您的位置：360文档中心› 函数的极值与最值练习题

函数的极值与最值练习题

合集下载

第03讲 极值与最值(练习)(原卷版)

第03讲 极值与最值(练习)(原卷版)

第03讲 极值与最值 （模拟精练+真题演练）1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数()3ln 2f x x x =+的极小值点为（ ） A ．1x =B ．2x =C ．e x =D ．12ex =2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有一个极值点 B ．()f x 有两个零点C ．点（0，1）是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若()2ln f x a x bx x =++在1x =和2x =处有极值，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（ ） A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知13m <≤，则23244m mm m m ++++的取值范围为（ ） A ．31,134⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最小值2，则()2f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．17．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e 是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t 满足5log log 2m t t m +=，且log 1m t >，则 ln m t 的最小值是（ ） A ．1- B ．2e-C ．12e-D ．1e-8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数21()ln 2f x xx ax 有两个极值点12,x x ，且()()125f x f x +≤-，则（ ） A．a ≥B ．a ≥C ．a ≤-D ．a ≤-9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A ．在()1,2上函数()f x 为增函数B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数()3213f x x x x =-+的导函数为()f x '，则（ ）A ．()10f '=B ．1x =是函数()f x 的极值点C ．()f x 存在两个零点D ．()f x 在(1，+∞)上单调递增11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数2()e 2e 12x x f x x =--，则下列说法正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在0x =处的切线与直线120x y +=垂直 B ．()f x 在(2,)+∞上单调递增 C ．()f x 的极小值为312ln3-D ．()f x 在[]2,1-上的最小值为312ln3-12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数()()22e 22x f x x ax ax a =--+-，若()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，且当20x x <<时恒有()2f x a <-，则a 的可能取值有（ ） A ．2e a = B ．e 4a = C ．e 2a =D ．2e 3a =13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的一个可能取值为______．14．（2023·云南红河·统考二模）若x a =是函数()()233ln 2f x x a x x =-++的极小值点，则函数()f x 在区间1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为______． 15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数()()32R f x x x ax x =-+∈，()()22ln g x x a x =+-，若()f x 与()g x 中恰有一个函数无极值，则a 的取值范围是______．16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ∈R ，都有()()12e 2f x f x -≤-，则实数a 的取值范围为______.17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数()()2ln R 2a f x x x x x a =+-∈，且f （x ）在()0,∞+内有两个极值点12,x x （12x x <）． (1)求实数a 的取值范围；(2)求证：1220a x x +<+．18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数()e xf x x =-.(1)求()f x 的极值；(2)若()36x f x a ≥+恒成立，求a 的取值范围.19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x x λ=+.(1)若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线0x y -=相互垂直，探究函数()f x 的单调性；(2)若函数()()1e x g xf x -=+有唯一的极值0，求λ的值.20．（2023·四川成都·三模）已知函数43()sin f x x ax x =-，其中a ∈R ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()4π,π处的切线方程；(2)若0x =是函数() f x 的极小值点，求a 的取值范围．21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数sin ()xf x x=． (1)求曲线()y f x =在πx =处的切线方程； (2)当(0,π]x ∈时，求函数()f x 的最小值； (3)证明：11sin .3π>22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知()1ln 2f x x x =-． (1)求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()()2g x f x mx =+，记12,x x 为函数g (x )的两个极值点，求()12)(g x g x +的取值范围．1．（2017·全国·高考真题）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为． A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．12．（2012·重庆·高考真题）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f3．（2013·浙江·高考真题）已知e 为自然对数的底数,设函数()()()()e 1?11,2kx f x x k =--=,则． A ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极小值 B ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极大值 C ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极小值D ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极大值4．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．5．（2021·全国·统考高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 7．（2021·天津·统考高考真题）已知0a >，函数()x f x ax xe =-． （I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．8．（2021·北京·统考高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在=1x -处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．9．（2021·全国·统考高考真题）设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．。

掌握函数的极值与最值练习题

掌握函数的极值与最值练习题

掌握函数的极值与最值练习题在数学中，函数的极值与最值是一个非常重要的概念。

掌握函数的极值与最值对于解决许多实际问题、优化设计以及理解数学理论都有着至关重要的作用。

本文将给大家提供一些函数的极值与最值的练习题，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求函数 f(x) 的极值点。

解：首先，我们需要求解函数 f(x) 的导数 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.将 f'(x) 置为零，我们可以解得：6x^2 - 6x - 12 = 0,x^2 - x - 2 = 0,(x - 2)(x + 1) = 0.从中我们得到两个解：x = 2 和 x = -1.接下来，我们需要判断这两个解对应的是极大值还是极小值。

为此，我们可以观察二次项系数的正负情况。

由于二次项系数为正，即6x^2，所以这个二次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。

因此，函数 f(x) 的极值点为极小值点，分别是 x = 2 和 x = -1。

2. 已知函数 g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3，求函数 g(x) 的最值。

解：首先，我们需要求解函数 g(x) 的导数 g'(x)：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x.我们需要找到导数为零的点，即求解方程：4x^3 - 12x^2 + 8x = 0,x(4x^2 - 12x + 8) = 0.再进一步化简，我们可以得到：x(x^2 - 3x + 2) = 0.通过因式分解，我们可以求解得到三个解：x = 0，x = 1 和 x = 2.接下来，我们需要判断这三个解对应的是极大值还是极小值。

同样，观察三次项系数的正负情况。

由于三次项系数为正，即 4x^3，所以这个三次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。

因此，函数 g(x) 的最小值对应的 x 值为 x = 2，即 g(2) = 2^4 - 4 *2^3 + 4 * 2^2 + 3 = 7.综上所述，函数 g(x) 的最小值为 7.通过以上两个练习题，我们可以看出，找到函数的极值与最值需要通过导数来解决。

专题07导数与函数的极值最值(重难点突破)原卷版

专题07导数与函数的极值最值(重难点突破)原卷版

专题07 导数与函数的极值、最值一、考情分析二、考点梳理1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________． 3．函数最值的概念一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 4．求函数最值的步骤求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的________；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．三、题型突破重难点题型突破1 求函数的极大值、极小值例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）函数()ln f x x x =-的极大值点为（ ） A ．1 B ．－1 C ．e D ．－e【变式训练11】、（2022·江苏徐州·高二期末）函数3269y x x =-+-的极小值为（ ） A ．9- B ．4- C ．18 D ．20【变式训练12】、（2022·山西太原·高二期末）函数()e x f x x=的极小值为__________．例2．（1）、（2022·江西南昌·高二期末（理））若函数()2ln f x x x ax =-在区间()0,∞+上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(],0-∞C ．(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数()3210,323x x f x bx b R =-++∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1b <时，函数f （x ）有两个极值点B ．当0b <时，函数f （x ）在()0,+∞上没有最小值C ．当2b =-，函数f （x ）有两个零点D ．当1b >-，函数f （x ）在（－∞，0）上单调递增【变式训练21】、（2022·广东龙岗·高二期末）（多选题）对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上单调递增B ．()f x 在x =C ．()f x 有两个不同的零点D ．若()f x kx 在(0,)+∞上恒成立，则13ek重难点题型突破2 求函数的最大值、最小值例3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()1sin 2sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______．【变式训练31】、（江西省六校20212022学年高二上学期期末联考数学（文）试题）已知函数31()323f x x x =-+，则函数()()e xg x f x '=在区间[]0,2上的最小值为（ ）A ．3e -B ．2e -C ．eD ．2e【变式训练32】、（2021·全国·高二专题练习）（多选题）若函数()()3220f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值可能为（ ） A ．－6 B ．－5C ．－3D ．－2例4．（2022·山西吕梁·高二期末）已知函数321()333f x x x x =--+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若[2,4]x ∈-，求()f x 的最大值与最小值．【变式训练41】、（2022·江西南昌·高二期末（文））已知()2e xx af x -=. (1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若()f x 在4x =处取得极值，求()f x 在[]4,5x ∈-上的最小值.重难点题型突破3 求函数的极值、最值的综合应用例5．（2022·江苏盐城·高二期末）已知函数()ln2xxf x e a =-，a ∈R . (1)当a e =时，求函数()f x 的极值； (2)当0a >时，求证：()22ln f x a a a≥+.【变式训练51】、（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知函数32()5f x x ax bx =-++-在1x =-处有极值1-. (1)求常数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在[2,0]-上的最值.四、课堂训练（30分钟）1．（2022·江西九江·高二期末（文））函数()ln x f x xe x x =--的最小值为（ ） A ．1e -B ．1C ．2D ．e2．（2022·江西南昌·高二期末（理））函数()1f x x x=+的极大值点为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．1x =±D ．不存在3．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（文））函数()()1cos sin x x f x =-在[]π,π-上的极大值点为（ ）．A ．2π3-B ．π3-C ．2π3D ．π4．（2022·福建南平·高二期末）设R a ∈，函数()()2ln f x x a x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．当01a <<时，函数()f x 既有极大值也有极小值 B ．当1a >时，函数()f x 既有极大值也有极小值 C ．当1a =时，函数()f x 有极大值，没有极小值 D ．当322e a -≤-时，函数()f x 没有极值5．（2022·浙江舟山·高二期末）已如函数()3x f x e x =⋅，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =存在极大值和极小值B ．()()()21ln πf e f f -<<C ．函数()y f x =存在最小值D ．对于任意实数k ，方程()f x kx =最多有4个实数解6．（2022·江苏镇江·高二期末）函数32()f x x x x a =---仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________. 7．（2022·浙江宁波·高二期末）若函数()()213ln 32x ke x f x x x k R x x=--+-∈恰有两个极值点，则k 的取值范围是______．8．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（文））若函数2()e 12xa f x x ax =--+有两个极值点，则实数a 的取值范围是___________.9．（2022·广西百色·高二期末（文））已知函数f (x )=x 3 +ax 2+2，x =2是f (x )的一个极值点. (1)求实数a 的值；(2)求f (x )在区间(1，4]上的最大值和最小值.10．（2022·北京通州·高三期末）已知函数()()2224104ax a f x a x +-=≠+．(1)若12a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)求()f x 的单调区间与极值．。

