用作图法解决问题
四年级下册数学教案-5.3用画图的策略解决问题丨苏教版
《用画图的策略解决问题》教学设计【教学目标】1、学生在解决问题的过程中学会用画图的方法整理信息，会分析图中的信息以获取正确的解题思路。
2、学生在经历、感悟、反思中认识画图对于解决问题的价值并形成画图和识图的技能，积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识。
3、增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心。
【重点难点】重点：经历画图过程，感受画图过程，运用画图的策略解决有关问题。
难点：学会画示意图，并通过分析数量关系解决相关问题。
【教学过程】一、复习铺垫1、依次出示：师：同学们，你们会做吗？看谁又快有准。
（指名学生迅速回答）师：老师出一个题，你们来抢答，长方形的面积是56平方米，宽是8米，长是多少米？（学生抢答）师：看来同学们对长方形的面积计算的知识掌握得很好。
谁来当小老师，提一个关于长方形面积计算的问题，同学们来抢答。
（学生回忆起长方形面积、长和宽之间的关系）2、激趣导入师：同学们，你们想到罗老师的家乡去看看吗？（出示小视频）最近，我们村里为了建设得更加美丽，正在做进一步修建，这块长方形花圃也在这次改建的范围内，改建后，要求仍然是一个长方形。
你会怎么设计呢？谁来说说看？（课件）（学生说出自己的想法，教师给予肯定）师：你能把自己的设计想法画出来吗？（学生在“小小设计师卡1”当中作图，师巡视找出不同的设计方案）师：（展示学生作品）你们能说说他是怎样改建的吗？与原来的长方形比较面积、长和宽发生了什么变化？（预设：长增加，宽不变，面积增加；宽增加，长不变，面积增加；长和宽同时增加，面积增加；宽减少，长不变，面积减小；长减少，宽不变，面积减少。
）师：其实，设计方案还有很多种，通过这节课的学习，你肯定还能设计出更多的方案。
根据我们学校的实际情况，作出了以下的改建方案。
（出示例题）二、探究新知1、出示例题：井头湾村有一块长方形花圃，长8米。
在修建乡村时，花圃的长增加了3米，这样面积就增加了18平方米。
作图法解题-悦读越好
作图法解题作者悦读越好解决应用题一般有四个步骤：第一步：弄清已知条件和问题；第二步:分析数量关系；第三步:列式计算；第四步:检验作答。
其中：前两步是关键。
怎么分析问题呢？有时候可以借助于画图来分析问题，比如例1。
例1.一个木器厂要生产一批桌子。
原计划每天生产48张，实际每天比原计划多生产2张，结果提前一天完成生产任务。
原计划要生产多少张桌子？在看本文分析之前，大家可以自己先动手做一下，然后我们给出我们的解题方法。
分析：要求原计划生产多少张，也就是原计划的生产总量，拿原计划每天的工作量乘原计划的天数就可以了，题目中只有每天的量没有天数，因此需要先求出计划天数。
或者，原计划的生产总量与实际的生产总量相同，因此用实际每天的生产量乘实际的天数也是可以的。
同样，题目只有实际每天的生产量，没有实际的天数，因此如果能够求出实际的天数也能解决问题。
本题在不用方程的情况下，可以用作图法解法解决。
图1 图2图1中长方形的长代表计划的天数，宽代表计划的每天的生产量，那么图1的面积就是计划生产总量。
图2中长方形的长代表实际的天数，宽代表实际的每天的生产量，那么图2的面积就是实际生产总量。
比较图1和图2，图2的长比图1的长“少一天”，图2的宽比图1的宽“多2个”。
我们知道，计划的生产总量和实际的生产总量是一样，因此将图1和图2做一个叠加。
得到图3，图3被分成3个区域①②③，如图4所示，我们应该能够分析出②和③的面积相等。
图3 图4详细分析一下②和③，如图5所示。
不难看出③的长就是计划每天的生产量48，③的宽是计划比实际多的1天，因此③的面积为48×1=48，同样②的面积也是48。
再来看一个②，②的宽等于实际比计划多生产的2个，②的长是什么含义呢？②的长就是实际的天数，因此可以求出实际天数为48÷2=24天。
至此，问题再无难度。
