4 第4讲 函数的图象

第4讲 函数的图象

1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

[注意] (1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量． (2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值． (2)对称变换

①y ＝f (x )――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；

④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称

y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换

①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象

将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|； ②y ＝f (x )

――→保留y 轴及右边图象，并作其

关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．

(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )

a ＞1，横坐标缩短为原来的1

a

倍，纵坐标不变

0

a 倍，纵坐标不变

→

y ＝f (ax )．

②y ＝f (x )

a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变

0

y ＝af (x )．

常用知识拓展 1．函数图象自身的轴对称

(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．

(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )．

(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2

对称．

2．函数图象自身的中心对称

(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称．

(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )．

3．两个函数图象之间的对称

(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方

程)．

(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称． (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将函数y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y ＝f (x ＋1)＋1的图象．( )

(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( )

(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√

下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0

的图象的是( )

答案：C

函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )

A ．e x ＋

1 B ．e x －

1 C ．e

－x ＋1 D ．e

－x －1

解析：选D.曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －

x ，将y ＝e －

x 向左平移1个单位长度得到y ＝e

－(x ＋1)

，即f (x )＝e

－x －1

.

若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝f (x －4)的图象一定经过点________． 答案：(5，1)

若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：

由题意a ＝|x |＋x ，

令y ＝|x |＋x ＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0，即实数

a 的取值范围是(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

作函数的图象(师生共研)

分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋

2； (2)y ＝|lg x |； (3)y ＝x ＋2

x －1

.

【解】 (1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图所示．

(2)

由题意得y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，

－lg x ，0

图象如图所示．

(3)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3

x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上

平移1个单位，即得y ＝x ＋2

x －1

的图象，图象如图所示．

函数图象的画法

[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域．

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |

.

解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时，