苏教版高中数学必修一第课时——二次函数与一元二次方程

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新教材苏教版数学必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学课件

新教材苏教版数学必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学课件

()
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式
ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.
()
提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2) ×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
1 2
,x2=1,所以根据函数y=(2x
+1)(x-1)的图象,可得原不等式的解集为 {x|x< 1 或x>1} .
2
3.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________. 【解析】原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0 的解集为 . 答案:
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.
2.(教材二次开发:习题改编)二次函数y=(2x+1)(x-5)的零点为 ( )
A. 1 ,-5
2
B.- 1 ,5
2
C.2,- 1
5
D.-2, 1
【思考】
(1)有人说:当Δ>0时表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗? 提示:x1,x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元 二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.

高中数学二次函数与一元二次方程教案[整理二套]苏教版 必修1

高中数学二次函数与一元二次方程教案[整理二套]苏教版 必修1
也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置.
思考:当二次函数y=ax2+bx+c(a<0)时,是否也有同样的结论呢?
二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系,可以推广到一般情形.为此,先给出函数零点的概念:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
所以,函数f(x)=2x2+3x-7的图象与x轴有两个不同的交点,即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根.
【例2】求下列函数的零点.
(1)y=-x2-x+20;
(2)y=(x2-2)(x2-3x+2).
方法引导:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题,反之也成立.这是函数与方程的统一.
【例1】求证:一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根.
师:根据我们前面研究的结论,你觉得应该如何完成上题的证明呢?
(生交流得出如下结论)
证法一:因为一元二次方程2x2+3x-7=0的判别式Δ=32-4×2×(-7)=65>0,所以方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根.
证法二:设f(x)=2x2+3x-7,因为函数的图象是一条开口向上的抛物线,且顶点在x轴的下方,即f(- )=2(- )2+3×(- )-7=-7<0.
(师生共同结合函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的不同情形,得出如下结论)
知识拓展:
设二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0),相应的二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0),其判别式

《二次函数与一元二次方程》word教案 (公开课获奖)2022苏教版

《二次函数与一元二次方程》word教案 (公开课获奖)2022苏教版

二次函数和方程课型:新授一、学习目标:1、使学生能熟练地画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,并能结合图象初步能判断a、b、c的符号。

2、结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式、方程的关系。

二、〔一〕复习旧知:1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是_______,顶点坐标是___________。

2、无论x取任何实数,函数y=x2+2x-3中,函数值y的取值范围是〔〕A、y≥-4B、y≤-4C、y≥-3D、取任何实数3、当0≤x≤5时,函数y=3x2-12x+5的取值范围是________________4、在右图中:〔1〕当x满足_________时,y=0 〔2〕当x满足_________时,y>0〔3〕当x满足_________时,y<0〔二〕自主探究问题1:想一想,如何根据图象确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的符号,〔1〕a的符号与抛物线的___________有关,有什么结论?______________________________________〔2〕抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标是________因此抛物线与y轴的交点:①在y轴正半轴上时,c与0的大小关系是___________;②在y轴负半轴上时,c与0的大小关系是___________;③在原点时,c与0的大小关系是___________。

〔3〕对称轴与_____ 有关,如何确定b的符号?〔4〕二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图,那么〔〕A、a<0,b>0,c<0B、a<0,b<0,c>0,C、a<0,b<0,c<0,D、a<0,b>0,c>0三、例1、〔1〕二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图,那么你能判断出以下量的符号吗?a___0;b___0;c____0;abc___0、2a+b___0、a+b+c___0、a-b+c___0、b2-4ac___0 、4a+2b+c____0。

39.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)

39.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)