图5实际的生产总量：（48+2）×（1×48÷2）=1200(张)计划的生产总量：48×（1×48÷2+1）=1200（张）答：原计划要生产1200张桌子？这道题目当然还有其他的分析方法，本文主要是想介绍作图法解决问题，当我们借助于作图解决问题时，题目中的各个量的关系其实是比较直观清楚的，希望我们能够借助了作图的这个工具。
一个面积问题的作图法求解
称 性 ， 图 形 的 面积 进 行 转 化 和 比较 ， 直 观 而 简 明 地解 决 该 问题 在 以 往解 法 中较 为 困难 和 复 杂 的 一 个 环 节 。 如 对 可 即 何 发 现 和说 明 面积 最 小 时 弦 的状 态 ． 而 对 该 问题 给 出一 种 新 解 法． 从
又显然 Ａ ＞
， 有 ． ＞ Ａ ． 以当过焦点 的弦与 轴垂直 时所 围成图形面积最小 ， 时面积为 故 、 所 此
Ａ：２ 。 ｆ Ｉ
ｄ：８： ｒ ． ＝ “
参 考 文献 １ ３同 济 大 学 应 用数 学 系 ． 等 数学 （ 册 ） Ｍ］ 第 五 版 ． 京 ： 等教 育 出版 社 ，０ ２ － １ 高 上 ［ ． 北 高 ２０．
关键 词 面 积 ； 助 抛 物 线 ； 小 ｆ ． 辅 最 ｄ 中 圉分 类 号 Ｏ１ ２ ２ ７ ．
同济大 学《 等数学 》 五版 ） 六章第 二节有 一道 面积问题 ： 高 （ 第 问题 ［ 求 由抛 物线 Ｙ １ ！一 ４． 其过焦 点 的弦所围 成图形 面积的最 小值． ａ Ｔ及
Ｙ：一 ４ ２ ａ（ ａ— ），
则易见两 抛 物线组 合而成 的 图形 既 关 于 直线 ａ — ａ对 称 又 关 于 直线 Ｙ一 ０对 称 ， Ｔ 因而 关 于 焦 点
Ｆ ａ０ （ ，）中心对 称 ， 而过焦 点的弦亦 然 ， 以 图中四块 阴影部分 面积有关 系 ： 所
Ａ。一 Ａ。 ， Ａ ＝ Ａ ，
． ） ，
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巧用作图法求解物理问题
Vol.48No.12Dec.2019忖顷如参考习题研究巧用作图法求解物锂间题王乃喜（盐城市明达高级中学江苏盐城224002）文章编号：1002-218X(2019)12-0062-02中图分类号:G632.479文献标识码：B摘要：作图法丈称图解法，用图解法解题的优点是直观明了，能更清楚地分析物理过程，从而更正确地解题。
用图解法解题能化繁为简，化难为易，有利于促进形象思维与逻辑思•维的发展，提高科学抽象能力。
关键词：高中物理；作图法；课堂教学一、巧用作图法求解动态平衡问题控制某一物理量，使物体的状态缓慢变化，而物体处于一系列的平衡状态。
此时当采用作图法显得简便、具体、直观。
例1如图1甲，在一圆环上，用两根不伸长的轻绳悬挂一重物G,两绳结点恰在圆O处。
当OB绳沿圆环由B点向C点移动过程中，其上张力的变化趋势如何？必共点，不难得到F=7G2+T2,F与水平面间夹角为0=arctan G/T Q三、巧用作图法求解运动学问题求解运动学中的相对运动如追及等问题时，用作图法求解，往往可使问题直观形象而且使物理过程清晰，避免漏解。
例3如图3所示，滑块A质量为以速度V 沿水平方向滑到静止水平面的足够长小车B上，平板车的质量M=3m,设车与水平面无摩擦，车与滑块的滑动摩擦系数为“，问滑块在车上能滑行多远。
图1解析如图1乙，以O点为研究对象，因O点所受的重物拉力大小恒为G,方向总是竖直向下，而AO 绳上张力F的方向始终不变。
因此，当OB上张力八方向改变时，兀、八的合力F的大小F=-G而方向始终不变，作力的平行四边形，由图可知T2由大变小，到D点有最小值，之后又逐渐增大到T2=-G,而厂逐渐减少到零。
二、巧用作图法求解静态平衡问题用图解法求解静态平衡问题，可以简化解题过程，提供简捷的解题方法。
例2如图2所示，重为G的均质杆一端可绕O点转动，另一端拴在一条水平绳上，杆与水平面成a角，已知水平绳中张力大小为丁，求O点对杆的作用力。
浅谈如何利用作图来分析并解决几何问题
浅谈如何利用作图来分析并解决几何问题近几年渐渐淡化了尺规作图的直接考查，但是利用作图解决实际问题、几何问题，却不断出现在中考试卷中。
当然，在我们的教学过程中，不难发现一些用直接推理难以说明清楚，但是通过作图，却可以帮我们直观地解决。
