第2章学习指导
复变函数第二章学习指导
复变函数第二章学习指导一. 知识结构1.复变函数在一点可导的定义2.解析函数 2.42.53.15⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩函数在一点解析的定义定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理 3.初等函数(),,sin ,cos ,,z z z e z z Lnz z a z a αα⎧⎪⎨⎪⎩n 单值函数:z 与有例外 二. 学习要求⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法；⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法.5.理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质；6.,,z Lnz z a α的定义及其主要性质.三. 内容提要1.函数在一点可导的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若z z f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim 0存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000 此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导.2.函数在一点解析的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析.此时称点0z 为函数)(z f 的解析点.若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点.关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析.3.若函数),(i ),()(y x v y x u z f ++=定义在区域D 内，则函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是：⑴),(y x u 与),(y x v 在D 内可微.⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立.条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.— R.条件.函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是：⑴y x y x v v u u ,,,在D 内连续．⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立．关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解； 注解2 解析函数的导数形式更简洁.4.初等解析函数整幂函数定义 设y x z i +=，n 为正整数，称n z w =为整幂函数．指数函数定义2.4 设y x z i +=，称)sin i (cos e e y y x z ⋅+=为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =． ⑴对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e e z z z z +=⋅⑵z e 在复平面上为解析函数，且有z z e )(e ='⑶对任意一复数y x z i +=，有 π2)(Arg ,e e k y z x z +== （k 为整数）⑷z e 只以i π2k (k 为整数)为周期．⑸21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- （k 为整数）⑹z z e lim ∞→不存在． ⑺设y x z i +=，若0=y ，则x z e e =；若0=x ，则y y y sin i cos e i ⋅+=这便是欧拉公式．⑻若y x z i +=，则zz e e =．三角函数定义2.6 设z 为复数，称i 2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+ 分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作i2e e sin i i zz z --= 与 2e e cos i i z z z -+= 正.余弦 函数的性质：⑴z sin 与z cos 在复平面解析，且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='='⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得1cos sin 22=+z zz z cos )2sin(=+π z z sin )2cos(-=+π212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±212121sin sin cos cos )cos(z z z z z =±z z sin )sin(-=-z z cos )cos(=-⑶z z z i e sin i cos =+⑷z sin 仅在πk z =处为零，z cos 仅在π2πk z +=处为零，其中的k 为整数． ⑸z sin 与z cos 均以π2k （k 为整数)为周期； ⑹命题“若z 为复数，则1cos ,1sin ≤≤z z ”不真．⑺z z sin lim ∞→与z z cos lim ∞→均不存在． 同理可以定义其他三角函数：sin cos tan ,cot ,cos sin 11sec ,csc .cos sin z z z z z z z z z z ====5.初等多值函数.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，称满足z w n = （n 为不小于2的正整数）的w 为z 的n 次根式函数，或简称根式函数，记作n z w =⑴根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有n n r w θi 0e =n n r w π2i 1e +=θ … n n n n r w π)1(2i 1e -+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．⑵根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数．定义 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．⑶根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．对数函数定义2.10 设∞≠,0z ，称满足z w =e的w 为z 的对数函数，记作z w Ln =注解1.由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i π2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解2.Lnz ln|z|iArg 0w z,z ==+≠.多值函数的单值化：1）由于Ln ln ||z z iArgz =+，而是Argz 通常正数的自然 对数，Arg z 是多值函数，所以对数函数的多值性是由于辐角函数的多值性引起的，每两个函数值相差2i π的整数倍；2）像rg A z 一样，取主值arg z ，则得到Lnz 的一个单值分支，记为lnz ，也称为Lnz 的主值，即ln ln arg z z z =+令v u w z r z i ,,0,e i +=∞≠=θ由定义2.10可得z w Ln =)π2(ln k i r ++=θz i z Arg ln += （k 为整数）即对于每一个∞≠,0z ，有无穷多个不同的w ，即有)π4(i ln 2k z w ++=θ)π2(i ln 1k z w ++=θθi ln 0+=z w)π2(i ln 1k z w -+=-θ)π4(i ln 2k z w -+=-θ与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数． 一般幂函数定义：利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为Ln a a z z e =当a 为正实数，且0z =时，还规定0a z =.