函数待定系数法
高中数学：2.2.3待定系数法 _1
第二章 函 数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析 式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)， 又经过(－1，0)， 所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1， 所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3， 所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
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第二章 函 数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函 数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
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第二章 函 数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球， 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图 所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最 高处 B 点的坐标是(6，5)．
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第二章 函 数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式， 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们 可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
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第二章 函 数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点， 其中一交点为(1，4)，则另一交点为________． 解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1， 得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝ ＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14， 答案：－14，14
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第二章 函 数
求二次函数的解析式 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．
待定系数法求一次函数解析式题目和解析过程
待定系数法求一次函数解析式题目和解析过程摘要：1.待定系数法简介2.一次函数的概念和形式3.如何使用待定系数法求一次函数解析式4.解析过程示例5.总结正文：1.待定系数法简介待定系数法是一种数学方法，通过给定一些未知数的系数，然后根据已知条件建立方程组，求解这些系数，从而得到未知数的值。
这种方法在求解函数解析式时被广泛应用。
2.一次函数的概念和形式一次函数是指形如y=ax+b 的函数，其中a 和b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
在这个函数中，a 被称为斜率，它表示函数图像的倾斜程度；b 被称为截距，它表示函数图像与y 轴的交点。
3.如何使用待定系数法求一次函数解析式求解一次函数解析式的一般步骤如下：（1）确定函数的形式。
根据已知条件，先假设函数的形式为y=ax+b。
（2）列出方程组。
根据题目所给的条件，列出关于a 和b 的方程组。
（3）解方程组。
通过求解方程组，得到a 和b 的值。
（4）写出解析式。
将求得的a 和b 代入原假设的函数形式中，得到待求函数的解析式。
4.解析过程示例例如，如果已知函数经过点(1,2) 和(2,4)，求该函数的解析式。
（1）假设函数形式为y=ax+b。
（2）列出方程组：a +b = 22a + b = 4（3）解方程组：将第一个方程变形为b = 2 - a，代入第二个方程得到2a + (2 - a) = 4，解得a = 2，再代入第一个方程得到b = 0。
（4）写出解析式：y = 2x。
5.总结待定系数法是求解一次函数解析式的有效方法，通过给定系数，建立方程组，求解系数，从而得到函数解析式。
一次函数待定系数法
一次函数待定系数法一次函数待定系数法是解决一元一次方程组的一种常用方法，通过设定待定系数，将方程转化为未知数为常数的形式，从而求出未知数的值。
一次函数待定系数法也被广泛用于物理学、经济学等领域的实际问题求解。
设一元一次方程为ax+b=0，其中a、b为常数，为求解方程，设未知数为x，待定系数为k，即：x=k将x=k代入原方程，得：ak+b=0此时方程的未知数为常数k，将a、b看作已知量，可以直接求解出k的值，从而得到方程的解。
值得注意的是，待定系数的设定需要根据具体情况来确定，一般应该设定为能够使计算简便、公式简单的值。
例题一：已知一元一次方程2x+3=7，试用待定系数法求解该方程。
2k+3=7将方程移项并合并同类项，得到：2k=4于是得到待求的未知数k为：方程的解为：3k-5=16一次函数待定系数法的优点是计算简便、易于掌握，适用于一些简单的问题求解。
该方法不仅可以用于未知数为常数的一元一次方程，还可以推广到一些更高阶的方程组求解，例如二元一次方程组、二元二次方程组等。
一次函数待定系数法的缺点是其需要设定待定系数，而待定系数的选择对结果有决定性影响。
如果待定系数选择不合适，有可能会导致答案错误。
在一些复杂的问题求解中，一次函数待定系数法可能不太适用，对于这些问题，需要采用其他更加复杂的方法进行求解。
结束语一次函数待定系数法是解决一元一次方程组常用的方法之一。
本文主要介绍了一次函数待定系数法的原理、优点和缺点，并通过例子进行了实际练习。
希望本文对读者掌握一次函数待定系数法有所帮助。
一次函数待定系数法是学习数学时必须掌握的基础内容，适用范围广泛，应用于物理学、经济学等领域的实际问题求解。
在应用中，一次函数待定系数法具有数值计算快捷和解法简单等优点，但同时存在着较为明显的一些不足之处。
一次函数待定系数法的优点之一是计算速度快，能够在较短时间内求得答案。
这是由于该方法以待定系数为中心，旨在通过设定合适的待定系数，将方程转换为未知数为常数的形式，从而使得计算更为简便。
待定系数法求函数解析式(1)
(2) 把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方 程或方程组．
(3) 解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．
2
3. 函数解析式
k 反比例函数 y (k 0) x 正比例函数 y kx(k 0)
一次函数 y kx b(k 0)
y ax 2 bx c(a 0) 二次函数
5
m y 的图 例2、已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 x 象的两个交点. (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
6
例3、已知：反比例函数 y 和一次函数 y mx n 图象的一个交点为A(-3,4)且
次函数的解析式.
