8．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
9．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民
的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要
从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人．
10．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 09年高考复习之概率统计（答案） 热点一：分布列、数学期望和方差 1、
2、分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)
3、数学期望:
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 性质: b aE b a E +=+ξξ)(
4、方差：ξD ＝12
1)(p E x ?-ξ＋22
2)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2
)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．
性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）2
2)(ξξξE E D -=； 5、二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k
n k k n q
p C -＝b (k ；n ，p )．
E ξ=np, =ξD np (1-p )
例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值.
解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）ξ的分布列为：
∴01234 1.5.22010205
E ξ=?+?+?+?+?=
2222211131
(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.
22010205
ξ=-?+-?+-?+-?+-?=（Ⅱ）由D a D η=ξ2
，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.
∴2,2a b =??
=-?或2,
4
a b =-??=?即为所求.
小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解。 练习：
1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试
合格的概率都是
1
2
，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.
解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，
且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝
12
. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
317
1()1()()()1().28
P ABC P A P B P C -=-=-=
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P A B C P A B C P A B C
ξ==++
＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝3
2
3
1
113()()().2
2
2
8
++=
(1)()()()
P P A B C P A B C P A B C ξ==++ =()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =3
3
3
1
113()()().2
2
2
8
++=
1(2)()()()().8P P A B C P A P B P C ξ==== 1
(3)()()()().
8
P P A B C P A P B P C ξ====
所以， ξ的分布列是
ξ的期望0123 1.8888
E ξ=?+?+?+?=
2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得
1~i (1
23)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
解：（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，， ()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．
ξ的分布列为
00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?+?=.
3、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下
表所示：
周销售量 2 3 4 频数
20
50
30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
0.008
0.032
0.16
0.8
E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率
例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。
解：设A 1=“三次都是白球”，则 P （A 1）=
;7
893
12
A ?? A 2=“一、三次白球，第二次红球”，则 P （A 2）=
;8
393
12
A ?? A 3=“第一次红球，二、三次为白球”，则 P （A 3）=
3
12
8
93A ??; A 4=“一、二次红球，第三次白球”，则 P （A 4）=
;9
233
12
A ?? 而A 1、A 2、A 3、A 4互斥，又记A=“第三次取出的球是白球”，则 P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=…=
4
3
说明：本题中关键是学会分解事件A ，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由P=
4
3
1011129)1011(=???? 得出，请读者琢磨。
二、从不等式大小比较的角度看概率
例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？
解：设甲没有获得商标的事件为A ，乙没有获得商标的事件为B ， 则P （A ）=,)2
1
(5
5C
P （B ）=50
5)2
1
(C
∴甲、乙没有获得商标的事件为C ， 则P （C ）=P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）。
又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D 。 ∴P （D ）=1- P （C ）
=1- .99.01000
999
...1023102210241023102411)21()21
(505505>>>>=-
=C C 故有99%的把握作出如此断定。
说明：本题中关键要熟悉事件D 对立事件是C ，则P （D ）=1-P （C ），主要以“-”号连接，本题也可由1-
.100
1110241->进行比较。 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.
例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。
解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A 、B 、C 。 （I ）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95，
.05.0)()(,10.0)(===C P B P A P
因为A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为
.
176.0...)()()()()()()()()()()()(==++=++C P B P A P C P B P A P C P B P A P BC A P C B A P C AB P （
II
）
至
少
有
两
件
不
合
格
的
概
率
012.0...)()()()(==+++C B A P C B A P C B A P C B A P
答：（略）。
说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“×”连接P （A ）、P （B ）、P （C ）以及P )(A 、P )(B 、P )(C 。另外（II ）也可由P=1-P （A ·B ·C ）-0.176=1-P （A ）·P （B ）·P （C ）-0.176得出。
四、从“或”、“且”的角度看概率
例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B 。
设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2
则P （A ）=P 1=0.6，P （B ）=P 2
P （A+B ）=1-P )(B A ?.92.0)1)(1(1212121=-+=---=P P P P P P ∴0.6+P 2-0.6P 2=0.92.
