用作图法解决问题
四年级下册数学教案-5.3用画图的策略解决问题丨苏教版
《用画图的策略解决问题》教学设计【教学目标】1、学生在解决问题的过程中学会用画图的方法整理信息，会分析图中的信息以获取正确的解题思路。
2、学生在经历、感悟、反思中认识画图对于解决问题的价值并形成画图和识图的技能，积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识。
3、增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心。
【重点难点】重点：经历画图过程，感受画图过程，运用画图的策略解决有关问题。
难点：学会画示意图，并通过分析数量关系解决相关问题。
【教学过程】一、复习铺垫1、依次出示：师：同学们，你们会做吗？看谁又快有准。
（指名学生迅速回答）师：老师出一个题，你们来抢答，长方形的面积是56平方米，宽是8米，长是多少米？（学生抢答）师：看来同学们对长方形的面积计算的知识掌握得很好。
谁来当小老师，提一个关于长方形面积计算的问题，同学们来抢答。
（学生回忆起长方形面积、长和宽之间的关系）2、激趣导入师：同学们，你们想到罗老师的家乡去看看吗？（出示小视频）最近，我们村里为了建设得更加美丽，正在做进一步修建，这块长方形花圃也在这次改建的范围内，改建后，要求仍然是一个长方形。
你会怎么设计呢？谁来说说看？（课件）（学生说出自己的想法，教师给予肯定）师：你能把自己的设计想法画出来吗？（学生在“小小设计师卡1”当中作图，师巡视找出不同的设计方案）师：（展示学生作品）你们能说说他是怎样改建的吗？与原来的长方形比较面积、长和宽发生了什么变化？（预设：长增加，宽不变，面积增加；宽增加，长不变，面积增加；长和宽同时增加，面积增加；宽减少，长不变，面积减小；长减少，宽不变，面积减少。
）师：其实，设计方案还有很多种，通过这节课的学习，你肯定还能设计出更多的方案。
根据我们学校的实际情况，作出了以下的改建方案。
（出示例题）二、探究新知1、出示例题：井头湾村有一块长方形花圃，长8米。
在修建乡村时，花圃的长增加了3米，这样面积就增加了18平方米。
作图法解题-悦读越好
作图法解题作者悦读越好解决应用题一般有四个步骤：第一步：弄清已知条件和问题；第二步:分析数量关系；第三步:列式计算；第四步:检验作答。
其中：前两步是关键。
怎么分析问题呢？有时候可以借助于画图来分析问题，比如例1。
例1.一个木器厂要生产一批桌子。
原计划每天生产48张，实际每天比原计划多生产2张，结果提前一天完成生产任务。
原计划要生产多少张桌子？在看本文分析之前，大家可以自己先动手做一下，然后我们给出我们的解题方法。
分析：要求原计划生产多少张，也就是原计划的生产总量，拿原计划每天的工作量乘原计划的天数就可以了，题目中只有每天的量没有天数，因此需要先求出计划天数。
或者，原计划的生产总量与实际的生产总量相同，因此用实际每天的生产量乘实际的天数也是可以的。
同样，题目只有实际每天的生产量，没有实际的天数，因此如果能够求出实际的天数也能解决问题。
本题在不用方程的情况下，可以用作图法解法解决。
图1 图2图1中长方形的长代表计划的天数，宽代表计划的每天的生产量，那么图1的面积就是计划生产总量。
图2中长方形的长代表实际的天数，宽代表实际的每天的生产量，那么图2的面积就是实际生产总量。
比较图1和图2，图2的长比图1的长“少一天”，图2的宽比图1的宽“多2个”。
我们知道，计划的生产总量和实际的生产总量是一样，因此将图1和图2做一个叠加。
得到图3，图3被分成3个区域①②③，如图4所示，我们应该能够分析出②和③的面积相等。
图3 图4详细分析一下②和③，如图5所示。
不难看出③的长就是计划每天的生产量48，③的宽是计划比实际多的1天，因此③的面积为48×1=48，同样②的面积也是48。
再来看一个②，②的宽等于实际比计划多生产的2个，②的长是什么含义呢？②的长就是实际的天数，因此可以求出实际天数为48÷2=24天。
至此，问题再无难度。
图5实际的生产总量：（48+2）×（1×48÷2）=1200(张)计划的生产总量：48×（1×48÷2+1）=1200（张）答：原计划要生产1200张桌子？这道题目当然还有其他的分析方法，本文主要是想介绍作图法解决问题，当我们借助于作图解决问题时，题目中的各个量的关系其实是比较直观清楚的，希望我们能够借助了作图的这个工具。
一个面积问题的作图法求解
称 性 ， 图 形 的 面积 进 行 转 化 和 比较 ， 直 观 而 简 明 地解 决 该 问题 在 以 往解 法 中较 为 困难 和 复 杂 的 一 个 环 节 。 如 对 可 即 何 发 现 和说 明 面积 最 小 时 弦 的状 态 ． 而 对 该 问题 给 出一 种 新 解 法． 从
又显然 Ａ ＞