函数最值练习题

函数最值练习题

函数最值练习题一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的最大值出现在哪个点？A. x=1B. x=2C. x=3D. x=42. 已知函数g(x)=-2x^2+6x+1，其最小值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 函数h(x)=x^2+4x+7在区间[-5, 0]上的最大值和最小值分别是多少？A. 最大值：16，最小值：7B. 最大值：16，最小值：12C. 最大值：12，最小值：7D. 最大值：12，最小值：164. 函数k(x)=4-x^2的最大值出现在x的哪个取值范围内？A. x<0B. 0≤x≤2C. x>2D. x≤0或x≥25. 函数p(x)=-x^3+3x^2+9x+5在x=1处的导数是多少？A. 6B. 10C. 14D. 18二、填空题6. 函数f(x)=x^4-4x^3+4x^2+6x+1在x=______处取得最小值，最小值为______。

7. 函数g(x)=-3x^2+12x-5在x=______处取得最大值，最大值为______。

8. 函数h(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值是______，最小值是______。

9. 函数k(x)=-x^4+4x^3-3x^2-2x+8在x=______处取得最大值，最大值为______。

10. 函数p(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x+1在x=______处取得最小值，最小值为______。

三、解答题11. 给定函数f(x)=x^2-2ax+a^2-4，求a的取值范围，使得f(x)在x=a处取得最小值。

12. 已知函数g(x)=x^3-3x^2-9x+5，求g(x)的极值点及对应的极值。

13. 函数h(x)=-x^4+2x^3+2x^2-4x+3在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别是多少？请给出详细的求解过程。

14. 函数k(x)=x^3-9x^2+24x+8在x=4处的导数是多少？请证明在x=4处k(x)取得极小值。

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

求函数极值的练习题

求函数极值的练习题

函数的极值练习题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列说法正确的是A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2xA.①②B.②③C.③④D.①③3.函数y =216xx 的极大值为4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为=ln 2x +2ln x +2的极小值为－1 C.－1=2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.8.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.9.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________.10.函数f (x )=x －3223x 的极大值是___________，极小值是___________. 11.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.13.函数f (x )=x +xa +b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.114.设y=f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x=时，f(x)的极小值为－1，求函数的解析式.2函数的极值7. 7 8.两 －131 10. 0 －21 11.－3 －9 12.解：f ′(x )=3x 2+2ax +b .据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231ba ∴a =－3,b =－9，∴f (x )=x 3－3x 2－9x +c ∵f (－1)=7,∴c =2，极小值f (3)=33－3×32－9×3+2=－25∴极小值为－25，a =－3,b =－9,c =2.13.解：f ′(x )=22x a x - 由题意可知f ′(x )=0有实根，即x 2－a =0有实根∴a >0，∴x =a 或x =－a ，∴f ′(x )=2))((x a x a x -+ 令f ′(x )>0,得x <－a 或x >a ; 令f ′(x )<0,得－a <x <a 且x ≠0. ∴f (x )在x =－a 时取得极大值；f (x )在x =a 时取得极小值2. ∴a +aa +b =2，即2a +b =2 ∴a 、b 应满足的条件为a >0,b =2(1－a ).14.解：设函数解析式为f (x )=ax 3+bx ，f ′(x )=3ax 2+b∵f ′(21)=0,f (21)=－1 得⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+34128043b a b a b a 解得 ∴f (x )=4x 3－3x。

2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)16 极值与最值(含详解)

2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)16 极值与最值(含详解)

