水静力学2
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第二章水静力学(环境)
h
H
H
L
L
h H H
h
P
H H
P
L
L/3
h
h
H
H
e
L
H
h
h H
h
H
( H h)
请画出上图正确的静水压强分布图
画出以上三个容器左侧壁面上的压强分布图
A h H
B
R
平衡方程为
p X 0 x
或
1 p X 0 x
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z
同理有
和 其中 X, Y, Z 是质量力 f 的三个分量。
•
平衡微 分方程的 矢量形式
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
z py
dz
px pn
n
dx dy pz
o
y
pn p x p y p z
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静水压 强的大小与作用面的方位无关。
静止液体中一点的应力
p p( x, y, z )
在这个表达式中，已 包含了应力四要素： 作用点、作用面、受 力侧和作用方向。
p
pA / zA
，所以
pB /
叫测压管水头。
zB
O O
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
•4. 静水压强的方程式的物理意义
z 位置势能，（从
基准面 z = 0 算起铅 垂向上为正。 ）
p
压强势能（从
大气压强算起）
z
p
流体力学 第二章 水静力学 (2)
式中
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
水力学 水静力学 水静力学
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
第二章水静力学
n
= p • D Ax
p =
n n
•
1 2
Dy
•
Dz
代入第一式
F F F px pncos(n, x) x =0 则：
1 2
Dy
Dz
px
1 2
Dy
Dz
pn
1 6
Dx Dy
Dz
fx
=
0
整理后,有
px
pn
1 Dx
3
fx
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
0 因此：
△h
G
z1
2p 2
z2
0
h
G
p
0
（a）
（b）
圆柱上表面的静水压力 F1 = p1DA
圆柱下表面的静水压力 F2 = p2DA
小水柱体的重力
G = gDADh
力的平衡方程 p2DA p1DA gDADh = 0
p 0 ▽
h1 h2
△h
p
11
G
z1
2p 2
z2
0
（a）
p 0 ▽
h
G
p
0 （b）
单位重量的液体在某点所具有的位置势能（单位位
能）：
z1
=
mgz1 mg
z 的能量意义是单位重量液体所具有的位置势能，
称为单位位能。
pa
p1 g
h12
1
z1
pa
p2 g
z2
0
0
Z Fpy
D Fpn Fpx
z
A y CBOFpzYX
相应面上的总压力为
第二部分 水静力学
§2—2 液体平衡的微 分方程及其积分
1．液体平衡的微分方程
设正交六面体中心 点处的静水压强为p，是 坐标的连续函数，即 p=p(x,y,z)，用泰勒级数 展开得M和N点的压强为
pM
p 1 p dx 2 x
pN
p
1 p dx 2 x
ABCD面上的力（p 1 p dx)dydz 2 x
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
积分：p= —ρ（a x +g z）+ C
由边界条件x = z = 0 ,p = p0 C = P0对任一点B（x ，y ）
p p0 (ax gz)
p0
(a g
x
z)
p0
a g
x z
p0 (z z ) p0 h
pc p0 h2 p0 h1 (h2 h1) pA h
p p0 h
水静力学基本方程常用表达式 说明：
(1) 静水压强随深度按线性规律增加。
(2) 液体内任一点的静水压强由两部分组成， 一部分是自由液面上的表面压强po； 另一部分是单位面积上的垂直液柱重量γh 。
§2-3重力作用下静水压强的分布规律
思考： 点A质量为M的液体： 静止时有重力Mg，方向？与Z轴方向？？在X、Y轴方向的投影为？ 则：单位质量力为Mg / M = g ，方向？？
任一点的单位质量力均为g，方向？？
1 ．水静力学基本方程
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
液体平衡微分方程综合式
X 0, Y 0, Z g
思考： 平面上各点的静水压力方向？？ 曲面上各点的静水压力方向？？
2第二章 水静力学
Байду номын сангаас
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