则0.4P 2=0.32 即P 2=0.8………………………………（5分） （2）08.02.04.0)()()0(=?=?==B P A P P ξ
44.08.04.02.06.0)()()()()1(=?+?=+==B P A P B P A P P ξ
48.08.06.0)()()2(=?===B P A P P ξ
E ξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4
D ξ=（0-1.4）2
×0.08 + (1-1.4)2
×0.44 + (2-1.4)2
×0.48=0.4 或利用D ξ=E （ξ2
）-（E ξ）2
= 2.36-1.96=0.4
另外如将此题中的“或”改为“且”，处理方法怎样，请同学思考。
相关练习
1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B （A ）
51
1
（B ）
681（C ）3061 （D ）408
1
2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B
A.
16
625
B.
96625
C. 192
625
D.
256
625
3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率
知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得()()()16
1
112
2
=
-=-p B P 解得43=
p 或4
5
（舍去），所以乙投球的命中率为43．
解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．
由题意得1()()16P B P B =
，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3
1()4p P B =-=． 所以乙投球的命中率为3
4
．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知()()2
1
,21==A P A P ．
故甲投球2次至少命中1次的概率为(
)
4
3
1=?-A A P
解法二：
由题设和（Ⅰ）知()()
2
1,21==
A P A P 故甲投球2次至少命中1次的概率为()()
()()4
3
1
2=
+A P A P A P A P C （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()
4
1
,43,21,21====B P B P A P A P
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次
均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为
()()()()
16
3
1212=
?B P B P C A P A P C ， ()(
)
641=
??B B P A A P ， ()
()649=??B B P A A P 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为
32
11
649641163=
++． 5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
1）求至少3人同时上网的概率；
2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
解： 1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，
即
。
2）至少4人同时上网的概率为
，
至少5人同时上网的概率为
，
因此，至少5人同时上网的概率小于
。
6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。
（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（II ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：（I ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有1
6C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有16C 14C 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为110C 19
C 个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为15
41
91101416=C C C C ，所求概率为154
； （II ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101
314C C C
C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择
题的概率为15
131191101314=-C C C C ，所求概率为1513
。
或 +191101516C C C C +191101416C C C C 19
1101
614C C C C 151315415431=++=，所求概率为1513
。
关于统计问题
1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．10
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
___6_____，___30____，____10____辆。
3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2
）:
其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁。
4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 16 ．
0.0005
300035000.00030.0004
200015000.00020.00014000
25001000月收入（元）
频率/组距
5．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2
+(y-10)2
=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D 6．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人 （C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人
解析：
甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人，选B.
7．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 （D ）50
解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.
8．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13 解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C
9．（全国II ）一个社会调查机构就某地居民
的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要
从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人．
解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500??=人 按分层抽样应抽出100
25002510000
?
=人
10．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×160
10
=150 人。
分布列期望方差
分布列期望方差
大石中学2015届高三数学（理）3月概率练 习 1、2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据： （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素,x y满足175 x≥，且75 y≥,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。
2、为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋 季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2。 频率分布表1 频率分布直方图2 分组 （岁） 频数 频率 [20,25) 5 0.050 [25,30)20 0.200 [30,35)①0.350 [35,40)30 ② [40,45]10 0.100 合计 100 1.000 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者的平均年龄；
（2）在抽出的100名市民中，按分层抽样 法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。大石中学2015届高三数学（理）3月概率练 习 3、某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用 (总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) （1）求不采取任何措施下的总费用；（2）请确定预防方案使总费用最少.