一般幂函数的基本性质：（1）由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；（2）当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；（3）当1a n=（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； （4）当p a q=是有理数时，幂函数是一个q 值函数； （5）当a 是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数反正切函数：由函数w z tan =所定义的函数w 称为z 的反正切函数，记作z w Arctan =，由于iw iw iwiw ee e e i z --+-=1， 令τ=iw e 2，得到111+-=ττi z ， 从而 i z i z ++-=τ， 所以])(Ln )([Ln 21Ln 21Arctan πi i z i z i iz i z i z w ++--=++-==反正切函数是多值解析函数，它的支点是i z ±=，无穷远点不是它的支点.四. 疑难解析解析函数概念1．函数()f ω=z 在一点0z 可导与解析有什么不同？在一个区域D 呢？ 答：函数()f ω=z 在一点0z 解析比可导的要求要高的多.)(z f 在0z 解析，要求)(z f 不仅在0z 可导，还要求在的邻域内也可导.例如，函数()f =z zRe(z)在z =0可导（导数等于零），但在除去原点的全平面都不可导（因为[]Re()Re()Re()ω=-+ z z +z z z +z z z在→ z 0时，没有确定的极限），所以，)(z f 在z =0不解析.在一个区域D 内，因为所有点都是内点，所以()f ω=z 在D 内可导与在D 内解析是一致的.2．复变函数()f ω=z 的导数定义与实一元函数()y f x =的导数定义在要求上有什么不同？答: 两者在定义的形式与求导公式.求导法则上都完全相同.但是由于极限的要求不同，在复变函数()f ω=z 的导数定义()()lim f f →- 00z 0z +z z z中，0z ∆→的方式是任意的，而实一元函数()y f x = 定义中，0x ∆→的方式要简单的多.所以，我们说复变函数在一点可导的条件更为严格，从而复变函数的导数具有不少特殊的性质.3．判别函数可与解析有哪些方法？答: 目前为止，可用以下三种方法.（1）由定义判别.若()f ω=z 在0z 可导，且在0z 邻域内可导，则在解析.)(z f 在0z 导数存在，则在0z 可导；在0z 导数不存在，则0z 是)(z f 的奇点.（2）由定理1判别)(z f 在点z 是否可导.考察两个实二元函数(,)u x y 与(,)v x y 在点(,)x y 内是否可微，并验证是否满足柯西—黎曼条件（简称C —R 条件）.（3）用定理2判别)(z f 在D 内是否解析.考察两个实二元函数(,)u x y (,)v x y 在D 内是否可微，并验证是否满足C —R条件.常常有人忽略对与(,)v x y 可微的考察而导致错误.例如()f =z 个坐标轴上函数都等于零，所以在z =0处，有0u u v v x y x y ∂∂∂∂====∂∂∂∂ （()0,0(0,0)0lim lim 0x u x u u x x x→-∂===∂ 其他类似可求），即(,)u x y 与(,)v x y 在点(0,0)满足C —R 条件，但)(z f 在z =0不可微，所以在点(0,0)，)(z f 不解析（因为ω= z ，取x αγ=，y βγ=，则当0γ→时ω→ z 随,αβ的取值而改变，不惟一）.4 复变函数的连续.可导（可微）与解析之间有什么关系？答: 由于()f ω=z 在一点可导与解析不同，所以，对定义在D 上的函数)(z f 及点D ∈0z ，)(z f 的()f ω=z 连续.初等函数1.叙述复变函数与实变指数函数的区别.答: 由于exp (cos sin )x e y i y =+z z =e ，其区别为(1) 0≠z e ，而0x e >；(2) i π=z z+2k e e 是以2k i π为周期的周期函数，而x e 不是周期函数；(3) z e 没有乘幂的意义，而x e 可视为e 的x 次幂；(4) 0→z z lim e 不存在，而0x →-∞=x lim e ，x →+∞=+∞x lim e . ２.怎样区分e 的z 次幂与z e ？答: 由题1知，z e 没有乘幂的意义，它是单值的，而e 的z 次幂是一个多值函数，为了区别，记为⎡⎤⎣⎦z e ,[]exp()exp{}π⎡⎤==⎣⎦z e zlne z lne+i(0+2k ) []exp exp exp(ππ==⋅z(1+2k i)z 2k i)当0k =或0k ≠，z 为整数时，exp ⎡⎤=⎣⎦z e z .当0k ≠时，q z =p与exp z 的模相等，辐角不同. 当0k ≠，z 为无理数时，两者模相等，辐角不同.当0k ≠，z 为纯虚数时，两者模不等，辐角相同.当0k ≠，z 为复数时，两者模一般也不相同.３.exp z z =e 什么时候等于实数？答: 因为exp (cos sin )y i y +x z =e ，所以应有sin 0y ⋅=x e .而0≠x e ，故由 sin 0(0,1,).y y k k π=⇒==±⋅⋅⋅即当z 位于实轴且与实轴距离为k π的直线上时，x e 的值为实数.4. 叙述复变对数函数与实变对数函数的区别答: 因为ln ln 2k i π=+z z ，所以区别为：（1）ln z 是多值函数，ln x 是单值函数.（2）ln()ln ln =+1212z z z z ，ln()ln ln .=-1122z z z z 虽然与实对数函数运算法则相同，但意义不同.复变对数函数等式的意义是全体值的相等，而不是对应分支的相等.（3）1ln ln ln n n≠≠n z z,z.例如，对ln 2z ，当θi z =re 时，θ22i2z =r e ， 2ln ln (22),0,1,,r i m m θπ=++=±⋅⋅⋅2z 2ln 2ln (24),0,1,.r i k k θπ=++=±⋅⋅⋅z 显然两者实部相等，但虚部可取值却不相同.（4）ln z 的定义域为除零之外的全体复数，而ln x 的定义域是0x >.5．为什么sin 1≤z 与1≤cosz 在复数范围内不再成立？答: 因为sin ()i i e e --z z 1z =2i，所以 sin ()i i i i e e e e ---==-z z z z 1z 2i2ii i y y e e e e --=-=-z z 1122 当y =+∞时，0y e -→，y e →+∞，所以sin 1≤z 不再成立.同理可证，不再 有cos 1≤z .又sin sin()sin x y xchy icoxchy +z =+i =，而()y y chy e e -=+12， 1()2y y shy e e i-=-,当y →∞，chy 与shy →∞，所以sin 1≤z 不再成立. 平面场1.为什么要在无源又无旋的平面场上导轮复势函数？答： x A divA=y A x y∂∂+∂∂称为向量场A 的散度，divA 0≡的向量场称为管量场，即无旋场.divA>0称源，divA<0称沟（汇）.yA rotA=x A x y ∂∂+∂∂称为向量场A 的旋度.rotA=0的向量场称为势量场，即无旋场.无源又无旋的场，称为调和场，满足divA rotA 0≡≡.单连通域上的调和场是一个有势场.A 的势函数为v ，0v v =-. 使0A(x,y)=grad 0v .A 的力函数为u ，使1grad y x A A i A j u =-+=.u 和v 都是调和函数，且(,)v x y 是(,)u x y 的共轭调和函数.在单连通区域内，用势函数(,)u x y 和力函数(,)v x y 可以构造一个解析函数()(,)(,)f u x y iv x y ω==+z ，ω称为复势函数（简称复势）.讨论复势就是讨论一个解析函数.2.为什么在不同问题中场的复势表示有不同的形式？答: 因为在不同的物理应用中，为了各自的方便对复势采用了不同的定义，因而复势表示有不同的形式.如（1）在平面流速场(,)(,)x y v v x y i v x y j =+，有d (,)=-y x x y v dx v dy ϕ+, d (,)=-y x x y v dx v dy ϕ+.复势函数为()(,)(,)f x y i x y ωϕφ==+z ，______'()x y v v iv i i f x y x xϕϕϕφ∂∂∂∂=+=+=-=∂∂∂∂z （2）在平面静电场x y E E i E j =+，有(,)y x du x y E dx E dy =-+, (,)x y dv x y E dx E dy =-+复势函数为()(,)(,)f u x y iv x y ω==+z ,场E 何以用复势表示为______'()v u E i if x x∂∂=--=-∂∂z （3）在稳定状态的平面热流场，与题（2）类似______()()()d q k i k i k x y x x d ϕϕϕφ∂∂∂∂Φ=-+=--=-∂∂∂∂z 这里(,)(,)x y i x y ϕφΦ+(z)=称为复温度.