《水力学》第二章答案
第二章:水静力学 一：思考题2-1.静水压强有两种表示方法,即:相对压强和绝对压强2-2.特性(1)静水压强的方向与受压面垂直并指向手压面;(2)任意点的静水压强的大小和受压面的方位无关,或者说作用于同一点上各方向的静水压强都相等. 规律:由单位质量力所决定,作为连续介质的平衡液体内,任意点的静水压强仅是空间坐标的连续函数,而与受压面的方向无关,所以p=(x,y,z)2-3答：水头是压强的几何意义表示方法，它表示h 高的水头具有大小为ρgh 的压强。
绝对压强预想的压强是按不同的起点计算的压强，绝对压强是以0为起点，而相对压强是以当地大气压为基准测定的，所以两者相差当地大气压Pa.绝对压强小于当地大气压时就有负压，即真空。
某点负压大小等于该点的相对压强。
Pv=p'-pa2-4.在静水压强的基本方程式中C g p z =+ρ中，z 表示某点在基准面以上的高度，称为位置水头，g p ρ表示在该点接一根测压管，液体沿测压管上升的高度，称为测压管高度或压强水头，g p z ρ+称为测压管水头，即为某点的压强水头高出基准面的高度。
关系是：（测压管水头）=（位置水头）+（压强水头）。
2-5.等压面是压强相等的点连成的面。
等压面是水平面的充要条件是液体处于惯性坐标系，即相对静止或匀速直线运动的状态。
2-6。
图中A-A 是等压面，C-C,B-B 都不是等压面，因为虽然位置高都相同，但是液体密度不同，所以压强水头就不相等，则压强不相等。
2-7.两容器内各点压强增值相等，因为水有传递压强的作用，不会因位置的不同压强的传递有所改变。
当施加外力时，液面压强增大了Ap∆，水面以下同一高度的各点压强都增加Ap∆。
2-8.（1）各测压管中水面高度都相等。
（2）标注如下，位置水头z,压强水头h,测压管水头p.图2-82-9.选择A2-10.(1)图a 和图b 静水压力不相等。
因为水作用面的面积不相等，而且作用面的形心点压强大小不同。
2水静力学
z
dz A dx
¶¶ ppdx dx p + ( p+ )dydz ¶ x 2 ¶ x 2 dy
å
Fx = 0
x y
p dx )dydz + r f x dxdydz = 0 x 2
(p-
抖 p dx )dydz - ( p + 抖 x 2
简化：
¶p = r fx ¶x
液体平衡微分方程式
¶p = r fx ¶x
p0 g
Z
y
h
p0=pa
x
p = p0 + g h = p0 + r gh
p0 + g= h= p0则 + r gh 解： p = 若 p0 0， p = gh = 98kN / m2 + 1000kg / m3 创 9.8m / s 2 1m 1000 = 107.8kN / m2
静水压强基本公式
压强的计示、单位及量测 作用于平面上的静水总压力
静水压强及其特性
1.静水压强
T
P
P G
静水压力：静止液体作用在与之接触的表面上的水压力。 静水压强： 面平均静水压强 点静水压强
p= P A
DA
p = lim
DP 0 DA
单位：N/m2、kN/m2 、Pa 、kPa
2.静水压强的特性
1）静水压强垂直指向受压面（垂直性）
4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另一点的压强值。
p2 = p1 + gD h
2.水头和单位势能的概念
z+ p p p = c或z1 + 1 = z2 + 2 g g g
z
p0
2、水静力学
题 2-3 图 -1z1 z3
p1
2
2
A CD B
p2
z2
第二章 水静力学
pC = p1 +γ (z1 + z3 ) = 137 + (0.5 + 2.3) × 9.8 = 164.44 KPa pD = p2 +γz2 = 39 + 0.5 × 9.8 = 43.9 KPa ∴ p A 141.9 = = 14.48m； γ 9.8 pB 43.9 = = 4.48m； γ 9.8 = 4.48m
A1 = 0.25πd 2 = 0.25π × 12 = 0.785m 2 A2 = 0.25πD 2 = 0.25π × 22 = 3.14 m 2 (1) pA = pB =
' '
F A B d h
F 4 = = 5.096 kN / m 2 A1 0.785
A＇ D 题 2-6 图 B＇
p A = p B = pA + γh = 5.096 + 9.8 × 2 = 24.696 kN / m 2 (2) F = p A A2 = 24.696 × 3.14 = 77.595 kN
-3-
B
题 2-8 图
第二章 水静力学
X dx+ Y dy+ Z dz = 0 X = - a, Y = 0, Z = - g dz a ∴ tan θ = =− dx g a ＝ − g tan θ＝ − gh 5 = −9.8 × = 1.63m / s 2 −l −30
2-9 在做等角速度旋转的物体上，装有 U 形管式角速度测定器，如图所示，测得 U 形管液面差△z = 0.272m, 两支管旋转半径 R1 = 7.5cm，R2＝37.5cm，试求该物体的旋转角速度 ω 。 解：