待定系数法求函数解析式（1）
北京市数学高级教师 郭洁
1
内容提要：
1. 待定系数法：在许多数学问题或实际问题中，建立了函数的模型后，
需要求出其中的待定的系数（这可以通过列方程组并且解这个方程组 求出），从而求出函数的解析式，这种方法叫做待定系数法．
2. 待定系数法的步骤：
(1) 写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数(需要确定这些系数， 因此叫做待定系数）
y
A(-2,1) 与x轴的交点到原点的距离为5. 分别确定反比例函数和一
7
m 例4、如图，一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y 的图象交于A，B两 x 点．则反比例函数的解析式为_________________，一次函数的解析式为 _________________，SAOB _________________．
3
典型例题：
例1、已知y与x成反比例，并且x=3时，y=7．求：
二次函数待定系数法
二次函数待定系数法二次函数待定系数法是一种常用的参数估计方法，它可以用来评估二次函数的未知系数和参数。
该方法的核心思想是，通过观察函数的图像，获取未知参数的近似值，将其作为函数参数的初值，然后用迭代法来逼近它们的准确值。
二次函数待定系数法用于描述连续变化的事物，它具有准确性、稳定性和可拓展性等优点，可以准确表征曲线的弯曲程度，所以在实际应用中，常常被广泛使用。
二、二次函数待定系数法的实现步骤（一）构造二次函数模型首先，我们要构造二次函数模型，它由三个参数组成：函数上凸系数a、函数下凸系数b、函数拐点c。
二次函数模型的数学表达式可以用如下形式表示：y=ax2+bx+c（二）求取函数参数参数a、b、c是二次函数的“待定系数”，要获取这三个参数的准确值，可以通过以下迭代法来求取：①确定函数上凸系数a：首先，在函数图像上观察，求取函数的1/4顶点坐标（x1，y1），然后用以下公式：a=4(y1-c)/x1出参数a 的值；②确定函数下凸系数b：在函数图像上观察，求取函数的3/4顶点坐标（x2，y2），然后用以下公式：b=4(y2-c)/x2出参数b的值；③确定函数拐点c：通过将第①步和第②步求出的参数a和b代入到函数模型中，求出参数c的值。
（三）迭代法为了接近参数a、b、c的准确值，需要用迭代法对参数进行调整，使函数图像尽可能地拟合实际事件。
（四）最小二乘法在迭代的过程中，需要用最小二乘法确定参数的最佳状态：S=∑（y-y）2y=ax2+bx+c其中，S为误差平方和，“y”为实际数据，“y”为拟合函数值，a、b、c是待定系数。
参数a、b、c调整到使“S”最小的状态下，此时参数a、b、c的值就是最合适的数值，函数拟合实际事件的精度也就最高了。
三、二次函数待定系数法的应用二次函数待定系数法可以应用于多个领域，以优化事件及其关系的表达，其中包括：1、工程计算2、医学研究3、预测分析4、机器学习5、机器人控制这些领域都有一系列的实际物理参数，这些物理参数可以用二次函数待定系数法描述，从而更加准确、精确地表征事件及其关系，从而做出更准确的决策和预测。
课件2：2.2.3 待定系数法
点(20，16).