专题16极值与最值【考点预测】 知识点一：极值与最值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点.2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则 不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>； 不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥； 不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<； 不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<； 不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤； 不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>； 不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔<不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤； （6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥； （7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤； （8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥； （9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥． 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用 题型七：不等式恒成立与存在性问题 【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数()()()1xf x a x a =--∈e R ．当1a =时，求函数()y f x =的极值；例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设()e sin x f x x =.(1)求()f x 在[],ππ-上的极值； (2)若对[]12,0,x x π∀∈，12x x ≠，都有()()1222120f x f x a x x -+>-成立，求实数a 的取值范围. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间； (2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点：（ii ）证明：()(1)e f x a <- 例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数()f x 在区间(,π)-∞上只有两个零点．例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点．【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（ ） A ．6B ．15-C ．6-或15D ．6或15-例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e x f x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1B ．2C ．-3D ．4例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （ ）A ．eB ．1e 2C ．12D ．14例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数322()3f x x mx nx m =-++在1x =-处取得极值0，则m n +=（ ） A ．2B ．7C ．2或7D ．3或9例12．（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x =--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，若2x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ． ()1,-+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()321112132f x x m x m x =-++-在()0,4上无极值，则m ＝______．例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程；(2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数()ln ,af x x a x=+∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间； (2)设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围. 例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数()ln (0)xae f x x x a x =+->.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在两个极小值点12,x x ，求实数a 的取值范围.例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数()32f x x ax bx =-++．(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．题型三：求函数的最值（不含参）例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数12()||cos f x x x =-的最小值为_____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）函数()e ln 1x x f x x x -=+的最小值为______．例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意a ∈R ，存在(0,)b ∈+∞，使得1eln a b +=，则b a -的最小值为_________．例23．（2022·河南郑州·三模（文））()x f x e x =-在区间[]1,1-上的最小值是（ ）A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -例24．（2022·全国·高三专题练习）函数1(1),[3,4]x y x e x +=+∈-的最大值为（ ） A ．22e -B ．55eC ．54eD ．1e --例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()1cos 0f x ax x a =-≠. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值.例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数32(),1f x x bx x a x =+-+=是()f x 的一个极值点．(1)求b 的值；(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最大值．题型四：求函数的最值（含参）例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数()32392f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,a 上的最小值．例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f (x )=x -m ln x -m . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最小值g (m )，证明：g (m ) 1e≤在(0)+∞，上恒成立. 例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．题型五：根据最值求参数例30．（2022·河北·模拟预测）已知0a >，函数()12ag x x x+=+-在[)2,+∞上的最小值为1，则=a __________． 例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数()32112132x x f x x =+-+，若函数()f x 在()22,23a a -+上存在最小值.则实数a 的取值范围是________.例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数()()2221e x f x x x a +=+++存在最小值，则实数a 的取值范围是___________.例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是_________．题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f （x ）＝e x ＋ax ·sin x ． (1)求y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程； (2)当a ＝－2时，设函数g （x ）＝()f x x，若x 0是g （x ）在（0，π）上的一个极值点，求证：x 0是函数g （x ）在（0，π）上的唯一极小值点，且e －2<g （x 0）<e ．例35．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数()313f x x ax =-+，R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()xg x f x e =⋅有且只有一个极值点，求a 的取值范围．例36．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.(1)当2a =时，求函数()f x 的极值点； (2)当12a ≤<时，试讨论函数()f x 的零点个数.例37．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()()()211e 12ax f x x ax a x =--+-(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由.例38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数2()e (3)ln xf x x x x=---． (1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()072e 22f x --<<-．例39．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()2ln 1f x x x x =---． (1)证明：()f x 存在唯一的极值点； (2)m 为整数，()f x m >，求m 的最大值．题型七：不等式恒成立与存在性问题例40．（2022·辽宁·二模）若关于x 的不等式ln 1e x x x ax ++≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 例41．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．例42．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围. 例43．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()122211ln 2x f x x x x -+=+-++-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对1x ∀、[]20,2x ∈，使()()1212f x f x a-≤-恒成立，求a 的取值范围.例44.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数()()ln 1f x x x =+. (1)求()f x 的最小值；(2)若()()212f x x m x -++-恒成立，求实数m 的取值范围.【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【过关测试】 一、单选题1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（ ） A ．1B ．12C ．37D ．572．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A ．y x =B ．()ln y x =-C ．e x y x =+D ．4y x x=+3．（2022·河南新乡·二模（文））已知0a >，函数()2313f x a x x =-的极小值为43-，则=a （ ）AB ．1C D4．（2022·内蒙古包头·一模（理））设0m ≠ ，若x m =为函数()()()2f x m x m x n =--的极小值点，则（ ） A ．m n >B ．m n <C ．1nm< D ．1n m> 5．（2022·河南·模拟预测（文））当x m =时，函数()3232ln f x x x x x =-+-取得最小值，则m =（ ）A ．23B ．1C ．32D ．26．（2022·四川凉山·三模（理））函数()2sin 2a f x x x =-，若()f x 在(0,)2π上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．()0,1C ．(),0∞-D ．()1,0-7．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数2()(4)()f x x x a =--，a 为实数，(1)0f '-=，则()f x 在[]22-,上的最大值是（ ） A ．92B ．1C ．35D ．5027-8．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭二、多选题9．（2022·重庆·三模）已知函数()21e xx x f x ++=（e 为自然对数的底数，e 2.72≈），则关于函数()f x ，下列结论正确的是（ ） A ．有2个零点B ．有2个极值点C ．在()0,1单调递增D ．最小值为110．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭11．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．x R ∀∈，()()0f x f x ≥ B ．0x -是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()e e e x xf x a x x -=-+的图象关于直线12x =对称，则下列说法正确的是（ ） A ．e a = B ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．12x =为()f x 的极小值点 D ．()f x 仅有两个零点三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()321112132f x x m x m x =-++-在()0,4上无极值，则m ＝______．14．（2022·天津河西·二模）若函数32()9f x x ax x =+--在1x =-处取得极值，则()2f =____________． 15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数()1ln f x x x=+的极值点为___________. 16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3,,43,,x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-<⎩则下列命题正确的有：___________.①若()f x 有两个极值点，则0a =或112a <<②若()f x 有极小值点，则12a >③若()f x 有极大值点，则12a >-④使()f x 连续的a 有3个取值四、解答题17．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 18．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数()21xf x x a-=+． (1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间及其最大值与最小值． 19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））已知函数()ln a f x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32213f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点，12,x x ，且12x x <． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：当102x -<<时，()1112f x >．21．（2022·北京·人大附中三模）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.22．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数2()e e,x f x ax a =+-∈R ．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若()f x 只有一个极值点，求实数a 的取值范围；(3)若存在b ∈R ，对与任意的x ∈R ，使得()f x b≥恒成立，求-a b 的最小值．专题16极值与最值【考点预测】 知识点一：极值与最值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点.2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则 不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>； 不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥； 不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<； 不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<； 不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤； 不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>； 不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔<不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤； （6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥； （7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤； （8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥； （9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥． 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用 题型七：不等式恒成立与存在性问题 【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数()()()1xf x a x a =--∈e R ．当1a =时，求函数()y f x =的极值； 【解析】由题知，当1a =时，()e (1)x f x x =--，x ∈R∴()e 1xf x '=-，令()0f x '=，0x =． ∴(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴0x =是()f x 的极小值点，∴()f x 的极小值为()02f =，无极大值．例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设()e sin xf x x =.(1)求()f x 在[],ππ-上的极值； (2)若对[]12,0,x x π∀∈，12x x ≠，都有()()1222120f x f x a x x -+>-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)极小值为42eπ34π (2)e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】 【分析】（1）直接求导计算即可．（2）将问题转化为()()222211f x ax f x ax +>+，构造新函数()()2g x f x ax =+在[]0,π上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以． (1)由()()e sin cos 0xf x x x '=+≤，[],x ππ∈-得()f x 的单调减区间是,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理，()f x 的单调增区间是3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故()f x 的极小值为442e f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭343e 42f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭. (2)由对称性，不妨设120x x π≤<≤， 则()()1222120f x f x a x x -+>-即为()()222211f x ax f x ax +>+. 设()()2g x f x ax =+，则()g x 在[]0,π上单调递增，故()()e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立. 方法一：（含参讨论）设()()()e sin cos 20xh x g x x x ax '==++≥，则()010h =>，()e 20h a πππ=-+≥，解得e 2a ππ≥. ()()2e cos xh x x a '=+，()()0210h a '=+>，()()2e h a ππ'=-.①当e a π≥时，()()2e cos sin x h x x x ''=-⎡⎤⎣⎦，故，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2e cos sin 0x h x x x ''=-≥⎡⎤⎣⎦，()h x '递增； 当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2e cos sin 0x h x x x ''=-≤⎡⎤⎣⎦，()h x '递减； 此时，()()(){}()()min 0,20h x h h h a e πππ''''≥==-≥，()()h x g x '=在[]0,π上单调递增，故()()()010h x g x g ''=≥=>，符合条件.②当e e 2a πππ≤<时，同①，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x '递增；当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x '递减；∵()()02104h h a π⎛⎫''>=+> ⎪⎝⎭，()()2e 0h a ππ'=-<，∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，0,4x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00h x '=.于是，当[)00,x x ∈时，()0h x '>，()()h x g x '=单调递增；当(]0,x x π∈时，()0h x '<，()()h x g x '=单调递减.∵()010h =>，()e 20h a πππ=-+≥，∴()()()(){}min 0,0g x h x h h π'=≥≥，符合条件.综上，实数a 的取值范围是e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.方法二：（参变分离）由对称性，不妨设120x x π≤<≤，则()()1222120f x f x a x x -+>-即为()()222211f x ax f x ax +>+. 设()()2g x f x ax =+，则()g x 在[]0,π上单调递增， 故()()e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立.∵()010g '=>，∴()(),e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立()e sin cos 2x x x a x+⇔-≤，(]0,x π∀∈.设()()e sin cos x x x h x x+=，(]0,x π∈，则()()2e 2cos sin cos x x x x x h x x --'=，(]0,x π∈.设()2tan 1x x x ϕ=--，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则()212cos x x ϕ'=-，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.由()0x ϕ'>，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，得()x ϕ在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；由()0x ϕ'<，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，得()x ϕ在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.故0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2042x ππϕϕ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭；,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时()33042x ππϕϕ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭. 从而，()cos 2cos sin cos 0x x x x x x ϕ=--<，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，又2x π=时，2cos sin cos 10x x x x --=-<，故()()2e 2cos sin cos 0x x x x x h x x --'=<，(]0,x π∈，()()e sin cos x x x h x x+=，(]0,x π∈单调递减，()()min e h x h πππ==-，(]0,x π∈. 于是，e e 22a a ππππ-≤-⇔≥.综上，实数a 的取值范围是e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点： （ii ）证明：()(1)e f x a <-【答案】(1)函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数单调性；（2）利用导数判断单调性，利用零点存在性定理判断零点，进而确定极值点，利用零点代换结合函数最值处理极值的范围． (1)21ln()e ()ax x f x x--'=，构建()1ln()e x ax x ϕ=-- 当e a =时，则()1ln(e )e x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减，且1()0eϕ=当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0x ϕ>，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)（i ）由（1）可知：当e a >时，()ϕx 在()0,∞+上单调递减11e ()1ln 0,()10e a a a ϕϕ=-<=->∴()ϕx 在()0,∞+内存在唯一的零点011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为()00,x ，单调递减区间为()0,x +∞ ∴()f x 存在唯一的极值点0x（ii ）由（i ）可知：0000ln(())el (n )x f x f x x x a -≤=∵001ln()e 0ax x --=，即001e ln()x ax -=000000ln()e 1)e (ln eln x f x x x x x a ==---，且011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()el e 1n g x x x --=在11,e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减则()1eln e g x g a a a ⎛⎫<=+- ⎪⎝⎭构建()()()e 1eln e x h x x x =-->，则()()e 1e 0x xh x -'-=>当e x >时恒成立则()h x 在()e,+∞上单调递增，则()()()e e 20e h x h ≥=->则()()e 1eln e e x x x x ->+->，即()1e eln e a a a ->+- ∴()(1)e f x a <-例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()ex xf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数()f x 在区间(,π)-∞上只有两个零点． 【答案】(1)存在；极小值 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对()g x '求导后，判断()g x '的单调性，结合零点存在性定理可得结果；（2）当0x <时，利用单调性得()0f x <恒成立，此时()f x 无零点；当0x =时，()0f x =；当0πx <<时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在(0,π)上只有一个零点.由此可证结论正确. (1)由()sin e x xf x x =-，可得2e e 1()cos cos (e )e x x x x x xg x x x --=-=-， 则2e (1)e 2π()sin sin ,0,(e )e 2x x x x x x g x x x x ----⎛⎫'=+=+∈ ⎪⎝⎭， 令2()sin e x x h x x -=+，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2e (2)e 3()cos cos 0(e )e x x x x x x h x x x ---'=+=+>， 所以()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，即()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为π2π2π2(0)20,102e g g -⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增，所以当0x x =时，函数()g x 取得极小值． (2)由e ()sin x x f x x =-，当0x <时，11e x x ->，所以()()f x g x '==1cos ex xx --0>，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()(0)0f x f <=，此时函数()f x 在(,0)-∞上没有零点；当0x =时，可得00(0)sin 00e f =-=，所以0x =是函数()f x 的一个零点；当0πx <<时，由()1()sin e sin e exx x x f x x x x =-=- ，令()e sin ,(0,π)xm x x x x =-∈，可得()1e (sin cos )x m x x x '=-+，令()ϕx 1e (sin cos )x x x =-+ 则()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x x x x x x x ϕ'=-+--=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2e cos 0x x x ϕ'=-<；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2e cos 0x x x ϕ'=->，即()m x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为ππ2π1e 0,(π)1e 02m m ⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在1π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 使得()10m x '=，当()10,x x ∈时，()0m x '<；当()1,πx x ∈时，()0m x '>，又因为()1(0)0,(π)π0m x m m <==>，所以存在()21,πx x ∈使得()20m x =，即2x 是函数()f x 的一个零点． 综上可得，函数()f x 在(,π)-∞上有且仅有两个零点． 【点睛】关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键. 例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点．【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；(2)详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得()14f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，进而可得；（2）当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当37[,)44x ππ∈，7[,)4x π∈+∞时，利用导数可得()0F x >，即得. (1)∵()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 14f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =，∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值()122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-；(2)∵()()ln sin cos ln ,0F x f x x x x x x x =-=--->，∴()1()1cos sin ,0h x F x x x x x'==-+->，∴()2211sin cos 4h x x x x x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭，当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，即()F x '单调递增，又42()10,()2042F F ππππ''=-<=->，故存在0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0()0F x '=，所以()()()00,,0,x x F x F x '∈<单调递减，()()()03,,0,4x x F x F xπ'∈<单调递增， ∴30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()()0min 11sin1cos10F x F x F =<=--<，2222(e )e sin e cos e 20F ----=--+>，333()ln 0444F πππ=->， 故30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln F x f x x =-有两个零点，当37[,)44x ππ∈0,()sin cos ln ln ln 44x F x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+≤=---=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于函数()ln x x x ϕ=-，则()1110x x x xϕ-'=-=>，又()10ϕ=， ∴37[,)44x ππ∈，()()10x ϕϕ>=，即()0F x >，此时函数()()ln F x f x x =-没有零点，当7[,)4x π∈+∞时，()sin cos ln ln ln 4F x x x x x x x x x x π⎛⎫=---=+-≥ ⎪⎝⎭，由上可知77()ln 044F x ππ≥>，故当7[,)4x π∈+∞时，函数()()ln F x f x x =-没有零点， 综上，函数()()ln F x f x x =-有两个零点． 【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（ ） A ．6 B ．15- C ．6-或15 D ．6或15- 【答案】B【解析】 【分析】先求出函数的导函数()'f x ，然后根据在1x = 时()f x 有极值10，得到232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，求出满足条件的,a b ，然后验证在1x = 时()f x 是否有极值，即可求出-a b 【详解】()322f x x ax bx a =--+，2()32f x x ax b '∴=--又1x = 时()f x 有极值10∴ 232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得411a b =-⎧⎨=⎩ 或33a b =⎧⎨=-⎩当3,3a b ==- 时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥ 此时()f x 在1x = 处无极值，不符合题意 经检验，4,11a b =-= 时满足题意 15a b ∴-=-故选：B例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】对()f x 求导，由函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以0f a，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，对()f x 求导，求单调区间及极大值，由()f x 的极大值为4，列方程得解.【详解】解：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e ex x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B 例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案. 【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值.综上所述：2a <-满足条件 故选：A例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （ ）A ．eB ．1e 2C ．12 D ．14【答案】C 【解析】 【分析】求导得到导函数，考虑0a ≤和0a >两种情况，根据函数的单调性得到极值，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21122ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不符合题意；当0a >时，()2122a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<， 所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，则()()111ln 2222f x f a ==--=-极大值，解得12a =．故选：C.例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ） A ．()2,2-B．(-C．⎡-⎣ D ．[]22-, 【答案】D 【解析】 【分析】求()()222e x x a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围. 【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅可得。