p1
2
2
A CD B
p2
z2
第二章 水静力学
pC = p1 +γ (z1 + z3 ) = 137 + (0.5 + 2.3) × 9.8 = 164.44 KPa pD = p2 +γz2 = 39 + 0.5 × 9.8 = 43.9 KPa ∴ p A 141.9 = = 14.48m； γ 9.8 pB 43.9 = = 4.48m； γ 9.8 = 4.48m
A1 = 0.25πd 2 = 0.25π × 12 = 0.785m 2 A2 = 0.25πD 2 = 0.25π × 22 = 3.14 m 2 (1) pA = pB =
' '
F A B d h
F 4 = = 5.096 kN / m 2 A1 0.785
A＇ D 题 2-6 图 B＇
p A = p B = pA + γh = 5.096 + 9.8 × 2 = 24.696 kN / m 2 (2) F = p A A2 = 24.696 × 3.14 = 77.595 kN
-3-
B
题 2-8 图
第二章 水静力学
X dx+ Y dy+ Z dz = 0 X = - a, Y = 0, Z = - g dz a ∴ tan θ = =− dx g a ＝ − g tan θ＝ − gh 5 = −9.8 × = 1.63m / s 2 −l −30
2-9 在做等角速度旋转的物体上，装有 U 形管式角速度测定器，如图所示，测得 U 形管液面差△z = 0.272m, 两支管旋转半径 R1 = 7.5cm，R2＝37.5cm，试求该物体的旋转角速度 ω 。 解：
[理学]2第二章水静力学
![[理学]2第二章水静力学](https://img.taocdn.com/s3/m/78563304dd36a32d7275810a.png)
2. 若平衡液体具有与大气相接触的自由表面，则自由表面 为等压面，因为自由表面上各点的压强都等于大气压强。 3. 不同流体的交界面也是等压面。 此外，应用等压面概念时，必须注意等压面以下的液体是相 连通的同种液体。
实际应用：
对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水压强 相等，故水平面即是等压面。但必须注意，这一结论只适用于 质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的液体（如液 体被阀门隔开），或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位 于同一水平面上的各点，压强并不相等，即水平面不一定是等 压面。
• 1. 表面力
作用于六面体的表面力，为周围液体对六面体各表面上 所作用的静水压力。 垂直于 x 轴的左右两 个平面中心点上的静 水压强分别为：
p 1 p 1 p dx 和 p dx 2 x 2 x
则静水压力分别为：
1 p p dx dydz 和 2 x 1 p dx dydz p 2 x
p A 98 9.8[ 0.98 (1.5) (1.0)] 109 .27 kPa 9.8
a x z )中的p=p0，得自由表面方程为ax+gz=0 g
再令
p p 0 (
从而它与水平面的夹角为 a 0.98 q arctg arctg 543 g 9.8
章节设置
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 静水压强 液体平衡微分方程 重力作用下的静力学基本方程 作用在平面壁上的静水总压力 作用在曲面壁上的静水总压力
学习要点
• 1、静水压强的两个重要的特性和等压面的性 质。 • 2、静水压强基本公式和物理意义，静水压强 计算。 • 3、静水压强的单位和三种表示方法： 绝对压强、相对压强和真空度；理解位置 水头、压强水头和测压管水头的物理意义和几 何意义。
第2章 水静力学
第二章 水静力学目的要求：掌握静水压强的有关概念；作用在平面、曲面上静水总压力的计算方法。
难点：压力体的绘制 全部内容均为重点水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0=τ，只有p 存在。
§2-1 静水压强及其特性 一、定义P ∆—面积ω∆上的静水压力 （N ）平均静水压强ω∆∆=Ppa 点的静水压强)(/lim 20a P m N d dpP p ωωω=∆∆=→∆二、静水压强的特性1、第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。
2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