， 有 ． ＞ Ａ ． 以当过焦点 的弦与 轴垂直 时所 围成图形面积最小 ， 时面积为 故 、 所 此
Ａ：２ 。 ｆ Ｉ
ｄ：８： ｒ ． ＝ “
参 考 文献 １ ３同 济 大 学 应 用数 学 系 ． 等 数学 （ 册 ） Ｍ］ 第 五 版 ． 京 ： 等教 育 出版 社 ，０ ２ － １ 高 上 ［ ． 北 高 ２０．
关键 词 面 积 ； 助 抛 物 线 ； 小 ｆ ． 辅 最 ｄ 中 圉分 类 号 Ｏ１ ２ ２ ７ ．
同济大 学《 等数学 》 五版 ） 六章第 二节有 一道 面积问题 ： 高 （ 第 问题 ［ 求 由抛 物线 Ｙ １ ！一 ４． 其过焦 点 的弦所围 成图形 面积的最 小值． ａ Ｔ及
Ｙ：一 ４ ２ ａ（ ａ— ），
则易见两 抛 物线组 合而成 的 图形 既 关 于 直线 ａ — ａ对 称 又 关 于 直线 Ｙ一 ０对 称 ， Ｔ 因而 关 于 焦 点
Ｆ ａ０ （ ，）中心对 称 ， 而过焦 点的弦亦 然 ， 以 图中四块 阴影部分 面积有关 系 ： 所
Ａ。一 Ａ。 ， Ａ ＝ Ａ ，
． ） ，
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巧用作图法求解物理问题
Vol.48No.12Dec.2019忖顷如参考习题研究巧用作图法求解物锂间题王乃喜（盐城市明达高级中学江苏盐城224002）文章编号：1002-218X(2019)12-0062-02中图分类号:G632.479文献标识码：B摘要：作图法丈称图解法，用图解法解题的优点是直观明了，能更清楚地分析物理过程，从而更正确地解题。
用图解法解题能化繁为简，化难为易，有利于促进形象思维与逻辑思•维的发展，提高科学抽象能力。
关键词：高中物理；作图法；课堂教学一、巧用作图法求解动态平衡问题控制某一物理量，使物体的状态缓慢变化，而物体处于一系列的平衡状态。
此时当采用作图法显得简便、具体、直观。
例1如图1甲，在一圆环上，用两根不伸长的轻绳悬挂一重物G,两绳结点恰在圆O处。
当OB绳沿圆环由B点向C点移动过程中，其上张力的变化趋势如何？必共点，不难得到F=7G2+T2,F与水平面间夹角为0=arctan G/T Q三、巧用作图法求解运动学问题求解运动学中的相对运动如追及等问题时，用作图法求解，往往可使问题直观形象而且使物理过程清晰，避免漏解。
例3如图3所示，滑块A质量为以速度V 沿水平方向滑到静止水平面的足够长小车B上，平板车的质量M=3m,设车与水平面无摩擦，车与滑块的滑动摩擦系数为“，问滑块在车上能滑行多远。
图1解析如图1乙，以O点为研究对象，因O点所受的重物拉力大小恒为G,方向总是竖直向下，而AO 绳上张力F的方向始终不变。
因此，当OB上张力八方向改变时，兀、八的合力F的大小F=-G而方向始终不变，作力的平行四边形，由图可知T2由大变小，到D点有最小值，之后又逐渐增大到T2=-G,而厂逐渐减少到零。
二、巧用作图法求解静态平衡问题用图解法求解静态平衡问题，可以简化解题过程，提供简捷的解题方法。
例2如图2所示，重为G的均质杆一端可绕O点转动，另一端拴在一条水平绳上，杆与水平面成a角，已知水平绳中张力大小为丁，求O点对杆的作用力。
浅谈如何利用作图来分析并解决几何问题
浅谈如何利用作图来分析并解决几何问题近几年渐渐淡化了尺规作图的直接考查，但是利用作图解决实际问题、几何问题，却不断出现在中考试卷中。
当然，在我们的教学过程中，不难发现一些用直接推理难以说明清楚，但是通过作图，却可以帮我们直观地解决。
在探究等腰三角形的存在性问题中，特别是综合特殊四边形、圆和抛物线等知识时，利用尺规作图，可以帮我们直观感知它的存在性与存在情况，在实际问题中可以帮我们准确找到符合的点的位置。
对于复杂的图形，通过“巧补图形”，就能使问题迎刃而解，达到事半功倍的效果。
这类题目，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，在近几年的中考试卷中常以压轴题出现。
下面就作图在这几个问题上的应用加以分析：一、用基本作图解释一些公理、定理例1.在全等三角形的判定条件中，我们都知道：若两个三角形有两组对应边以及其中一边所对的角对应相等，但这两个三角形不一定全等。
（即“边边角”不能推出全等）分析：但是这个公理的发现，通过逻辑推理，要说明清楚有点困难。
但是从几何作图来说明却是一目了然。
■已知：两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的夹角，画一个三角形。
步骤：1.画线段AB，使它等于线段a的长；2.画∠MAB=α；3.以B为圆心，线段b长为半径，作圆弧，与射线AM 交于两点C，C′。
从而，发现满足条件的三角形有两个△ABC、△ABC′，从而得出“边边角”不能推出全等。
