五年级奥数：数列的分组(A)(含答案)

五年级奥数：数列的分组(A)（含答案）
一、填空题
1. 在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______.
1234,5678,9101112,13141516,……
2. 把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 × × × × ×
× × × × × × ×
3. 计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是____.
4. 下面是一列有规律排列的数组:(1,
21,31);(31,41,51),(51,61,7
1);……;第100个数组内三个分数分母的和是______.
5. 把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),
(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为______.
6. 一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然数n 出现n 次.那么,这列数中的第1999个数除以5的余数是______.
7. 如数表:
第1行 1 2 3 4 5 … … 14 15
第2行 30 29 28 27 26 … … 17 16
第3行 31 32 33 34 35 … … 44 45
… … … … … … … … …
第n 行 … … … … … … A … …
第n +1行 … … … … … … B … …
第n 行有一个数A ,它的下一行(第n +1行)有一个数B ,且A 和B 在同一竖列.如果A +B =391,那么n =______.
8. 有一串数,第100行的第四个数是______.
1, 2
3, 4, 5, 6
7, 8, 9,10,11,12
13,14,15,16,17,18,19,20
9. 观察下列“数阵”的规律,判断:992
1出现在第______行,第______列.数阵中有______个数分母和整数部分均不超过它(即整数部分不超过9,分母部分不超过92). 1
21,131,132,141,143,151,15
4,… 341,343,351,354,361,365,37
1,… 561,565,571,576,581,587,591,… … … … …
10. 有这样一列数:123,654,789,121110,131415,181716,192021,…….还有另一列数:1,2,3,6,5,4,7,8,9,1,2,1,1,1,0,1,3,1,4,1,5,1,8,1,7,1,6,1,9,2,
0,2,1,……,第一列数中出现的第一个九位数是______,第二列数的第1994个数在一列数中的第______个数的______位上.
11. 假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13, 14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前k 个数组之和恒为k 4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34.
今有从第一组开始的前19个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的和.
12. 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,…其中1,1,2,2,3,3这六个数字按此规律重复出现,问:
(1)第100个数是什么数?
(2)把第一个数至第52个数全部加起来,和是多少?
(3)从第一个数起,顺次加起来,如果和为304,那么共有多少个数字相加?
13. 右图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘,横排为行,竖排为列,将自然数按已填好的4×4个方格中的数字显现的规律填入方格中.
(1)求位于第3行、第8列的方格内的数;
(2)写出位于从左上角向右下角的对角线
上的方格内的数组成的数列的第10个数;
(3)数321在哪一个方格内?
14. 数1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:
1 2 3 (100)
101 102 103 (200)
……………
9901 9902 9903 (10000)
任取其中一数,并划去该数所在的行与列.这样做了100次以后,求所取出的100个数的和.
———————————————答 案——————————————————————
答 案:
1. 979899100
按照自然数从小到大的顺序,每四个数构成一数.九位数只能由三个两位数和一个三位数构成,所以这个九位数是979899100.
2. 101
由12=8+4,4正好是8所在的行数值,则必须求出88所在行数值.
根据每行尾数的排列规律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,
可知88所在行数应是第13行.
因此,在88的正下方的数是88+13=101.
3. 1996
提示: 从左至右每四个数运算的结果都是4.
4. 600
提示: 第n 组中间的分数的分母是2n ,则第n 组内三个分数分母之和是(2n -1)+2n +(2n +1)=6n .
5. 1992
每4个括号为一个大组,前100个括号共25个大组,包含25×(1+2+3+4)=250个数,正好是从3开始的250个连续奇数.因此第100个括号内的最后一个数是2×250+1=501,故第100个括号内的各数之和为501+499+497+495=1992.
6. 3
自然数n 出现了n 次,这n 个n 中的最后一个数n 位于这列数中的第(1+2+…+n =
2
1n (n +1)个数.
又 646321201619991953636221⨯⨯=<<=⨯⨯.