61随机变量的概率分布、期望与方差1
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列
随机变量的分布列 期望与方差
随机变量的分布列 期望与方差 1、 设随机变量的分布如下： 求常数k 的值 2、设随机变量ξ的概率分布为====a k a a k P k 则为常数,,2,1,,5 )(Λξ . 3、设某批产品合格率为43，不合格率为4 1，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P （ξ=3）等于（ ） A ．)4 3()41(223?C B ．)4 1()4 3 (223?C C ．)4 3()4 1(2? D ．)4 1()4 3(2? 4、设随机变量ξ只可能取5，6，7，……，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ≥9)= ；P (6<ξ≤14)= ． 5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P （ξ=0）等于_______。 6、袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=________. 7、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。 （1）求ξ的分布列； （2）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率。 8、罐中有5个红球，3个白球，从中每次任取一球后放入一个红球，直到取到红球为止用ξ表示抽取次数，求ξ的分布列，并计算P （1<ξ≤3） 9、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的概率分布列和数学期望。
期望 方差公式的证明全集
期望与方差的相关公式的证明 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑ ∞ =1 <∞时， 则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑ ∞ =1 =∞，则数学期望不存在。 [] 1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的
高考纠错专题29离散型随机变量的分布列、期望与方差(解析版)
专题29 离散型随机变量的分布列、期望与方差（解析版） 易错点1：二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混； 通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）； 事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-； ()=,0,1,2,3,01,1k k n k n p k C p q k n p p q 且ξ-==<<+=； 易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差； 题组一 1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p = A ．0．7 B ．0．6 C ．0．4 D ．0．3 【解析】由题意，X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6，又(4)(6)P X P X =<=，即()()644466101011C p p C p p -<-，得1,0.62 p p >=所以 2.（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ． 【解析】由题意，X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96 题组二 3．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
分布列、期望与方差
第十三章 分布列、期望与方差 【回顾与思考】 1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量0η=，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p ，则不发生的概率为p -1，这时，称η服从两点分布，其中p 称为__________。其分布列为： 期望=ηE _______；方差=ηD ________。 2．超几何分布：()k n k M N M n N C C P X k C --==，0,1,,k m = ，其中=m ___________。 3．二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数X 服从二项分布，记为_________。 ()(1,0,1,2k k n k n P X k C p q q p k -===-=，…)n ，表示______________________，二项 分布的分布列为： 期望为______________；方差为_________________。 4．正态分布： （1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频 率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数 2 22)(,21)(σμσμσ π?-- = x e x ，),(+∞-∞∈x 的图象，式中的实数σμ,)0(>σ是参数，分 别是总体的平均数与标准差。正态曲线具有以下性质： ① 曲线在____轴的上方，与____轴不相交；② 曲线关于直线______ 对称； ③ 曲线在的最高点的横坐标______；④ 当μ
分布列、期望与方差(答案).doc
【目标与要求】（1） （2） （3） 2. R = 0,1,7, 其中"7 = 第十三章第一节排列与组合 执笔：李建军 审核：理数学备考小组 了解排列与组合的定义； 理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数; 解决与排列与组合有关的应用题。 1.两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量〃 =0, 1来 描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p,则不发生的概率为1-p,这时，称〃服 从两点分布，其中〃称为 0其分布列为： 期望En=；方差Dn=o 厂k 厂〃一A 超几何分布：P （X = k ）= w V’ Cv 3.二项分布：在〃次独立重复试验中，事件*发生的次数X 服从二项分布，记为 p(X =k) = C ；pkq'i(q = \— p,k = &,\,2, ???〃)，表示,二项 分布的分布列为: 期望为玖=；方差为。 4.正态分布： （1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频 率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数 1 —（"）2 G （-00,4-00）的图象，式中的实数〃，b （b>0）是参数，分 别是总体的平均数与标准差。正态曲线具有以下性质： ①曲线在—轴的上方，与—轴不相交；②曲线关于直线 对称； ③ 曲线在的最高点的横坐标 ______ :④ 当x〃时?，曲线 ____ , 并且当曲线向左、右两边无限延伸小j,以 ______ 轴为渐近线，向它无限靠近。 ⑤ 当# 一定时，越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；CT 越小，曲线越“瘦高”，表示 总 体的分布越集中。 （2）若随机变量X 在［Q ,。）内取值的概率等于该区间上正态曲线与—轴、直线、 所围成曲边梯形的面积（即P0VX Jb ） = y ：（p”Q（x ）djc ）,则称随机变量X 服从正 态分布。记为。 记住：①P （"-o < X < “ + cr ）= __________ ；② F （“一2。< X
期望与方差例题选讲有详解
概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ.