yzp⊿⊿⊿zxxpp ynpxzynACBnzyxpppp,,,，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆spyxpzxpzypnzyx212121⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆zyxZzyxYzyxX616161ρρρ沿x方向力的平衡方程：61),cos(21=∆∆∆+∆-∆∆zyxXxnspzypnxρ612121=∆∆∆+∆∆-∆∆zyxXzypzypnxρ1=∆+-xXppρ取微分四面体无限缩至o 点的极限表面力质量力C pz C z p dz gdz dp =+→'+-=→-=-=γγγρ或 γγ2211p z p z +=+——重力作用下水静力学的基本方程。
对于液面点与液体内任意点h p p pz p h z γγγ+=→+=++00——水静力学基本方程的常用表达式说明：（1）当 2121z z p p >< ，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。
液面压强0p 由γh 产生的压强（3） p 随h 作线性增大。
（4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强， 取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。
（5）h p p ∆+=γ12二、等压面1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。
第2章水静力学
+13598×9.8×0.3-9.8×800×0.2 +13598×9.8×0.25-9.8×1000×0.6 =67805.2（Pa）=67.8(KPa)
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
水力学第2章 水静力学
A点的相对压强为
pA gL sin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
pA gL sin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
水力学吴持恭第四版课件2 水静力学学习资料
公式 p = DP 平均压强
DA
p = lim DP DA 0 DA
单位：N/m2 （Pa）
点压强
二、静水压强的特性
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
P Ⅰ
N
AB
Ⅱ τ
N P
Pn
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
=
p y
=
p z
=
p n
上式表明任一点的静水压强 p是
各向等值的，与作用面的方位无
关。第二特性得到证明
Z D Pn Px A Py C
O B Pz X
Y
第二章 水静力学
§2-2 液体的平衡微分方程及 其积分
液体处于平衡状态时，作用于液体上 的各种力及其坐标间的微分关系
第二章 水静力学 Z
A(x,y,z)
量（1
p
x
1
p y
1
p
z
）是对应相等的。
又称欧拉平衡微分方程
第二章 水静力学
将X
1
p x
=
0
Y
1
p y
=
0
Z 1
p z
=
0
依次乘以dx,dy,dz后相加得：
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
=
Xdx
Ydy
Zdz
因为 ( p dx p dy p dz) 是P(x,y,z)的全微分 x y z
( p 1 p dx)dydz 2 x
( p 1 p dx)dydz 2 x
第2章水静力学
p pabs pa pv 7 104 Pa
例2：若当地大气压强相当于700mm汞柱高，试将绝对压强 pabs=19.6×104N/m2用其不同的单位表示。 解: (1)对于绝对压强 ①用水柱高度表示
h水 10m 4 9.8 10 Pa 19.6 104 Pa
10 19.6 104 h水 = =20m 4 9.8 10
p2/γ z2
p1/γ
z1
1 2
2、静水压强分布图
定义：用带有箭头的直线表示压强的方向，用直线
长度表示压强的大小，将作用面上的静水压强分布
规律形象直观地画出来，此几何图形就是静水压强
分布图。 绘制的规则：
（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。
（2）用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 方法： 只要绘出两端点的压强，即可确定静水压强的直线分布。
形式1：
p p0 gh
形式2：
z
p C g
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmgz Δmgz z Δmg
z
Δm
z0
单位液重所具有的位能
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmg Δmg p
p
z
Δm
z0
Δmg
p
单位液重所具有的压能
