初中函数中自变量的取值范围的确定好方法
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函数中自变量取值范围的确定
一、整式型:取值范围是全体实数。
例1 求函数y=2x-8的自变量的取值范围。
分析:因为不论x取任意实数,2x-8都有意义,所以x的取值范围是全体实数。
例2 在函数y=x2+3x+9中,自变量x的取值范围是( a )。
a.全体实数
b.x≤0
c.x≠-1
d.x≥0
二、分式型:取值范围是使分母不为零的实数。
例3 y=;
分析:为分式形式:分母2x+1≠0∴x≠-∴x的取值范围为x≠-;
三、偶次根式型:取值范围是使被开方式非负的实数。
例5 y=;
分析:含算术平方根:被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥;
四、函数关系式含0指数和负整指数幂:底数≠0
例6 y=(x-3)0
分析:含0指数,底数x-3≠0 ∴x≠3,x的取值范围为x≠3.
五、以上类的复合型:复合用上面的综合取值范围。
例7 y=
分析:既含分母、又含算术平方根,故∴x≥-2且x≠0
x的取值范围为:x≥-2且x≠0
六、实际问题型
在实际问题中确定自变量的取值范围,主要考虑两个因素:
⑴自变量自身表示的意义.如时间、用油量等不能为负数.
⑵问题中的限制条件.此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围.
当遇到实际问题或几何问题时,自变量的取值还必须符合实际意义或几何意义。例6 甲到乙的铁路长为360千米,一列火车以90千米/时的速度从南京开往上海,h小时后火车距甲s千米,用解析式表示s与h之间的函数关系,并求自变量h 的取值范围(不考虑停站时间)。
分析:火车速度为90千米/时,h小时所行的路程为90h千米,于是s=311-90h。只对函数解析式而言,自变量的取值范围是全体实数。但h表示火车行使的时间,所以自变量h的取值范围是0≤h≤4。
例7、东风学校在2300元的限额内,租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动,每量汽车上至少有一名教师.甲、乙两车载客量和租金如下表:
设租用甲种车x辆,租车费用为y元,求y与x的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
解析:⑴由题设条件可知共需租车6辆,租用甲种车x辆,则租用乙种车辆(6-x)辆.
y=400x+280(6-x)=120x+1680
∴y与x的函数关系式为:y=120x+1680
⑵自变量x需满足以下两个条件:
240名师生有车坐:45x+30(6-x)≥240 ∴x≥4
费用不超过2300元:120x+1680≤2300 ∴x≤5
∴自变量x的取值范围是:4≤x≤5
七、几何图形中函数自变量的取值范围
几何问题中的函数关系式,除使函数式有意义外,还需考虑几何图形的构成条件及运动范围.特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”.例8.若等腰三角形的周长为20cm,请写出底边长y与腰长x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.
解析:底边长y与腰长x的函数关系式为:y=20-2x
①x表示等腰三角形腰长:x≥0
②三角形中“两边之和大于第三边”:2x>y 即2x>20-2x ∴x>5
③等腰三角形底边长y>0,20-2x>0,∴x<10
∴自变量x的取值范围是:5<x<10
总之,确定函数中自变量的取值范围时,首先应找准函数所属的类型,然后根据不同的类型运用相应的方法来加以确定,这样能快速、准确地解决问题,从而收到事半功倍的效果。
另外要注意的是:一次函数和反比例函数的系数k≠0取值范围,以及二次函数系数a≠0 取值范围。