高中数学著名不等式荟萃

著名不等式荟萃

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。下面择要介绍一些著名的不等式。

一、平均不等式（均值不等式）

设a 1，a 2，…，a n 是 n 个实数，A ＝n

a ++a +a n 21 叫做这n 个实数的算术平均数。 当这 n 个实数非负时，G ＝n n 21a a a 叫做这 n 个非负数的几何平均数。 当这 n 个实数均为正数时，H ＝n 21a 1++a 1+a 1n 叫做这 n 个正数的调和平均数。

设a 1，a 2，…，a n 为 n 个正数时，对如下的平均不等式：H ≤G ≤A 当且仅当 a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立。

平均不等式A ≥G 是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。

设x 1，x 2，…，x n 是 n 个正的变数，则

(1)当积 x 1x 2…x n ＝P 是定值时，和x 1＋x 2＋…＋x n 有最小值，且

(x 1＋x 2＋…＋x n )min ＝

(2)当和 x 1＋x 2＋…＋x n ＝S 是定值时，积 x 1x 2…x n 有最大值，且

(x 1x 2…x n )max ＝(12n x +x ++x n L )n ＝(S n

)n 两者都是当且仅当 n 个变数彼此相等时，即 x 1＝x 2＝…＝x n 时，才能取得最大值或最小值。

在 A ≥G 中，当n ＝2，3时，分别有

12a +a 2

，123a +a +a 3

平均不等式 A ≥G 经常用到的几个特例是：

(a 1＋a 2＋…＋a n ) (11a ＋21a ＋…＋n

1a )≥n 2 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立；

a 1＋1

a 1≥2，当且仅当a 1＝1时等号成立。 二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数a 1，a 2，…，a n ；

b 1，b 2，…，b n ，有

(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 12＋a 22＋…＋a n 2) (b 12＋b 22＋…＋b n 2)

其中等号当且仅当11a b ＝22a b ＝…＝n n a b 时成立。 柯西不等式的几个特例(以下a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n 均为实数)是：

(1) a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1，b 12＋b 22＋…＋b n 2＝1，则｜a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ｜≤1

(2) a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1≤a 12＋a 22＋a 32

(3) (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤n(a 12＋a 22＋…＋a n 2)

柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广。

三、闵可夫斯基不等式

设 a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n 是两组正数，k ＞0，k ≠1，则

(1) k ＞1时，1

n k k i i

i=1[(a b )

]＋ ≤1n k k i i=1(a ) ＋1n k k i i=1(b ) (2) 0＜k ＜1时，1n

k k i i i=1[

(a b )]＋ ≥1n k k i i=1(a ) ＋1n k k i i=1(b ) 当且仅当 11a b ＝22a b ＝…＝n n

a b 时等号成立。 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当k ＝2，n ＝2时得平面上的三角形不等式：

221122(a b )(a b )＋＋＋≤2212a a ＋＋2212b b ＋

右图给出了对上式的一个直观理解。 若记a r ＝(a 1，a 2)，b r ＝(b 1，b 2)，则上式为 |a r ＋b r |≤|a r |＋|b r |

四、贝努利不等式

(1)设x i ＞－1，i ＝1，2，…，n ，n ≥2且同号，

则(1＋x 1)(1＋x 2)…(1＋x n )＞1＋x 1＋x 2＋…＋x n

不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n ＞1＋nx ，x ＞－1，x ≠0，n ∈N ，n ≥2

(2)设x ＞－1，则

(i) 当0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx ；

(ii) 当α＞1或α＜0时，有 (1＋x)α≥1＋αx 。

上两式当且仅当x ＝0时等号成立。

五、赫尔德不等式

已知a i ＞b i (1≤i ≤n)是2n 个正实数，p ＞0，q ＞0，p ＋q ＝1，则

a 1p

b 1q ＋a 2p b 2q ＋…＋a n p b n q ≤(a 1＋a 2＋…＋a n ) p (b 1＋b 2＋…＋b n )q

上式中若令p ＝q ＝12

，x i 2＝a i ，y i 2＝b i ，即为柯西不等式。

六、契比雪夫不等式

(1)若 a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≤b 2≤…≤b n ，则 1n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥12n a a a n L ＋＋＋12n b b b n

L ＋＋＋； (2)若 a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≥b 2≥…≥b n ，则

1n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤12n a a a n L ＋＋＋12n b b b n

L ＋＋＋； 下面给出一个n ＝2时的契比雪夫不等式的直

观理解。

如图，矩形OPAQ 中， a 1≤a 2， b 1≤b 2，显然

阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩

形的面积之和，（这可沿图中线段MN 向上翻折比

较即知）。于是有

(a 1＋a 2) (b 1＋b 2)≤2(a 1b 1＋a 2b 2)，也即

12(a 1b 1＋a 2b 2)≥12a a 2＋12b b 2

＋ 七、排序不等式

设有两组数a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≤b 2≤…≤b n ，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1b k1＋a 2b k2＋…＋a n b kn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，式中的 k1， k2，…，kn 是1，2，…，n 的任意一个排列，式中的等号当且仅当 a 1＝a 2＝…＝a n 或 b 1＝b 2＝…＝b n 时成立。

以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和。

这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。

八、含有绝对值的不等式

a ，

b 为复数，则||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|

左边的等号仅当 a ，b 的幅角差为π时成立，右边的等号仅当 a ，b 的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是

|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋| a 2|＋…＋|a n |

绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

九、琴生不等式

设f(x)是(a ，b)内的凸函数，则对于(a ，b)内任意的几个实数x 1，x 2，…，x n 有 f(12n x +x ++x n L )≤1n

[f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )] 等号当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取得。

琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。

十、艾尔多斯—莫迪尔不等式