计量的压强，用pabs表示,工程大气压98KPa 用p表示。
相对压强 ——以当地大气压作为零点计量的压强，
若将当地大气压强用pa表示，则有
p pabs pa
例2：若当地大气压强相当于700mm汞柱高，试将绝对压强 pabs=19.6×104N/m2用其不同的单位表示。 解: (1)对于绝对压强 ①用水柱高度表示
h水 10m 4 9.8 10 Pa 19.6 104 Pa
10 19.6 104 h水 = =20m 4 9.8 10
p2/γ z2
p1/γ
z1
1 2
2、静水压强分布图
定义：用带有箭头的直线表示压强的方向，用直线
长度表示压强的大小，将作用面上的静水压强分布
规律形象直观地画出来，此几何图形就是静水压强
分布图。 绘制的规则：
（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。
（2）用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。 方法： 只要绘出两端点的压强，即可确定静水压强的直线分布。
形式1：
p p0 gh
形式2：
z
p C g
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmgz Δmgz z Δmg
z
Δm
z0
单位液重所具有的位能
z
水静力学基本方程的物理意义
z p
pa
C
p0
p/γ
Δm Δmg Δmg p
p
z
Δm
z0
Δmg
p
单位液重所具有的压能
计量的压强，用pabs表示,工程大气压98KPa 用p表示。
相对压强 ——以当地大气压作为零点计量的压强，
若将当地大气压强用pa表示，则有
p pabs pa
水力学(2)水静力学
武汉理工大学 土木工程与建筑学院
金溪
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
一、定义 水静力学：研究液体处于静止状态下的平衡规律和液体与 固体边界间的作用力及其在工程中的应用。 二、核心问题 所谓静止包含两种情况：绝对静止、相对静止。 绝对静止：液体与地球之间没有相对运动，液体内部质点之 间没有相对运动。 相对静止：液体与地球之间存在相对运动，液体与容器之间 没有相对运动，液体质点之间不存在相对运动。
绝对静止 V=0,a=0 相对静止 V ≠ 0,a恒定且不为0 相对静止 V ≠ 0,a =0
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
三、本章基本内容 水静力学的核心问题是根据平衡条件来求 得静水压强在空间的分布规律，进而确定 静水压力的方向、大小和作用点。
平衡条件：受力的平衡 压强分布规律：水静力学基本方程 压力的求解：方向、大小、作用点
sin J x sin yc A
Jx yc A
Jx= JC＋yC2A，
★ yD＞ yC ，即D点一般 在C点的下面。
Jc yc yc A
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
例2-4
第 二 章 水 静 力 学
同一静止液体中，不论哪一点 z+p/r总是常数。（能量守恒）
2.2 重力作用下静水压强的分布规律
2.2.2 静水压强基本方程的另一种形式及意义
第 二 章 一、几何意义和水力学意义 1. z —位置水头（计算点位置高度） 2. p/r —压强水头（压强高度或测压管高度） 3. z+p/r —测压管水头 4. z＋p/r＝C—静止液体中各点 位置高度与压强高度之和不变
金溪
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
一、定义 水静力学：研究液体处于静止状态下的平衡规律和液体与 固体边界间的作用力及其在工程中的应用。 二、核心问题 所谓静止包含两种情况：绝对静止、相对静止。 绝对静止：液体与地球之间没有相对运动，液体内部质点之 间没有相对运动。 相对静止：液体与地球之间存在相对运动，液体与容器之间 没有相对运动，液体质点之间不存在相对运动。
绝对静止 V=0,a=0 相对静止 V ≠ 0,a恒定且不为0 相对静止 V ≠ 0,a =0
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
三、本章基本内容 水静力学的核心问题是根据平衡条件来求 得静水压强在空间的分布规律，进而确定 静水压力的方向、大小和作用点。
平衡条件：受力的平衡 压强分布规律：水静力学基本方程 压力的求解：方向、大小、作用点
sin J x sin yc A
Jx yc A
Jx= JC＋yC2A，
★ yD＞ yC ，即D点一般 在C点的下面。
Jc yc yc A
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
2.6 作用在平面壁上的静水总压力
例2-4
第 二 章 水 静 力 学
同一静止液体中，不论哪一点 z+p/r总是常数。（能量守恒）