人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.3函数的最值同步练习题

人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.3函数的最值同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.3 函数的最值同步练习题【基础演练】题型一：极值与最值的区别与联系 极值是一个局部概念，最值可以看作整体概念，一般情况下，二者有区别，极值不一定是最值，最值也不一定是极值；但如果在连续开区间上只有一极值，则极大值为最大值，极小值为最小值，请根据以上知识解决以下1~3题。

1. 设()x f 在[]b ,a 上的函数，则下述命题正确的是A. 若()x f 在[]b ,a 上连续，则()x f 在[]b ,a 上存在最大值和最小值B. 若()x f 在[]b ,a 上有极大值，则极大值一定是[]b ,a 上的最大值C. 若()x f 在[]b ,a 上有极小值，则极小值一定是[]b ,a 上的最小值D. 若()x f 在[]b ,a 上有极大值和极小值，则极大值必大于极小值2. 下列说法正确的是 A. 函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B. 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C. 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定是最值D. 若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值3. 函数|1x |y -=，下列结论中正确的是A. y 有极小值0，且0也是最小值B. y 有最小值0，但0不是极小值C. y 有极小值0，但0不是最小值D. 因为y 在1x =处不可导，所以0既非最小也非极值题型二：求函数的最值一般地，求()x f 在[]b ,a 上的最大值与最小值的步骤如下：①求()x f 在()b ,a 内的极值；②将()x f '的各极值与端点值()a f ，()b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，请根据以上知识解决以下4~7题。

4. 给出下面四个命题：①函数4x 5x y 2+-=（1x 1≤≤-）的最大值为10，最小值为49-； ②函数()4x 21x 4x 2y 2<<-+-=的最大值为17，最小值为-1； ③函数()3x 3x 12x y 3<<--=的最大值为16，最小值为-16； ④函数()2x 2x 12x y 3<<--=既无最大值，也无最小值其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知()m x 6x 2x f 23+-=（m 为常数），在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为 A. –37B. –29C. –5D. –116. 函数()2x x 4y 2-=在[]2,2x -∈上的最大值为_________，最小值为________。

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析函数极值和最值是高中数学中一个重要的概念和知识点，在解析这一内容之前，我们首先要明确什么是函数极值和最值。

函数的极值包括两种情况，一种是函数在某一区间内取得最大值或最小值，另一种是函数在某一点处取得最大值或最小值。

函数的最值则是针对整个定义域内的最大值或者最小值。

在解析函数极值和最值的相关习题时，我们可以根据题目的要求，使用不同的方法来求解。

下面我们将通过一些常见的习题来进行解析。

【习题一】已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值和最值。

解析：首先我们需要求 $f'(x)$ ，将函数$f(x)$对$x$求导得：$f'(x)=3x^2-12x+9$为了求得函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值点，我们需要将导函数$f'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-12x+9=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-3)(x-1)=0$解得$x=3$或$x=1$。

将$x=3$和$x=1$代入原函数$f(x)$中，可以得到两个函数值：$f(3)=20$ 和 $f(1)=6$因此，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极小值为6，极大值为20。

对于最值的求解，我们可以直接将区间[-2, 4]的端点分别代入函数$f(x)$中，求得函数值，并和极值进行比较。

$f(-2)=-12$， $f(4)=66$综上所述，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的最小值为-12，最大值为66。

【习题二】已知函数$g(x)=x^3-9x^2+24x$，求函数$g(x)$的最小值和最大值所对应的$x$的值。

解析：首先我们需要求函数$g(x)$的导函数$g'(x)$，将函数$g(x)$对$x$求导得：$g'(x)=3x^2-18x+24$为了求得函数$g(x)$的极值点，我们需要将导函数$g'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-18x+24=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-4)(x-2)=0$解得$x=4$或$x=2$。

函数的极值与最值练习题.docx

函数的极值与最值练习题.docx

函数的极值与最值练习题一、选择题I.下列说法正确的是A.⅛⅞∕倘户0时.则危0）为Jlr）的极大值8.当/ （Xn）=O时,则从3）为/U）的微小便C当/ （W旬时，则J IU）为.心）的极值D.当凡喻为函数HX）的极值Ilf （.哂存在时，则有f （.r ll）=09.下列四个函数,在尸0处取得极值的函数是Φy=F ②y=F+1 ③y=W ④产2'A©g） B.②® C.③④ D.φg）10函数严上T的极大值为l+x^A.3B.4C.2D.511函数J=F—3K的极大伯为砥微小值为",则m+n为A.0 Bl C.2 D.412>=ln:.t+21n.r+2 的微小值为A.e-B.0C.-l Dl13）=2√-3r+«的极大值为6,那么“等于A.6B.0C.5 Dl二、填空题14函数KV）=√*-3f+7的极大（ft为.8,曲线j=3√-5x,共有个极值.9.若函数产F+αP+bx+27在广一1时有极大俏，在户3时有微小值，则a= _____ b= _____ .10.g½>=2√-3√-12.r+5 fl：［0, 3］上的最小值是.H.函数AD=Sin2x-x在［- 9 ］上的最大值为：最小f⅛为__________12.在半径为K的圈内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______ 时，它的面枳呆人.三、解答也E已知函数/W=/+#+於+c,当X=-I时，取得极大值7：当x=3时,取得微小伯.求这个微小值及a、/，、C的值.14.设产"）为三次南数，FL图象关于原点对称,当尸;时，贸X）的微小值为- 1,求函数的解析式.15.己知x = 2是函数/(X)=(ΛJ+av-2a-3*的一个极侑点(^=2.718∙∙∙). (I)求实数〃的值：(ID求函数/(Λ)在K W弓.3］的描大值和W小值.16、已知三次函数Rx)=aχ3∙6aχ2+b.问是否存在实数a.b.使f(x)在［∙1,2∣上取得最大伯3, 般小值-29,若存在,求出&b的值:若不存在，请说明理由.。

