空间力系
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力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
工程力学第五章 空间力系
cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
空间力系
第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21 同理 ∑∑==ziRz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRR xRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
理论力学精品课程第六章空间力系
首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
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航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
五、空间力系
F1
z
F2
o x
y
Fn
FR F
7
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FRx cos FR
二、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等
于零。由此得平衡方程：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
A
a
M C
B
P
a
D
y
3
m
DD '
F3 2P 0;
F3 F 4 1A´ a F2 F
D´
F5
C´
F6
B´
y
x
2 F5 a Pa M 0, 2
F5 2 2P
27
m
C 'D'
0;
z
B P A F1 F5 0, F1 2 2P a M F6 mBD 0; D C F5 F3 F 2 B´ 4 F 2 P F F4 F5 0, 4 a F2 1A´ y 2 D´ C´ mB'C ' 0;
'
o x
mn
=
y
m2
F
' n
o x
y
F1' F1 F2' F2 ; ; m1 mo ( F1 ) m2 mo ( F2 )
Fn' Fn mn mo ( Fn )
14
F1
z
F2
z
o x
=
y
Fn
F1
'
m1
Mo
F2'
z
第六章 空间力系
求力F在三个坐标轴上的
投影。
参见动画：例题1(1)
例题
空间力系
解：
例 题 1
向x，y， z轴投影。
Fxy = Fcos30o
Fx=-Fcos30ocos45o
Fy = Fcos30osin45o
参见动画：例题1(2)
Fz =Fsin30o
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN· cm
作和y轴垂直的平面
M2 .
z
B
5cm
D
3cm 找出交点O. 确定力P在平面M2 y o A 内的分力Pxz=P=1kN. d2 在平面M2内确定 x 力Pxz到矩心O的距 P 离即力臂d2=3.464cm 计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩
结论：力对平行它的轴的
矩为零。即力F与轴共面
时，力对轴之矩为零。
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该 轴的矩为零.
力对平行它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
2、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
Ry Rx Rz cos ,cos ,cosg R R R
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点.
三、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为： X 0 称为平衡方程 Y 0 空间汇交力系的平衡方程
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k
第六章空间力系
B
30
D
G E
5m
60
45
45
A
桅杆式起重机可简化为如 图 所 示 结 构 。 AC 为 立 柱 ， BC ， CD和CE均为钢索，AB为起重 杆。A端可简化为球铰链约束。 设B点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN，AD=AE=6 m，其余 尺寸如图。起重杆所在平面 ABC与对称面ACG重合。不计 立柱和起重杆的自重，求起重 杆AB、立柱AC和钢索CD，CE 所受的力。
力对轴的矩
空间力对轴的矩是个代 数量,它等于这个力在 垂直于该轴的平面内的 投影对于这平面与该轴 交点的矩。
z
B F
A
o
y
d
B
x
A Fxy
Fxy F cos
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
例题6-5
已知：F,l, a, 求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F分解如图
F3 2 2P
力对点的矩的矢量表示
❖ 对于平面力系，力对该平面内一点的矩有大小和 转向两个要素，所以可用代数量表示；
❖ 对于空间力系，不仅要考虑力矩的大小、转向， 还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不 同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。
力矩的大小 力矩的转向该 力矩作用面的方位
力对点的 矩三要素
这三个要素可以用一个矢量来表示:
Fz Fn sin Fxy Fn cos Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
例题6-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图， 列平衡方程
Fx 0
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第四章空间力系
效应取决于下列三要素： ⒈
⒉
力矩的大小 ；
力矩的转向 ；
⒊ 力的作用线与矩心所组
成的平面的方位 (力矩作用面)。
二、力对点的矩的矢量表示
在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题 中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈
⑴
力矩矢的表示方法
力矩矢大小 ：
M O (F ) M O (F ) F h 2AOB面积
F ,cos g FR
z
注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。
⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 mo ( Fi )。
即 M o mo ( Fi )
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
M Ox [ mO ( F )]x mx ( F );
M Oy [ mO ( F )] y m y ( F ); M Oz [ mO ( F )]z mz ( F )
大小： M O M Ox 2 M Oy 2 M Oz 2 主矩 M O 解析求法
M Oy M Ox M Oz 方向： cos ' ,cos ' ,cosg MO MO MO
M为自由矢量。
⒉
力偶矩矢表示方法
（1）矢量的模，即力偶矩的大小 M Fd 2ABC （2）矢量的方位与力偶作用面相垂直； （3）矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺 旋法则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方 向，则螺旋前进的方向或拇指的指向即为矢的指 向 ，或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起 的转向为逆时针转向 。
空间力系
空间汇交力系 力对点的矩与力对轴的矩 空间力偶系 空间一般力系向一点的简化 空间一般力系简化结果的讨论 空间一般力系的平衡方程及应用 重心 习题课
理论力学第三章 空间力系
z
A
F DA
D E
F CA
B
F BA
W
F y
W
C
x
已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m
(a b) 2 h 2 AE 31.25 sin AD 33.5 (a b) 2 h 2 c 2
AF h 2.5 sin 2 AB 15.25 b h2
F
' R
MO
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
（2）简化为一个力偶
当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
C A B
2、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
FR F i
FRx Fix Fx
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
FRy Fiy Fy
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F cos( F , i )
R x
FR
cos( FR , j )
Fy FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点.
