苏教版高中数学必修一第课时——二次函数与一元二次方程

第三十课时二次函数与一元二次方程

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学习要求

1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；

3．体验并理解函数与方程相互转化的

数学思想和数形结合的数学思想．

自学评价

1.二次函数的零点的概念

一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．

2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系

（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；

（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ； （3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）没有零点． 3. 推广 ⑴函数的零点的概念 一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x = ()x D ∈的零点． ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点． 【精典范例】 例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 【解】证法1 ∵∆=()23427650-⨯⨯-=> ∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证． 例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =． 听课随笔 二次函数与

一元二次方程

函数的零点 二次函数的零点与对应 一元二次方程根的关系 函数的零点与

对应方程的关系

二次函数 的零点

（2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -= ∴1a =

∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+．

（3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=， (0)3f =，(2)5f =-， ∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<． 点评:例2进一步体现了利用函数图象研究

函数性质的思想．

例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：

（1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；

（2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；

（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；

（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；

（5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．

分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）．

点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力． 追踪训练一 1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则 （ ） A ．01a ≤≤ B ．02a ≤≤ C ．20a -≤≤ D ．10a -≤≤ 2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则 （ ） A ． ()()x x f b f c ≥ B ． ()()x x f b f c ≤

C ．()()x x f b f c >

D ． ()()x x f b f c < 3. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈_ ___． 4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值范围是_______ __________． 【选修延伸】 一、二次函数与一元二次方程根的关系 例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++ 350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n +的最大值和最小值． 分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式．