16 a • (20 0) (20 40) 解得 : a 1
25
评价 选用交点式求解，
方法灵活巧妙，过 程也较简捷
所求抛物线解析式为: y 1 x( x 40) 25
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交桥拱， 这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现把它的图形放 在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
数为y=ax2+bx+c，其中a、b、c待定
一般地，再求一个函数时，如果知道这个函数的一 般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定， 然后根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定 系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法
例1 ：已知一个二次函数f（x）， f（0）=-5， f（-1） =-4， f（2）=5，求这个函数.
课堂例选
例3、掘港正大公司北侧，有一个抛物线形的立交桥拱，
这个桥拱的最大高度为16m，跨度40m．现把它的图形放
在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式． 解：设抛物线为y=a(x-h)2＋k
由题意可知:抛物线的顶点为(20,16),且经过
点(0，0).
0 a(0 20)2 16即 : a 1 评价 利用条件中的顶
解:设所求二次函数为f（x）=kx+b. 其中k，b待定.
根据条件，得方程组
（2 2k b）-（3 k b） 5 2b （ k b） 14a 2b
c
5即 kk
-b 5 b 1
解此方程组得k 3, b 2
因此，所求函数为y 3x 2
练习1
已知：二次函数的顶点（2，1），且图象经过点P（1， 0）.求：二次函数的解析式.
待定系数法求一次函数解析
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未知参数较多或未知参数之间的关系不明确
待定系数法更为适用，可以通过设立方程组求解。
与其他方法的结合使用
• 在某些情况下，可能需要结合待定系数法和点斜式或两点式来 求解一次函数的解析式。例如，已知一点和斜率，同时还需要 确定其他参数时，可以先使用点斜式得到初步的函数解析式， 再结合待定系数法求解其他参数。
实例二：已知与x轴交点求一次函数解析式
总结词
利用与x轴交点坐标求一次函数解析式
VS
详细描述
给定一次函数与x轴的交点$(x_0, 0)$，通 过待定系数法可以求出一次函数$y = kx + b$的解析式。首先，根据交点坐标计算斜 率$k = frac{0 - b}{x_0 - 0} = frac{b}{x_0}$，然后代入交点坐标$(x_0, 0)$求出截距$b = 0 - kx_0$，最终得到一 次函数解析式。
实例三：已知与y轴交点求一次函数解析式
总结词
利用与y轴交点坐标求一次函数解析式
详细描述
给定一次函数与y轴的交点$(0, y_0)$，通过 待定系数法可以求出一次函数$y = kx + b$ 的解析式。首先，根据交点坐标计算截距 $b = y_0$，然后根据斜率$k$和截距$b$ 的关系计算斜率$k = frac{y_0 - b}{0 - 0} = frac{y_0 - y_0}{0} = 0$，最终得到一次函 数解析式。
03
待定系数பைடு நூலகம்求一次函数解析 步骤
设定一次函数形式
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是待 求的系数。
根据题目条件，设定一次函数的具体形式，例如 $y = kx + b$。
2.2.3待定系数法
在解应用问题时，我们常用一个字母， 如x，y，z，……来表示未知数，然后根据问 题的条件列方程求解. 在解决某些问题中， 有时要根据条件确定一个未知函数.
例如已知一个正比例函数的图象通过点 (－3，4)，求这个函数的解析式.