2.2 重力作用下静水压强的分布规律
2.2.2 静水压强基本方程的另一种形式及意义
第 二 章 一、几何意义和水力学意义 1. z —位置水头（计算点位置高度） 2. p/r —压强水头（压强高度或测压管高度） 3. z+p/r —测压管水头 4. z＋p/r＝C—静止液体中各点 位置高度与压强高度之和不变
02水静力学
dz dy
O Y
dx
X
六面体左右两面的表面力为： 1 ∂p 1 ∂p (P − dx)dydz , ( P + dx)dydz 2 ∂x 2 ∂x 另外作用在微小六面体上的质量力在X轴向的分量为：X ⋅ ρdxdydz 根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为零，即： 1 ∂p 1 ∂p (P − dx)dydz − ( P + dx)dydz + X ⋅ ρ dxdydz = 0 2 ∂x 2 ∂x
如果自由表面压强 p0 与当地大气压强 p a 相等，
p 则： = γh
2011-7-1
20
第二章
水静力学
绝对压强永远为正值，最小值为零。 相对压强可正可负，当Pabs <Pa时，相对压强P<0, 工程上把负的相对压强叫做“真空”。 几种压强的关系可表示为： P Pa Pa 0 Pabs Pabs
dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) = 0
Xdx + Ydy + Zdz = 0
式中dx、 、 可设想为液体质点在等压面上的 式中 、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的 在相应坐标轴上的投影。 任意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。 在相应坐标轴上的投影 质量力作的微功为零，而质量力和 都不为零 都不为零， 质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零， 所以等压面与质量力必然正交。 所以等压面与质量力必然正交。
相应面上的总压力为：
1 Px = ∆y ⋅ ∆z ⋅ p x 2 1 Py = ∆z ⋅ ∆x ⋅ p y 2 1 Pz = ∆x ⋅ ∆y ⋅ pz 2
Pn = ∆S ⋅ pn
2011-7-1
5
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A
hC yC sin 为形心淹深, pc 为形心的压强
表明:作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积， 其方向必然垂直指向受压面 。
2 总压力的作用点
力矩合成法：合力对某轴的力矩等于各分力对该轴力矩之和。
PyD ydP yhdA yy sindA
A
A
A
sin y 2dA sinIOX
2、压力体
a.压力体由下列周界面组成： 受压曲面本身； 受压曲面在自由液面或自由液面的延展面上的投影面； 从曲面的边缘向自由液面或自由液面的延展面所作的铅直面。
b. 压力体只是作为计算曲面上垂直分力的一个数值当量，它不一定是由实际 液体所构成。
c.画压力体时，一定要标出方向。
d. 垂直分力Pz的方向，应根据曲面与压力体的关系而定： 当液体和压力体位于曲面的同侧时，称实压力体，Pz向下； 当液体和压力体各在曲面之一侧时，称虚压力体，Pz向上。
总压力的水平分力为： Px dPx hdAx hdAx hc Ax
A
A
A
Ax对y轴的静面矩
表明：曲面所受水平分力等于作用在该曲面的铅垂投影面上的压力。
总压力的垂直分力为： Pz
dP z
hdAz V
Az
表明：曲面所受垂直分力等于压力体内盛满液体的重量
V是曲面到自由液面之间的 铅垂柱体压力体的体积。
A
A’
C D
B b B’
• 例1 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾斜 角 α 为 60° ，门宽b为4m，门长L为6m，门顶在水面下淹没深度 为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多 少（已知闸门与门槽之间的摩擦系数f为0.25）?门上静水总压力的 作用点在哪里？
2.图算法
如图所示直立矩形平面，高为h，宽为b， 应用水静压强分布图计算水静压力。
P
pC A hC bh
h bh 2
1 h2b
2
V
由此可知，作用于平面的水静压力 等于压强分布图形的体积。
hD
hC
IC AhC
h
1 12
bh3
2 bh h
2h 3
2
P的作用点在通过压强分布图的形心并位于 对称轴上。
A
同时 PyD hC AyD yC sinAyD
可得
yD Ix yc A
Ix为受压面积对x轴惯性矩。用平行移轴定理
Ix
IC
Ay
2 c
yD
IC AyC2 AyC
yC
IC AyC
二、图解法
1.压强分布图：用图形来表示静压强的大小和方向，称此图形为静
