3.2 刚体定轴转动动力学

R M
h
解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
R o M

T
h
G
a
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
M M1 M 2
α
m1g
l
l m1 g sin α m2 gl sin α 2
1 ( m1 m2 ) gl sin α 2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 的绳子，绳子一端固定 在滑轮上，另一端悬挂 一质量为m 的物体，问 物体由静止落下h 高度 时, 物体运动的速率为 多少？
1 2 J 0 , 2
练习: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可 以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动 . 某瞬时细杆 在竖直面内绕轴转动的角速度为 ω ，杆与竖直轴的夹角 为 α . 设杆的质量为 m1、杆长为 l，小球的质量为m2 . 求： 1）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩. 解: 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动 惯量J1与小球的转动惯量J2之和.
0
x
dW d N M M dt dt
3. 刚体定轴转动的动能定理
W外力 W内力 Ek Ek Ek 0
W外力 Md , W内 力 0,
0
1 Ek 0 E k J 2 . 2 1 2 微分形式： Md d J 2 积分形式： Md 1 J 2 1 J 2 0 2 2 0
J r dm
2

m R
0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
部分均匀刚体的转动惯量
2r
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
球体转轴沿直径
1 2 J mr 2
2mr J 5
2
l 细棒转轴通过 中心与棒垂直
l 细棒转轴通过 端点与棒垂直
2. 求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 （1）如图所示，以过A 端垂直于棒的 oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: J 端 点 x 2dm o m x dx B x L A 2 m x dx dm 0 L L 1 2 o mL 3
其中 ain 和 ai 是质元 mi 绕轴作圆运动 的法向加速度和切向加速度，所以
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
z

v L i m i ri
对于绕固定轴oz 转 动的整个刚体而言: N 2 L mi ri J i 角动量的方向不是沿轴的正向，就是沿 轴的负向,所以可用代数量来描述.
2. 角动量定理（动量矩定理）
d d J dL MJ dt dt dt
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 角动量( 动量矩 ) 对于定点转动而言： L r P r m v 在国际单位制（SI） 中，角动量的单位为 o
r
L
P mv
kg m s
2
1
m

r sin
对于绕固定轴oz的 转动的质元 mi 而言: Li ri mi vi 2 mi ri k
F外力ri sin i F内力ri sin i mi ri
2
2 F外 力ri sin i F内 力ri sin i mi ri 外力矩为 M 内力矩为零 i i i
M J 刚体定轴转动的转动定律
转动惯量 J
3. 转动惯量 转动惯量是刚体转动时对惯性的量度描述.
v 2ah
圆盘的转动惯量为 1 J MR 2 2 联立以上五式，可得物体m 落下h 高度 时的速率为 mgh v2 M 2m 小于物体自由下落的速率 2 gh.
解法二 利用动能定理求解. 对于物体m 利用质点的动能定理有 1 1 2 2 mgh Th m v m v0 2 2
M r F
m

对于定轴转动而言： M r F r F
z
F//
P
来自百度文库
o
r
F F
注意: (1)力矩是对点或对轴而言的;
(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时M 0；使刚体顺时针绕定轴转动时M 0 .
2. 刚体定轴转动的转动定律
R o M阻 m

据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所 以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速 度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得 M阻 ( M m)g R a m M m 2
mM阻 m ( 2 M )mg 2 R T1 m( g a ) m M m 2 MM阻 m ( 2m ) Mg 2 R T2 M ( g a ) m M m 2 注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩 时，此时有 T1 T2 ，物理学中称这样的滑轮 为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德 机.
对质元 mi ，由 牛顿第二运动定律得 F外力 F内力 mi ai 其中 ai 是质元 mi 绕 转轴作圆运动的加速 度，写为分量式如下：
, F内 力 F外力 o i ri m i
i
z
F外 力 cos i F内 力 cos i mi ain F外 力 sin i F内 力 sin i mi ai
联立以上各式，可得物体 m 落下h 高度 时的速率为 mgh v2 M 2m 解法三 利用机械能守恒定律求解.
若把滑轮、物体和地球看成一个系统， 则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的 拉力T 对物体做负功（ Th），对滑轮做正 功（ Th ）即内力做功的代数和为零，所以 系统的机械能守恒. 若把系统开始运动而还没有运动时的状 态作为初始状态，系统在物体落下高度h 时 的状态作为末状态，则 2 11 1 2 v 2 MR m v mgh 0 2 2 2 R 解之可得物体 m 落下h 高度时的速率.
1 2 1 E ki m i v i mi ri2 2 2 2

vi ri m i
对于整个刚体,动能为
Ek E ki
1 1 N 2 2 mi ri J 2 2 2 i 1
i 1 N
o
2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 y dW F dr F ( F cos )ds dr ( Fr sin )d P d r dW Md o W Md
解 受力分析如图所示. 对上下做平动的两物体， 可以视为质点，由牛顿第 二运动定律得
T1 对m ：T1 mg ma1 T2 a1 对 M ： Mg T Ma 2 2 m 若以顺时针方向转的 M 力矩为正，逆时针转的方 a2 Gm 向为负，则由刚体定轴转 GM 动的转动定律得 1 2 T2 R T1 R M阻 J m R 2
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: o x dx B x A dm L L o 2 2
J中 点 x dm
2 m
L 2 L 2
m 1 mL2 x dx L 12
微分形式：Mdt d J dL
积分形式： Mdt J J 0
t0 t
t
或 Mdt L L0
t0
3. 角动量守恒定律
若：M 0 即系统所受的合外力矩为零.
——角动量守恒的条件
则：dL d J 0 ， 或L J 常量.
其中 v 0 和 v 是物体的初速度和末速度.
对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有 1 1 2 2 TR J J 0 2 2 其中 是在拉力矩TR 的作用下滑轮转 过的角度， 0 和 是滑轮的初末角速度.
由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物 体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所 经过的弧长，即 h R . 1 又因为v0 0, 0 0, v R, J MR 2 . 2
ml J 12
2
ml2 J 3
以上各例说明： 与刚体的总质量有关， (1)刚体的转动惯量： 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。 (2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
dm dx(或dl)
dm ds dm dv
面分布 体分布
线分布 (3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移， 对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于 定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
J mi ri2
i
适用于离散刚体转动惯量的计算
J r dm
2 m
适用于连续刚体转动惯量的计算 在国际单位制（SI）中，转动惯量的单 2 kg m 位为千克二次方米，即 .
3.2.5 例题分析
1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量 分别为m 和M 的物体，且 M m . 滑轮可 看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 m ， 半径为R ， 转轴垂直于盘面通过盘心，如 图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到 了摩擦阻力矩 M阻的作用. 设绳不可伸长且 与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳 中的张力.
o
1 2 J J1 J 2 ml m2l 2 3 1 ( m m2 )l 2 3
α
m1g
l
m2 g
2）系统的转动动能为：
1 2 1 1 2 2 Ek Jω ( m1 m2 )l ω 2 3 2
o
3）系统所受重力有杆的重力和小球的重力.
则系统所受重力对轴的力矩的大小为：
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R

2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于盘面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
（1）形状大小分别相同的刚体质量大的 转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴 越远转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴不同，质量 对轴的分布不同，转动惯量的大小不同.
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能( 转动动能 ) o 对于第i 个质元,动能为
3.2 刚体定轴转动的动力学
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律 3.2.2 刚体定轴转动的动能定理 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 3.2.4 开普勒定律 3.2.5 例题分析
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律
1. 力矩
对于定点转动而言：
M Fd Fr sin
M
F
o
d
r