2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)教学目标:1.让学生熟练掌握二次函数的图象,并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的作用 4.培养学生动手操作的能力教学重点:确定方程实数根的个数教学难点:通过计算器或计算机做出函数的图象 教学过程: 引入问题 问题1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系?通过复习二者之间的关系引出新课(板书课题):一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根也称为函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点.1.函数零点的定义:对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.这样,函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根,也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标. 2.零点的一般结论方程()0f x =有实数根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点问题2.如何判断一元二次方程的零点的个数?对二次函数图象中零点的观察可得如下性质.零点个数 2个 2个相等的零点 0个练习: (课时训练P59例2)求实数k 的取值范围,使关于x 的方程1x k x+=有两个不相等的实根.解法一: (数形结合法) 阅读课时训练P20页,利用函数1y x x=+的图象求解.解法二: (判别式法)原方程可化为210x kx -+=,由题意可得240k ∆=->,∴2k >或2k <-.∴2k >或2k <-时, 方程1x k x+=有两个不相等的实根.3.零点的性质对于任意函数()y f x =,只要它的图象是连续不间断的,则有 (1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点1-时,函数值由正变为负,再通过第二个零点3时,函数值又由负变成正. (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.4.注意点(1)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点.(2)如方程有二重实数根,可以称函数有二阶零点.阅读课本P75页例2例2的结论:由例2的结论可推广得下面的定理5.勘根定理 (介值定理) (根的存在性定理) 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的实数根.题型1.零点的判断 例1.函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .1(1,)e和(3,4) D .(,)e +∞分析:从已知的区间(,)a b ,求()f a 和()f b ,判断是否有()()0f a f b ⋅<. 解析:因为(1)20,(2)ln 210f f =-<=-<, 故在(1,2)内没有零点,非A. 又2(3)ln 303f =->,所以(2)(3)0f f ⋅<, 所以()f x 在(2,3)内有一个零点,选B.例2.若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一解,求实数a 的取值范围. 分析:令2()21f x ax x =--在(0,1)内恰有一解,则(0)(1)0f f ⋅<,解出a . 解析:令2()21f x ax x =--,因为方程在(0,1)内恰有一解, 所以(0)(1)0f f ⋅<,即1(22)0a -⋅-<,解得1a >.练习: (课本P74例1)分析: 证法一,利用0∆>,证明得方程有两个不相等的实数根.证法二,利用二次函数的图象特征: 其开口向上(a >) 且(0)0f <则函数的图象必与x 轴有两个不同的交点.()0af m < 还有其它证法吗?提示:可以求最小值小于0. 还有配方法!问题3.如果二次开口向下呢?如何证明方程仍有两个不同的实数根? 一定要用(0)f 才行吗?你能分类说出二次函数有两个实数根,证法二的一般规律吗?结论: 二次函数2() (0)f x ax bx c a =++≠, 若满足0,0,()0,()0.a a f m f m ><⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或,则方程20 (0)ax bx c a ++=≠必有两个不相等的实数根.即:题型2.零点的个数计算例3.求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数.分析:求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根,有几个实数根的方法,其步骤是:(1)利用计算器或计算机作,()x f x 的对应值表; (2)作出函数()y f x =的图象; (3)确定()y f x =的单调性;(4)若在区间[,]a b 上连续,并且有()()0f a f b ⋅<,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个实数根;(5)结合单调性确定其定义域内零点个数,即实数根个数. 结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察.分析: 可以判断其为(0,)+∞上的增函数∵(2)(ln 22)0,(3)ln30f f =-<=>, ∴(2)(3)0f f <∴在(2,3)区间上有一个实数根,且该零点有且仅有一个.例4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中,0a c ⋅<,则函数的零点个数是( )A .1个B .2个C .0个D .无法确定分析:分析条件0a c ⋅<,a 是二次项系数,确定抛物线的开口方向,(0)c f =,所以(0)0a c a f ⋅=⋅<,由此得解.解:因为(0)c f =,所以(0)0a c a f ⋅=⋅<,即a 与(0)f 异号,即0(0)0a f >⎧⎨<⎩或(0)0a f <⎧⎨>⎩ 所以函数必有两个零点,故选B.题型3.二次函数的图象上其它特征点的信息捕捉 练习: (课时训练P59例1 练习1)二次函数2y ax bx c=++则点(,)cP a b在 ( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:开口向下可得0a <, 令0x =可得0c >,对称轴在x 轴右方可得02ba->, 即得0b >.∴0,0c a b <>,即点(,cP a b在第二象限, 应选B.小结: 二次函数的系数的符号与三个条件有关:①开口方向(a ) ; ②与y 轴的交点 (c ) ; ③对称轴在y 的哪侧 (2ba-) .试一试: 应用此法可立即解得课堂练习1 2 的答案为? D D例4. (课时训练P59练习3)如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(-1,0) .(1)试确定a b c ++的符号;(2)求证:方程20ax bx c ++=的另一根0x 满足0(3)求证: 0b a << .解析:(1)如图知,(1)0f a b c =++>. (2)由图象知,(0)0f <, 又∵(1)0f >, ∴()f x 的另一个零点在区间(0,1)上.即方程20ax bx c ++=的另一根0x 满足001x <<; (3)∵图象开口向上, ∴0a >.又∵(1)0f -=, ∴0a b c -+=.而0c <, ∴0a b c -=->, 即a b >.∵(1)0f a b c =++>, 0a b c -+= ,∴()20a b c a b c b ++--+=>, 即得0b >. ∴0b a << .作业布置: 课时训练.。