概率分布以及期望和方差
概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析
白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布
离散型随机变量的分布列与期望和方差
离散型随机变量的分布列与期望和方差 考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为 (1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差． （3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式， 考点三：二项分布 二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发 生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习 1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12 B ．18.22 C ．19.12 D ．19.22 2.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.已知X 的分布列为
离散型随机变量的分布列及其期望与方差
. 离散型随机变量的分布列及其期望与方差 题组一： 1、已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）= a i 2（i=1，2，3），则P （X=2）= . 2 求：（1）2X+1的概率分布；（2）|X-1| 的概率分布. 3、设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布为 则q 的值为 . 4、设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ= 5 k ）=ak ， k=1，2，3，4，5. （1）求常数a 的值； （2）求P （ξ≥53）；（3）求P （10 1＜ξ＜107 ）. 题组二： 1 则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是 . 2、一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 . 3、某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为0.5， 击中目标就停止射击，则此人射击次数为5的概率 为 . 4、设随机变量X ～B(6, 2 1 ),则P （X=3）= . 5、某同学有2盒笔芯，每盒有25支，使用时从任意一盒中 取出一支。经过一段时间后，发现一盒已经用完了，则另一盒恰好剩下5只的概率是 . 6、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率 都是0.8，计算：（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率. 7、已知P （AB ）= 103，P （A ）=5 3 ，则P （B|A ）= . 8、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%， 甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 . 9、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ （2）从2号箱取出红球的概率是多少？
专题33 分布列、期望与方差、正态分布(学生版)
1. 设两个正态分布()211,N μσ（10σ>）和()2 22,N μσ（20σ>）的密度函数的 图像如图所示，则有（ ） 2. 设随机变量ξ服标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则 ()1.96P ξ<=（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 3. 离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则X A. 32 B. 2 C. 5 2 D. 3 4. 某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 5. 设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ，若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=．随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率 均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222 x x x x x x x x x x +++++的概率也均 为0.2．若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（ ） A. 12D D ξξ> B. 12D D ξξ= C. 12D D ξξ< D. 12D D ξξ与的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关 7. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个 同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机抽取一个 小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX =（ ） A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 A. 1212,μμσσ<< B. 1212,μμσσ<> C. 1212,μμσσ>< D. 1212,μμσσ>>
数学期望与分布列专题
离散型随机变量的数学期望 称E(X)= 切七+…曲+…7竹为随机变帚K 的均 侑或数学期犁,它反映了离散型随机变最取值的士均 水平. A.丄 B. 1 C. — D.— 18 9 9 20 鱸析由分布列的件质， 可得2x+3x+7x+2x+3r^x=l f 几芹=/. A E(X)=0X2xHX 3E 2 X 7x+3 X 2工+4 X 3JT +5JC 20 =40x= — 9 2.已知某一随机变量占的槪率分布列如F, M 日门= 电3, !(|陆的值为 (C ) J B.6 C. 7 D.B 解析 由分布列性虞知，0?&+O.1+U 0. 4. :? E? 4X0.5+aX0. 1+9X0, 4-6,3, :,a-l. 某中学组建了 A 、B 、C 、D 、E 五个不同 的社团组织，为培养学生的兴趣爱好 必须参加，且只能参加一个社团 ?假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是 ,要求每个学生
等可能的. (1) 求甲、乙、丙三名学生参加五个社团 的所有选法种数; (2) 求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率； (3) 设随机变量E为甲、乙、丙这三名学生参加A社 团的人数，求E的分布列与数学期望. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品,从中任取3件，若E表示取到次品的个 数 E(E )=_ 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量E 选出的志 表示愿者中女生的人数，则数学期望E(E)=_ 袋中有相同的5个球，其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当 两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量E为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量E的概率分布列； (2)随机变量E的数学期望与方差
分布列、期望与方差(答案)
第十三章 第一节 排列与组合 执笔：李建军 审核：理数学备考小组 【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义； （2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】 1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量0η=，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p ，则不发生的概率为p -1，这时，称η服从两点分布，其中p 称为__________。其分布列为： 期望=ηE _______；方差=ηD ________。 2．超几何分布：()k n k M N M n N C C P X k C --==，0,1,,k m =，其中=m ___________。 3．二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数X 服从二项分布，记为_________。 ()(1,0,1,2k k n k n P X k C p q q p k -===-=，…)n ，表示______________________，二项 分布的分布列为： 期望为______________；方差为_________________。 4．正态分布： （1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频 率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数 2 22)(,21)(σμσμσ π?-- = x e x ，),(+∞-∞∈x 的图象，式中的实数σμ,)0(>σ是参数，分 别是总体的平均数与标准差。正态曲线具有以下性质： ① 曲线在____轴的上方，与____轴不相交；② 曲线关于直线______ 对称； ③ 曲线在的最高点的横坐标______；④ 当μ
