换元积分法 (一)1

例
求 xe x2 dx
解
设 u x2 则
du 2xdx
1 du xdx 2
Байду номын сангаас
xe x2 dx
1 u x2
e udu
2
1 eu C 2
1 ex2 C 2
例
求 x 1 x2 dx
解
x 1 x2 dx 1 1 x2 (1 x2 )dx 2
1
1
x2
d (1
x2
u1 x2
微积分II
Calculus II
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质
§6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.3 换元积分法（一）
一 第一类换元法(凑微分法)
1 定理三
设函数 f (u) 有原函数F (u)，且函数u ( x ) 可导， 则 F ( ( x )) 是 f ( ( x )) '( x ) 的一个原函数，且有换元积
2
f
(
x )d
x
(4) f (e x )e xdx f (e x )dex
其他常见形式见教材。
)
1
udu
2
2
1
3
u2
C
1
(1
x2
3
)2
C
3
3
由此例题可知，第一换元法的变量代换可以不写出来，
而直接通过凑微分求出原函数.
用凑微分求不定积分时,下列凑微分形式是常用的
(1) f (ax b)dx 1a f (ax b)d (ax b)
(2)
x
dx
1
dx 1
1
(3) f (
x)
1 x
dx
分公式
f (( x)) '( x)dx F(( x)) C
证明
因为 F (u) f (u)
所以 [F (( x))] F( ( x)) '( x) f (( x)) '( x)
凑微分法的步骤：
f (( x)) '( x)dx f (( x))d ( x)
u ( x )
f (u)du F(u) C F(( x)) C