因此,这列数中的第1999个数是63,它除以5的余数是3.
7. 13
观察数表排列规律知,相邻两行(第n行与第n+1行)十五组相应两数的和值均相等,其和为30n+1.
由30n+1=391得n=13.
8. 9904
第99行的最后一个数是2+4+6+…+198=9900,所以第100行的第4个数是9904.
9. 5,165,869.
观察“数阵”的规律,每行分数的整数部分均相同为连续的奇数,所以9
92
1位于第5行.观
察第5行各数规律知9
92
1位于第(92-9)×2-1=165列.
整数部分不超过9的分数只能位于前5行,第一行分母不超过92的分数有(92-1)×2-1=181个,第二、三、四、五行分母不超过92的分数分别有(92-3)×2=178个,(92-5)×2=174
个,(92-7)×2=170个,(92-9)×2=166个,故数阵中分母和整数部分均不超过9
92
1的分数共有181+178+174+170+166=869个.
10. 102101100;234,万.
第一列数中每个数都是由连续的三个自然数构成.自然数中一位数和两位数共有99个,构
成第一列数的前33个,第34个就是第一个九位数,由100,101和102构成.又因为34是偶数,
所以第34个数按从大到小排列是102101100.
第一列数的前33个数构成第二列数的前189个数,从第一列的第34个数开始,每个数构成
第二列的9个数.因为(1994-189)÷9=200……5,33+200+1=234.
所以第二列数的第1994个数在第一列中的第234个数的万位上.
11. 从第一组开始的前19个数组,共包含1+2+3+ (19)
220
19⨯
=190个数,这些数的和为
1+2+3+ (190)
2191
190⨯
=18145.
其中顺序数为奇数的数组有[2
19]+1=10组,这10个数组所有数的和为104=10000,因此其中顺序数为偶数的数组中所有数的和为18145-10000=8145.
12. (1)因为100÷6=16……4,所以第100个数与第4个数相同,为2.
(2)因为52÷6=8……4,所以第1个数至第52个数的和为(1+1+2+2+3+3)×8+(1+1+2+2)=102.
(3)因为1+1+2+2+3+3=12,304÷12=25……4,又1+1+2=4,所以从第一个数起,顺次相切,共加到第25×6+3=153个数,其总和才恰为304.
13. (1)在第3行中,由左向右的数字依次是:
1a =6, 2a =9=1a +3,3a =13=2a +4,4a =18=3a +5, ……
)1(1++=∴-n a a n n .
48301898769894678=+=++++==++=+=∴a a a a .
即位于第3行、第8列的方格内的数是48.
(2)位于从左上角到或下角的对角线上的方格内的数字依次是:11=b ,
14512⨯+==b b ,241323⨯+==b b ,342534⨯+==b b ,…
n b b n n 41+=∴+.
=⨯+⨯+=⨯+=∴9484948910b b b
=9484746454444⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+b
=25+4)987654(+++++⨯
=181.
即第10个数为181.
(3)为求数321在哪个方格内,可将棋盘上的数按从右上到左下的对角线方向排列如下: 第1组 1
第2组 2,3
第3组 4,5,6
第4组 7,8,9,10 …………
显然,从第1组到第n组共包含1+2+3+…+n=
2)1
(+
n
n
个数,故第n组中最大数是
2)1
(+
n
n
. 321是第321个数,
∴ 321所在“组”的行号是满足
2)1
(+
n
n
≥321的最小自然数n,试算从
225
24⋅
=300和
226
25⋅
=325,可得n=25.
前24组共有1+2+3+…+24=300个数,因而321是第25组中第321-300=21个数.
∴ 321位于第21行,第5列的方格内.
14. 将第2行的每个数减去100,第3行每个数减去200,…,第100行每个数减去9900,我们就得到一个各行都是1,2,…,100的数表.
在后一个数表按规定方法取出的各数之和是1+2+…+100=5050.
于是在原表中所求各数之和为:
5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050.。