第35讲离散型随机变量的分布列、期望与方差
专题十一 概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p = A ．0．7 B ．0．6 C ．0．4 D ．0．3 2．(2018浙江)设01p <<，随机变量ξ的分布列是 则当p 在(0,1)内增大时， A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 3．（2017浙江）已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==，(0)1i i P p ξ==-，i =1，2． 若12102 p p <<<，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1() D ξ<2()D ξ D ．1() E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ 4．（2014浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中． （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =．则 A ．()()1212,p p E E ξξ>< B ．()()1212,p p E E ξξ<> C ．()()1212,p p E E ξξ>> D ．()()1212,p p E E ξξ<<
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差 知识点 一、离散型随机变量的数学期望 1.定义 一般地，如果离散型随机变量的分布列为 则称n n i i p x p x p x p x X E +++++=ΛΛ2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。 2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。 3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义 一般地，如果离散型随机变量的分布列为 则称∑=-= n i i i p X E x X D 1 2 )) (()(为随机变量的方差。 2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。 3.性质：)()(2 X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差 如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值 【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝() A.0.2 C．－0.2 D．0.4 【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为() A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________． 【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
离散型随机变量及其分布列均值方差
离散型随机变量及其分布列、均值、方差 一. 基点扫描 1. 离散型随机变量的分布列 （1）随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做_______;如果随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出，这样的随机变量叫做_________. （2）设离散型随机变量ξ可能取的值为12,, ,, i x x x ，且()i i P x p ξ==，则称 为随机变量ξ的分布列。离散型随机变量的分布列的两个性质：①P(ξ=x i )=p i ≥0；②p 1+p 2+……=1 2. 离散型随机变量的均值与方差 （1）若离散型随机变量ξ的概率分布为 称1122i i n n EX x p x p x p x p =++ ++ +为ξ的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的____ （2）乘2 1 () n i i i DX x EX p == -∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程 X 的标准差，记作X σ （3）均值与方差的性质 ①()___________E aX b += ②()___________D aX b += ③22()()(())D X E X E X =- （4）二项分布的均值、方差 若~(,)X B n p ，则______,______EX DX == 二. 例题精讲 1. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B.200 C.300 D.400 2. 样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为 B. 65 D.2 3. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 2 3 ，得到乙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得
高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc
2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差 1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生 在面试时得分的期望值为分． 2．随机变量ξ服从二项分 布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于． 3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ． 4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随 机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下： ξ﹣1 0 1 P a b c 其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是． 6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y= ． ξ 1 2 3 P X y x 7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ． 8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是． 9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲 袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机 抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ． 10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得 分的期望是分． 11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是． X ﹣ 1 0 1 P a c
概率论分布列期望方差习题及答案
圆梦教育离散型随机变量的分布列、期望、方差专题 姓名：__________班级：__________学号：__________ 1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望. 2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数； (2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率． 3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为，出现“×”的概率为.若第次出现“○”，则a=1；出现“×”，则a=.令S=a+a+…+a. (1)当时，求S2的概率；(2)当，时，求S=2且S≥0(i=1,2,3,4)的概率.
