函数单调性讲义提高

函数单调性1单调性定义（1）单调性定义：设函数的定义域为A ，区间I A ⊆。

如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数．区间I 叫做()f x 的单调减区间；如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数．区间I 叫做()f x 的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。

（2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 1212()()0f x f x x x ->- 单调递增 1212()()0f x f x x x -<- 单调递减例1定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A 、函数()f x 是先增加后减少B 、函数()f x 是先减少后增加C 、()f x 在R 上是增函数D 、()f x 在R 上是减函数 （3）增函数、减函数的定义及图形表示 ;增函数: )()(2121x f x f x x <⇒< 减函数: )()(2121x f x f x x >⇒< 注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点①函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A 与B 上都是增(或减)函数，在A ∪B 上不一定单调．②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x 1，x 2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．③在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域例1下图是定义在区间[-5，5]上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？例2已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根例3已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.例4已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________ ．(－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎨⎧a ＋1<010－2a >0或⎩⎨⎧a ＋1>010－2a >0a ＋1>10－2a或⎩⎨⎧a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a∴a <－1或3<a <5.2函数单调性的证明方法 （1）定义法：○1 任取x1，x2∈D ，且x1<x2； ○2 作差f(x1)－f(x2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．（2）图象法(从图象上看升降)例1判断函数xx y 4+=在[)∞+，2上的单调性,并用定义证明.例2试讨论函数()f x =[]1,1-上的单调性．.解： 设[]12,1,1x x ∈-，且12x x <．()()12f x f x -=221211x x ---==∵ x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴ 当210x x >>时，120x x +>，那么()()12f x f x >． 当210x x >>时，120x x +<，那么()()12f x f x <．故()f x =[]1,0-上是增函数，在区间[]0,1上是减函数．例3已知函数()()211f x x =-用单调性定义证明：()f x 在(),1-∞上为增函数；解设121x x <<， ()()()()()()21211222122011x x x x f x f x x x -+--=<--所以()f x 在(),1-∞上为增函数.例4证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. 则f (x 1)＝2x 1－1x 1，f (x 2)＝2x 2－1x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2由于x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,2＋1x 1x 2>0，因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(－∞，0)上是增函数．例5函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域． 解：(1)∵当x >0，y >0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)， ∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．例6定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；解：(1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝1，n ＝0， 得f (1)＝f (1)·f (0)．因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为：f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)． 由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.为比较f (x 2)，f (x 1)的大小，只需考虑f (x 1)的正负即可． 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.因为当x >0时，0<f (x )<1，所以当x <0时，f (x )＝1f (－x )>1>0. 又f (0)＝1，所以综上可知，对于任意的x 1∈R ，均有f (x 1)>0.所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0. 所以函数f (x )在R 上单调递减．3复合函数的单调性判断（1）复合函数的概念如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()u f y =，()x g u =，那么y 关于x 的函数()[]x g f y =称为f,g 的复合函数，u 为中间变量。

（2）结论：设函数()x g u =在区间M 上有意义，函数()u f y =在区间N 上有意义，且当X ∈M 时，u ∈N 。

有以下四种情况：（1）若()x g u =在M 上是增函数，()u f y =在N 上是增函数，则()[]x g f y =在M 上也是增函数； （2）若()x g u =在M 上是增函数，()u f y =在N 上是减函数，则()[]x g f y =在M 上也是减函数；（3）若()x g u =在M 上是减函数，()u f y =在N 上是增函数，则()[]x g f y =在M 上也是减函数； （4）若()x g u =在M 上是减函数，()u f y =在N 上是减函数，则()[]x g f y =在M 上也是增函数。

即：同增异减。

注意：内层函数()x g u =的值域是外层函数()u f y =的定义域的子集。

（3）用表格表示，如下（实施该法则时首先应考虑函数的定义域.）注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例1x x y 22-=例2求函数22x x y -+=的递减区间。

例3求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．解：设u ＝x 2＋x －6，y ＝u . 由x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.结合二次函数的图象可知，函数u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 又∵函数y ＝u 是递增的，∴函数f (x )＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．4函数单调性的常见结论①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x b ax y在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上⑤若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，5常见函数的单调性例1设函数b x a x f +-=)12()(是（-∞，+∞）上的减函数，若a ∈R, 则 （ ） A.21≥a B.21≤a C.21->a D.21<a 例2函数y=4x 2-mx+5在区间[)∞+，2上是增函数，在区间(]2，∞-上是减函数，则m=________; 例3函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞例4已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3例5函数f(x)=ax 2-(5a-2)x-4在[)+∞,2上是增函数, 则a 的取值范围是______________.例6求函数261y x x =--的单调区间例7若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增例8函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32例9求函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间解：(1)由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．6函数的单调性的应用例1设函数f (x )是（－∞，+∞）上的减函数，若a ∈R ，则（ ）A ．f (a 2+1)<f (a )B ．f (a 2)<f (a)C ．f (a 2+a )<f (a )D ．f (a )>f (2a )例2已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.解：设122x x <<，由()()()()221221121212121212120x a x a x x x x af x f x x x a x x x x x x x x ++---=-=-+=-<恒成立．即当122x x <<时，12x x a >恒成立．又124x x >，所以04a <≤．例3求函数112)(++=x x x f 在区间[]1,4上的最大值、最小值. 最大值为5914142)4(=++⨯=f ,最小值为2311112)1(=++⨯=f .例4若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2)＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)>0，则2a －1>0. 得a >12.提高题1已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____ 2已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)3已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.故选C.4若f (x )＝ax ＋1x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________[答案] a >－1。