多面体与球的接切问题练习题

多面体与球的接切问题

⏹ 一、球的体积V=______,表面积S=_________

⏹ 二、如何确定简单多面体的外接球以及内切球

学习目标：

⏹ 1.会计算简单多面体与球的接切问题。

⏹ 2.提高空间想象能力以及计算能力。

专 题 要 点

(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)

(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：

①外接球：球心是正方体中心；半径r ＝32a(a 为正方体的棱

长

)； ②内切球：球心是正方体中心；半径r ＝a 2(a 为正方体的棱长)； ③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝22a(a 为正方体的棱长)．

①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝

6

4

a(a为正四面体

的棱长)；

②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝

6

12

a(a为正四面体

的棱长)．

专题讲解

⏹例、求棱长为1的正四面体的外接球的体积

⏹例、棱长为3的正方体的顶点都在一个球面上，求该球的表面

积

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⏹小结：

⏹在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都

相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

⏹结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．⏹结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．⏹结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连

线的中点．

⏹结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计

算找到

⏹若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面

体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

⏹1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面

体各顶点的距离均相等。

⏹2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

⏹3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

⏹4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

⏹5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

巩固拓展：