二、用基本作图解决等腰三角形的存在性问题例2.如下图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8。
动点P从点C出发C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止。
在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个。
■分析：当△PMC为等腰三角形时，不外乎分三种情况，一是以点M为顶点，以MC、MP为腰；二是以C为顶点，CM、CP为腰；三是以P为顶点，PC、PM为腰。
画线段图解决问题
一、线段图能使题目中的数量关系更形象、更直观低年级学生年龄小，理解能力有限，学习应用题有一定困难。
在这种情况下，引导学生用线段图表示题中数量，能使它们之间的数量关系更直观，更形象，使应用题化难为易，简单易学。
如：鱼缸里有10条红金鱼， 8条黑金鱼，红金鱼比黑金鱼多几条？提问：这道题讲的两种鱼哪种多，哪种少？红金鱼多我们可用长线段表示（作图），黑金鱼少，线段要怎样画？二、线段图可以提高学生判断的准确性“比（）多（）”、“比（）少（）”的应用题教学是个难点，难在学生一看“比（）多（）”不加分析就判断用加法计算，反之则用减法计算。
而线段的正确使用能避免学生出现这种错误判断。
例：黄花有9朵，比红花少5朵，红花有几朵？引导学生作图分析：先画出黄花的朵数，再由“比红花少”可知哪种花多？怎样画红花的朵数？三、段段图能开阔学生思维，帮助学生一题多解线段图能开拓学生思维，巧妙地进行一题多解。
例如：图书馆有科技书150本，故事书是它的3倍，故事书比科技书多多少本？一般解法为：150×3－150＝300（本）。
但线段图的应用使学生能有更简便的解答方法。
线段图的方法在低段数学学习中的渗透。
因为我们重视解决问题教学，所以我们更应该重视对学生进行解题能力的方法指导，这是问题的根本，也是问题的关键。
是我们更应该将关注点的侧重的地方。
解决问题也是我们常说的应用题，在小学数学教学中既是教学中的重点，也是教学中的难点。
有不少的应用题，文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。
这里我要介绍的方法，是线段图。
关于线段的定义是：直线上两点间的部分叫做线段。
特点：有两个端点。
有限长。
关于线段图没有定义，词典中也没有解释。
可以这样理解：线段图是由几条线段组合在一起，用来表示应用题中的数量关系，帮助人们分析题意，解答问题的一种平面图形。
可以说，线段图在应用题这一领域具有很重要的地位，不论我们具有怎样高的解题能力，在解决应用题特别是较难理解的题目时，线段图可以给我们很好的帮助。
用作图法解决问题
列式：6×3÷2 ×3 =18÷2 ×3 =9 ×3
亲爱的同学们!
=18块 答：这包糖为27块。
通过以上几个例子的学习，大家对用作图法解决
问题的优越性是不是有了更深的了解呢？这几个题只 是我们数学学习解决问题的一个缩影，希望同学在日 常的 学习中遇到类似问题时，能仔细审题，冷静分析，
把抽象的数学语言转化成形象的线段图，这样就能揭 开题目中掩人耳目的“神秘面纱”，化难为易了。
答：6块后，三个 人剩下的总数与每人开始分得一样多，这包糖原 来多少块？
分析：本题缺少每人分了多少块这个直接条件，我们用 下图来分析解答：
一包糖
吃了6 × 3块
剩下的块数
从图上清楚的看到每人吃了6块共吃了 6×3=18块，后剩下一份。说明吃了两份， 因此原来这包糖的块数量：18÷2×3=27 块。
18厘米
第一根
26厘米
第二根
从图上可以很清楚的看到：由于第二根比第一根多剪了 26-18=8厘米。而这个8厘米正好是第二根剩下的2倍。
我们可以利用第一根绳 当然也可以利用第二根绳
子的长度求绳长
子的长度求绳长
方法一：（26-18）÷2×3+18 =8÷2×3+18 =30厘米
方法二：（26-18）÷2+26 =8÷2+26 =30厘米
列式：井深：8×2-3×2=10尺
绳子：（10+8）×2=36尺
答：井深10尺，绳子长36尺。
例3：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米， 第二根剪下26厘米，余下的铁丝，第一根是第 二根的3倍，求原来每根铁丝长多少厘米。
分析：同样的两根铁丝为什么会出现“第一根是第二根的3倍这 种现象呢？”我们用下图分析：
中学数学核心解题方法汇编：平面向量问题作图法
一、作图法之平面向量问题
二、作图法之解析几何问题
三、作图法之函数问题
〖分析一〗利用向量夹角的余弦公式求解
〖分析二〗利用图形求解 A a D
a+2b
b B C
O
方法点睛
解决此类问题的关键：“先画后算”
利用向量加法、减法及数乘的图形运算法则，充分挖 掘图形的特点，简化计算过程.