为此，我们可设所求的正比例函数为 y=kx(k≠0) ，其中k待定.
ax2 bx c a' x2 b' x c' b b' c c'
例4. 对于任意的实数x，都有
2x2+x-3 =(x－1)(ax+b),求a,b
例4. 对于任意的实数x，都有
2x2+x-3 =(x－1)(ax+b),求a,b
解：(x－1)(ax+b)= ax2+bx-ax -b
解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1） (a≠0) y
由条件得：
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
设二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点，
通常选择一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
练习：三高P26: 5、11题
例4. 已知f(x)是一次函数，且有2f(2) －3f(1)=5，
2f(0) －f(－1)=1，求这个函数的解析式. 解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b， (k≠0).
由题知 2(2k b) 3(k b) 5
2b (k b) 1
• 一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0) • 两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
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函数待定系数法教学设计 教学目标
1.理解待定系数法；
2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．
3、体会用"数形结合"思想解决数学问题．
教学重难点
待定系数法确定一次函数解析式
教学过程
一、提出问题，创设情境
一次函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k 和b 呢？
问题1 已知一个一次函数当自变量x ＝-2时，函数值y ＝-1,当x ＝3时，y ＝-3．能否写出个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y ＝kx ＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k 与b 的值．
由已知条件x ＝-2时，y ＝-1，得 -1＝-2k ＋b ．
由已知条件x ＝3时，y ＝-3， 得 -3＝3k ＋b ．
两个条件都要满足，即解关于x 的二元一次方程
解得 k=-0.4,b=-1.8
所以，一次函数解析式为． y=-0.4x-1.8
问题2 已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．
考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x 、y 有什么关系？
二、导入新课
上题可作如下分析：
已知y 是x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是y ＝kx ＋b 的形式，所以要求的就是系数k 和b 的值．而两个已知条件就是x 和y 的两组对应值，也就是当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k 与b 的二元一次方程组，进而求得k 与b 的值．
解 设所求函数的关系式是y ＝kx ＋b(k≠0),由题意，得 ⎩⎨
⎧+=+⨯=b k b k 42.706
解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==6
3.0b k
所以所求函数的关系式是y ＝0.3x ＋6．(其中自变量有一定的范围)
讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k 和b 的过程，转化为关于k 和b 的二元一次方程组的问题．
2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．
问题3 若一次函数y ＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m 的值．
分析 考虑到直线y ＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x 和y 的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y 表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x ＝0时，y ＝3，求m ．即求关于m 的一元一次方程．
解 当x ＝0时，y ＝3．即：3＝-(m-2)．解得m ＝-1．
这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法
三、例题与练习
例1 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(3,5)和点(-4，-9),求当x ＝5时，函数y 的值． 分析 1．图象经过点(3,5)和点(-4，-9)，即已知当x ＝3时，y ＝5；x ＝-4时，y ＝-9．代入函数解析式中，求出k 与b ．
2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x ＝5时，函数y 的值，仍需从求函数解析式着手．
解 由题意，得 ⎩⎨⎧+-=-+=b
k b k 4935 解这个方程组，得 ⎩⎨
⎧-==12b k 这个函数解析式为y ＝2x-1
当x ＝5时，y ＝2×5-1＝9．
例2 若直线y ＝-kx ＋b 与直线y ＝-x 平行，且与y 轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式. 分析 直线y ＝-kx ＋b 与直线y ＝-x 平行，可求出k 的值,与y 轴交点的纵坐标为-2,可求出b 的值.
解 因为直线y ＝-kx ＋b 与直线y ＝-x 平行，所以k ＝-1,又因为直线与y 轴交点的纵坐标为-2,所以b ＝-2,因此所求的直线的表达式为y ＝-x-2.
四、课时小结
本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法。
求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y ＝kx ＋b(k≠0)中两个待定系数k 和b 的值；
五、课后作业
1.根据下列条件写出相应的函数关系式．
(1)直线y ＝kx ＋5经过点(-2,-1)；
(2)一次函数中，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝-1时，y ＝7．
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)．
3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y （元）与行李重量x （千克）之间的函数关系．
4.一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．。