苏教版 高中数学必修第一册 从函数观点看一元二次方程 课件1

苏教版 高中数学必修第一册  从函数观点看一元二次方程 课件1
3.3.1从函数观思考]
二次函数的零点与一元二次方程有何关系?零点是个点吗?
提示 二次函数的零点即对应一元二次方程的根,也是函数图象与x轴交点的横坐标.零点不是点,是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值为零.
二次函数零点的判断 【例1】 判断下列函数是否存在零点,若存在,求出零点.
随堂测试
2.已知二次函数的图象如图所示,则此函数的零点为_ 【解析】因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,1,所以此函数的零点为-1,1. 答案:-1,1
(1)y=-x2+2x+3. (2)y=x2-x-6. (3)y=2x2+3x+2.
解 (1)由y=-x2+2x+3=0, ∵Δ=4+4×3=16>0, ∴方程有两个不等实根,得x1=-1,x2=3.
二次函数y=-x2+2x+3有两个零点-1和3. (2)由y=x2-x-6=0得x1=-2,x2=3.∴二次函数y=x2-x-6有两个零点-2和3. (3)由2x2+3x+2=0得Δ=9-4×2×2=-7<0. ∴方程没有实数根,即二次函数y=2x2+3x+2没有零点.
规律方法 二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根,判断是否有零点,即用Δ=b2-4ac判断一元二次方程的根的情况,解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象,图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.
1.若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定 【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.

高一数学教案:苏教版三角函数二次函数与一元二次方程

高一数学教案:苏教版三角函数二次函数与一元二次方程

高一数学二次函数与一元二次方程教案高邮市送桥中学知识目标:(1)会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。

(2)理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。

能力目标:体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。

情感目标:培养学生积极探索,主动参与,大胆创新,勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入等式20ax bx c ++=()0a ≠是关于x 的一元二次方程,关系式2y ax bx c =++()0a ≠则是关于自变量x 的二次函数。

今天我们将进一步研究它们之间的关系。

二、新授 观察思考:1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数,如①方程2230x x --=与函数223y x x =--;②方程2210x x -+=与函数221y x x =-+; ③方程2230x x -+=与函数223y x x =-+。

研讨探究问题:一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ? 探究点一:二次函数图象与一元二次方程根的关系。

⑴以①为例(幻灯片)结论:一元二次方程2230x x --=的判别式∆>0 ⇔一元二次方程2230x x --=有两个不相等的实数根⇔对应的二次函数223y x x =--的图象与x 轴有两个交点为(3,0),(–1,0)。

(2)再研究②③,能得类似的结论吗?结论:一元二次方程2210x x -+=判别式∆=0一元二次方程2210x x -+=⇔有两等根⇔对应的二次函数221y x x =-+的图象与x 轴有唯一的交点为(1,0)。