五．典型例题例1 试证：函数)Re()(z z f =在复平面上处处不可导.分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值.证 对任意点z ，因 zz z z z z f z z f ∆-∆+=∆-∆+)Re()Re()()( 令y x z ∆+∆=∆i ，于是有 yx x z z f z z f ∆+∆∆=∆-∆+i )()( 由于上式当z z ∆+沿平行于虚轴的方向趋于点z 时（即0,0→∆=∆y x ），其极限为0；当z z ∆+沿平行于实轴的方向趋于点z 时（即0,0→∆=∆x y ），其极限为1，所以zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim不存在，故)(z f 在点z 处不可导.由点z 的任意性，函数)Re()(z z f =于复平面上处处不可导.例2 试证函数1)(+=z z f 在复平面解析． 证 令y x z v u z f i ,i )(+=+=，则 1i 1)(++=+=y x z z f y x i 1++= v i u += 于是1+=x u y v = 从而有0,1==y x u u 1,0==y x v v显然，y x y x v v u u ,,,在复平面上处处连续，且满足C.— R.条件，故函数)(z f 在复平面解析.函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数.例 3 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．解 依C.— R.条件有y x u v x y 22-== 于是⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得)(2x y v x ϕ'+= y u -= y x 22+= 从而有c x x +=2)(ϕ 因此c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得)2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++= 将i )0(=f 代入上式，得i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求.例4 试证zz e 1e =-． 证：设y x z i +=，由定义得及（实）三角函数的性质得 )]sin(i )[cos(e e y y x z -⋅+-=-- xyy e sin i cos ⋅-=)sin i (cos e )sin i )(cos sin i (cos y y y y y y x⋅+⋅+⋅-=)sin i (cos e sin cos 22y y yy x ⋅++=ze 1=. 例5 计算)i 1(Ln +．解：)i 1(Arg i i 1ln )i 1(Ln +++=+)π24π(i 2ln 21k ++=（k 为整数） 例6 试证z z z i 2i e sin i 21e =-. 证：由定义zz z z z i 2i i i e i 21e i 2e e sin -=-=- 可得z z z i 2i e sin i 21e =-.例7 计算)i 1cos(+的值．解 由定义得2e e 2e e )i 1cos(1i 1i )i 1(i )i 1(i +--+-++=+=+1sin )e e (21i 1cos )e e (2111-++=--. 例8设)(z f 在区域D 内解析，证明：若)(z f 满足下列条件之一，则)(z f 在D 内为常数：（1）对每一个∈z D ，有)(z f =0, （2）)(Re z f 或)(Im z f 在D 内为常数, （3）)f(z 在D 内为常数, （4）)(z f 在D 内解析, （5）)(z f 恒在D 内为实数, （6）)(arg z f 在D 内为常数, （7）2u v =,（8）c bu au =+,其中c b a ,,是不全为零的常实数.证明：（事实：在区域D 内，0====y x y x v v u u ,则在D 内，v u ,为常数） （2）设iv u z f +=)(,因为()z f 在D 内为解析，所以(),(1)u v u vx y y x∂∂-∂-∂==-∂∂∂∂()()()2,xu y u y u x u D iv u f z ∂-∂-=∂∂∂∂=∂∂+=内解析，所以也在又()()()内为常数在故得由D z f y v x v y u x u ，021=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂（8）因为au+bv=c 且a,b 与c 不全为零，所以a 与b 不能同时为零.否则，若a=b=0，则c=0.不妨设a ≠0，则于是有),(1bq c au -=()()(),,1,20,,,()u b v x a x u b v y a y f z u iv D u v u u x y y xu u v vx y x y u v f z D ∂∂⎧⎫=-⎪⎪∂∂⎪⎪⎨⎬∂∂⎪⎪=-∂∂⎪⎪⎩⎭=+∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂又因为在内解析所以由可得因此均为常数即在内为常数.例9．讨论函数i y x y x z f 22332)(+-=的可导性和解析性，并在可导处求导数22332),(,),(y x y x y x y x u ：=-=θ令解, y x xy y u x u y x y x 22224,4,3,3==-==θθ 显然上述四个偏导函数在z 平面上连续. 要使x y y x u u θθ-==,, 即222243,43xy y y x x -=-=,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==4343,00y x y x . 故处可导43430)(i z f +与在.在平面上不解析.)1(1627|)43()4343('0|)43(|)()('4343220220i xy i x i f xy i x i u o f i z z x x +=+=+=+=+=+==ϑ. 例10.试证()31)(z z z f w -==在割破0到1的直线段以及负虚轴的z 平面上，可以分成单值解析分支，且求出的0)2(<f 那个分支中)(i f 的值解：∞,1,0)()(的可能支点为z f i ,因3+1，3+（1+1）∞∴,1,0都是支点. 所以在割破0到1的直线段以及负虚轴的z 平面上可以分出三个单值解析分支()(2)0,arg (2),ii f f π<= 故可取而()πππ12543231)1arg(arg 31)(arg =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∆+∆=∆z c z c z f c ()()()i i i eee i i i if 125612531321)(πππ-=⋅--=∴.例11.试证：在将z 平面适当割开后，函数 32)1()(z z f -=能分出三个单值解析分支，并求出在点z=2取值的那个分支在i z =的值解：())(z f i 的可能支点为。
大学物理学习指导(第2章)
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新教材(学习指导)第2章第3节 海洋空间资源与国家安全含解析
第三节海洋空间资源与国家安全课程标准核心素养目标结合实例，说明海洋空间资源开发对国家安全的影响。
1.了解海洋空间资源的概念、类型及利用的优缺点。
(区域认知)，了解人类开发利用海洋空间的方式，分析海洋空间资源的开发利用情况。
(综合思维)，评价海洋空间资源的开发对国家安全的影响。
(地理实践力)，增强海洋是人类生存发展的第二空间的意识观念。
(人地协调观)一、海洋空间资源1．海洋空间包括海岸、海上、海中和海底。
2．海洋空间资源指可供利用的海洋空间，包括海岸带与海岛空间资源、海面空间资源、海中与海底空间资源等类型。
二、海洋空间资源的开发利用1．海洋空间资源的开发利用概况(1)优点和困难①优点：如节约土地资源，无需移民搬迁，交通运输便利，水下自然环境相对稳定、安全、隐蔽，适于铺设海底电缆、仓储等。
②困难：如海上活动要面对多变的天气和海水运动，深海活动要克服黑暗、高压、低温和缺氧环境；海洋开发技术复杂，造价昂贵，风险大。
(2)开发利用方式的扩展由传统的交通运输扩展到生产、通信、输电、储藏、文化娱乐等诸多领域，包括建设海上电站、海上石油城、海底电缆、海底油库、海洋旅游和海上运动区等。
2．海岸带与海岛空间资源的开发利用(1)海岸带①概念与作用概念：是海洋和陆地相互作用的地带，包括海岸、潮间带和水下岸坡三部分。
