圆中定值问题

圆中定值问题

定值问题就是近年来中考与竞赛中的热点与难点,它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证,从而使问题获得解决、

图形背景:如图,在平面直角坐标系中,M为x轴正半轴上一点,以M为圆心的圆分别交ｘ轴、

y轴于A、B、C、Ｄ四点、

此图虽简单,但内涵极为丰富,它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识

联系,演变成一系列定值问题、

(以下各题如无特殊说明,圆心M的坐标(3,0),半径为5)

一、探究a b⋅型定值问题

例1、如图2,点P就是上一动点,连接ＣP并延长交x轴于点Ｑ,连接PD交ｘ轴于点H,当点P在上运⋅为定值,并求其值、

动时,试探究MQ MH

二. 探究a

b

型定值问题

例2、如图,点P就是上一动点,过点Ｃ作⊙Ｍ的切线交x轴于点Q,连接PＯ,当点P在上运动时,试探

究PO

PQ

为定值,并求其值.

三、探究a b

型定值问题

例3、如图,若以Ｍ(1,0)为圆心,2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点,点P就是上一动点,过点D作⊙Ｍ的直径DH交ＡP于F点,连接PH交ｘ轴于点E,当点Ｐ在上运动时,试探究ME+MF为定值,并求其值、

变式练习、

如图,若以M(1,０)为圆心,2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、Ｄ四点,若P就是上一动点,连接HP 交x轴于E,当点Ｐ在上运动时,试探究ME-MＦ为定值,并求其值、

四. 探究11

a b

+型定值问题

例4、如图,过C点作⊙M的切线交x轴于Q点,连接ＣA,过A点的直线EF交CQ于E点,交y轴于Ｆ点,当直

线EF绕点A旋转时,探究

11

CE CF

+为定值,并求其值、

五. 探究型定值问题

例５、如图,点P就是上一动点,连接PC、PB、PD,当点P在上运动时,探究PC PD

PB

+

为定值,并求其

值、

变式练习、

如图,点P就是上一动点,连接PC、PＢ、PＤ,若点P在上运动时,探究PC PD

PB

-

为定值,并求其值、

六、探究直线过顶点

例6、如图,点Ｐ就是y轴上一动点(点P在C点的上方),过点P作⊙Ｍ的切线ＰE、PF,切点为E、F,连接ＦＥ并延长交x轴于点R,当点P在y轴上运动时,试探究点R为顶点,并求其坐标、

七、探究线段长度不变

例7.如图,过C点作⊙M的直径ＣE,点Ｐ就是上一动点,以ＰM为直径作⊙N交CE于S点,交ｘ轴于T点,当点P在上运动时,探究ST为定值,并求其值.

八、探究三角形外接圆的半径不变

例８、如图,点P 就是上一动点,过点Ｐ作⊙M 的直径PF,延长DP 、ＦＣ交于点E,当点P 在

上运动时,

试探究△P ＥＦ的外接圆的半径不变、

课后练习 如图,直线2

y x =-+分别交y 轴、ｘ轴于Ａ、B 两点,以y 轴上一点M 为圆心作⊙M 切AB 于点B,⊙M 交x 轴于点Ｃ,交ｙ轴于D 、E 两点、

(1)求圆心Ｍ的坐标;

B A

C

D M E

(2)作直径BR,F就是弦BC上任意一点,过点F作ＦG⊥ＦＧ交直线ＡB于点Ｇ,GＨ⊥ｘ轴于Ｈ,点Ｆ在运动过程中,线段FH的长就是否变化?若不变,求其值;若变化,说明理由;

(3)如图,过点Ｏ、C、Ｅ三点作⊙N,Ｐ就是⊙Ｍ上的弧ＢＥ上的一个动点,连接CＰ交⊙N于点Q,连接ＰB、

当点Ｐ在弧ＢE上运动时,给出两个结论:①PQ PB

CQ

-

为定值;②

PQ PB

CQ

+

为定值.其中有且只有一个就是正

确的,请证明正确的结论并求出其值、