压强分布图。绘制规则如下： （1）按一定比例用线段长度代表该点静压强的大小。 （2）用箭头表示静压强的方向，并与受压面垂直。
h y sin
作用在dA 上的压力为 dP hdA
作用在A上的总压力为：
P dP hdA y sindA
A
A
A
sin ydA
A
面积A对ox轴的静面矩
在几何上 A ydA yc A
yc 为面积A形心的纵坐标,
P sin ydA sinAyC hC A pC A
14.5 0.21 14.71
可见，采用上述两种方法计算其结果完全相同。
（3）沿斜面拖动闸门的拉力
T P f 2964 0.25 741kN
2.7静止流体对曲面的作用力
1.总压力的大小、方向、作用点
设静止液体中有二向曲面AB，母线垂直于 图面，曲面面积为A，左侧承受液体压力。
取水平条形微元面ab,面积dA,水深h，
作用于dA上的微元压力为dP hdA
o(y)
dAx z
dAz
x
a
A
αdPX
α
dP dPz
a
dA dA
x
B
b dA b dAZ
dP垂直于dA,与x方向夹角α, 水平分力 dPx dP cos hdAcos hdAx
可分解为：
垂直分力 dPz dPsin hdAsin hdAz
dAx dAcos , dAz dAsin , 表示dA在x, z方向上的投影面积。
3 ) 149 kN / m2 2
压强分布图为梯形，其面积
1 2
(gh1
gh2
)
L
1 2
(98
149)
6
741kN
/
m
静水总压力： P b 4 741 2964kN
求P的作用点位置。
总压力作用点距闸门底部的斜距
62 10 (10 6 e L(2h1 h2 )
3 )
2
3(h1 h2 )
P 1000 9.812.61 4 6 2946kN
P的作用点距水面的斜距
LD
LC
IC LC A
LC
L h1 2 sin 600
3
10 0.87
3 11.5 14.5m
对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为
IC
1 bL3 12
1 4 63 12
72m4
72
LD
14.5 14.5 4 6
解：当不计门重时，拖动 门的拉力至少需克服与 门槽间的摩擦力，故 T=P·f 。 为此需首先求出作用于 门上的静水总压力P。
（1）图解法： 求静水总压力P。 首先画出闸门AB上静 水压强分布图。
门顶处静水压强为 gh1 1000 9.8 10 9g(h1 L sin 60 0 ) 1000 9.8 (10 6
310 (10 6 3 )
2
2.79m
•总压力P距水面的斜距
LD
(L
h1 sin 600
)e
(6
10 ) 2.79 17.5 2.79 0.87
14.71m
（2）解析法：计算P及 LD以便比较
P pc A ghc bL
hc
h1
L sin 600 2
10
6 0.87 12.61m 2
2.6静止液体对平面的总 压力
静止液体对平面的总压力
工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能， 运动规律计算等。
条件：均质流体，体积力为重力。
一、解析法
1.总压力的大小和方向
图示斜平壁和坐标系oxy , o点在 自由液面上，y轴沿斜平壁向下。
在面积A上取面元dA ，纵坐标 y ，淹深为
作用在曲面上的液体总压力
P
总压力的方向与水平方向的夹角为β
Px 2 Pz 2
tg 1 ( Pz ) Px
强调说明： 求作用于曲面的水平分力和牵制分力，关键在于明确受压曲面 边界线的投影作用。水平分力是受压曲面边界线封闭的面积在 铅直面上的投影面积上的液体压力；铅直分力的压力体，也要 通过受压曲面边界线，向相对压强为0的液面或其延长面，做 铅直投射柱面来决定。
hC yC sin 为形心淹深, pc 为形心的压强
表明:作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积， 其方向必然垂直指向受压面 。
2 总压力的作用点
力矩合成法：合力对某轴的力矩等于各分力对该轴力矩之和。
PyD ydP yhdA yy sindA
A
A
A
sin y 2dA sinIOX
2、压力体
a.压力体由下列周界面组成： 受压曲面本身； 受压曲面在自由液面或自由液面的延展面上的投影面； 从曲面的边缘向自由液面或自由液面的延展面所作的铅直面。
b. 压力体只是作为计算曲面上垂直分力的一个数值当量，它不一定是由实际 液体所构成。
c.画压力体时，一定要标出方向。
d. 垂直分力Pz的方向，应根据曲面与压力体的关系而定： 当液体和压力体位于曲面的同侧时，称实压力体，Pz向下； 当液体和压力体各在曲面之一侧时，称虚压力体，Pz向上。
总压力的水平分力为： Px dPx hdAx hdAx hc Ax
A
A
A
Ax对y轴的静面矩
表明：曲面所受水平分力等于作用在该曲面的铅垂投影面上的压力。
总压力的垂直分力为： Pz
dP z
hdAz V
Az
表明：曲面所受垂直分力等于压力体内盛满液体的重量