一元二次方程判别式2230x x -+=∆﹤0 ⇔一元二次方程2230x x -+= 方程无实数根⇔对应的二次函数223y x x =-+的图象与x 轴没有交点。

联想发散2、一元二次方程20a x b x c ++=(a >0)根的个数及其判别式与二次函数2y a x b x c =++(a >0)图象与x 轴的位置之间有什么联系?)以a >0为例,如下表所示:思考:当二次函数2y ax bx c =++(a ﹤0)时,是否也有类似的结论呢? 探究点二:函数的零点一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的的实数根就是二次函数c bx ax y ++=2的值为零时自变量的x 的值,也就是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的横坐标,因此一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的的实数根也称为二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的零点。

高中数学 二次函数与一元二次方程课件 苏教版 精品

高中数学 二次函数与一元二次方程课件 苏教版 精品

解:①当 m 0时, f (x) 3x 1 , 由 f (x) 0 得 x 1 0 ,满足题意,故 m 0 3
②当 m 0 时,对于二次函数 f (x) mx2 (m 3)x 1
由 f (0) 1,得函数图象恒过点0,1
0
当m 当m
00时时,,如如图图,
m3 2m
0
m 9或0 m 1;
例 4、 若关于 x 的二次方程 4x2 4(m 1)x m 2 0 的两
根, 满足 0 1 2 ,求实数 m 的取值范围。
解:令 f (x) 4x2 4(m 1)x m 2
f (0) 0 m 2 0

f f
(1) 0 (2) 0
2 3m 0 10 7m 0
高一数学组
一、复习引入
1、一元二次函数的一般形式是: 一元二次函数: f (x) ax2 bx c
( a、b、c 为常数且 a 0 )
当函数f(x)=0时就是我们学过的
一元二次方程:
ax2 bx c 0( a、b、c 为常数且 a 0 )
二、讲授新课 一元二次方程的根与二次函数的图象的关系
2 3
m
10 7
即实数 m 的取值范围为: ( 2 , 10) 37
试解相关题:求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x2 2x m 1 0
⑴有两个不相等的负根;
⑵有两个实根,且一根比 2 大,另一根比 2 小;
解:令 f (x) x2 2x m 1,对称轴为 x 1
(1) f (x) 0 有两个不相等的负根,结合
解:⑴由图 (1, 0) 到对称轴的距离 比 (1, 0) 到对称轴的距离远 ∴ f (1) f (1) 0 即 a b c 0