〖分析〗 D是ΔABC的外心 ΔABC是正三角形
高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）
第十三节
作图法
第一讲 平面向量问题
高中数学的最大特点之一就是“数形合一”，通过
形的直观描述来帮助思考数的问题，同时通过数的精确 刻画来推导形的正确结论，使代数问题、几何问题相互
转化。
对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”、 “以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出 判断，简捷地解决问题，得出正确的结果。如Venn图，三 角函数线，函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。 这些图形可以将题目中的数量关系以及空间结构准确形象 地展示出来，使抽象的问题变得具体，化繁为简，便于解 决问题。
D是ΔABC的垂心
同理：DA⊥BC，DC⊥AB
P的轨迹是以A为圆心1为半径的圆
（0,2）
P N M
M是PC的中点
〖解法二〗
方法点睛
解决平面向量问题的技巧：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“坐标表示法”和“几何意义法”
由于平面向量具有形的特征，所以利用向量的有关几
何意义，通过构造相应的图形，将其转化为平面图形中的
有关问题，结合平面几何的相关结论来求解可以很大程度
物理动态平衡问题的基本解法五种
物理动态平衡问题的基本解法五种
物理动态平衡问题的基本解法有以下五种：
1. 力的平衡法：根据牛顿第二定律，物体的总受力为零时，物体处于力的平衡状态。
可以通过分析物体受到的各个力的大小和方向来判断物体的平衡状态，并解出未知量。
2. 力矩的平衡法：根据物体的力矩（或力矩矩阵）的平衡条件来判断物体是否处于平衡状态。
物体的力矩等于零时，物体处于力矩平衡状态。
可以根据物体的几何形状和受力情况，建立力矩平衡方程来解决问题。
3. 动力学方法：使用动力学的方法来分析物体的运动状态和平衡条件。
通过分析物体所受到的各个力和力矩，建立动力学方程组，解出未知量。
4. 能量守恒法：利用能量守恒定律来解决物体的平衡问题。
通过分析物体所受到的各个力和物体的势能和动能之间的关系，建立能量守恒方程来解决问题。
5. 作图法：根据物体的几何形状和受力情况，通过作图来解决问题。
可以根据物体的平衡条件和受力分析，将物体的受力情况转换为几何图形，然后通过几何推理和计算，解决问题。
解决立体几何问题的三种方法
解决立体几何问题的三种方法
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲解决立体几何问题的三种超厉害的方法！
先来说说第一种方法——作图法。
哎呀呀，就好比你要建一座城堡，你得先把它的设计图画出来呀（比如要画一个长方体来解决相关问题）。
你看，通过仔细准确地作图，那些复杂的立体图形是不是一下子就清楚明白多啦？
第二种方法呢，是空间想象力法。
哇塞，这可神奇啦！就好像你拥有了一双能看透立体世界的眼睛（想象一个圆锥体在你脑海中旋转）。
你试着闭上眼睛，在脑海中构想出那个立体图形，感受它的形状和特点，很多问题不就迎刃而解了吗？
最后一种是公式法呀。
这就像是你手里的秘密武器！（比如用体积公式去计算一个正方体的体积）。
那些公式可是经过无数人验证的，只要你熟练掌握并运用，嘿嘿，什么难题都难不倒你！
反正我觉得这三种方法真的超有用！大家一定要好好去尝试，去掌握。
相信你们一定能在立体几何的世界里游刃有余！。
用作图法解决凸透镜成像问题
龙源期刊网
用作图法解决凸透镜成像问题
作者：赵宇
来源：《中学生数理化·八年级物理人教版》2013年第11期
凸透镜成像情况复杂，规律性强，课本在讲述这部分知识时，主要是通过实验探究的办法，寻找并总结出凸透镜成像的规律，这种方法的优点是趣味性强、浅显易懂，比较适合初学者：缺点是最终的规律得靠“记”，一旦忘记，很难再想起，其实，凸透镜成像的规律还可以用作图的办法来解决，掌握了这种方法，我们就可以随时在纸上再现凸透镜成像规律。
五年级作图法解决问题
作图法解应用题
例1、两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数四数之和等于415，则除数是多少？
1、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数四数之和等于156，则除数是多少？
例2、食堂买来两袋大米和四袋面粉，共重300千克。
每袋大米比面粉重75千克，大米和面粉每袋各重多少千克？
2、学校买来4个足球和3个排球，共用117元。
每个足球比每个排球贵3元，每个足球和排球各多少元？
