三角函数对称性问题ppt课件
高三数学三角函数的最值、对称性与周期性》课件.ppt
湖南省江华一中高三数学组
【基础训练】
5．函数 y = log0.5(3sinx +1)的值域为 （B ） A．(–∞,–2] B．[–2,+∞) C．[–2, 0 ) D．(0, 2]
1 6．函数 y = 的定义域为 1 tan 2 x
.
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【基础训练】
5．函数 y = log0.5(3sinx +1)的值域为 （B ） A．(–∞,–2] B．[–2,+∞) C．[–2, 0 ) D．(0, 2]
中心是 （
）
A. ( ,0)
B. ( ,0) C. ( ,0) 2 4
D. ( ,0) 8
湖南省江华一中高三数学组
【基础训练】
1．函数 y = sin2xcos2x 的最小正周期是 （ D） A. ．函数 y sin( 2 x )的图象的一个对称 2
（3）若函数 f ( x )
1 cos 2 x 4 sin(
2
2
x)
x x a sin ( ) 2 2
的最大值为 2，试确定常数 a 的值.
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2．三角函数的周期性问题
例2 已知函数 f (x ) =
3 sin( 2 x
6
) 2 sin ( x
3．研究复合函数 f (sinx)，f (cosx)的值域时， 不能忽视定义域. 另外要注意 sinx、cosx 的有界性.
湖南省江华一中高三数学组
【知识要点】 4．对称性
（1）y = sinx 的对称中心为( k ,0)( k Z )； 对称轴为 x k
三角函数图像的对称轴与对称中心
函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈．2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+k Z ∈．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈．3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心：渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k πk Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+= ()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________．解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．-----精心整理，希望对您有所帮助!。
三角函数的对称性、中心对称
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
解析：函数
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2
2
2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------
3
2w
3
得w .
2
2w
...........-2
2w
融会贯通：
函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于
π
三角函数的对称性
三角函数的对称性
三角函数具有一种独特的对称性，也就是说它们在一定坐标系中具有一定的对称行为或特征。
三角函数的这种对称性由若干基本原则统一起来，这些基本原则主要是指三角函数的弧度值，坐标系中的极限值和间隔，以及它们在无穷远处取得的值。
首先，三角函数弧度值具有对称性，由于每个角度和它的对称点(例如对应180度的角度)对应相同的角度值，所以说三角函数在弧度值上具有“自反”的特性。
其次，三角函数在坐标系中具有“极限”和“间隔”的对称性。
三角函数在无穷小和无穷大状态中取得的值也是相等的，即极限的值也具有对称性的特征。
另外，三角函数的“间隔”也具有特定的对称性，即多次取值之后，会得到完全相同的值，如 pi/2 和3*pi/2 一样，它们分别为90度和270度，这也是一种间隔的对称性。
因此可以看出，三角函数具有特殊的对称性特征，被认为是数学中一种古老而重要的性质。
数学家们因而提出了若干准则，来描述其对称性特征，以实现更加精密地对三角函数的推导和分析。
至此，这一重要的性质得以真正被人们所理解和应用，海瑞拉斯也由此获得了丰厚的回报。
函数的周期性和对称性PPT课件
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
上海高中三角函数的周期性奇偶性和对称性PPT课件
tan1
【 例 4 】 求 下 列 函 数 的 最 小 正 周 期 ：
(1)y 3sin2xcos2x
解：y2sin(2x) T 2
6
2
y a sinx b cosx 的周期T 2
【例4 】求下列函数的最小正周期：
(2)ysin2(2x)1
3
1cos(4x2)
解：y
3 1
2
1cos(4x2)3
f(x)sin2x(sin2x)sin2x
f(x)f(x)
该 函 数 是 奇 函 数
【例 1 】判断下列函数的奇偶性：
(2)yxcos(x)
解 ： 定 义 域 R 关 于 原 点 对 称
f(x)x(cosx)xcosx f(x)xcos(x)xcosx
f(x)f(x) 该 函 数 是 奇 函 数
(1)当f (x) 是奇函数时 f (x) f (x) 0
2cos2xsin0
sin 0
k,kZ
【例2】已知函数f xsin2x (1)取何值时，f x是奇函数？ (2)取何值时，f x是偶函数？
解 ： fx s i n 2 x c o s c o s 2 x s i n f x s i n ( 2 x ) c o s c o s ( 2 x ) s i n
当 y取 得 最 大 值 或 最 小 值 时 sin(x)1
一 、 y s i n x 的 奇 偶 性 、 周 期 性 和 对 称 性 :
y 1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y sin x
周期性 sin(x2)sinx T 2
奇偶性 对称轴 对称中心
sin(x)sinx 奇 函 数
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性(课堂PPT)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