在探究等腰三角形的存在性问题中，特别是综合特殊四边形、圆和抛物线等知识时，利用尺规作图，可以帮我们直观感知它的存在性与存在情况，在实际问题中可以帮我们准确找到符合的点的位置。
对于复杂的图形，通过“巧补图形”，就能使问题迎刃而解，达到事半功倍的效果。
这类题目，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，在近几年的中考试卷中常以压轴题出现。
下面就作图在这几个问题上的应用加以分析：一、用基本作图解释一些公理、定理例1.在全等三角形的判定条件中，我们都知道：若两个三角形有两组对应边以及其中一边所对的角对应相等，但这两个三角形不一定全等。
（即“边边角”不能推出全等）分析：但是这个公理的发现，通过逻辑推理，要说明清楚有点困难。
但是从几何作图来说明却是一目了然。
■已知：两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的夹角，画一个三角形。
步骤：1.画线段AB，使它等于线段a的长；2.画∠MAB=α；3.以B为圆心，线段b长为半径，作圆弧，与射线AM 交于两点C，C′。
从而，发现满足条件的三角形有两个△ABC、△ABC′，从而得出“边边角”不能推出全等。
二、用基本作图解决等腰三角形的存在性问题例2.如下图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8。
动点P从点C出发C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止。
在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个。
■分析：当△PMC为等腰三角形时，不外乎分三种情况，一是以点M为顶点，以MC、MP为腰；二是以C为顶点，CM、CP为腰；三是以P为顶点，PC、PM为腰。
画线段图解决问题
一、线段图能使题目中的数量关系更形象、更直观低年级学生年龄小，理解能力有限，学习应用题有一定困难。
在这种情况下，引导学生用线段图表示题中数量，能使它们之间的数量关系更直观，更形象，使应用题化难为易，简单易学。
如：鱼缸里有10条红金鱼， 8条黑金鱼，红金鱼比黑金鱼多几条？提问：这道题讲的两种鱼哪种多，哪种少？红金鱼多我们可用长线段表示（作图），黑金鱼少，线段要怎样画？二、线段图可以提高学生判断的准确性“比（）多（）”、“比（）少（）”的应用题教学是个难点，难在学生一看“比（）多（）”不加分析就判断用加法计算，反之则用减法计算。
而线段的正确使用能避免学生出现这种错误判断。
例：黄花有9朵，比红花少5朵，红花有几朵？引导学生作图分析：先画出黄花的朵数，再由“比红花少”可知哪种花多？怎样画红花的朵数？三、段段图能开阔学生思维，帮助学生一题多解线段图能开拓学生思维，巧妙地进行一题多解。
例如：图书馆有科技书150本，故事书是它的3倍，故事书比科技书多多少本？一般解法为：150×3－150＝300（本）。
但线段图的应用使学生能有更简便的解答方法。
线段图的方法在低段数学学习中的渗透。
因为我们重视解决问题教学，所以我们更应该重视对学生进行解题能力的方法指导，这是问题的根本，也是问题的关键。
是我们更应该将关注点的侧重的地方。
解决问题也是我们常说的应用题，在小学数学教学中既是教学中的重点，也是教学中的难点。
有不少的应用题，文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。
这里我要介绍的方法，是线段图。
关于线段的定义是：直线上两点间的部分叫做线段。
特点：有两个端点。
有限长。
关于线段图没有定义，词典中也没有解释。
可以这样理解：线段图是由几条线段组合在一起，用来表示应用题中的数量关系，帮助人们分析题意，解答问题的一种平面图形。
可以说，线段图在应用题这一领域具有很重要的地位，不论我们具有怎样高的解题能力，在解决应用题特别是较难理解的题目时，线段图可以给我们很好的帮助。
用作图法解决问题
列式：6×3÷2 ×3 =18÷2 ×3 =9 ×3
亲爱的同学们!