海岸带有众多的港湾，以及连通内陆的河流，它是海、陆交通的连接地，遍布着城市和海港。
作用：是人类活动频繁的地带；可辟为旅游地；海岸带是人类开发海洋空间资源的基地，也是守卫国家安全的前哨地带。
②沿海城市沿海城市是海岸带地区人口、产业较集中的地区，往往也是重要的港口，我国现有港口200多个，总吞吐量位居世界前列。
③沿海滩涂沿海滩涂是我国重要的后备土地资源，具有面积大、分布集中、区位条件好、农牧渔业综合开发潜力大等特点。
沿海滩涂作为重要的海洋空间资源，应进行保护性开发。
④海洋自然保护区海洋自然保护区是针对海岸带范围内的特有动植物品种或资源以及它们的生存环境等实行保护和进行特殊管理的区域。
大学物理化学 第二章 热力学第二定律学习指导及习题解答
3．熵可以合理地指定
Sm$
(0K)
0
，热力学能是否也可以指定
U
$ m
(0K)
0
呢？
答：按能斯特热定理，当温度趋于0K，即绝对零度时，凝聚系统中等温变化过
程的熵变趋于零，即
， 只要满足此式，我们就可以任意
选取物质在0K时的任意摩尔熵值作为参考值，显然 Sm$ (0K) 0 是一种最方便的
选择。但0K时反应的热力学能变化并不等于零，
（2）变温过程
A．等压变温过程 始态 A（p1,V1,T1） 终态 B（p 1,V2,T2）
S
T2
δQ R
T T1
T2 Cp d T T T1
Cp
ln
T2 T1
B．等容变温过程 始态 A（p1,V1,T1） 终态 B（p2,V1,T2）
S
T2
δQ R
T T1
C．绝热过程
T2 CV d T T T1
，所以不
能指定
U
$ m
(0K)
0
。
4．孤立系统从始态不可逆进行至终态S＞0，若从同一始态可逆进行至同
一终态时，则S＝0。这一说法是否正确？
答：不正确。熵是状态函数与变化的途径无关，故只要始态与终态一定S
必有定值，孤立系统中的不可逆过程S＞0，而可逆过程S＝0 是毋庸置疑的，
问题是孤立系统的可逆过程与不可逆过程若从同一始态出发是不可能达到相同
4．熵 （1）熵的定义式
dS δ QR T
或
S SB SA
B δ QR AT
注意，上述过程的热不是任意过程发生时，系统与环境交换的热量，而必须是在
可逆过程中系统与环境交换的热。
经济法学习指导第二章案例参考答案
第二章案例参考答案1．答：甲这样做没有违反法律规定，甲的行为是发生法律效力的。
在本案中，甲的丈夫乙是严重的精神病患者，是无民事行为能力的人。
根据我国有关规定：夫妻一方失去行为能力，另一方即为他方的法定代理人。
甲可以代理乙的民事法律活动包括处理财产。
所以甲的行为不违反法律规定，是发生法律效力的。
2．答：本案的关键是刘某把自己的自行车送给夏某时是否处于病态。
根据案情我们了解到，刘某已年满16周岁，且有独立的工资收入，应视为完全行为能力的人，其把自己的自行车送给夏某的赠予行为是发生法律效力的。
如果是在此之后刘某因患严重的精神分裂症被宣告为无民事行为能力人则与赠予行为无关。
但是，如果刘某把自己的自行车送给夏某的赠予行为发生时，已经处于病态（不论当时是否确诊），即处于不能辨别自己行为或不能完全辨别自己行为的状态，则其行为不发生法律效力。
夏某应予返还。
3．答：食品公司经理的做法没有法律依据，是不对的。
在本案中，公司经理委托采购员牛某到山东采购小枣3000斤。
牛某到山东后却采购小枣10000斤，行为超越了代理权限，超越部分是属于无权代理，对被代理人没有法律效力。
在第一批5000斤到货后，虽然公司经理十分生气，但是在严厉批评了牛某之后，告诉财务付款，并警告牛某下不为例。
此行为等于行使了承认权（或追认权），无权代理一经追认，既成为有权代理，公司经理所说的第一批多收的2000斤也要牛某自己处理的做法是没有法律依据的，因为，承认权与拒绝权都是形成权，形成权一经行使就发生法律效果。
即，承认了就不能再拒绝，拒绝了就不能再承认，所以第一批5000斤小枣食品公司必须收货付款。
至于第二批到货的5000斤，由于公司经理坚决拒收，是属于没有经被代理人事后追认的无权代理行为，应由行为人自己承担民事责任。
4．答：东郊站拒绝赔偿食品公司是有法律依据的。
我国有关的法律规定：诉讼时效期间的计算，是从权利受到侵害的人或单位知道或者应该知道被侵害的事实和致害人或单位的时候算起。
电路理论基础》学习指导李晓滨第2章
转化为△形变换，点a′或b′就会在电路中消失，无法求解电
压u。
【例2-5】 在图2-17中，已知电路参数为：us1=20 V， us5=30 V，is2=8 A，is4=17 A，R1=5 Ω，R3=10 Ω，R5=10 Ω，利用电源的等效变换求图中的电压uab。
u=f(i)。或者，假定端电压u已知(相当于在端口接一电压源)， 求出i=g(u)。
(3) 等效时端口的电压、电流的参考方向对应相同且方 程相等。
2. 电压源与单口网络并联的等效 电压源与单口网络并联的等效如图2-9所示。
注意：N1的等效网络不是理想电压源。
图 2-9
3. 电流源与单口网络串联的等效 电流源与单口网络串联的等效如图2-10所示。
【例2-2】 电路如图2-12所示，其中电阻、电压源
和电流源均为已知，且为正值。求：(1) 电压u2和电流i2； (2) 若电阻R1增大，对哪些元件的电压、电流有影响？ 影
响如何？
图 2-12
解 (1) 应用电源的等效变换可将图2-12等效为如图213所示的电路，可得
i2
R3 R2 R3
iS ,
图 2-17
解 图2-17的等效过程如图2-18所示。由此可知
10 10 2
uab
3 10
V 5V
10
3
图 2-18
【解题指南与点评】 利用电源的等效变换求解等效电 路时应注意两点：① 在等效过程中，电压源与电流源的参 考方向不能搞错；② 需要求解的变量应保持在电路中(如该
题中的点a与点b不能因变换而消失，否则无法求解uab)。
两种模型的等效互换关系如图2-6所示。 图 2-6
第2章 数据在计算机中的表示——学习指导
第2章数据在计算机中的表示一、填空题1 、计算机中的数有和两种表示方法。
2 、原码的编码规则是：最高位代表，其余各位是该数的。
3 、补码的编码规则是：正数的补码，负数的补码是将二进制位后在最低位。
4 、反码的编码规则是：正数的反码，负数的反码是将二进制位。
5 、一种记数制允许选用基本数字符号的个数称为。
6 、整数部分个位位置的序号是。
7 、通常把表示信息的数字符号称为。
8 、八进制数的基数是。
9 、 7420.45Q 的十六进制数是。
10 、数在计算机中的二进制表示形式称为。
11 、在小型或微型计算机中，最普遍采用的字母与字符编码是。
12 、计算机一般都采用进制数进行运算、存储和传送，其理由是。
13 、十进制整数转换成二进制的方法是，小数转换成二进制的方法是。
14 、二进制的运算规则有。
15 、目前常见的机器编码有、和。
16 、对 -0 和 +0 有不同表示方法的机器码是和。
17 、 8 位寄存器中存放二进制整数，内容全为 1 ，当它为原码、补码和反码时所对应的十进制真值分别是、、。
18 、在二进制浮点数表示方法中，的位数越多则数的表示范围越大，的位数越多则数的精度越高。
19 、对于定点整数， 8 位原码（含 1 位符号位）可表示的最小整数为，最大整数为。
20 、采用 BCD 码， 1 位十进制数要用位二进制数表示， 1 个字节可存放个 BCD 码。
21 、对于定点小数， 8 位补码可表示的最小的数为，最大的数为 1-27 。
22 、在原码、补码、反码中，的表示范围最大。
23 、浮点运算时，若运算结果尾数的最高位不为时需要规格化处理，此方法称为。
24 、西文字符通常采用编码，这种编码用位二进制数表示。
25 、在 1 个字节中存放两个十进制数的编码方式称为，简称。
26 、浮点运算中的对阶操作采用右移几位，加上几个来实现，此方法称为。
27 、浮点运算结果规格化时，尾数左移解决问题，右移解决问题。
28 、逻辑操作是对数据进行按位的逻辑、逻辑、逻辑和逻辑等操作。
第2章 门电路学习指导
第二章门电路一、内容提要本章系统地讲述了数字电路的基本逻辑单元——门电路。
由于门电路中的二极管和三极管经常工作在开关状态，所以首先介绍了它们在开关状态下的工作特性。
然后，重点讨论了目前广泛使用的TTL门电路和CMOS门电路。
对于每一种门电路，除了讲解它们的工作原理和逻辑功能以外，还着重介绍了它们作为电子器件的电气特性，特别是输入特性和输出特性，以便为实际使用这些器件打下必要的基础。
二、重点难点虽然这一章讨论的只是门电路的外特性，但无论集成电路内部电路多么复杂，只要它们和这一章所讲的门电路具有相同的输入、输出电路结构，则这里对输入、输出特性的分析对它们也同样适用。
因此，这一章是全书对电路进行分析的基础。
本章的重点内容包括以下三个方面:1、半导体二极管和三极管(包括双极型和MOS型)开关状态下的等效电路和外特性;2、TTL电路的外特性及其应用;3、CMOS电路的外特性及应用。
为了正确理解和运用这些外特性，需要了解TTL电路和CMOS电路的输入电路和输出电路结构及它们的工作原理。