4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表： 当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为，且各个问题回答正确与否互不影响． （Ⅰ）按照答题规则，求该选手回答正确但所得奖金为零的概率； （Ⅱ）设该选手所获奖金总数为，求的分布列与数学期望． 5．某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。每套系统都由三种电子模块T1,T2,T3组成（如图所示已知T1,T2,T3正常工作的概率都是，且T1,T2,T3能否正常工作相互独立.(注：对每一套系统或每一种电子模块而言,只要有电流通过就能正常工作.) (I )分别求系统M,N正常工作的概率； (II)设该装I中两套系统正常工作的套数为，求的分布列和期望.
概率分布期望方差(大全)
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X=0）= 33 A 2= 3 1 ； P （X=1）= 33 13A C = 21；P （X=3）=33 A 1 =61； ∴随机变量X 的分布列为 （2）E （X ）=1×21+3×6 1 =1. D （X ）=(1-0)2 · 31+(1-1)2·21+(3-1)2 ·6 1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的均值. 解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P （X=0）=3 109?? ? ??=0001729； P （X=10）=101×2 109??? ??+10 9×12C × 101×109=0001243; P(X=20)= 101×12C × 10 1×109=000118; P(X=50)=109 ×210 1=00019; P(X=60)= 3 101 = 000 11 . 故X 的分布列为
（2）E （X ）=0× 0001729+10×0001243+20×000 118+50×00019+60×00011 =3.3(元). 3（本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优 等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产 品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。 解：（1） 98 7,573514 =?=，即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的 优等品2,5 故乙厂生产有大约2 35145 ? =（件）优等品， （3）ξ的取值为0， 1，2。 211 23323222 555331 (0),(1),(2)10510 C C C C P P P C C C ξξξ?========= 所以ξ的分布列为
离散型随机变量的分布列期望与方差
课题：离散型随机变量的分布、期望与方差 【学习目标】 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布. 2、了解超几何分布,并能进行简单的应用. 3、理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 4、会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题. 【使用说明及学法指导】 1、 先复习选修2-3的有关内容，再认真填写预习案中知识梳理，然后完成预习自测； 2、 课前尽最大可能完成探究案，提高课堂效率； 3、 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论； 预 习 案 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为________,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i=1,2,…,n)的概率为P(X=x i )=p i ,则表 称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的分布列,有时为了简单起见,也用等式________________________表示X 的分布列.(2)分布列的性质 ①________________________; ②∑=n i i p 1 =1. (3)常见离散型随机变量的分布列 ①两点分布 若随机变量X 的分布列为 ,则称X 服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. ②超几何分布 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)= ________,(k=0,1,2,…,m,其中m =min{M,n},且n ≤N ,M ≤N ,n,M,N ∈N * ),称分布列为超 几何分布列.如果随机变量X 的分布列具有下表的形式,则称随机变量X 服从超几何分布. 1．(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下： 则p 为 ( ) A.16 B.13 C.14 D.1 12 资料个人收集整理，勿做商业用途2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )(A)0 (B)21 (C)31 (D)3 2 3.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X 个红球,则随机变量X 4．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________. 【我的疑惑】怎样检验你最后列出的分布列的正确性? ___________________________________________________________________________________ 资料个人收集整理，勿做商业用途 探 究 案 【质疑探究一】离散型随机变量的分布列 【例1】袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中一次任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数字,求: (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;