角的相关计算和证明 习题及答案

角的相关计算和证明（习题） ➢ 例题示范
例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则
∠B =_______．
思路分析
①读题标注：
②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B °-60°-70°=50°．
（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）
➢ 巩固练习
1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．
第1题图 第2题图
2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．
3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）
A ．120°
B ．115°
C ．110°
D ．105°
第3题图 第4题图
4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．
求证：∠A =2∠BCD ．
证明：如图，
设∠BCD =α
∵CD ⊥AB （已知）
∴∠BDC =90° （垂直的定义）
∴∠BCD +_____=90° （_________________________）
∴2α+2∠B=180° （等量代换）
∵_____________________（_________________________）
∵∠B =∠ACB （已知）
80°
20°
A C E D
B B D E C
A
∴∠A+2∠B =180° （等量代换）
∴∠A=2α （同角的补角相等）
即∠A =2∠BCD 6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．
求证：AD ∥BC ．
7. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC 于F ．若∠B =30°，
∠C =70°，求
∠DEF 的度数． 8. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交
BC 延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．
➢ 思考小结 1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，_________________
_________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑
_______________________________________．
2. 阅读材料
我们是怎么做几何题的？
例1：已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∠DEF =50°，∠C =70°，求∠A 的度数．
第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）
第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想？
要求∠A ，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知，只需求出∠B 的度数即可；
结合题中的条件，由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°，再由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°；
最后，利用三角形的内角和等于180°，
得∠A =180°-∠B -∠C =180°-50°-70°=60°．
第三步：规划过程
过程分成三块：
①由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°；
②由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°；
③利用三角形内角和定理求∠A ．
第四步：书写过程
➢ A B C D E F A
F M C D
P E B F E D C
B A
1.60°
2.270°
3. B
4. A
5.证明：如图，
设∠BCD=α
∵CD⊥AB（已知）
∴∠BDC=90° （垂直的定义）
∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）
∴2α+2∠B=180°（等量代换）
∵∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形的内角和等于180°）
∵∠B=∠ACB（已知）
∴∠A+2∠B=180°（等量代换）
∴∠A=2α（同角的补角相等）
即∠A=2∠BCD
6.证明：如图，
∵AB∥DE（已知）
∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）
∵AC平分∠BAD（已知）
∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）
∴∠1=∠DAC（等量代换）
∵∠1=∠ACB（已知）
∴∠DAC=∠ACB（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
7.解：如图，
在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°（已知）
∴∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-30°-70°
=80°（三角形的内角和等于180°）
∴∠EDF=∠B+∠BAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠B=30°（已知）
∴∠EDF=30°+40°
=70°（等量代换）
∵EF⊥BC（已知）
∴∠EFD=90°（垂直的定义）
∴∠EDF+∠DEF=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠DEF=90°-∠EDF
=90°-70°
=20°（等式的性质）
8.解：如图，
在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°?∠ACB?∠B
=180°?70°?40°
=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠DAC=1
2
∠BAC
=
1
2
×70°
=35°（角平分线的定义）
∵EF⊥AD（已知）
∴∠APF=90°（垂直的定义）
∴∠AFP+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠AFP=90°?∠DAC
=90°?35°
=55°（等式的性质）
∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）
∴∠CFM=55°（等量代换）
∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）
∴∠ACB=∠M??∠CFM（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB?∠CFM
=70°?55°
=15°（等式的性质）
➢思考小结
同位角、内错角、同旁内角，
直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；
三角形的内角和等于180°，
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。