Fz cos( FR , k ) FR
A
F DA
D E
F CA
B
F BA
W
F y
W
C
x
已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m
(a b) 2 h 2 AE 31.25 sin AD 33.5 (a b) 2 h 2 c 2
AF h 2.5 sin 2 AB 15.25 b h2
F
' R
MO
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
（2）简化为一个力偶
当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
C A B
2、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
FR F i
FRx Fix Fx
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
FRy Fiy Fy
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F cos( F , i )
R x
FR
cos( FR , j )
Fy FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点.
Fz cos( FR , k ) FR
03=空间力系
3
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影 1）直接投影法
如图，若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角 a,b,g。则由力在轴上的投影定义，可直接将力F投影 在正交坐标系Oxyz三轴上。在各轴上的投影为
Fx F cos ( F ,i ) , Fy F cos ( F , j ), Fz F cos ( F ,k ) ( 3 1 )
式(3-7)有三个独立方程，可求解也只能求解三个求知数。
4 举例
7
第三章 空间力系
例 3-1: 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向.
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
上式称为：空间力对轴的矩的解析式。显然，平面力对点的矩，可以由它得到， 只要令Z=0,FZ=0即得。
18
第三章 空间力系
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
比较力对点的矩的解析式(3-10)，和力对轴的矩的解析式(3-12)得
MO( F )x yFz zFy ; MO( F )y zFx xFZ ; MO( F )z xFy yFx ( 3 10 )
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
13
第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在( 3 8 )：M O( F ) r F中，设r ,F在x, y,z轴上的投影分别为：x, y,z; Fx ,Fy ,Fz
F Fx 2 Fy 2 Fz 2
cos( F ,i ) Fx , cos( F , j ) Fy , cos( F ,k ) Fz
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影 1）直接投影法
如图，若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角 a,b,g。则由力在轴上的投影定义，可直接将力F投影 在正交坐标系Oxyz三轴上。在各轴上的投影为
Fx F cos ( F ,i ) , Fy F cos ( F , j ), Fz F cos ( F ,k ) ( 3 1 )
式(3-7)有三个独立方程，可求解也只能求解三个求知数。
4 举例
7
第三章 空间力系
例 3-1: 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向.
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
上式称为：空间力对轴的矩的解析式。显然，平面力对点的矩，可以由它得到， 只要令Z=0,FZ=0即得。
18
第三章 空间力系
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
比较力对点的矩的解析式(3-10)，和力对轴的矩的解析式(3-12)得
MO( F )x yFz zFy ; MO( F )y zFx xFZ ; MO( F )z xFy yFx ( 3 10 )
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
13
第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在( 3 8 )：M O( F ) r F中，设r ,F在x, y,z轴上的投影分别为：x, y,z; Fx ,Fy ,Fz
F Fx 2 Fy 2 Fz 2
cos( F ,i ) Fx , cos( F , j ) Fy , cos( F ,k ) Fz
静力学(空间力系)
§5-3 空间力偶
有关平面力偶的回顾
力
偶 : 大小相等,方向相反,不共线的 两个力所组成的力系.