2023届全国高考数学复习：专题(含参函数的极值、最值讨论)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题(含参函数的极值、最值讨论)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（含参函数的极值、最值讨论）重点讲解与练习考点一 含参函数的极值【例题选讲】[例1] 设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线与直线y ＝－x ＋1垂直，求切线方程．(2)求函数f (x )的极值．[例2] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[例3] 设f (x )＝x ln x －32ax 2＋(3a －1)x ．(1)若g (x )＝f ′(x )在[1，2]上单调，求a 的取值范围；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[例4] (2016ꞏ山东)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ．(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．[例5] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1－a 6e x ＋1，其中e ＝2.718…为自然对数的底数，常数a >0． (1)求函数f (x )在区间(0，＋∞)上的零点个数；(2)函数F (x )的导数F ′(x )＝()e x－a f (x )，是否存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a 为函数F (x )的极大值点？请说明理由．【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝x 2－3x ＋a x ．(1)若a ＝4，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有3个极值点，求实数a 的取值范围．4．已知函数f(x)＝ax－x2－ln x(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a的取值范围．5．(2018ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ꞏln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．(2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．考点二 含参函数的最值【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值．[例2] 已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x .(1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a <0时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值．[例3] 已知函数f (x )＝ln x x 1．(1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．[例4] 已知函数f (x )＝m ln x x ＋n ，g (x )＝x 2⎣⎡⎦⎤f (x )－1x －a 2(m ，n ，a ∈R )，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数m ，n 的值及函数f (x )的最大值；(2)当a ∈⎝⎛⎭⎫－e ，1e 时，记函数g (x )的最小值为b ，求b 的取值范围．[例5] (2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【对点训练】1．已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．2．已知函数f (x )＝(x －a )e x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间[1，2]上的最小值．3．已知函数f (x )＝ax －ln x ，F (x )＝e x ＋ax ，其中x >0，a <0．(1)若f (x )和F (x )在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；(2)若a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－1e 2，且函数g (x )＝x e ax －1－2ax ＋f (x )的最小值为M ，求M 的最小值．4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值．5．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ，其中a ∈R ．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围．考点三 含参函数的极值与最值的综合问题【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数，x ＝12是f (x )的一个极值点． (1)求a 的值；(2)当b >12时，求函数f (x )在[b ，＋∞)上的最小值．[例2] 已知函数f (x )＝a ln (x ＋b )－x ．(1)若a ＝1，b ＝0，求f (x )的最大值；(2)当b >0时，讨论f (x )极值点的个数．[例3] 设函数f (x )＝a x ＋e －x (a ＞1)． (1)求证：f (x )有极值；(2)若x ＝x 0时f (x )取得极值，且对任意正整数a 都有x 0∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n －m 的最小值．[例4] 已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[例5] 已知函数f (x )＝(ax －1)ln x ＋x 22．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的方程；(2)设函数g (x )＝f ′(x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈(0，e]，求g (x 1)－g (x 2)的最小值．[例6] 已知函数g (x )＝x 22＋x ＋ln x ．(1)若函数g ′(x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)函数f (x )＝g (x )－mx ，若f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；(3)设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)＝f(x)－2x在区间[1，e]上的最小值h(a)．4．已知常数a≠0，f(x)＝a ln x＋2x．(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上有极值点，求a 的取值范围； (2)若a ＝1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3时，f (x )≥bx cos x ，求b 的最大值．6．已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋a (a ∈R )．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且x 2≥e x 1(e 为自然对数的底数)，求f (x 2)－f (x 1)的最大值参考答案【例题选讲】[例1] 设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线与直线y ＝－x ＋1垂直，求切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解析 (1)由已知，得f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax (x ＞0)，又由题意可知y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，解得a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y ＝x －2．(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x(x ＞0)． ①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a ，1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12． ②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x ≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a ＞1时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ．综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a ．[例2] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．x (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x )＋－f (x ) ln 2－1 故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ． 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，若x ∈⎝⎛0，1a ，则f ′(x )>0， 若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a ． [例3] 设f (x )＝x ln x －32ax 2＋(3a －1)x ．(1)若g (x )＝f ′(x )在[1，2]上单调，求a 的取值范围； (2)已知f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．解析 (1)由f ′(x )＝ln x －3ax ＋3a ，即g (x )＝ln x －3ax ＋3a ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝1x －3a ，①g (x )在[1，2]上单调递增，∴1x －3a ≥0对x ∈[1，2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1，2]恒成立，得a ≤16； ②g (x )在[1，2]上单调递减，∴1x －3a ≤0对x ∈[1，2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1，2]恒成立，得a ≥13， 由①②可得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，16∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞．(2)由(1)知，①当a ≤0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意；②当0<a <13时，13a >1，又f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，13a 上单调递增，∴x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，13a 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，13a 上单调递增，f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意； ③当a ＝13时，13a ＝1，f ′(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意；④当a >13时，0<13a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫13a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )在x ＝1处取得极大值，不符合题意． 综上所述，可得a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，13． [例4] (2016ꞏ山东)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解析 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x ． 当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞． (2)由(1)知，f ′(1)＝0．①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， 所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．④当a ＞12时，0＜12a 1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞． [例5] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1－a6e x ＋1，其中e ＝2.718…为自然对数的底数，常数a >0． (1)求函数f (x )在区间(0，＋∞)上的零点个数；(2)函数F (x )的导数F ′(x )＝()e x－a f (x )，是否存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a 为函数F (x )的极大值点？请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －a 6e x ，当0<x <a 6时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >a6时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 6，因为f ⎝⎛⎭⎫a 6<f (0)＝－a 6<0，f ⎝⎛⎭⎫1＋a 6＝1>0， 所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫a 6，1＋a 6，使f (x 0)＝0，且当0<x <x 0时，f (x )<0，当x >x 0时，f (x )>0． 故函数f (x )在(0，＋∞)上有1个零点，即x 0．(2)方法一 当a >1时，ln a >0．因为当x ∈()0，ln a 时，e x －a <0；当x ∈()ln a ，＋∞时，e x －a >0． 由(1)知，当x ∈(0，x 0)时，f (x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>0．下面证：当a ∈()1，e 时，ln a <x 0，即证f ()ln a <0．f ()ln a ＝⎝⎛ln a －1－a 6a ＋1＝a ln a －a －a 26＋1，记g (x )＝x ln x －x －x26＋1，x ∈(1，e)， g ′(x )＝ln x －x3，x ∈(1，e)，令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝3－x 3x >0，所以g ′(x )在()1，e 上单调递增， 由g ′(1)＝－13<0，g ′(e)＝1－e3>0，所以存在唯一零点t 0∈()1，e ，使得g ′()t 0＝0， 且x ∈()1，t 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，x ∈()t 0，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ∈()1，e 时，g (x )<max {}g (1)，g (e)．由g (1)＝－16<0，g (e)＝6－e 26<0， 得当x ∈()1，e 时，g (x )<0．故f ()ln a <0，0<ln a <x 0．当0<x <ln a 时，e x －a <0，f (x )<0， F ′(x )＝()e x －a f (x )>0，F (x )单调递增；当ln a <x <x 0时，e x －a >0，f (x )<0，F ′(x )＝()e x－a f (x )<0，F (x )单调递减．所以存在a ∈()1，e ⊆(1，4)，使得ln a 为F (x )的极大值点． 方法二 因为当x ∈()0，ln a 时，e x －a <0；当x ∈()ln a ，＋∞时，e x －a >0． 由(1)知，当x ∈(0，x 0)时，f (x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>0． 所以存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a 为函数F (x )的极大值点， 即存在无数个a ∈(1，4)，使得ln a <x 0成立，①由(1)，问题①等价于存在无数个a ∈(1，4)，使得f ()ln a <0成立，因为f ()ln a ＝⎝⎛⎭⎫ln a －1－a 6a ＋1＝a ln a －a －a 26＋1，记g (x )＝x ln x －x －x26＋1，x ∈(1，4)， g ′(x )＝ln x －x3，x ∈(1，4)，设k (x )＝g ′(x )，因为k ′(x )＝3－x 3x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，2时，k ′(x )>0，所以g ′(x )在⎝⎛⎭⎫32，2上单调递增，因为g ′⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0，g ′(2)＝ln 2－23>0， 所以存在唯一零点t 0∈⎝⎛⎭⎫32，2，使得g ′()t 0＝0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫32，t 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈()t 0，2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤32，2时，g (x )min＝g ()t 0＝t 0ln t 0－t 0－t206＋1，② 由g ′()t 0＝0，可得ln t 0＝t 03，代入②式可得g (x )min ＝g ()t 0＝t 206－t 0＋1，当t 0∈⎝⎛⎭⎫32，2时，g ()t 0＝t 206－t 0＋1＝()t 0－326－12<－18<0，所以必存在x ∈⎝⎛⎭⎫32，2，使得g (x )<0，即对任意a ∈⎝⎛⎭⎫32，2，f ()ln a <0有解， 所以对任意a ∈⎝⎛⎭⎫32，2⊆(1，4)，函数F (x )存在极大值点为ln a ． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．1．解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，∴切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x ＋1，∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ， ①当a ≤0时，∵x >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．②当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)x ，令g ′(x )＝0得x ＝1a . ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0. 因此g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． ∴x ＝1a 时，g (x )取极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )×1a ＋1＝12a －ln a . 由①②得，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a >0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值． 2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．2．解析 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ．f ′(1)＝(1－a )e ．由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1．此时f (1)＝3e≠0．所以a 的值为1． (2)f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ．若a >12x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0，所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞． 3．已知函数f (x )＝x 2－3x ＋ax ．(1)若a ＝4，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有3个极值点，求实数a 的取值范围． 3．解析 (1)因为a ＝4时，f (x )＝x 2－3x ＋4x ，所以f ′(x )＝2x －3－4x 2＝2x 3－3x 2－4x 2＝2x 3－4x 2＋x 2－4x 2＝(x －2)(2x 2＋x ＋2)x 2(x ≠0)， 令f ′(x )>0，得x >2；令f ′(x )<0，得x <0或0<x <2．所以f (x )在(－∞，0)，(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)由题意知，f ′(x )＝2x －3－a x 2＝2x 3－3x 2－a x2(x ≠0)，设函数g (x )＝2x 3－3x 2－a ， 则原条件等价于g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有3个零点，且3个零点附近的左、右两侧的函数值异号，又g ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)， 由g ′(x )>0，得x >1或x <0；由g ′(x )<0，得0<x <1．故g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故原条件等价于g (x )在(－∞，0)，(0，1)，(1，＋∞)上各有一个零点，令g (0)＝－a >0，得a <0， 当a <0时，－－a <0，g (－－a )＝2(－－a )3－3(－a )－a ＝2a (－a ＋1)<0， 故a <0时，g (x )在(－∞，0)上有唯一零点；令g (1)＝－1－a <0，解得a >－1，故－1<a <0时，g (x )在(0，1)上有唯一零点； 又－1<a <0时，g (2)＝4－a >0，所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一零点． 综上可知，实数a 的取值范围是(－1，0)． 4．已知函数f (x )＝ax －x 2－ln x (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a 的取值范围．4．解析 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a －2x －1x ．∵2x ＋1x ≥22⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝2时等号成立，当a ≤22时，f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当a ＞22时，f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x． 由f ′(x )＝0得x 1＝a －a 2－84，x 2＝a ＋a 2－84且x 2＞x 1＞0． 由f ′(x )＞0得x 1＜x ＜x 2，由f ′(x )＜0得0＜x ＜x 1，或x ＞x 2， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－84，a ＋a 2－84， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－84，＋∞． 综上所述，当a ≤22时，函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a ＞22时，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋ a 2－8，＋∞， 单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－84，a ＋a 2－84．(2)由(1)知，当f (x )存在极值时，a ＞22．即方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a2＞0，x 1x 2＝12＞0.∴f (x 1)＋f (x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－[](x 1＋x 2)2－2x 1x 2－ln(x 1x 2)＝a 22－a 241－ln 12＝a 24＋1－ln 12．依题意a 24＋1－ln 12＞5＋ln 2，即a 2＞16，∴a ＞4或a ＜－4． 又a ＞22．∴a ＞4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． 5．(2018ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ꞏln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0． (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．5．解析 (1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝f ′(x )＝ln (1＋x )－x1＋x，则g ′(x )＝x (1＋x )2.当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0；当x ＞0时，g ′(x )＞0．故当x ＞－1时，g (x )≥g (0)＝0， 且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0.所以f (x )在(－1，＋∞)单调递增．又f (0)＝0，故当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0. (2)(ⅰ)若a ≥0，由(1)知，当x ＞0时，f (x )≥(2＋x )ꞏln (1＋x )－2x ＞0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．(ⅱ)若a ＜0，设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x 2＋x ＋ax 2. 由于当|x |＜min{1，1|a |}时，2＋x ＋ax 2＞0，故h (x )与f (x )符号相同． 又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2.如果6a ＋1＞0，则当0＜x ＜－6a ＋14a ，且|x |＜min{1，1|a |}时，h ′(x )＞0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．如果6a ＋1＜0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |＜min{1，1|a |}时，h ′(x )＜0，所以x ＝0不是h (x )的极大值点． 如果6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2， 则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＞0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0.所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16．考点二 含参函数的最值 【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1，2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0；当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞． (2)①当0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1，2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a ． ②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间[1，2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a ． ③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数． 