内部的电路结构不是重点内容。
鉴于CMOS电路在数字集成电路中所占的比重已远远超过了TTL电路，建议在讲授时适当加大CMOS电路的比重，并相应压缩TTL电路的内容。
TTL电路的外特性是本章的一个难点，同时也是一个重点。
尤其是输入端采用多发射极三极管结构时，对输入特性的全面分析比较复杂。
从实用的角度出发，只要弄清输入为高/低电平时输入电流的实际方向和数值的近似计算就可以了。
三、习题精解知识点:三极管饱和、截止的分析判断。
例2．1 电路如图2.1所示。
求使三极管截止的v imax ；保证三极管饱和的v imin ，已知三极管β＝30，V BE ＝0．7V ，V CES ＝0．3V 。
解 三极管的开关条件分别为：V BE ≤0，三极管截止，I B ≥I BS 三极管饱和导通。
当三极管截止时，其等效电路如图2.2（a ）所示。
I B＝0，则01010221≤-++=R R R v V i BE图2.1图2.2 即010*******≤-ΩΩ+Ω+V k k k Vv i解得 v i ≤2V 即 v imax ≤2V当三极管饱和导通时，其等效电路如图2.2(b)所示。
新教材(学习指导)第2章第1节 中国耕地资源与粮食安全含解析
第一节中国耕地资源与粮食安全课程标准核心素养目标运用图表，解释我国耕地资源的分布，说明其开发利用现状，以及耕地保护与粮食安全的关系1.了解耕地资源的价值；运用图表，分析我国耕地资源的分布。
(区域认知)，说明我国耕地资源的特点。
(综合思维)，分析我国耕地资源开发利用现状。
(地理实践力)，分析耕地保护与粮食安全的关系，形成可持续发展的观念。
(人地协调观)一、中国耕地资源1．什么是耕地资源耕地是由自然土壤发育形成的、能够种植农作物的土地，并具备可供农作物生长、发育、成熟的自然环境。
2．耕地数量与空间分布(1)数量：截至2017年末，我国耕地面积约为1.35亿公顷(20.23亿亩)。
(2)分布特点：我国耕地资源主要分布在气候湿润、半湿润的东部季风区。
3．耕地质量(1)划分：我国耕地质量主要依据地貌、土壤、水文、气候、农田基本建设、作物产量等因素划分为优、高、中、低四个等级。
(2)耕地质量特点：我国耕地总体质量稳定，总体偏低。
从全国分布来看，东部、中部地区耕地质量总体较高，西部地区耕地质量总体较低。
从目前的开发利用情况来看，我国耕地具有以下特点：1．人均耕地少我国耕地总量多，人均少。
2．分布不均衡我国土地面积辽阔的西部地区耕地资源相对匮乏，质量也较低；其他几个地区则相反。
3．耕地后备资源有限。
4．耕地质量下降主要表现在：一是耕地的利用方式不当，土壤大面积退化；二是部分地区由于种粮收入少、耕作条件差等原因造成弃耕；三是生态环境恶劣地区对耕地的破坏导致了水土流失、土壤盐渍化等问题。
1．耕地保护与粮食安全的关系(1)保障粮食安全，必须保护耕地耕地是粮食生产的自然基础，是粮食生产的决定性因素。
(2)影响粮食生产的因素：耕地的数量、质量及农业科技等。
(3)粮食安全①重要性：粮食安全是国家安全的重要方面。
②概念：粮食安全是指保证人们随时能买得到又能买得起为维持生存和健康所必需的足够食品。
③粮食安全不仅包括数量供求平衡，还包括空间结构平衡、品种结构平衡以及数量和质量的统一。
《第2章 整式的加减》学习指导
《第2章 整式加减》一、用字母表示数1．字母与字母相乘时“×”省略；数字与字母相乘时省略“×”，但数字要写在字母的前面，若数字是带分数要化成假分数。
如n ⨯4写成n 4，211a 要写成a 23；注意：π是数字，不是字母。
2．除号不用，改用分数线。
3．若结果是和、差的形式，带单位时要加括号。
如t ℃升高2℃后是)2(+t ℃。
例 一商品价格为a ，第一次提价%10，售价为多少？第二次又提价%10，售价为多少？ 解：第一次售价为：a %)101(-，第二次售价为：a 2%)101(-。
二、 代数式1．代数式的判定方法不含等号，也不含不等号的式子就是代数式。
含等号或含不等号的式子就不是代数式。
如a 5-，y x 73-都是代数式；a ＞2，43=-x 都不是代数式。
2．整式的判定方法分母不是字母的代数式就是整式。
分母是字母的代数式就不是整式。
如b a -，y 8，2x，π2都是整式，a 2，yx x +3都不是整式。
3．单项式和多项式的判定方法不含加号或减号的整式就是单项式，含加号或减号的整式就是多项式。
4．单项式是由数字因数和字母因式两部分组成。
数字因数就是单项式的系数。
单项式的系数应包括前面的符号，比如单项式的系数是“3-”而不是“3”。
单项式的系数是“1”或“1-”时，“1”通常省略不写，“1-”中的“1”也通常省略不写，但“－”号不能省略。
因此只含有字母因式的单项式不能认为它们没有系数，它们的系数是“1”或“1-”。
5．单项式次数仅与单项式中所有字母的指数有关，而与系数无关。
单项式中单独出现的字母，其指数“1”通常略去不写，但计算次数时不可丢失。
如 z xy 23的次数是4121=++次，而不是2020=++次。
6．多项式的项及项的系数应包括它前面的符号，比如，多项式52162--x x 的第二项是 x 21-，而不是x 21，第 二项的系数是 21-，而不是 21。
数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全_丁玉美)第二章
0≤|a|<1, 0≤|b|<1
2021/4/21
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第２章 时域离散信号和系统的频域分析
［例2.4.5］ x(t) cos(2πf1 t) cos(2πf2 t) , f1=10 Hz， f2=25 Hz， 用理想采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到 xˆ (t)。
（9） 若x(n)=a|n|, 则
X
(z)
(1
1 a2 az)(1
az 1 )
a z a 1
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
2021/4/21
12
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 FT和ZT
（1） FT的逆变换为
x(n) 1 π X (e j )e jnd 2π －π
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
2021/4/21
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第２章 时域离散信号和系统的频域分析
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶 变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信 号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号 的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更 有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地 使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其 FFT将在下一章学习。
列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。
a02热工理论基础学习指导(第2章)
第二章 热力学第一定律2-1 学习目标与要求1．掌握热力系储存能的概念，掌握状态参数热力学能、焓的定义及物理意义；2．深刻理解热力学第一定律的实质，并能熟练运用热力学第一定律的数学表达式（即能量方程）对闭口系进行能量交换的分析及计算；3．理解稳定流动的特点及开口系与闭口系在能量分析上的差异，并能熟练运用稳定流动的能量方程式对工程问题进行能量转换的分析和计算；4．了解膨胀（压缩）功、轴功、技术功、流动功之间的联系与区别。
2-2 基本知识点一、热力学第一定律的实质及表述1．实质：是能量转换与守恒定律在热力学中的具体应用，即反映热力系能量交换的规律。
2．表述：（1）热和功可以互相转换，为了获得一定量的功，必须消耗一定量的热；消耗一定量的功时，必然出现与之对应量的热。
（2）第一类永动机是不可能制造成功的。
● 第一类永动机：不消耗能量而能对外连续作功的机器；实践证明是不可能实现的。
3．热力学第一定律能量平衡方程式：对于任何热力系中发生的任何热力过程，其能量平衡方程式均可表示如下：进入系统的能量—离开系统的能量=系统储存能的变化量 （2-1）二、热力系的储存能与热力学能热力系储存能的构成：系统总储存能=内部储存能+外部储存能1．内部储存能（即热力学能）（1）定义：热力系内部所有微观粒子所具有的能量之和，称为热力学能，也称为内能用U 表示；单位质量工质所具有的热力学能，称为比热力学能（比内能），用u 表示，即U=mu 。