高中数学二次函数与一元二次方程教案 苏教版 必修1

高中数学二次函数与一元二次方程教案 苏教版 必修1
①对任意实数x1≠x2,且f〔x1〕=f〔x2〕时,满足x1+x2=2;
②对任意x1、x2∈〔1,+∞〕,总有f〔 〕> .
那么方程ax2+bx+1=0根的情况是
A.无实数根B.有两个不等正根
C.有两个异号实根D.有两个相等正根
方法探究:〔1〕此题由条件①,知函数f〔x〕的对称轴为x=1;由条件②,知函数f〔x〕是凸函数,即a<0;再由函数f〔x〕的表达式,知f〔x〕的图象过点〔0,1〕.根据这三点,可画出函数f〔x〕的草图,如以下图,发现函数f〔x〕与x轴交点的位置,可知f〔x〕=0有两个异号实根,故应选C.
我们能从二次函数的图象看到零点的性质:
1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时〔不是二重零点〕,函数值变号.
例如,函数y=x2-x-6的图象在零点-2的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-2时,函数值由正变负,再通过第二个零点3时,函数值又由负变正.
2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
2.〔1〕作出函数图象,因为f〔1〕=1>0,f〔1.5〕=-2.875<0,所以f〔x〕=-x3-3x+5在区间〔1,1.5〕上有一个零点.
又因为f〔x〕是〔-∞,+∞〕上的减函数,所以f〔x〕=-x3-3x+5在区间〔1,1.5〕上有且只有一个零点.
〔2〕作出函数图象,因为f〔3〕<0,f〔4〕>0,所以f〔x〕=2x·ln〔x-2〕-3在区间〔3,4〕上有一个零点.
二次函数与一元二次方程〔2〕
三维目标
一、知识与技能
1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义.
2.继续了解函数的零点与对应方程根的联系.
3.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质.
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第三十课时二次函数与一元二次方程
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的存在性及根的个数;
2.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间;
3.体验并理解函数与方程相互转化的
数学思想和数形结合的数学思想.
自学评价
1.二次函数的零点的概念
一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的零点.
2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
(1)一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等的实数根1x ,2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ,()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)有两个不同的零点1x ,2x ;
(2)一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴有唯一的交点为(1x ,0)⇔对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)有两个相同零点1x =2x ; (3)一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)没有零点. 3. 推广 ⑴函数的零点的概念 一般地,对于函数()y f x =()x D ∈,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x = ()x D ∈的零点. ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点. 【精典范例】 例1:求证:一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根. 【解】证法1 ∵∆=()23427650-⨯⨯-=> ∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根. 证法2 设2()237f x x x =+-, ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线,且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点,即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根. 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明.也可仿照证法2,由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证. 例2:右图是一个二次函数()y f x =的图象. (1)写出这个二次函数的零点; (2)写出这个二次函数的解析式; (3)试比较(4)(1)f f --,(0)(2)f f 与0的大小关系. 【解】(1)由图象可知此函数的零点是:13x =-,21x =. 听课随笔 二次函数与
一元二次方程
函数的零点 二次函数的零点与对应 一元二次方程根的关系 函数的零点与
对应方程的关系
二次函数 的零点
(2)由(1)可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -= ∴1a =
∴()(3)(1)f x x x =-+-.即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+.
(3)∵(4)5f -=-,(1)4f -=, (0)3f =,(2)5f =-, ∴(4)(1)200f f --=-<,(0)(2)150f f =-<. 点评:例2进一步体现了利用函数图象研究
函数性质的思想.
例3:当关于x 的方程的根满足下列条件时,求实数a 的取值范围:
(1)方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2,另一个小于2;
(2)方程2340ax x a ++=的两根都小于1;
(3)方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上;
(4)方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上;
(5)方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-.
分析:可将方程的左端设为函数,结合二次函数图象,确定a 的不等式(组).
点评:二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带,函数综合题往往以二次函数为载体,考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等,考查形式灵活多样,考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等,高考在此设计的难度远远高于课本要求,在学习中一方面要加强训练,一方面要提高分析问题、解决问题的能力. 追踪训练一 1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ,则 ( ) A .01a ≤≤ B .02a ≤≤ C .20a -≤≤ D .10a -≤≤ 2. 设2()f x x bx c =-+,(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-,则 ( ) A . ()()x x f b f c ≥ B . ()()x x f b f c ≤
C .()()x x f b f c >
D . ()()x x f b f c < 3. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内,则m ∈_ ___. 4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数,则(2)f 的取值范围是_______ __________. 【选修延伸】 一、二次函数与一元二次方程根的关系 例4:已知m ,n 是方程22(2)x k x k +-++ 350k +=(k R ∈)的两个实根,求22m n +的最大值和最小值. 分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系.要求22m n +的最值,首先要考虑根与系数的关系,并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式.
点评:这是一个与一元二次方程根有关的问题,必须先确定k 的取值范围,否则无法确定函数()f k 的单调性. .
追踪训练二
1. 若方程2210ax x --=在()0,1内恰有 一解,则a 的取值范围是( )
A .1a <-
B .1a >
C .11a -<<
D .01a ≤<
2.已知()()()2f x x a x b =---()a b <,并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<,则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )
A .a b αβ<<<
B .a b
αβ<<< C .a b αβ<<< D .a b αβ<<<
3.不等式2
23222x kx k
x x >++++对一切实数x 都
立,则k 的取值范围是 .
4. 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+,其中a b c >>,且(1)0f =, (1)求证:两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ; (2)求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围.。

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