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ； 当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a ．综上可知，当0＜a ＜ln2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a ．[例2] 已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x . (1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当a <0时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值．解析 (1)因为f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋1－2a －1x ＝(2ax ＋1)(x －1)x . 因为a >0，x >0，所以2ax ＋1>0，令f ′(x )>0，得x >1，所以f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(2)当a <0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝－12a ，x 2＝1，当－12a >1，即－12<a <0时，f (x )在(0,1]上是减函数，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f (1)＝1－a . 当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－12时，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，－12a 上是减函数，在⎣⎡⎦⎤－12a ，1上是增函数， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝1－14a ＋ln(－2a )． 当－12a <12，即a <－1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上是增函数，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝12－34a ＋ln 2. 综上，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值为f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧12－34a ＋ln 2，a <－1，1－14a ＋ln(－2a )，－1≤a ≤－12，1－a ，－12<a <0.[例3] 已知函数f (x )＝ln xx 1． (1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．解析 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >0，得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0，得x >e ．所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)， 且f (x )极大值＝f (e)＝1e －1，无极小值．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e 2时，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m －1； ②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减， 所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e －1；③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm －1．综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e －1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm －1． [例4] 已知函数f (x )＝m ln xx ＋n ，g (x )＝x 2⎣⎡⎦⎤f (x )－1x －a 2(m ，n ，a ∈R )，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数m ，n 的值及函数f (x )的最大值；(2)当a ∈⎝⎛⎭⎫－e ，1e 时，记函数g (x )的最小值为b ，求b 的取值范围． 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝m (1－ln x )x 2， 因为f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝m ＝1，f (1)＝m ln 11＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0. 所以f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以当x ＝e 时，f (x )取得最大值，最大值为f (e)＝1e .(2)因为g (x )＝x 2⎣⎡⎦⎤f (x )－1x －a 2＝x ln x －ax22－x ，所以g ′(x )＝ln x －ax ＝x ⎝⎛⎭⎫ln x x －a . ①当a ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，x →＋∞时，g (x )→－∞，g (x )无最小值． ②当a ＝0时，g ′(x )＝ln x ，由g ′(x )>0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，g (x )的最小值b ＝g (1)＝－1. ③当a ∈(－e ，0)时，由(1)知方程ln xx －a ＝0有唯一实根，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e ，f (1)＝0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递增，所以存在t ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得g ′(t )＝0，即ln t ＝at . 当x ∈(0，t )时，g ′(x )<0；当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，g (x )的最小值b ＝g (t )＝t ln t －a 2t 2－t ＝t ln t 2－t ，令h (t )＝t ln t2－t ，t ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1， 则h ′(t )＝ln t －12<0，所以h (t )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，从而b ＝h (t )∈⎝⎛⎭⎫－1，－32e . 综上所述，当a ∈(－e ，0]时，b ∈⎣⎡⎭⎫－1，－32e ；当a ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，b 不存在． [例5] (2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解析 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3．若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )＜0．故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛0，a 3单调递减． 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )＜0．故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1．②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1．③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b ． 若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1．【对点训练】1．已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．1．解析 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1．(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x． ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e ．从而p (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，p (x )min ＝p (e 2)＝－1e 2，当a ≤－1e 2时，a ≤1－ln x x ，即e ax －1－1x ≤0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，ax ＋1>0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，ax ＋1<0，g ′(x )≥0，g (x )单调递增，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－1a ＝M ， 设t ＝－1a ∈(0，e 2]，M ＝h (t )＝t e 2－ln t ＋1(0<t ≤e 2)，则h ′(t )＝1e 2－1t ≤0，h (t )在(0，e 2]上单调递减，∴h (t )≥h (e 2)＝0，即M ≥0，∴M 的最小值为0．4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值．4．解析 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0．∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f (x )max ＝f (1)＝－1．∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1．(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞． ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意．②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e ．从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ．令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2． ∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2．5．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ，其中a ∈R ．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围．5．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ， 所以f (1)＝－2，f ′(1)＝0．所以切线方程为y ＋2＝0．(2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，当12<b <32时，f (x )在[b ，32)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增． 所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫32＝e e 4；当b ≥32时，f (x )在[b ，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f (b )＝e b 1＋ab 2＝3e b3＋4b 2． [例2] 已知函数f (x )＝a ln (x ＋b )－x ．(1)若a ＝1，b ＝0，求f (x )的最大值；(2)当b >0时，讨论f (x )极值点的个数．解析 (1)当a ＝1，b ＝0时，f (x )＝ln x －x ，此时，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12x ＝2－x 2x ，由f ′(x )>0，解得0<x <4，由f ′(x )<0，解得x >4， 故f (x )在(0，4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (4)＝2ln 2－2．(2)当b >0时，函数的定义域是[0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋b －12x ＝－x ＋2a x －b 2x x ＋b ， ①当a ≤0时，f ′(x )<0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，故此时f (x )的极值点的个数为0；②当a >0时，设h (x )＝－x ＋2a x －b ，(ⅰ)当4a 2－4b ≤0即0<a ≤ b 时，f ′(x )≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，即f ′(x )在(0，＋∞)上无变号零点， 故此时f (x )的极值点个数是0；(ⅱ)当4a 2－4b >0即a >b 时，记方程h (x )＝0的两根分别为x 1，x 2，由于x 1＋x 2＝2a >0，x 1x 2＝b >0，故x 1，x 2都大于0，即f ′(x )在(0，＋∞)上有2个变号零点， 故此时f (x )的极值点的个数是2．综上，a ≤b 时，f (x )极值点的个数是0；a >b 时，f (x )极值点的个数是2．[例3] 设函数f (x )＝a x ＋e －x (a ＞1)． (1)求证：f (x )有极值；(2)若x ＝x 0时f (x )取得极值，且对任意正整数a 都有x 0∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n －m 的最小值． 解析 (1)由题意得f ′(x )＝a x ln a －e －x ，令h (x )＝f ′(x )＝a x ln a －e －x ， 则h ′(x )＝a x (ln a )2＋e －x ＞0，所以函数h (x )，即f ′(x )在R 上单调递增． 由f ′(x )＝0，得a x e x ln a ＝1，因为a ＞1，所以a x e x ＝1ln a ＞0，得x ＝log a e 1ln a ，当x ＞log a e 1ln a 时，f ′(x )＞0；当x ＜log a e 1ln a 时，f ′(x )＜0． 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，log a e 1ln a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫log a e 1ln a ，＋∞上单调递增，因此，当x ＝log a e 1ln a 时函数f (x )取极值．(2)由(1)知，函数f (x )的极值点x 0(即函数f ′(x )的零点)唯一．由f ′(－1)＝ln a a －e ，令g (a )＝ln a a ，则g ′(a )＝1－ln a a 2，由g ′(a )＝0，得a ＝e ，当a ＞e 时，g ′(a )＜0；当0＜a ＜e 时，g ′(a )＞0．所以g (a )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (a )≤g (e)＝1e ，所以f ′(－1)＝ln a a －e ＜0．当a 为大于1的正整数时，f ′(0)＝ln a －1的值有正有负．f ′(1)＝a ln a －1e ，因为a 为正整数且a ＞1，所以a ln a ≥2ln 2＞1e ，所以f ′(1)＞0．所以x 0∈(－1，1)恒成立，所以n －m 的最小值为2．[例4] 已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析 由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝a x －1x 2(a ＞0)．(1)由f ′(x )＞0解得x ＞1a ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )＜0解得x ＜1a ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ． 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在．理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增． ①若0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1， 解得a ＝e ，而1e ≤a ＜1，故不满足条件．③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ＋1e ＝0，解得a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件．综上所述，这样的a 不存在．[例5] 已知函数f (x )＝(ax －1)ln x ＋x 22．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的方程；(2)设函数g (x )＝f ′(x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈(0，e]，求g (x 1)－g (x 2)的最小值．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝(2x －1)ln x ＋x 22，则f ′(x )＝2ln x ＋x －1x ＋2，f ′(1)＝2，f (1)＝12，∴切线l 的方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0．(2)函数g (x )＝a ln x ＋x －1x ＋a ，定义域为(0，＋∞)，则g ′(x )＝1＋a x ＋1x 2＝x 2＋ax ＋1x 2， 令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0，其两根为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1，故x 2＝1x 1，a ＝－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1． g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫1x 1＝a ln x 1＋x 1－1x 1＋a －⎝⎛⎭⎫a ln 1x 1＋1x 1－x 1＋a ＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1＋2a ln x 1＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1－2⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1， 令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x －2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ．则[g (x 1)－g (x 2)]min ＝h (x )min ， 又h ′(x )＝2(1＋x )(1－x )ln x x 2，当x ∈(0，1]时，h ′(x )≤0，当x ∈(1，e]时，h ′(x )<0， 即当x ∈(0，e]时，h (x )单调递减，∴h (x )min ＝h (e)＝－4e ，故[g (x 1)－g (x 2)]min ＝－4e[例6] 已知函数g (x )＝x 22＋x ＋ln x ．(1)若函数g ′(x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)函数f (x )＝g (x )－mx ，若f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；(3)设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．解析 (1)∵g ′(x )＝x ＋1x ＋1，g ′(x )＝x ＋1x ＋1≥2x ꞏ1x ＋1＝3，g ′(x )≥a ，∴a ≤3．(2)∴f ′(x )＝x ＋1－m ＋1x ＝x 2＋(1－m )x ＋1x，又∵f ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解， 令h (x )＝x 2＋(1－m )x ＋1，则h (0)＝1＞0，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m －12＞0，(m －1)2－4＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m >0或m ＜－1，即m ＞3 (3)∵f ′(x )＝x 2＋(1－m )x ＋1x，令f ′(x )＝0，即x 2＋(1－m )x ＋1＝0，两根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －1，x 1x 2＝1， 又∵f (x 1)－f (x 2)＝12(x 21－x 22)＋(1－m )(x 1－x 2)＋ln x 1x 2＝12(x 21－x 22)－(x 21－x 22)＋ln x 1x 2， ＝ln x 1x 2－12(x 21－x 22)＝ln x 1x 2－12⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1． 令t ＝x 1x 2，由于x 1＜x 2，∴0＜t ＜1． 又∵m ≥72，(x 1＋x 2)2＝(m －1)2≥254，即(x 1＋x 2)2x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1，即t ＋2＋1t ≥254 ∴4t 2－17t ＋4≥0，解得t ≥4或t ≤14，即0＜t ≤14．令h (t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (0＜t ≤14)，h ′(t )＝1t －12⎝⎛⎭⎫1＋1t 2＝－(t －1)22t 2＜0，∴h (t )在(0，14]上单调递减，h (t )min ＝h (14)＝－2ln2＋158．∴f (x 1)－f (x 2)的最小值为－2ln2＋158．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．1．解析 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0，由f ′(x )＝0，得x ＝1e ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0， 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在．(2)g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a ，由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1． 所以在区间(0，e a －1)上，g (x )单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )单调递增． 当e a －1≥e ，即a ≥2时，g (x )在(0，e]上单调递减，∴g (x )min ＝g (e)＝a ＋e －a e ， 当e a －1<e 即a <2时，g (x )在(0，e a －1)上单调递减，在(e a －1，e]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e a －1)＝a －e a －1，令g (x )的最小值为h (a )， 综上有h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e a －1，a <2，a ＋e －a e ，a ≥2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．2．解析 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0当x ＝23时，函数f (x )取到极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫23＝427．(2)①当－1≤x <1时，根据(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝⎛⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2．②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增．则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a ． 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2．3．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间；(2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )．3．解析 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x， 因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0， 解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x， 所以当0<x <32或x >3时，f ′(x )>0，当32<x <3时，f ′(x )<0，即x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3.(2)g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x，令g ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝1. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，　1－e a ＋e 2－2e ，a ≥2e.4．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x ．(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．4．解析 (1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x ．当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x ．所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，2)上单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )在(2，＋∞)上单调递增．所以f (x )只有极小值，且当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2． 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2，无极大值．(2)因为f ′(x )＝a ＋2x x a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值．当a <0时，由f ′(x )>0，得x >－a 2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0，得x <－a 2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减． 所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2． 根据题意，知f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a 2≥－a ，即a [ln (－a )－ln 2]≥0． 因为a <0，所以ln (－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2，0)．5．已知函数f (x )＝a sin x ＋sin2x ，a ∈R ．。