（2）构成：热力学能=内动能+内位能● 内动能（U k ）：包括分子的移动动能、转动动能及分子内部原子的振动动能，则U k=f(T)；● 内位能（U p ）：是由于克服分子间的作用力而形成，则U p =f(v)。
（3）性质：由于U= U k + U p =f (T ，v) ，故热力学能是状态参数。
2．外部储存能：系统工质与外力场的相互作用（如重力位能）及以外界为参考坐标的系统宏观运动所具有的能量（宏观动能）。
大学物理学习指导第2章流体力学基础
⼤学物理学习指导第2章流体⼒学基础第2章流体⼒学基础2.1 内容提要(⼀)基本概念 1.流体：由许多彼此能够相对运动的流体元(物质微团)所组成的连续介质，具有流动性，常被称为流体。
流体是液体和⽓体的总称。
2.流体元：微团或流体质量元，它是由⼤量分⼦组成的集合体。
从宏观上看，流体质量元⾜够⼩，⼩到仅是⼀个⼏何点，只有这样才能确定流体中某点的某个物理量的⼤⼩；从微观上看，流体质量元⼜⾜够⼤，⼤到包含相当多的分⼦数，使描述流体元的宏观物理量有确定的值，⽽不受分⼦微观运动的影响。
因此，流体元具有微观⼤，宏观⼩的特点。
3.理想流体：指绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。
它是实际流体的理想化模型。
4.定常流动：指流体的流动状态不随时间发⽣变化的流动。
流体做定常流动时，流体中各流体元在流经空间任⼀点的流速不随时间发⽣变化，但各点的流速可以不同。
5.流线：是分布在流体流经区域中的许多假想的曲线，曲线上每⼀点的切线⽅向和该点流体元的速度⽅向⼀致。
流线不可相交，且流速⼤的地⽅流线密，反之则稀。
6.流管：由⼀束流线围成的管状区域称为流管。
对于定常流动，流体只在管内流动。
流线是流管截⾯积为零的极限状态。
（⼆）两个基本原理 1.连续性原理：理想流体在同⼀细流管内，任意两个垂直于该流管的截⾯S 1、S 2，流速v 1、v 2，密度ρ1、ρ2，则有111211v v S S ρρ= （2.1a ）它表明，在定常流动中，同⼀细流管任⼀截⾯处的质量密度、流速和截⾯⾯积的乘积是⼀个常数。
也叫质量守恒⽅程。
若ρ为常量，则有Q = S v = 常量（2.1b ）它表明，对于理想流体的定常流动，同⼀细流管中任⼀截⾯处的流速与截⾯⾯积的乘积是⼀个常量。
也叫体积流量守恒定律或连续性⽅程。
2 伯努利⽅程：理想流体在同⼀细流管中任意两个截⾯处其截⾯积S ，流速v ，⾼度h ，压强p 之间有11222121gh p gh p ρρρρ++=++2122v v (2.2) 或写成常量=++gh p ρρ221v 。
第二章-线性代数学习指导书(1)
第二章 线性方程组一．主要内容本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容．（一）、向量组的线性相关性列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是n 维列向量与n 维行向量才能做相乘运算，例如，令12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12y y y ,y n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体) 则111121221222T 1212xy (,,,),n n n n n n n n x x y x y x y x x y x y x y y y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(字母新罗马用斜体)()12121122,,,.T T n n n n y y x y x x x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++= ⎪ ⎪⎝⎭这表明：n 维列向量与n 维行向量的积是n 阶方阵，n 维行向量与n 维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）．为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组n 维列向量：1j 2j j nj a a ,1,2,,.a j s α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体)构造矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 则向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是()R A s <. 因此，可用下面步骤判断向量组12,,,s ααα的线性相关性．第一步：对矩阵A 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵B ；第二步：行阶梯形矩阵B 的非零行数即为矩阵A 的秩()R A ；第三步：如果()R A s <，则12,,,s ααα线性相关，否则线性无关.在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下：第一步：对矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 施行初等行变换化为行标准形12(,,,)s B βββ=；第二步：求最大线性无关组．因为行标准形B 中首元1所在的列构成的向量组12,,,r i i i βββ是矩阵B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以，12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个最大线性无关组．第三步：求线性关系式．若行标准形B 中的列向量12,,,k j j j βββ满足关系式12120k j j r j d d d βββ+++=，则矩阵A 中的列向量12,,,k j j j ααα也满足关系式12120k j j r j d d d ααα+++=． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵B 对应列的相应分量.（二）、线性方程组理论线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有m 个方程n 个未知量的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （１）其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(),.A A b = 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是R(A)R(A).=唯一性：若R(A)R(A)n,==则线性方程组（１）有唯一解；若R(A)R(A)n,=<则线性方程组（１）有无穷多解．2．线性方程组的求解步骤第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵(),,A A b =并利用矩阵的初等行变换将A变为行标准形；第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩R(A),和R(A),并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解；第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据A的行标准形直接求解，完成计算．若线性方程组（１）的解不唯一，则根据A的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令A的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为R(A),其它未知量为自由变量，其个数为n R(A).-然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解．第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数n R(A),-同时根据A的行标准形确定自由变量；然后，分别取n R(A)-阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据A的行标准形求得导出组的基础解系.第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解．值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式．二．