2013高中数学精讲精练(新人教A版)第02章_函数B
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2013高中数学精讲精练 第二章 函数B
第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
【基础练习】
1. 已知二次函数2
32y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32
x =
；顶点坐标为 31(,)2
4
-
，
与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14
-
．
2. 二次函数2
2
23y x m x m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，
递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞． 3. 函数2
21y x x =--的零点为11,2
-
．
4. 实系数方程2
0(0)a x b x c a ++=≠两实根异号的充要条件为0a c <；有两正根的充要条件为
0,0,
0b c a a
∆≥-
>>；有两负根的充要条件为0,0,
0b c a a ∆≥-
<>．
5. 已知函数2
()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________
．
【范例解析】
例1.设a 为实数，函数1||)(2
+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；
（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．
解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2
x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．
当0≠a 时，1)(2
+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，
)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．
此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．
[1,2]
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2
12
3)(22x x x x x x x f
由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为4
3)2
1(=
f ．
故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为
4
3．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 2
12
a x x a =
+-()a R ∈
在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况． 解：∵直线1x a
=-
是抛物线()f x 2
12
a x x a =
+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当0>a 时，函数()y f x =
，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由10x a
=-
<知()f x
在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；
（2）当0=a 时，()f x x =
，2]x ∈，有)(a g =2；