函数的极值和最值(习题)

函数的极值和最值(习题)

【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。

7．函数y=1+3x-x 3的极大值是_______，极小值是________。

8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。

9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。

10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。

11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。

12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。

导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)

导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)

导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。

函数极值和最值计算练习题

函数极值和最值计算练习题

函数极值和最值计算练习题在微积分中，函数的极值和最值是非常重要的概念。

通过求取函数的导数，我们可以找到函数的极值点以及取得最值的点。

在本文中，我们将通过几个练习题来帮助大家熟练掌握函数极值和最值的计算方法。

练习一：考虑函数f(x) = 3x^2 - 12x + 5。

1. 求函数f(x)的导数f'(x)。

2. 通过求解方程f'(x) = 0，找到函数f(x)的极值点。

3. 判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。

解答一：1. 函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = 6x - 12。

2. 通过求解方程f'(x) = 0，我们有6x - 12 = 0，解得x = 2。

因此，函数f(x)的极值点为x = 2。

3. 要判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值，我们可以用二阶导数来进行判别。

计算函数f(x)的二阶导数f''(x)，有f''(x) = 6。

由于f''(x)大于0，所以函数f(x)在极值点x = 2处取得的是极小值。

练习二：考虑函数g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 12。

1. 求函数g(x)的导数g'(x)。

2. 通过求解方程g'(x) = 0，找到函数g(x)的极值点。

3. 判断函数g(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。

解答二：1. 函数g(x)的导数g'(x)为g'(x) = 3x^2 - 18x + 24。

2. 通过求解方程g'(x) = 0，我们有3x^2 - 18x + 24 = 0，化简得x^2 - 6x + 8 = 0，进一步解得(x - 2)(x - 4) = 0。

解得x = 2或x = 4。

因此，函数g(x)的极值点为x = 2和x = 4。

3. 计算函数g(x)的二阶导数g''(x)，有g''(x) = 6x - 18。

2023届全国高考数学复习：专题(函数的极值)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题(函数的极值)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（函数的极值）重点讲解与练习 1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一 根据函数图象判断极值【方法总结】(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12[例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．[例3] (2021ꞏ天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ꞏe x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 22．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝03．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．46．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1737．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 28．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为210．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x ．(1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． (4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞)(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2[例2] 已知曲线f (x )＝x e x －23ax 3－ax 2，a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )有三个极值点，求实数a 的取值范围．【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．03．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．54．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(e ，e)B ．(e ，2)C ．(2，e)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )＝x ln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14 D ．0，14 8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________． 答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2． (2)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e ，则f (x )的极大值点为( )A ．1eB ．1C ．eD ．2e答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析 因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值126．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1736．答案 B 解析 由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ．7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 27．答案 B 解析 由题意得，f ′(x )＝2x 2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52．8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值8．答案 BC 解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e 是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为29．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ꞏx ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x－1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．答案 11 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． 答案 1 解析 因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析 f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；答案 (－∞，－1] 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln x x (x >0)，∴φ′(x )＝－ln x x 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2答案 D 解析 法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．所以当a >e 2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞． 【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ．2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析 由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a ＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1 ＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞． 5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析 由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点，又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞)6．答案 B 解析 令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln x x 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e 2．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－x e x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表： x(－∞，1) 1 (1，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值 若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e C ．。

极限与最值、极值练习题

极限与最值、极值练习题

极限与最值、极值练习题
本文档旨在提供一些关于极限与最值、极值练题的完整版指导。

以下是一些练题示例，供您练和巩固相关概念。

1. 极限计算题
问题 1
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

问题 2
已知函数 $g(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - x$，求 $\lim_{x \to -1}
g(x)$。

2. 极大值和极小值问题
问题 1
一边长为 $x$ 的长方形的周长为 $2x + 20$。

求这个长方形的
最大面积。

问题 2
已知函数 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求函数在区间 $[-1, 3]$ 上的
最小值和最大值。

3. 极值问题
问题 1
已知函数 $k(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + 1$，求函数的极大值和极小值。