基本要求与疑难解析（一）基本要求1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式).2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法.3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算.5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩.7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法.8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法.（二）疑难解析1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地未知元也要对换.2、向量组的线性相关与线性表示两个概念之间有什么联系？理解它们之间的关系要注意些什么？答：一向量组线性相关就意味着存在不全为零的一组数，以它们为系数所作的此向量组的线性组合为零.这等价于向量组中有某向量可以由其余向量线性表示.在后一句话中我们要注意两点：第一，向量组线性相关只说明向量组中存在某一个向量可由其余向量线性表示，并不一定是每个向量都可由其余向量线性表示.第二，线性相关的向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示.3、如何判断向量组线性相关？答：根据书中的定理，某些向量组可直接判断它是线性相关的，如向量组中向量的个数多于其维数，向量组含有零向量或含有显然线性相关的部分组（如含有对应系数成比例的两个向量）等.一般的向量组可通过矩阵判别法来判断,即把向量组中向量作为列排成一矩阵A ，然后计算矩阵A 的秩，当且仅当A 的秩小于向量的个数时向量组线性相关.特别，对于由n 个n 维向量构成的向量组，只需考察A 的行列式，即当且仅当0=A 时向量组线性相关.4、向量组的最大无关组有什么特性？它在向量组的讨论中起什么作用？答：向量组的最大无关组有两个重要特性：第一，它是向量组的线性无关部分组，第二，它与原向量组等价.最大无关组也可以从其它角度来刻画：向量组的最大无关组就是向量组中含向量最多的线性无关部分组，也是与向量组等价的部分组中含向量最少的部分组.向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所包含向量的个数是相同的，称它为向量组的秩，是反映向量组本质的一个量.因为向量组的最大无关组与原向量组等价，根据等价关系的对称性和传递性，在讨论两向量组的线性关系时，诸如讨论一向量组是否可由另一向量组线性表示，两向量组是否等价，两向量组的秩之间的关系等，通常用最大无关组来代表原向量组.因为最大无关组是线性无关的，且其所含向量的个数就是向量组的秩，讨论起来较方便.特别是对包含无限多个n 维向量的向量组，它的最大无关组仅含有限个向量，这样就可以把对无限向量组的讨论转化为对有限向量组的讨论.5、向量组的等价与等秩有什么联系？答：根据等价的向量组的极大无关组也等价以及教材中有关定理可知等价的向量组必等秩.但等秩的向量组不一定等价，例如设),1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===εεε则向量组21,εε与向量组31,εε的秩都为2，但显然这两个向量组不等价.只有当两向量组中有一个可由另一个线性表示时，这两个向量组等秩就一定等价.特别地，一个向量组的部分组如果与原向量组等秩，则它们是等价的.6、如何理解矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系？什么是由此结论得出的求向量组的极大无关组的方法？答：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系是指如果矩阵A 通过初等行变换化为矩阵B ，那么对A 的任一列向量部分组，该部分组线性相关当且仅当B 对应的列向量部分组也线性相关.因而ir i i ,,ααα 21是A 的列向量组的最大无关组当且仅当B 中对应的列向量组ir i i βββ,,,21 是B 的列向量组的最大无关组. 前一论断证明如下：设A 通过初等行变换化为矩阵B ，任取A 的第k i i i ,,,21 列ik i i ααα,,, 21构成矩阵A 1，则A 1通过前面给出的初等行变换得到的矩阵正是由B 的第k i i i ,,,21 列ik i i βββ,,,21 构成的矩阵B 1，因而)()(11B r A r =.又ik i i ααα,,, 21线性相关当且仅当,)(1k A r <也就是.)(1k B r <而k B r <)(1当且仅当ik i i βββ,,,21 线性相关.所以矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系.利用这一性质，我们求向量组的最大无关组时，只须把所给向量组中向量为列构成一矩阵A ，然后用初等行变换化A 为阶梯形矩阵B ，因为B 的每个非零行第一个不为零的元素所在的列向量构成的列向量部分组是B 的列向量组的一个最大无关组，所以A 的相应的列向量部分组就是所给向量组的一个最大无关组.7、非齐次线性方程组AX ＝b 的解与A 的列向量组之间有何联系？(用b Ax =，或0=Ax ，下同)答：将线性方程组AX ＝b 写成向量形式b x x x n n =+++ααα 2211，其中i α为A 的第i 列构成的列向量，因此b 可由n ααα,,,21 线性表示⇔AX ＝b 有解.b 可由n αα,,1 唯一线性表示⇔AX ＝b 有唯一解.b 可由n αα,,1 表示，且表示法不唯一⇔AX ＝b 有无穷多解.8、齐次线性方程组的基础解系是否唯一？判别一个向量组是否为AX ＝0的基础解系的方法有哪些？答：当方程组AX ＝0存在基础解系（有非零解）时，其基础解系是不唯一的。
(学习指导)第2章2 电动势含解析
2电动势[学习目标]1.[物理观念]知道电源是将其他形式的能转化为电能的装置。
2.[科学思维]了解电路中(电源外部和内部)自由电荷定向移动的过程中，静电力和非静电力做功与能量转化的关系。
(难点)3.[物理观念]了解电源电动势的基本含义，知道它的定义式。
4.[物理观念]了解电源内电阻。
一、电源1．非静电力(1)非静电力的作用：把正电荷在电源内部由负极搬运到正极，同时在该过程中非静电力做功，将其他形式的能转化为电势能。
(2)非静电力的实质：在电池中是指化学作用，在发电机中是指电磁作用。
2．电源：通过非静电力做功把其他形式的能转化为电势能的装置。
二、电动势和内阻1．电动势(1)定义：非静电力把正电荷从负极搬运到正极所做的功跟被搬运的电荷量的比值。
(2)公式：E＝W q。
(3)单位：伏特，用符号“V”表示。
(4)物理意义：电动势的大小反映了电源将其他形式的能转化为电能的本领，电动势大，表示电源的转化本领大。
(5)大小：从做功角度，其数值等于非静电力把1 C的正电荷在电源内部从负极搬运到正极所做的功。
(6)方向：电动势是标量，为研究问题方便，规定其方向为电源内部电流的方向，即由电源负极指向正极。
(7)电动势的决定因素：电动势是电源的属性，大小完全由电源本身决定，与电源的体积和外电路的组成及变化情况无关。
2．电源的内阻及电池的容量(1)电源的内阻：电源的内部也是由导体组成的，所以也有电阻，这个电阻叫作电源的内阻，内阻与电动势为电源的两个重要参数。
(2)电池的容量：①定义：电池放电时能输出的总电荷量，通常以安培时(A·h)或毫安时(mA·h)作单位。
②特点：电池的容量与放电状态有关，同样的电池，小电流、间断性放电要比大电流、连续放电的容量大。
③对同一种电池，体积越大，电池的容量越大，电池的内阻越小。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)非静电力做功，可以使正电荷在电源内部由负极移动到正极。
小学教育知识与能力 第二章 小学生学习指导2
一、单项选择题1．学习是人类和动物普遍存在的现象，这说明学习是（）。
A．形成思想的必要条件B．掌握技能的必要条件C．获得知识的必要条件D．有机体适应阶段的必要条件2．对学生进行学习方法指导，最终是要让学生（）。
A．学会生存B．学会思考C．学会学习D．学会分析3．根据经典条件反射作用理论，食物可以诱发狗的唾液分泌反应，则唾液是（）。
A．中性刺激B．无条件刺激C．条件反应D．无条件反应4．下列属于第二信号系统的条件反射的是（）。
A．望而生畏B．谈梅生津C．见风流泪D．尝梅生津5．小狗听到主人叫它的名字就能跑过来，这是（）的反应。
A．第一信号系统B．非条件反射C．第二信号系统D．第三信号系统6．“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，这种现象是指（）。