三角函数的性质对称性与单调性
03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的对称性
三角函数的对称性一、对称性规律： 1、 对称轴： 若x a =是()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ的对称轴，则()f a A =±2、 对称中心： 若(,0)a 是()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ或()tan()f x A x ω=+Φ的对称中心，则()0f a =解题思路：解选择题的思路即代入法。
二、基础检测（会考说明）1、）（62sin 3π+=x y 的一条对称轴可以是：（ ） A ．Y 轴； B ．6π=x .； C ．12π-=x . D ．.3π=x .。
（会考说明）2、）（43sin 3π-=x y 的一个对称中心可以是：（ ） A ．），（012π-； B ．），（0127π-.； C ．. ），（0127π； D ．），（01211π. 3、已知函数（文）函数y = cos （2x -4π）的一对称方程是 （ ）A ．x = 2π- B ．x = 4π- C ．x = 8π- D ．x =π4、函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称5、22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是（ ）（A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π6、(4) 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π=对称，则下列函数中同时具有性质①、②的是（ ）(A) sin()26x y π=+ (B) sin(2)6y x π=-(C) sin y x = (D) sin(2)6y x π=+。
高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
三角函数的对称性问题
三角函数的对称性问题一、知识要点：正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性问题如下图：（1）由基本三角函数的图象可以看出，正弦曲线、余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线；正切曲线只是中心对称曲线.（2）正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线的最高点或最低点，相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期；正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点(与x 轴的交点），相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期，并且对称轴、对称中心间隔排列着. 正切曲线的对称中心除去零点外还有使正切函数值不存在的点，用平行于x 轴的直线去截正切曲线，相邻两交点之间的距离都相等并且都等于正切函数的周期.(3) 函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+的单调区间以及对称轴，对称中心可利用整体代换法由正弦函数、余弦函数的单调区间、对称轴、对称中心求解.二、典型例题：例1：若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．则()y f x =的解析式可以是A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-2222π22解析：由最小正周期为π,可排除A, 由图象关于直线3x π=对称,可排除B, 由在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数可得答案应为C.评述：本题考查了三角函数的性质及其解析式的探求.三角的复习应充分利用数形结合的思想方法，即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的性质，同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象，揭示图形的代数本质.例2：已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是 ( )A ．(3,(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃解析: ∵y = cosx 是R 上的偶函数，∴()cos y f x x =是定义在)3,3(-上的奇函数，故只须考察()cos y f x x =在区间(0,3)上的函数值的取正取负的情况，根据函数(),cos y f x y x ==在区间(0,3)上的零点，列表如下：函数()cos y f x x =的图象如上所示，不等式0cos )(<x x f 的解集是三个分离的开区间的并集，即(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃.故应选B.评述：考纲要求“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图”.命题时将函数图象的叠加作为命题点,这也是近年来高考的一个热点.三、举一反三：1. 函数1cos y x =+的图象 ( )A. 关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =2π对称答案： B解析:由于函数cos 1y x =+为偶函数，故其图象关于y 轴对称.故应选B.2.将函数y =sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）A ．76π B ．2π C ．6π D ．3π答案：C解析:由)3sincos 3cos(sin 2cos 3sin ππ⋅-⋅=-=x x x x y 2sin(),3x π=-2sin(),3y x π=-即 函数图象的周期,2π=T 且图象上一个对称中心)0,3(π,结合图象分析知,图象再向右平移6π 后，图象关于y 轴对称,所以a 的最小值为,6π故选C.3. 