F1
F2
力偶的作用面与力偶臂
力偶作用面 :
二力所在平面。
力偶臂 d:二力作
F1
用线之间的垂直距离
F2
力偶矩的大小
M F d
力偶的特点
特点一 : 力偶无合力,即主矢FR=0.
z C
A x B Fy
D
E
F
θ Fz y
本问题中
Fx F sin Fy 0 Fz F cos
x l yla z0
M x F yFz zFy F cos l a
M y F zFx xFz F cos l M z F xFy yFx F sin l a
Fx
Fxy
例题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z 4m
解： F1 、F2 可用直接投影法 Fx F cos Fy F cos F1 Fz F cos
Fx1 0 Fy1 0 Fz1 F1 500 N
Fx 2 Fy 2
FR
i 1
xi
n
Fi 0
2
由于
FR
F
Fyi Fzi
2
2
F 空间汇交力系的平衡条件： F F
x y
0 0 0
z
例题：已知： CE EB ED, 30 , P 10kN 求：起重杆AB及绳子的拉力
理论力学 第四章 空间力系
第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。
设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。
在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。
已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。
解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。
第三章 空间力系
'
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
M 0 M ix i M iy j M iz k
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
M 0 M ix i M iy j M iz k
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
理学空间力系
Fy F sin sin Fz F cos
力的方向: cos = Fx
F
解析表达式: F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
cos = Fy
F
力的大小: F Fx2 Fy2 Fz2
cos = Fz
F
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16
理论力学
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）空间力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶矩矢 M rBA F
M o (F, F ) M o (F ) M o (F ) rA F rB F
4
09:39
❖§4–1空间汇交力系
理论力学
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
(3) 指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。 或从力偶矢的末端看去，力偶的 转向为逆时针转向。
用矢量表示。
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8
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
理论力学
15
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
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r F
r M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
r M
(
r FR
,
r FR
)
r rBA rrBA r rBA
r FrR Fr1 F1
rrrBrrBAArFr(2Fr
F
cos
FRy , j
FRy
F
cos
FRz , k
FRz
F
主矩：利用力矩合成定理，先计算出主矩在各个
坐标轴上的投影
（主矩在某一坐标轴上的投影各分量在同一坐标轴上投影 的代数和）
n
M Ox M ix F
i1
MO MOy 2 MOy 2 MOz 2
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
r
rr
rr
rr
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
主矢和主矩的计算
主矢—通过投影法
n
FRx
Fxi
i 1
n
FRy
Fyi
i 1
n
FRz
Fzi
i 1
先计算得到主矢在 各轴上的投影
FR FRx 2 FRx 2 FRx 2
cos
=
r M1
r r1
r F1,
r M2
r r2
r
r
F2,......, Mn
r rn
r Fn
r
r
M Mi
r M
为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , My My , Mz Mz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
r
r
r
(yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
rr MO (F )x yFz zFy
rr MO (F ) y zFx xFz
rr MO (F )z xFy yFx
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) MO(Fxy ) Fxy h
)
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
=
rr r M rBA F
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
r rr r r r r
M
O
(F
,
F
)
M rrA
O
(
F r
F
) rrBMOFr(F
)
rr F F
rr MO (F,
r F)
(rrA
rrB )
cos M x
M
cos M y
M
cos M z
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等
于零，即
r M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 力的平移定理
作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一 点O，但除该力外，还需附加一个力偶，其力偶 矩矢等于该力对于O点的力矩矢。
n
M Oy M iy F
i1
n
M Oz M iz F
i1
v r
cos M O , i
M Ox M
v r
cos M O , j
M Oy M
v r
,
r k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点.
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
r 该力系的合力等于零，即 FR 0
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
r r rr MO(F) r F
r rr r r r r r
r xi yj zk
r r rr
F
r
Fxi
r
r
Fy
j
r
Fzk
r
r
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
r Mz (F) Fy x Fx y
rr
r
M r
O
(
Fr)
x
yFz
zFy
M x (F ) r
MO (F ) y zFx xFz M y (F )
rr
r
MO (F)z xFy yFx M z (F)
§4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
r
r
FR
F i
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
r r
cos(FR , i )
Fx FR
r cos(FR
,
r j)
Fy FR
r cos(FR
第四章 空间力系
§4–1 空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
MO
－F
M
F
F
1． 空间任意力系向一点的简化
r r r rr Fi Fi Mi MO (Fi ) 空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
r
r
r
r
r
FR Fi Fxi Fy j Fzk
主矢
空间力偶系的合力偶矩
r
r
rr
MO Mi MO (Fi )
主矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
r
r
r
r
Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
r
r
r
r
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x