例3、甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，第一次相遇时离A地有90千米，然后各按原速度继续行驶，到达目的地后立即原路返回，第二次相遇时离B地70千米，求A、B两地的路程。
3、小米从甲地想乙地走，小华同时从乙地想甲地走。
当他们两人各自到达终点时，又迅速返回。
两人行走的过程中，各自速度不变。
两人第一次相遇在距甲地50米处，第二次相遇在距乙地19米处。
甲、乙两地相距多少米？
4、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。
他们各自到达对方的车站后立即返回原地，途中，又在距A地42千米处相遇。
两次相遇地点相距多少千米？
5、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加上鱼身一半的重量，而鱼身的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。
这条大鱼重多少千克？。
画图策略解决问题实践研究结题报告
画图策略解决问题实践研究结题报告小学数学利用画图策略解决问题的实践研究结题报告本文是《小学数学利用画图策略解决问题的实践研究》结题报告。
主要研究如何通过画图策略解决数学问题，使学生更好地理解数学概念和数量关系。
本研究指导学生如何借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，从而达到解决问题，锻炼能力的目的。
一、课题的研究背景数学是抽象性、逻辑性和应用性极强的学科。
在小学阶段，学生对一些抽象的文字、符号的理解可能会发生一些困难。
因此，画图可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。
画图比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。
常用的画图的方法有：直观图、示意图、线段图、树图、集合图等。
这些方法中，线段图能把抽象的数学问题简单化。
例如在低年级对于比多比少的应用题的教学，学生往往不正正确判断，而利用线段图，就可以一目了然。
而在一个单元的复时，可以把这一单元的知识用树图或集合图来表示。
而在低年级教学中直观示意图是必不可少的，学生可以利用直观示意图来理解一些复杂的问题，总之画图在小学数学教学中是必不可少的教学策略。
新课程中“解决问题”列为数学教学中的四大目标之一。
对义务教育阶段的学生须达到的“解决问题”目标，作了具体规定。
解决问题不单独成章，而是把它融合于“数与代数”、“空间与图形、”“统计与概率”等领域之中，并把它作为各领域解决其相应的实际问题的有机部分呈现。
特别是低年级，学生对抽象的概念和数量关系的理解有限，需要通过画图来帮助他们更好地理解问题，从而达到解决问题的目的。
本课题系2012年度仙居县教育科研规划课题，负责人为XXX，成员包括XXX、XXX、XXX。
在国内，许多学者和教育工作者对解决问题进行了深入的调查和研究。
数学应用题是研究的主要方向，他们通过自己的教学实践和心理学理论提出了“解决问题”相关概念的定义、策略的分类及解决问题的一般步骤。
第二十四讲 作图分析法解决问题
2160千米
拓展1 五个小碗放成一排，其中有两只小碗内各有一个相同的 兵乓球，请问有多少种放法？ 10种。可作图逐一列举：每一竖行表示一种放法，所有不同 放法一共只有10只。
拓展2 甲、乙两人分别从 A、B两地同时相向而行，乙的速度 2 是甲的 ，两人相遇后继续前行，甲到B地、乙到A地后立刻 3 返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20 千米，那么，A、B两地相距多少千米？ 50千米
45个
热身1 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则 多余12个同学；如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加 一个，则少9人。算一算东风小学仪仗队有多少个学生？ 112个
热身2 AB两地相距540千米。甲乙两车往返行驶于A、 B两地之间，都是到达一第二次相遇 都在途中P地。那么，到两车第三次相遇为止，乙 车共走了多少千米？
10 丁 10 10 丙 10 乙
例2:哥哥的年龄和妹妹现在的年龄一样时，妹妹是9岁；妹妹的 年龄和哥哥现在的年龄一样时，哥哥是24岁，兄妹两人现在各 是多少岁？
点拨 不管任何时候，兄妹两人的年龄差总是不变的。只要知道哥哥比妹 妹大多少岁，问题就解决了一半。
9 妹妹 解答 我们用线段长短不是年龄，并且用虚线、 实线、点划线分别表示题目中指出的过去、现在、 将来三个时候的年龄.如图，因为存在如下的关 系：妹妹现在的年龄=哥哥过去的年龄，哥哥现 在的年龄=妹妹将来的年龄。可以看出24－9=15 哥哥 正好是兄妹年龄差的三倍。所以，妹妹现在的年 龄是9＋（24－9）÷3=14（岁），哥哥现在的 年龄是14＋（24－9）÷3=19（岁） 答：哥哥现在19岁，妹妹现在14岁。