问题 2
求函数 $f(x) = |x - 2| - |x + 2|$ 的极大值和极小值。

总结
本文档提供了一些关于极限与最值、极值的练题以供练和参考。

通过完成这些练题，您可以加深对相关概念和问题的理解，并提升
在研究中遇到类似问题时的解决能力。

请注意，这些是练题的答案并不包含解题过程。

在实际研究中，我们鼓励您通过理论知识和解题技巧，自己尝试解答这些问题，并
与参考答案进行对比和验证。

祝您研究愉快！。

《导数与极值、最值关系》能力练习题

《导数与极值、最值关系》能力练习题

《导数与极值、最值关系》能力练习题一、单选题1．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．02．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极大值3-，则+a b 的值等于（ ）A ．9B ．6C ．3D ．23．已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为（ ）A ．ln21--B ．ln21-+C ．1-D ．14．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．45．已知函数()2()xf x x a e =-，则“1a ≥-”是“()f x 有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．已知32()f x x px qx =++的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为（ ）A ．8，6B ．9，6C ．4，2D ．6，98．若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-9．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-10．若函数322312y x x x m =--+在[0，3]上的最大值为5，则m =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．811．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．5212．已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为（ ）A ．31-B ．34C ．43D ．31+13．已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．已知定义在[,]m n 上的函数()f x ，其导函数()'f x 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（ ）①函数()f x 的值域为[(),()]f d f n ；②函数()f x 在[,]a b 上递增，在[,]b d 上递减； ③()f x 的极大值点为x c =，极小值点为x e =；④()f x 有两个零点. A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()()211x f x x ax e-=+-在(),2x ∈-∞-单调递增，在()2,1x ∈-单调递减，则函数()f x 在[]2,2x ∈-的值域是（ ） A ．[]1,e - B ．31,5e -⎡⎤-⎣⎦C ．11,e ---⎡⎤⎣⎦D ．35,e e -⎡⎤⎣⎦二、填空题 16．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是_________． 17．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为___________. 18．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________． 19．已知函数()()321233f x x ax a x =++++在(),-∞+∞上存在极值点，则实数a 的取值范围是_____________.20．已知()3222f x x cx c x =-+在2x =处有极小值，则常数c 的值为___________.21．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______.22．已知函数()1ln x f x x =+在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，则实数a 的取值范围是_______.23．若函数()33f x x x =-在区间()25,a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是______.24．若函数()3213f x x x =-在区间(),4a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题 25．已知.函数.e 为自然对数的底．（1）当时取得最小值,求的值;（2）令，求函数在点P 处的切线方程．26．已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.27．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数. （1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围.28．已知32()1f x x ax bx =+++在1x =与1=3x -时取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 的极大值和极小值；（3）求()f x 在[]1,2-上的最大值与最小值.29．已知函数()2ln f x a x bx =-，a ､b R ∈，若()f x 在1x =处与直线12y相切. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值.30．设函数3()65,f x x x x R =-+∈.（1）求(2)f '的值；（2）求()f x 的单调区间和极值；（3）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围.《导数与极值、最值关系》能力练习题参考答案1．A 【解析】由()'x f x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选A ．2．B 【解析】由题意得2()1222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极大值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3,3a b ==，所以6a b +=，故选：B 3．A 【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭.故选：A. 4．B 【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯.故选：B.5．B 【解析】()2()20xf x x x a e '=-=+，220x x a +-=，44a ．若440a ∆=+≤，1a ≤-则()2()20x f x x x a e '=+-≥恒成立，()f x 为增函数，无极值；若440a ∆=+>，即1a >-，则()f x 有两个极值．所以“1a ≥-”是“()f x 有极值”的必要不充分条件．故选:B6．D 【解析】因为32()33[(2)1]f x x ax a x =++++，所以2()363(2)f x x ax a '=+++，函数()f x 有极大值又有极小值，()0f x ∴'=有两个不相等是实数根，∴23636(2)0a a ∆=-+>，化为220a a -->，解得2a >或1a <-．则a 的取值范围是(-∞，1)(2-，)+∞．故选：D ．7．D 【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得：20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==.故选：D 8．D 【解析】函数321()13f x x x =+-的导函数为2()2f x x x =+'，令()0f x '=，得2x =-或0x =，故()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，则0x =为极小值点，2x =-为极大值点.由()f x 在区间(,3)m m +上存在最小值，可得03m m <<+，解得30m -<<，此时32211()1(3)11(0)33f m m m m m f =+-=+->-=，因此实数m 的取值范围是(3,0)-，故选：D.9．B 【解析】因为函数2(1)1ax y x x =>-，所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-，此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0y '>，当2x >时，0y '<，所以当2x =时y 取得最大值4-，故选：B.10．C 【解析】()()26612612y x x x x '=--=+-，当[]0,2x ∈时，0y '<，函数单调递减，当[]2,3x ∈时，0y '>，函数单调递增，当0x =时，y m =，当3x =时，9y m =-，则函数在[]0,3上的最大值为m ，则5m =.故选：C.11．C 【解析】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时，12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C 12．A 【解析】由2()x f x x a =+，得()222()a x f x x a '-=+，当1a >时，若x >()0,()f x f x '<单调递减，若1x <<()0,()f x f x '>单调递增，故当x =()f x 有最大值=，解得314a =<，不符合题意.当1a =时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，最大值为1(1)2f =，不符合题意.当01a <<时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.此时最大值为1(1)1f a ==+，解得31a ，符合题意.故a 1.故选：A .13．C 【解析】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x '=的零点个数为2.故选：C.14．B 【解析】根据导函数()'f x 的图象可知，当[,)x m c ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在[,]m c 上单调递增，当(,)x c e ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在[,]c e 上单调递减，当(,]x e n ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,]e n 上单调递增，故②错误，③正确，根据单调性可知，函数的最小值为()f m 或()f e ，最大值为()f c 或()f n ，故①错误，当()0>f m 且()0f e >时，函数无零点，故④错误.故选：B.15．A 【解析】由()()2121x x a x a ef x -⎡⎤=+++-⎣⎦'，由已知可得()201f a '-=⇒=-，则()()211x f x x x e -=--，()()212x f x x x e -'=+-，当[]2,1x ∈-，()()0f x f x '<⇒单调递减，当(]1,2x ∈，()()0f x f x '>⇒单调递增，则()()min 11f x f ==-，()325f e --=，()2f e =，()()max 2f x f e ==，综上：()[]1,f x e ∈-.故选：A16．[]1,1-【解析】因为321()53f x x ax x =-+-，所以2()21f x x ax '=-+，因为函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，所以2240a，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[]1,1-，17．(2,0)-【解析】因为2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22x y m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<.18．11【解析】322()3f x x mx nx m =+++，2()36f x x mx n ∴'=++，依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+，函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n ．19．{|1a a <-或}2a >【解析】由题可知：()222f x x ax a '=+++，因为函数()f x 在(),-∞+∞上存在极值点，所以()0f x '=有解，所以()244120a a ∆=-⨯⨯+≥，则1a ≤-或2a ≥，当1a =-或2a =时，函数()y f x ='与x 轴只有一个交点，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，没有极值点，故舍去，所以1a <-或2a >，即{|1a a <-或}2a >20．2【解析】由()3222f x x cx c x =-+知，()2234f x x cx c '=-+，因为()f x 在2x =处取极小值，所以()221280f c c '=-+=，解得2c =或6c =，当2c =时，2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+-，()f x 在2x =处取极小值，符合题意，当6c =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，()f x 在2x =处取极大值，不符合题意，综上知，2c =.21．[3)+∞，【解析】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减.又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞ 22．112a <<【解析】因为()1ln x f x x +=，0x >，所以()2ln x f x x '=-.当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值.因为函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，所以1112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112a <<. 23．()1,2-【解析】由题意得：233fxx ，令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>解得1x <-或1x >，所以函数在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，故函数在1x =-处取到极大值2，所以极大值必是区间()25,a a -上的最大值，∴251a a -<-<，解得-1a 2<<.检验满足题意24．(]4,1--【解析】由题可知：()22f x x x '=-．令()00'>⇒<f x x 或2x >，令()002'<⇒<<f x x ，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()(),0,2,-∞+∞单调递增，故函数的极大值为()00f =，所以在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =，又()()300f f ==，所以0443a a a <<+⎧⎨+≤⎩，得实数a 的取值范围是(]4,1--．25．【解析】（1），由得，由得，（2），26．【解析】（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值，∴()10f '=，解得23a =(经检验，符合题意). （2）由（1）知32()2=-+f x x x x ，则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,)+∞()'f x+-+()f x极大值极小值∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.27．【解析】（1）2222(1)e 11(1)e 1()x x x x x f x k k x x x x x ---⎛⎫'=--+=- ⎪⎝⎭，即()2(1)()x x e k f x x--'= 当2e k =时()22(1)()x x e e f x x--'=，0x >。

高考数学复习专题练习22---函数的极值与最值

高考数学复习专题练习22---函数的极值与最值

axa>12，当 x∈(－2,0)时，f (x)的最小值为 1，则 a 的值为(
)
A．1 B．2 C．3 D．－1
12．已知函数 f (x)＝22mx2x－ex4－x，1，x>x0≤，0， 若不等式 f (x)＋m≥0 对任意实数 x 恒成 立，其中 m>0.则( )
e A．m 的最小值为e－2
3/8
6/8
即直线 y＝－2ax 与函数 y＝ex 的图象有两个交点， 设函数 g(x)＝kx 与函数 h(x)＝ex 的图象相切，切点为(x0，y0)， 作函数 y＝ex 的图象，
因为
h′(x)＝ex，则 ex0
＝k，所以xy00＝
ex0 x0
＝k＝ ex0
，
解得 x0＝1，即切点为(1，e)，此时 k＝e， 由图象知直线 y＝－2ax 与函数 y＝ex 的图象有两个交点时，
B．3 或－9
C．3
D．－3
3．(2019·哈尔滨市第六中学期末)若函数 f (x)＝ex－ax－a2 在 R 上有小于 0 的极值
点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
4．函数 f (x)＝(2x2－tx)ex(t 为常数且 t>0)的图象大致为( )
1 ∴0<a<2，
1 令 f′(x)>0，则 0<x<a，
∴f (x)在0，1a 上单调递增；
1 令 f′(x)<0，则 x>a，
∴f (x)在1a，2 上单调递减．
∴f (x)max＝f 1a＝ln1a－a·1a＝－1，∴ln1a＝0，得 a＝1.]
12．A [由 f (x)＝22mx2x－ex4－x，1，x>x0≤，0， 当 x≤0 时，f′(x)＝2mex＋2mxex ＝2(1＋x)mex，
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

函数的极值与最值练习题
一、选择题
1.下列说法正确的是
A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值
B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值
C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值
D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0
2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是
①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
3.函数y =216x
x +的极大值为 A.3 B.4 C.2 D.5
4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为
A.0
B.1
C.2
D.4
5.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为
A.e －1
B.0
C.－1
D.1
6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于
A.6
B.0
C.5
D.1
二、填空题
7.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.
8.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.
9.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a=____,b=____.
10.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________.
11.函数f (x )=sin2x －x 在［－2π,2
π］上的最大值为_____；最小值为____ 12.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大.
三、解答题
13.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.
14.设y =f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x =
2
1时，f (x )的极小值为－1，求函数的解析式.
15. 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；
（II ）求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值．
16、已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b ，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b 的值；若不存在，请说明理由。

相关文档
最新文档