若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝ .答案： a ＝－1解析:∵x 1＝0，x 2＝－π4 是定义域中关于x ＝－π8对称的两点∴f (0)＝f (－π4 ),即0＋a ＝sin(－π2 )＋a cos(－π2), ∴a ＝－1.4.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，R x ∈.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称中心坐标；(Ⅱ)若11()25x f =，且π<<x 0，求x x sin cos -的值.解析:)2cos 1(232sin 22cos 1)(x x x x f +++-=22cos 2sin ++=x x 2)42sin(2++=πx .令ππk x =+42 知 82ππ-=k x ， Z k ∈.故函数)(x f 的图象的对称中心的坐标为)2,82(ππ-k（Z k ∈）.（II ）由11()25xf =, 得1sin cos 5x +=, 平方得 242sin cos 25x x =- .又).,0(π∈x 故 0s i n>x ， 0cos <x∴7cos sin 5x x -===-即7cos sin 5x x -=-.。
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
三角函数图像的对称性研究
余弦函数对称性的应用
1.在信号处理中，利用余弦函数的对称性可以进行频谱分析和 滤波设计。 2.在电子工程中，余弦函数的对称性被用于设计和分析电路中 的振荡器和谐振器。 3.在数学和物理中，余弦函数的对称性经常被用于解决各种复 杂的问题，如微分方程和积分方程的求解。 余弦函数的对称性不仅具有理论价值，还有广泛的实际应用。 通过深入理解和利用余弦函数的对称性，我们可以更好地分析 和解决实际问题，推动科学和技术的发展。
三角函数的基本性质
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值随着角度的增加而呈现出周期性的变化。 2.振幅和相位：三角函数的振幅和相位是描述函数图像的重要参数，它们决定了函数图像 的形状和位置。 3.奇偶性：三角函数具有奇函数和偶函数的性质，即正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数。
三角函数简介
三角函数的图像
1.广义正切函数的对称性：除了常见的正切函数，还有一些广 义的正切函数，如双曲正切函数等，这些函数的对称性也有一 定的研究价值。 2.正切函数与其他函数的对称性比较：正切函数的对称性与其 他三角函数（如正弦函数、余弦函数）的对称性有所不同，对 比研究可以更深入地理解这些函数的性质。 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化 。
1.绘制三角函数图像的基本方法和步骤，包括设置坐标轴、确 定函数表达式、计算函数值等。 2.使用计算机软件绘制三角函数图像的方法和技巧，如 MATLAB、Excel等。 3.三角函数图像的变换和操作，如平移、伸缩、翻转等。
三角函数图像基础
▪ 三角函数图像的对称性
1.三角函数图像的对称性和周期性之间的关系。 2.常见三角函数图像的对称轴和对称中心的确定方法。 3.利用对称性解决三角函数问题的方法和技巧。
三角函数对称性
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x k ,k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
3
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x L ,0, , 2 L
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
6
7
8
9
10
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
y
1
C.x
12
D.x 0
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x 为对称轴
【答案】 B
14
三角函数的对称性
15
例3
16
17
作业： 求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
23
18
22 2
2
( k ,0) k Z
2
4
六、正弦、余弦函数的对称性
y
y sin x(x R)
1
-4 -3
-2
- o
2
3
4
5
-1
y=sinx的图象对称轴为：
x k
，k Z；
2
6 x
y=sinx的图象对称中心为： ( k ，0 )， k Z .
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
正弦、余弦函数的对称性
1
中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。
轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。
2
正弦、余弦函数的对称性
正弦函数的图象 y
1P
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x L 5 , 3 , 1 , 1 , 3 L
12
11
练习
•
求
y sin(2x )
3
函数的对称轴和对称中心
解（1）令 z 2x
则
y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
12
练习
•
求
y
1 cos(
x
)
函数的对称轴和对称中心
24
13
1．(教材改编题)y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是( )
A．(－π，0)
B．(－34π，0)
C．(34π，0)
D．(π2，0)
【解析】 令 x－π4＝kπ，∴x＝kπ＋π4，k∈Z. 令 k＝－1，得 x＝－43π，y＝0.
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为： x k ， k Z ；
y=cosx的图象对称中y 心为：(k
2
，0 )， k
Z.
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
5
例5、y sin(2x 5 )的一条对称轴是（ C ）
4
A、x B、x C、x D、x 5