解答从题目看出这是一个环形债务适用于用一个圆环状的关系图来表示箭头方向表示要还钱的方向如右图所示
用尺规作图解决任意角的三等分
用尺规作图解决任意角的三等分引言：通常来说，尺规作图的方法是不能三等分任意角的。
如果继续使用原有的尺规作图的方法，我也不能解决这个几何问题。
原因在于传统的尺规作图停留在二维的范围，而我现在要用的方法是在三维的参考系中使用直尺、圆规、铅笔、作图纸解决三等分任意角。
首先，介绍所需的工具，本方法中所使用的圆规不是以铅笔画圆，而是以刀“划圆”。
至于直尺和铅笔就是传统的工具（没有刻度）。
至于白纸，我将利用它实现二维到三维的转换。
方法介绍：下面利用图解的方法来阐述我的思路。
1、首先我们在纸面上任意画一个∠AOB2、我们以顶点O3、利用另一张白纸啮合在步骤2得到的圆上并利用铅笔在白纸上标记弧A ’B ’(X,Y)的位置。
4、展开被标记的白纸，连接XY 得到直线XY ，再利用尺规作图（方法见下图）三等分此直线。
方法简述：作XY 垂线XC;和平行线QP; 在QP 上作三个等圆如图（三直径相加不等于XY ）； 如图连接即可三等分XY （简单相似三角形即可证明）X Y C Q P C J5、将白纸贴回圆O（XY对准弧A’B’）即可三等分弧A’B’6、利用等弧对应的圆心角相等的原理，简单可证三等分了∠AOB。
总结：也许大家会争议步骤3（同理的步骤5），在同指导教员（刘俊红教员）讨论时，我们也意识这一点也许会存在争议，利用了纸面的可重塑性到底算不算尺规作图？我们思考了很久，如果从单从操作的角度来讲，的确借助了“捷径”，但是如果从理论来讲，利用这种方法可以在三维的坐标系（不需要它的坐标刻度）中只借助直线方程和圆的方程（也就是圆规和直尺）就可以三等分任意角，大致思路是利用我们可以精确三等分直角和特殊角的原理（见下图），在弧面中三等分弧（本质来说是与前述方法一致的，但在弧面中三等分弧的方法是利用中垂线的方法）。
在三维坐标系中平分是在理论上不需要借助其它工具的，但是如果没有其他工具的帮助的话会有很大的误差，所以我利用白纸为辅助的工具，增加它的精度。
作图法教案
作图法教案一、教学目标1.了解作图法的定义和作用。
2.掌握作图法的基本步骤和技巧。
3.能够运用作图法解决实际问题。
二、教学重点1.作图法的基本概念和基本步骤。
2.运用作图法解决实际问题的能力。
三、教学难点1.作图法在实际问题中的应用。
2.如何灵活运用作图法解决问题。
四、教学过程1.导入通过提问，引导学生了解作图法的概念：“作图法是指通过绘制图形的方法解决问题的一种思维方法。
”并让学生讲述他们对作图法的理解和认识。
2.讲解作图法的基本步骤(1)明确题意，确定问题的要求。
(2)绘制已知条件。
(3)根据已知条件绘制图形。
(4)通过观察、推理和计算，找到问题的解答。
(5)对解答进行验证，并进行简洁明了的表述。
3.示例分析通过一个具体的实例，引导学生运用作图法解决问题的步骤和技巧。
并帮助学生理解作图法在解决问题中的作用和意义。
4.训练演练布置几道题目，让学生尝试运用作图法解决问题。
鼓励学生多动手、多实践，培养他们的问题解决能力和创造思维能力。
5.总结归纳对学生做题情况进行总结，总结作图法的注意事项和技巧。
鼓励学生讲述自己对作图法的理解和体会，展示他们的解题思路和方法。
6.课堂作业布置相关练习，要求学生运用作图法解决问题，并写出解题思路和解题方法。
7.课后反馈学生完成作业后，进行课后反馈。
帮助学生发现和解决问题，并针对问题进行追踪和整改。
五、教学资源1.教学PPT。
2.作图工具。
3.相关练习题。
六、教学评价预设评价标准，对学生的课堂表现、能力发展和作业答案进行评价。
鼓励和肯定学生的积极表现，帮助他们发现和解决问题，提升他们的解决问题的能力。
作图法在高中化学解题中的应用
作图法在高中化学解题中的应用作者：袁全兴来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期作图法指的是针对一类具有较复杂化学背景的高中化学实验和高中化学习题，通过简单的图示表达，完成化学问题以及化学实验的解题过程，帮助学生以题面内容、实验要求为基础，联想相关化学知识、清晰认识题面文本意思.在作图法的实施操作过程中，学生可以通过对过程进行标记、定格，将复杂度较高的化学问题进行简化处理，从而增加问题被解决的可能性.一、高中化学中作图法的应用依据及应用意义通常情况下，学生对于化学知识的理解认知包含两个层面：形象思维认知和抽象思维认知，相比于抽象思维认知而言，学生们对于形象思维认知的接受度相对更高.而作图法恰恰可以满足高中化学知识的形象化展示需求，采取具备形象性的表达工具以及问题表现形式，通过图形、图像、图示、符号等颇具形象性的元素，引导学生培养起作图法解题的思维.通过作图法在高中化学解题过程中的实践成果可以看出，作图法凭借其生动性、直观性、整体性等特征，对于学生快速找到问题解答方法有很大帮助.