角的相关计算和证明 习题及答案

角的相关计算和证明（习题） ➢ 例题示范

例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则

∠B =_______．

思路分析

①读题标注：

②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B °-60°-70°=50°．

（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）

➢ 巩固练习

1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．

第1题图 第2题图

2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．

3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）

A ．120°

B ．115°

C ．110°

D ．105°

第3题图 第4题图

4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ）

A ．50°

B ．60°

C ．70°

D ．80°

5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．

求证：∠A =2∠BCD ．

证明：如图，

设∠BCD =α

∵CD ⊥AB （已知）

∴∠BDC =90° （垂直的定义）

∴∠BCD +_____=90° （_________________________）

∴2α+2∠B=180° （等量代换）

∵_____________________（_________________________）

∵∠B =∠ACB （已知）

80°

20°

A C E D

B B D E C

A

∴∠A+2∠B =180° （等量代换）

∴∠A=2α （同角的补角相等）

即∠A =2∠BCD 6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．

求证：AD ∥BC ．

7. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC 于F ．若∠B =30°，

∠C =70°，求

∠DEF 的度数． 8. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交

BC 延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．

➢ 思考小结 1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，_________________

_________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑

_______________________________________．

2. 阅读材料

我们是怎么做几何题的？

例1：已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∠DEF =50°，∠C =70°，求∠A 的度数．

第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）

第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想？

要求∠A ，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知，只需求出∠B 的度数即可；

结合题中的条件，由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°，再由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°；

最后，利用三角形的内角和等于180°，

得∠A =180°-∠B -∠C =180°-50°-70°=60°．

第三步：规划过程

过程分成三块：

①由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°；

②由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°；

③利用三角形内角和定理求∠A ．

第四步：书写过程

➢ A B C D E F A

F M C D

P E B F E D C

B A

1.60°

2.270°

3. B

4. A

5.证明：如图，

设∠BCD=α

∵CD⊥AB（已知）

∴∠BDC=90° （垂直的定义）

∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）

∴2α+2∠B=180°（等量代换）

∵∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形的内角和等于180°）

∵∠B=∠ACB（已知）

∴∠A+2∠B=180°（等量代换）

∴∠A=2α（同角的补角相等）

即∠A=2∠BCD

6.证明：如图，

∵AB∥DE（已知）

∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）

∵AC平分∠BAD（已知）

∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）

∴∠1=∠DAC（等量代换）

∵∠1=∠ACB（已知）

∴∠DAC=∠ACB（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

7.解：如图，

在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°（已知）

∴∠BAC=180°-∠B-∠C

=180°-30°-70°

=80°（三角形的内角和等于180°）

∴∠EDF=∠B+∠BAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠B=30°（已知）