V是曲面到自由液面之间的 铅垂柱体压力体的体积。
A
A’
C D
B b B’
• 例1 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾斜 角 α 为 60° ，门宽b为4m，门长L为6m，门顶在水面下淹没深度 为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多 少（已知闸门与门槽之间的摩擦系数f为0.25）?门上静水总压力的 作用点在哪里？
2.图算法
如图所示直立矩形平面，高为h，宽为b， 应用水静压强分布图计算水静压力。
P
pC A hC bh
h bh 2
1 h2b
2
V
由此可知，作用于平面的水静压力 等于压强分布图形的体积。
hD
hC
IC AhC
h
1 12
bh3
2 bh h
2h 3
2
P的作用点在通过压强分布图的形心并位于 对称轴上。
A
同时 PyD hC AyD yC sinAyD
可得
yD Ix yc A
Ix为受压面积对x轴惯性矩。用平行移轴定理
Ix
IC
Ay
2 c
yD
IC AyC2 AyC
yC
IC AyC
二、图解法
1.压强分布图：用图形来表示静压强的大小和方向，称此图形为静
压强分布图。绘制规则如下： （1）按一定比例用线段长度代表该点静压强的大小。 （2）用箭头表示静压强的方向，并与受压面垂直。
h y sin
作用在dA 上的压力为 dP hdA
作用在A上的总压力为：
P dP hdA y sindA
A
A
A
sin ydA
A
面积A对ox轴的静面矩
在几何上 A ydA yc A
yc 为面积A形心的纵坐标,
P sin ydA sinAyC hC A pC A
14.5 0.21 14.71
可见，采用上述两种方法计算其结果完全相同。
（3）沿斜面拖动闸门的拉力
T P f 2964 0.25 741kN
2.7静止流体对曲面的作用力
1.总压力的大小、方向、作用点
设静止液体中有二向曲面AB，母线垂直于 图面，曲面面积为A，左侧承受液体压力。
取水平条形微元面ab,面积dA,水深h，
作用于dA上的微元压力为dP hdA
o(y)
dAx z
dAz
x
a
A
αdPX
α
dP dPz
a
dA dA
x
B
b dA b dAZ
dP垂直于dA,与x方向夹角α, 水平分力 dPx dP cos hdAcos hdAx
可分解为：
垂直分力 dPz dPsin hdAsin hdAz
dAx dAcos , dAz dAsin , 表示dA在x, z方向上的投影面积。
3 ) 149 kN / m2 2
压强分布图为梯形，其面积
1 2
(gh1
gh2
)
L
1 2
(98
149)
6
741kN
/
m
静水总压力： P b 4 741 2964kN
求P的作用点位置。
总压力作用点距闸门底部的斜距
62 10 (10 6 e L(2h1 h2 )
3 )
2
3(h1 h2 )
P 1000 9.812.61 4 6 2946kN
P的作用点距水面的斜距
LD
LC
IC LC A
LC
L h1 2 sin 600
3
10 0.87
3 11.5 14.5m
对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为
IC
1 bL3 12
1 4 63 12
72m4
72
LD
14.5 14.5 4 6
解：当不计门重时，拖动 门的拉力至少需克服与 门槽间的摩擦力，故 T=P·f 。 为此需首先求出作用于 门上的静水总压力P。
（1）图解法： 求静水总压力P。 首先画出闸门AB上静 水压强分布图。
门顶处静水压强为 gh1 1000 9.8 10 9g(h1 L sin 60 0 ) 1000 9.8 (10 6
310 (10 6 3 )
2
2.79m
•总压力P距水面的斜距
LD
(L
h1 sin 600
)e
(6
10 ) 2.79 17.5 2.79 0.87
14.71m
（2）解析法：计算P及 LD以便比较
P pc A ghc bL
hc
h1
L sin 600 2
10
6 0.87 12.61m 2
2.6静止液体对平面的总 压力
静止液体对平面的总压力
工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能， 运动规律计算等。
条件：均质流体，体积力为重力。
一、解析法
1.总压力的大小和方向
图示斜平壁和坐标系oxy , o点在 自由液面上，y轴沿斜平壁向下。
在面积A上取面元dA ，纵坐标 y ，淹深为
作用在曲面上的液体总压力
P
总压力的方向与水平方向的夹角为β
Px 2 Pz 2
tg 1 ( Pz ) Px
强调说明： 求作用于曲面的水平分力和牵制分力，关键在于明确受压曲面 边界线的投影作用。水平分力是受压曲面边界线封闭的面积在 铅直面上的投影面积上的液体压力；铅直分力的压力体，也要 通过受压曲面边界线，向相对压强为0的液面或其延长面，做 铅直投射柱面来决定。