也就是说，作图法给学生带来的不仅仅是高中化学问题的解答成果，更为学生基于高中化学知识的问题解答能力的培养提供了有利条件，帮助学生形成高效的化学问题解答的思维模式.具有化学特色的作图法的表现形式主要为关系图，根据化学反应原理制作相应化学参数和相关变量之间的关系图示，以供学生分析化学问题所用.高中化学中所应用的作图法具有数形结合的典型特征，可以清晰、直观、生动地反映出化学反应的已知量和未知量之间存在的关联性.可以说，作图法在高中化学解题中的应用增强了高中化学课程教学的巧妙性、在一定程度上提升了高中化学课程的教学效率.二、以实例展示作图法在高中化学解题中的应用效果例1 将等物质的量的铝分别放入相同体积的硫酸溶液和氢氧化钠溶液中发生反应，化学反应释放出的气体在同等标准环境下的体积比为5∶6.已知硫酸溶液的浓度为2mol/L，氢氧化钠溶液的浓度为2mol/L，硫酸溶液和氢氧化钠溶液的体积均为150ml.请问，铝与氢氧化钠溶液发生反应所释放出来的气体的物质的量为多少？上述问题可以采用折线图方法进行解答：硫酸与氢氧化钠反应完全所需要的铝的物质的量，按照题意可知分别为0.2mol和0.3mol，反应释放的氢气的物质的量分别为0.3mol和0.45mol.因此，可以绘制图示如下：根据电子守恒原理可以判断，图中oa段内，铝的物质的量在0-0.2mol（包括0.2mol）范围内时，硫酸和氢氧化钠溶液由化学反应所释放出来的氢气的量相同，与题意不符;在bd段内，铝的物质的量大于等于0.3mol时，释放出来的氢气的体积比为3∶5，与题意不符;在ab段内，铝的物质的量在0.2-0.3mol（包含0.3mol）范围内，硫酸溶液反应彻底，氢氧化钠溶液会有剩余，与题意相符.可设铝与氢氧化钠溶液发生反应释放出x mol氢气，根据数据关系列出如下等式：（2mol×150mL÷1000L/mL）x=5/6可得x=0.36mol，也就是说铝与氢氧化钠溶液发生反应所释放出来的气体的物质的量为0.36mol.例2 托盘天平两侧放置相同装有等量的稀硫酸的烧杯，稀硫酸中含硫酸a mol，天平此时平衡.分别向两侧烧杯中加入x g和y g铝，待化学反应完全后，其中一只烧杯中的金属有剩余，天平此时仍旧保持平衡状态，判断x与y的关系.上述问题同样可以采用折线图方法进行解答：无论金属铁还是金属铝，其与稀硫酸反应所产生的气体仅为氢气，因此，发生反应完全的金属的质量分别为56a和18a.结合算与金属反应的对应量的关系作图如下：图像清晰显示，在oa段内，铁和铝均有所剩余，与题意不符;在bc段内，铁和铝均没有剩余，同样与题意不符;在ab（包括b点）段内，有一种金属剩余，与题意相符.因此18a<m（金属）≤56a，也就是说，题意情况下金属铁有所剩余.根据质量守恒定律可以列出如下方程：可以解得x与y的关系为：27x/28=y-2a，即为答案.基于上述两个化学问题实例应用作图法的展示可以清晰看出，作图法在解决以高中化学实验为背景的、复杂程度相对较高的高中化学问题中，具有相对广泛的应用以及较好的应用效果.因此，未来对于作图法在高中化学课堂中的应用频率可以进一步增加，从而逐步引导学生自主解答化学问题、形成高中化学课程的自主学习模式.三、对于未来作图法在高中化学解题中的应用的建议第一，适当拓宽作图法在高中化学中的应用范围，相关教师需要将此种教学手段以及解题方法的使用领域从高中化学教材中抽离出来，更多的寻找课本内容相关的生活中的化学现象.在丰富教学内容的同时，有助于学生对于课程内容参与热情的提升.第二，从应用对象上进一步扩展作图法的解答内容，从课程安排方面保障作图法在高中化学教学中应用的连贯性，有助于学生解决问题能力的养成.四、结语在高中化学的教学过程中，作图法的应用频率并不低，其在日常的课堂进程中常被教师应用，但此种方法的优势显然并未被高中学生真正意识到，因此，作图法在高中化学解题中的应用力度还需要进一步加强.。
解直角三角形的尺规作图问题
解直角三角形的尺规作图问题直角三角形是初中数学中的重要概念之一，而尺规作图是解决几何问题的一种有效方法。
本文将介绍如何利用尺规作图解决直角三角形相关问题，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
一、如何作出直角在解直角三角形的尺规作图问题之前，首先需要确定直角的位置。
作出直角的方法有很多，这里介绍两种常用的方法。
1. 通过利用垂线性质作出直角：假设我们已经知道了直角三角形的两条边，我们可以通过作出这两条边的垂线来确定直角的位置。
具体步骤如下：a. 作出直角三角形的一条边AB；b. 在边AB上取一点C；c. 作出边AC和边BC的垂线；d. 如果垂线交于一点D，则AD和BD的交点即为直角。
2. 通过利用勾股定理作出直角：勾股定理是指直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。
利用这一定理可以确定直角的位置。