=18块 答：这包糖为27块。
通过以上几个例子的学习，大家对用作图法解决
问题的优越性是不是有了更深的了解呢？这几个题只 是我们数学学习解决问题的一个缩影，希望同学在日 常的 学习中遇到类似问题时，能仔细审题，冷静分析，
把抽象的数学语言转化成形象的线段图，这样就能揭 开题目中掩人耳目的“神秘面纱”，化难为易了。
答：6块后，三个 人剩下的总数与每人开始分得一样多，这包糖原 来多少块？
分析：本题缺少每人分了多少块这个直接条件，我们用 下图来分析解答：
一包糖
吃了6 × 3块
剩下的块数
从图上清楚的看到每人吃了6块共吃了 6×3=18块，后剩下一份。说明吃了两份， 因此原来这包糖的块数量：18÷2×3=27 块。
18厘米
第一根
26厘米
第二根
从图上可以很清楚的看到：由于第二根比第一根多剪了 26-18=8厘米。而这个8厘米正好是第二根剩下的2倍。
我们可以利用第一根绳 当然也可以利用第二根绳
子的长度求绳长
子的长度求绳长
方法一：（26-18）÷2×3+18 =8÷2×3+18 =30厘米
方法二：（26-18）÷2+26 =8÷2+26 =30厘米
列式：井深：8×2-3×2=10尺
绳子：（10+8）×2=36尺
答：井深10尺，绳子长36尺。
例3：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米， 第二根剪下26厘米，余下的铁丝，第一根是第 二根的3倍，求原来每根铁丝长多少厘米。
分析：同样的两根铁丝为什么会出现“第一根是第二根的3倍这 种现象呢？”我们用下图分析：
中学数学核心解题方法汇编：平面向量问题作图法
一、作图法之平面向量问题
二、作图法之解析几何问题
三、作图法之函数问题
〖分析一〗利用向量夹角的余弦公式求解
〖分析二〗利用图形求解 A a D
a+2b
b B C
O
方法点睛
解决此类问题的关键：“先画后算”
利用向量加法、减法及数乘的图形运算法则，充分挖 掘图形的特点，简化计算过程.
