工程制图-06-线面、面面相对位置

直线与平面、平面与平面
目 录
的相对位置
直线与平面相交 平面与平面相交 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面垂直 平面与平面垂直
直线与平面相交
利用平面有积聚性的投影求 线面的交点
[例] 求直线与铅垂面 的交点。
由AB与平面CDE的交点， 向上作垂线，与a b 交于k ， 则点K（k，k）即为交点。
MK ABC
dk c e
mb
直线与平面垂直（续）
b' 线面垂直
a'
直线与投影面垂直面垂直
直线垂直于某投影面的 垂直面时，它必然是该投影 面的平行线。即与铅垂面垂
X
O
b
PH
a
是水平线
QV d'
c'
X
O
c
d
是正平线
直的直线必为水平线；与正 垂面垂直的直线必为正平线。 p' b' a'
d' a' e'
b'
在投影图上作平面的垂线 时，可作出平面的水平线和正 平线作为面上的相交二直线。 此时所作垂线与水平线所夹的 直角，其H投影仍为直角；垂 线与正平线所夹的直角，其V 投影仍为直角。
M
P A1
C1
C
A DK
E D1
E1
H
线面垂直
MK AE MK CD MK 平面P
m'
c'
a' Xa
k' e'
d' b'
O
可见性判断：线面相交， 交点把直线AB分为AK和BK 两 段。由水平投影可看出，AK 在平面之前，所以a k 为可 见，b k 与平面重影部分为 不可见（用虚线画出）。
Vc
垂直
面与
a
源自文库
一般 线相
交
d
b
k'
C
eA E
K
BD
e
b d ck
aH
c'
a'
d'
k'
e'
X b'
O
b
e
ck a d
直线与平面相交
利用直线有积聚性的投影求线面交点
a'
X a
PH
b' g' d'
c'
f'
e' e bc
O f d
g
c dPH a 平行于P a'
b
H b'
X
O
PH
b
a
平行
[例] 判断直线AB与 CDE是否平行。
例
在三角形内作df平行于ab，求出d’f’,因d’f’不平行于a’b’,可
知AB与 CDE不平行。
不平行 b'
c'
f'
e'
a'
d'
X
平行 a
d bc
O
e f
[例] 过点A作水平线AB平行于 CDE，AB长20mm.
例
在三角形内作一水平线（, d’f’），并过点a作
平行于，使长为20, 并求出a’b’。
a'
b' c'
d'
f'
e'
X
O
bc f
e
a
d
平行
平面与平面平行
面 面
平
行
几何条件：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相
交直线对应平行，则这两平面平行。
的重影部分为不可见。
a' c'
k' f' 重影点 e'
m（’ n’）
b'
O
n
e
（m）（k） a(b) f
C
平面与平面相交
关键是求平面与平面的公有线——交线 两投影面垂直面相交 交线是一条垂直于该投影面的垂直线。
二垂直面相 交
交线垂直 于H面
AQ P
H
QH B PH
a’ 交线是
RV S V
铅垂线
c’
b
直线与平面垂直（续）
X
O
2 求MN与 ABC的交点K， 并判断其投影的可见性。
bm
e
a
k
d
n
c
直线与平面垂直（续）
[例] 求点A到直线的距离。
距
离
实 长
m'
1. 过点A作水平线AB MN，
作正平线AC MN，则平面ABC
MN。
a'
2 求直线与平面的交点K。 X
3 用直角三角形法求的
a
实长。
m
例
c'
k' b'
n' nO c k
例
s'
PV
b' a'
(f')
c' d' (e')
fe
a sd
bc
直线与平面平行
线面平
行
几何条件：若直线平行于平面内一直线，则直线 与平面平
行若直。线与投影面垂直面平行，则该平面的投影面垂直面的积聚投
影与该直线的同面投影平行。
B AB CD
AB P A C
D
V d'
b'
D a' B
c'
C
A
AB CD AB EFG
B P
A
X pb
OXa
c' O
e
c d
Hb
a
a 是水平线
b 是正平线
直线与平面垂直（续）
[例] 过M点作一直线MN垂 直 1 在 于ABCA内BC任，作并水求平其线垂C足E 。
b' n’ e' k’
例
d'
c'
和正平线AD，并过m及m’点分 别作mn ce，m’n’ a’d’，则直
a'
m’
线MN ABC。
垂直线与一 般面相交
[例] 求铅垂线与平面的交点。
因交点的H面投影与直线
的积聚投影重合，又因交
点也属于平面，故可用平面 内取点的方法，求交点的V
面投影。过a（b）作辅助线
，并求出d’f’与a’b’的交 点k’。
d'
可见性判断：
X
（利用重影点m’和n’来判断）
从H投影可看出在前，n在
d
后，故b’k’可见，a’k’与平面
当两个投影面垂直面相互平行时，它们的积聚投影也互相平
行。
a'
C P D Q b'
AB F E
X
f' e' c' d' O X
H
b
cd
QH
O PH
PQ
af
e
两平面的积聚投影平行
两平面平行
QP
例
平面与平面平行
[例] 判断 ABC与 DEF是 否平行。
过 DEF内的任意点 K的水平投影k作km ab， 作kn cb，并求出相应的 k’m’,k’n’;
由图中可看出，k’m’ a’b’, k’n’ c’b’, 所以 两三角形互相平行。
b'
e'
c' n'
m'
a' X
d' k'
f' O
a
c
k
f
dn
m
b
e
KM AB KN CB 两三角形平面互相平行
直线与平面垂直
直线与一般面垂直
几何条件：若一直线 (相交 或交叉)垂直于平面上的任意两 条相交直线，则此直线必垂直 于该平面。
b’
（d’）
X
OX
O
a
（b）
QH
PH
d 交线是
正垂线 c
平面与平面相交 关键是求平面与平面的公有线——交线
一般面与投影面垂直面相交 可利用平面有积聚性的投影求出两平面的交线。
垂直面与一般面 相交
[例] 求铅垂面P与三角形的交线，并判断其投影的可见性。
分别过与p的交点m和与p 的交点n向上作垂线，与a’c’ 和b’c’分别相交于m’ 和n’；连接m’n’即为交 线从。H投影可知，在平 面p之前，所以V投影 a’m’n’b’ 为可见。m’c’n’ 与p’的重 影 部分为不可见。
不 可 见
p’ a’ m’
c’
n’
X
c
n
pH m a
可 见 b’
O b
平面与平面相交
[例] 求正六棱锥被正垂 面 截切后的截交线。
只需分别求出正垂面 与正六棱锥各棱面的交线。 为求交线，可求出 与各 条棱线的交点后依次连之。
注意应画出H 投影中仍 存在的棱线。 AB是PV与左前棱面的交线 BC是PV与前棱面的交线 CD是PV与右前棱面的交线 DE是PV与右后棱面的交线 EF是PV与后棱面的交线 FA是PV与左后棱面的交线