具体步骤如下：a. 作出直角三角形的一条边AB和斜边AC；b. 根据勾股定理计算出AB和AC的平方；c. 作出一条线段AD，使得AD的长度等于AB的平方；d. 作出一条线段BD，使得BD的长度等于AC的平方；e. 如果线段AD和线段BD相交于一点D，则AD和BD的交点即为直角。
二、如何利用尺规作图解直角三角形的问题在确定了直角的位置后，我们可以利用尺规作图来解决直角三角形的问题。
以下是两个常见的问题及其解决方法。
1. 已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边的长度。
假设我们已知直角三角形的一条直角边AB和斜边AC的长度，要求求出另一条直角边BC的长度。
a. 作出直角三角形的一条直角边AB和斜边AC；b. 以A为圆心，以AC的长度为半径作圆；c. 以B为圆心，以AB的长度为半径作圆；d. 如果两个圆相交于一点C，则BC的长度即为所求。
2. 已知直角三角形的两条直角边的长度，求斜边的长度。
假设我们已知直角三角形的两条直角边AB和BC的长度，要求求出斜边AC的长度。
a. 作出直角三角形的两条直角边AB和BC；b. 以A为圆心，以AB的长度为半径作圆；c. 以C为圆心，以BC的长度为半径作圆；d. 如果两个圆相交于一点C，则AC的长度即为所求。
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答：原来每根铁丝长为30厘 米。
例4：三人平均分一包糖，每人吃了6块后，三个 人剩下的总数与每人开始分得一样多，这包糖原 来多少块？
分析：本题缺少每人分了多少块这个直接条件，我们用 下图来分析解答：
一包糖
吃了6 × 3块
剩下的块数
从图上清楚的看到每人吃了6块共吃了 6×3=18块，后剩下一份。说明吃了两份， 因此原来这包糖的块数量：18÷2×3=27 块。
18厘米
第一根
26厘米
第二根
从图上可以很清楚的看到：由于第二根比第一根多剪了 26-18=8厘米。而这个8厘米正好是第二根剩下的2倍。
我们可以利用第一根绳 当然也可以利用第二根绳
子的长度求绳长
子的长度求绳长
方法一：（26-18）÷2×3+18 =8÷2×3+18 =30厘米
方法二：（26-18）÷2+26 =8÷2+26 =30厘米
列式：井深：8×2-3×2=10尺
绳子：（10+8）×2=36尺
答：井深10尺，绳子长36尺。
例3：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米， 第二根剪下26厘米，余下的铁丝，第一根是第 二根的3倍，求原来每根铁丝长多少厘米。
分析：同样的两根铁丝为什么会出现“第一根是第二根的3倍这 种现象呢？”我们用下图分析：
龙马潭区安宁小学 潘小燕
同学们：
某些数学应用题中数量关系比较复杂， 解题条件比较隐蔽，很难找到解题方法。 如果我们用作图法（用画线段或其它图 形的方法）把题中的数量关系具体形象 的显示出来，就可以找到解题的途径
例1：甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次 在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进，到达目的地 后又立即返回，第二次相遇在离B点55千米处。求A、B 两地相距多远？
列式：6×3÷2 ×3 =18÷2 ×3 =9 ×3
亲爱的同学们!
=18块 答：这包糖为27块。
通过以上几个例子的学习，大家对用作图法解决
问题的优越性是不是有了更深的了解呢？这几个题只 是我们数学学习解决问题的一个缩影，希望同学在日 常的 学习中遇到类似问题时，能仔细审题，冷静分析，
把抽象的数学语言转化成形象的线段图，这样就能揭 开题目中掩人耳目的“神秘面纱”，化难为易了。
分析：本题缺少直接条件（时间和速度），为 了解答这道题，我们可以采用下图来说明题意。
乙车
A
75千米
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
甲车
这样我们可以分析解答，从图中可知，甲、乙两列车从出 发至第一次相遇合走了一个A、B的路程，其中甲列车走了75 千米。从出发到第二次相遇，甲、乙两列车合走了三个A、B 的路程，说明甲列车共走了75×3=225千米，在这225千米中包 括从B的返回的55千米，因此可以看出A、B之间的距离为： 225-55=170千米。
列式： 75×3-55
=225-55
=170千米
答：A、B两地相跑170千米。
例2：在井口用绳子测井的深度，把绳子对折垂到 井底，尚余8尺，把绳子三折垂到井底尚余2尺， 求井深和绳长。
分析：本题直接做不易解答，我们用下图分析 解答。
井深
绳对折
8尺
绳三折
井深
2尺
从图中可以看出，井外对折余出的绳子总长为： 8×2=16尺。三折余出的绳子总长为3×2=6尺。 而井内绳对折，绳子长是两个井的深度。三折绳 子长是三个井的深度，它们相差一个井的深度， 这说明井外绳子对折和绳子三折余出的差正好的 井深度。因此井的深度为16-6=10尺。