〖分析〗 D是ΔABC的外心 ΔABC是正三角形
高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）
第十三节
作图法
第一讲 平面向量问题
高中数学的最大特点之一就是“数形合一”，通过
形的直观描述来帮助思考数的问题，同时通过数的精确 刻画来推导形的正确结论，使代数问题、几何问题相互
转化。
对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”、 “以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出 判断，简捷地解决问题，得出正确的结果。如Venn图，三 角函数线，函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。 这些图形可以将题目中的数量关系以及空间结构准确形象 地展示出来，使抽象的问题变得具体，化繁为简，便于解 决问题。
D是ΔABC的垂心
同理：DA⊥BC，DC⊥AB
P的轨迹是以A为圆心1为半径的圆
（0,2）
P N M
M是PC的中点
〖解法二〗
方法点睛
解决平面向量问题的技巧：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“坐标表示法”和“几何意义法”
由于平面向量具有形的特征，所以利用向量的有关几
何意义，通过构造相应的图形，将其转化为平面图形中的
有关问题，结合平面几何的相关结论来求解可以很大程度
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答：原来每根铁丝长为30厘 米。
例4：三人平均分一包糖，每人吃了6块后，三个 人剩下的总数与每人开始分得一样多，这包糖原 来多少块？
分析：本题缺少每人分了多少块这个直接条件，我们用 下图来分析解答：
一包糖
吃了6 × 3块
剩下的块数
从图上清楚的看到每人吃了6块共吃了 6×3=18块，后剩下一份。说明吃了两份， 因此原来这包糖的块数量：18÷2×3=27 块。
18厘米
第一根
26厘米
第二根
从图上可以很清楚的看到：由于第二根比第一根多剪了 26-18=8厘米。而这个8厘米正好是第二根剩下的2倍。
我们可以利用第一根绳 当然也可以利用第二根绳
子的长度求绳长
子的长度求绳长
方法一：（26-18）÷2×3+18 =8÷2×3+18 =30厘米
方法二：（26-18）÷2+26 =8÷2+26 =30厘米
列式：井深：8×2-3×2=10尺
绳子：（10+8）×2=36尺
答：井深10尺，绳子长36尺。
例3：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米， 第二根剪下26厘米，余下的铁丝，第一根是第 二根的3倍，求原来每根铁丝长多少厘米。
分析：同样的两根铁丝为什么会出现“第一根是第二根的3倍这 种现象呢？”我们用下图分析：
龙马潭区安宁小学 潘小燕
同学们：
某些数学应用题中数量关系比较复杂， 解题条件比较隐蔽，很难找到解题方法。 如果我们用作图法（用画线段或其它图 形的方法）把题中的数量关系具体形象 的显示出来，就可以找到解题的途径
例1：甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次 在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进，到达目的地 后又立即返回，第二次相遇在离B点55千米处。求A、B 两地相距多远？
列式：6×3÷2 ×3 =18÷2 ×3 =9 ×3
亲爱的同学们!
=18块 答：这包糖为27块。
通过以上几个例子的学习，大家对用作图法解决
问题的优越性是不是有了更深的了解呢？这几个题只 是我们数学学习解决问题的一个缩影，希望同学在日 常的 学习中遇到类似问题时，能仔细审题，冷静分析，
把抽象的数学语言转化成形象的线段图，这样就能揭 开题目中掩人耳目的“神秘面纱”，化难为易了。
分析：本题缺少直接条件（时间和速度），为 了解答这道题，我们可以采用下图来说明题意。
乙车
A
75千米
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
甲车
这样我们可以分析解答，从图中可知，甲、乙两列车从出 发至第一次相遇合走了一个A、B的路程，其中甲列车走了75 千米。从出发到第二次相遇，甲、乙两列车合走了三个A、B 的路程，说明甲列车共走了75×3=225千米，在这225千米中包 括从B的返回的55千米，因此可以看出A、B之间的距离为： 225-55=170千米。
列式： 75×3-55
=225-55
=170千米
答：A、B两地相跑170千米。
例2：在井口用绳子测井的深度，把绳子对折垂到 井底，尚余8尺，把绳子三折垂到井底尚余2尺， 求井深和绳长。
分析：本题直接做不易解答，我们用下图分析 解答。
井深
绳对折
8尺
绳三折
井深
2尺
从图中可以看出，井外对折余出的绳子总长为： 8×2=16尺。三折余出的绳子总长为3×2=6尺。 而井内绳对折，绳子长是两个井的深度。三折绳 子长是三个井的深度，它们相差一个井的深度， 这说明井外绳子对折和绳子三折余出的差正好的 井深度。因此井的深度为16-6=10尺。