A．消退B．刺激比较C．刺激泛化D．刺激分化7．引导学生分辨勇敢和鲁莽、谦让和退缩属于刺激（）。
A．获得B．消退C．分化D．泛化8．桑代克认为学习过程是（）。
A．顿悟的过程B．同化顺应的过程C．形成认知结构的过程D．尝试一错误的过程9．桑代克认为，学习的实质是有机体在刺激情境与反应之间建立联结的过程，该过程实现的途径是（）。
A．尝试过程B．试误过程C．联结过程D．反馈过程10．桑代克的学习三律指的是（）。
A．准备律、练习律、效果律B．准备律、练习律、类化律C．练习律、思考律、迁移律D．练习律、因果律、近因律11．教育心理学的创始人桑代克认为，学习者只有提前具有某种需要，才能积极接受知识，这体现的学习规律是（）。
A．准备律B．效果律C．练习律D．条件反射12．如果一个家长想用看电视作为强化物奖励儿童认真按时完成作业的行为，最合适的安排应该是（）。
A．让儿童看完电视以后立即督促他完成作业B．限定每周看电视的适当时问C．惩罚孩子过分喜欢看的行为D．只有按时完成家庭作业后才能看电视13．下列事例中属于负强化的是（）。
A．老师对迟到的学生罚款B．老师不再批评按时完成作业的小明C．感觉屋内人声嘈杂时暂时离屋D．上课扮怪相而不再有老师和同学理睬14．看见路上的垃圾后绕道走开，这种行为是（）。
《电路分析基础》第2章指导与解答
第2章电路的基本分析方法电路的基本分析方法贯穿了整个教材，只是在激励和响应的形式不同时，电路基本分析方法的应用形式也不同而已。
本章以欧姆定律和基尔霍夫定律为基础，寻求不同的电路分析方法，其中支路电流法是最基本的、直接应用基尔霍夫定律求解电路的方法；回路电流法和结点电压法是建立在欧姆定律和基尔霍夫定律之上的、根据电路结构特点总结出来的以减少方程式数目为目的的电路基本分析方法；叠加定理则阐明了线性电路的叠加性；戴维南定理在求解复杂网络中某一支路的电压或电流时则显得十分方便。
这些都是求解复杂电路问题的系统化方法。
本章的学习重点：●求解复杂电路的基本方法：支路电流法；●为减少方程式数目而寻求的回路电流法和结点电压法；●叠加定理及戴维南定理的理解和应用。
2．1 支路电流法1、学习指导支路电流法是以客观存在的支路电流为未知量，应用基尔霍夫定律列出与未知量个数相同的方程式，再联立求解的方法，是应用基尔霍夫定律的一种最直接的求解电路响应的方法。
学习支路电流法的关键是：要在理解独立结点和独立回路的基础上，在电路图中标示出各支路电流的参考方向及独立回路的绕行方向，正确应用KCL、KVL列写方程式联立求解。
支路电流法适用于支路数目不多的复杂电路。
2、学习检验结果解析（1）说说你对独立结点和独立回路的看法，你应用支路电流法求解电路时，根据什么原则选取独立结点和独立回路？解析：不能由其它结点电流方程（或回路电压方程）导出的结点（或回路）就是所谓的独立结点（或独立回路）。
应用支路电流法求解电路时，对于具有m条支路、n个结点的电路，独立结点较好选取，只需少取一个结点、即独立结点数是n－1个；独立回路选取的原则是其中至少有一条新的支路，独立回路数为m－n＋1个，对平面电路图而言，其网孔数即等于独立回路数。
2．图2.2所示电路，有几个结点？几条支路？几个回路？几个网孔？若对该电路应用支路电流法进行求解，最少要列出几个独立的方程式？应用支路电流法，列出相应的方程式。
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2.1 知识结构
时域分析方法
系统模型建立 电气系统 机械系统 机电系统
经典解法 齐次解 特征根 4 种形式的解 特解 待定系数法 特解的形式
全响应的分解 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 稳态响应 暂态响应 冲激响应 阶跃响应
卷积计算 图解计算 解析计算 卷积性质计算 相关及计算
2.4 本章小结
本章主要介绍了线性非时变系统微分方程的建立和全响应的求解方法。从系统全响应不 同的分解方式来解微分方程，包括经典解法和卷积积分法。并介绍了系统冲激响应和阶跃响 应的关系，重点讨论了卷积积分运算规律及其性质。以及通过冲激响应来求系统的零状态响 应。下面是本章的主要结论。 1．系统的全响应可按三种方式分解：
10． 如何确定卷积的积分限和结果中 t 的范围？ 11． 两个门函数的卷积结果是什么？请总结出一般规律。 12． 什么是相关、自相关和互相关？说明相关与卷积的关系。 13． 卷积与变换法的联系，变换法的基本思想是什么？ 14． 雷达测距的原理是什么？匹配滤波器起什么作用？
那么系统的的零状 f ( ) (t )d ，
态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分，即 y zs (t ) f (t ) h(t ) 。零状态响应可分解为 自由响应和强迫响应两部分。 5．初始状态有 0 和 0 之分。0 状态称为零输入时的初始状态，即输入信号没有加入系统 时，系统就有储能，它是由系统储藏的能量产生的； 0 状态为加入输入信号后的初始状态。 即初始值不仅有系统的储能， 还受激励的影响。 在经典法求全响应的积分常数时， 用的是 0 状 态初始值。而在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。在求系统零状态响应时，用的 是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。 6．冲激响应 h(t ) 是冲激信号作用系统的零状态响应。阶跃响应 g (t ) 是阶跃信号作用系统 的零状态响应。冲激响应和阶跃响应的关系是 t dg (t ) ， g (t ) h( )d 。 h(t ) dt 7．卷积积分的计算方法有解析法、图解法和数值计算法。其中，图解法最能说明它的计 算过程，卷积的一些计算规律如下： (1) 两个时限信号的卷积结果的左边界和右边界分别是两个时限信号左边界之和及右 边界之和。卷积的持续时间等于两时限信号的持续时间之和。 (2) 两个宽度不同的矩形波其卷积波形为梯形波。梯形波平顶宽度为两矩形波宽度之 差，梯形波的高度为宽度小的矩形波面积乘以宽度大的矩形波的高度。 (3) 两个宽度相同的矩形波其卷积波形为三角波。三角波的高度为一个矩形波面积乘 以另一矩形波的高度。 (4) 任意信号与冲激函数卷积就是它本身，即 f (t ) (t ) f (t ) 。所以，卷积中含有 冲激函数的计算是最简单的。因此，利用卷积的性质，使卷积中含有冲激函数是简化卷 积计算的有效方法。 (5) 两个因果信号的卷积，其积分限是从 0 到 t。 8．相关是一个与卷积类似的运算。一个信号和另一个信号的反褶形式的卷积：
rxy (t ) x(t ) y(t ) x(t ) y(t )
它研究两个信号的相似性，或一个信号经过一段延时后自身的内在联系相似性，以实现 信号的检测、识别与提取等。在实际工程中广泛应用。
2.5 思考题
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 什么是系统模型？各种不同系统模型有什么特点？ 什么是微分方程的经典解法？ 自由响应、强迫响应与暂态响应、稳态响应的关系？ 自由响应、强迫响应与零输入响应、零状态响应的关系？ 零输入响应和零状态响应分别是由什么原因产生的？ 零输入响应是否等同于微分方程的齐次解？零状态响应是否等同于微分方程的特解？ 冲激响应和阶跃响应有何关系？ 系统的初始状态有 0＋初始状态和 0－初始状态之分，请说明他们的区别？ 卷积有哪些特性？它们在系统分析中有什么意义？
2.2 重点与难点
1、连续系统微分方程的建立，微分方程的经典法及其解的基本特点。 2、冲激积的图解法。 4、卷积在系统分析中的应用。
2.3 学习目标
讨论微分方程的经典解法。 分析系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应。 弄清系统响应的两种分解，四种响应之间的关系。 理解两种初始值的含义。 说明卷积积分的意义及性质。 应用图解法、解析法和性质法计算卷积积分。 分析系统的串联和并联结构。 讨论自相关和互相关及其应用。
全响应 y (t ) 零输入响应 y zi (t ) 零状态响应 y zs (t )； 全响应y(t ) 自由响应 yh (t ) 强迫响应 y p (t )；
全响应 y (t ) 瞬态响应 yt (t ) 稳态响应 yss (t );
2．微分方程的经典解法就是：根据特征方程的特征根计算方程的齐次解 y h (t ) ，根据激 励信号的形式求解方程的特解 y p (t ) ，最后由系统的初始状态确定全解的待定系数。方程的齐 次解即为系统的自由响应，特征根为系统的自由频率；特解为系统的强迫响应。自由响应必 为瞬态响应，强迫响应中随时间衰减的部分是瞬态分量，而常量和正弦量为稳态分量。 3．系统的零输入响应就是解齐次方程，形式由特征根确定，待定系数由 0 初始状态确 定。零输入响应必然是自由响应的一部分。 4． 任意信号可分解为一系列冲激函数的和 f (t )