线性变换

a11 a12 a1n a a a 2 n ( , , , ), 设 A 21 22 1 2 n a a a n1 n 2 nn a1 i a i 2 i , 其中 a ni 对Rn上的线性变换: T(x)=Ax, xRn, 则有 (1) T(x)=Ax的象空间T(Rn)就是由1, 2, · · · , n 所 生成的向量空间: 即 T(Rn)={ y = x11+x22+· · · +xnn | x1, x2, · · · , x n R }
§6.4 线性变换
一、线性变换的概念
1. 映射 线性空间中向量之间的联系是通过线性空间到线 性空间的映射(变换)来实现的. 定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一 元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它 对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变 换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为 在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称 A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即 T(A)={ =T() | A }.
例2: 线性空间V中的零变换O: O()=0是线性变换. 证明: 设, V, 则有 O(+ ) = 0 = 0 + 0 =O()+O( ), O(k) = 0 = k0 = kO(). 所以, 零变换O是线性变换. 注意: 零变换中对应的元素必须是空间的零元0. 例3: 由关系式 x cos sin x x cos y sin T y y sin cos x sin y cos 确定xoy平面上的一个变换, 说明T的几何意义. 解: 先证明变换T是线性变换. 设 cos sin x1 x2 A , p1 , p2 , sin cos y1 y2 则 T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2),
二、线性变换的性质
以下设T为线性空间Vn的线性变换. 1. T(0)=0, T(–)=–T(). 实际上, T(0)=T(0)=0T()=0; T(–)=T((–1))=(–1)T() =–T(). 2. 若 =k11+k22+· · · +kmm , 则 T =k1T1+k2T2+· · · +kmTm . 此性质表明: 线性变换对线性组合保持不变. 3. 若1, 2, · · · , m 线性相关, 则T1, T2, · · · , Tm 亦线性相关. 利用性质2即可证明. 注意: 若1, 2, · · · , m 线性无关, 则T1, T2, · · · , Tm不一定线性无关.
D(kp) =D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0, ) =3ka3x2+2ka2x+ka1 =k(3a3x2+2a2x+a1) =kDp (2) 如果T(a3x3+a2x2+a1x+a0)=a0, 则T也是P[x]3上 的一个线性变换. 事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]3, T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q), T(kp)=ka0=kT(p). (3) 如果T1(a3x3+a2x2+a1x+a0)=1, 则T1是P[x]3上的 一个变换, 但不是线性变换. 由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2, 所以 T1(p+q)T1(p)+T1(q).
a1 a1 定义R3空间的一个变换 : ( ) a 2 a 2 , a3 a3 试证明是R3空间的一个线性变换, 并分析其几何意义.
思考题
思考题解答
证明(略). 几何意义: 将xoy平面作为一面镜子, ()就是对于这面镜 子反射所成的象. 这个变换也称为镜面变换或称反射变换.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子 空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间. 证明: 由于T是Vn上的线性变换, 故T(Vn)Vn. 又由于0Vn, 则0=T(0)T(Vn), 故T(Vn)非空. 则对任意的1, 2T(Vn), 有1, 2Vn, 使得T1=1, T2=2, 从而 1+2=T1+T2 =T(1+2) T(Vn), (因1+2Vn) k1 = kT1 = T(k1) T(Vn), (因k1Vn) 由上述证明知: T(Vn)对Vn中的线性运算封闭, 故 T(Vn)是Vn的子空间.
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解 空间.
三、பைடு நூலகம்结
要证明线性空间Vn的一个变换T是线性变换, 必须 证明T保持加法和数乘运算, 即 T(+ )=T()+T( ), T(k)=kT(). 反之, 若要证明一个变换T不是线性变换, 只须证 明T不保持加法或数乘运算, 实际上只须举出一个反例 即可.
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1). p1 y 所以, 变换T是线性变换. x r cos , 于是 记 y r sin p x x cos y sin T o x x sin y cos y r cos cos r sin sin r cos( ) , r sin( ) r cos sin r sin cos 上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角. 一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换. 事实上, 对任意的x, xRn, T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x), T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素 构成的集合)是Vn的子空间. 称ST为线性变换T的核.
证明: 显然ST Vn. 由于T(0)=0, 则0ST , 故ST非空. 则对任意的1, 2ST, 有T(1)=0, T(2)=0, 从而 T(1+2)=T(1)+T(2)=0+0=0, 故1+2ST, T(k1)=kT(1)=k0=0, 故k1ST, 由上述证明知: ST对Vn中的线性运算封闭,故ST是 Vn的子空间.
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广. 2. 从线性空间Vn到Um的线性变换 定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足: (1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT(). 则称T为从Vn到Um的线性变换. 说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算) 的对应关系的变换. 一般用黑体大写字母T, A, B等代表线性变换, T() 或T代表元素在变换T下的象.

T(k f(x)) 故命题得证. 例5: 线性空间V中的恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V, 是线性变换.
x x f ( t )dt a g( t )dt = T(f(x))+T(g(x)), a x x kf ( t )dt k a f ( t )d t = kT(f(x)) a

证明: 设, V, 则有 E(+ )=+ =E()+E( ), E(k)= k = kE(). 所以, 恒等变换E是线性变换. 例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0), 则T不是R3的一个线性变换. 证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T(+ )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3) =((a1+b1)2, (a2+b2)+(a3+b3), 0) (a12, a2+a3, 0)+(b12, b2+b3, 0) =T()+T(). 故, T不是R3的一个线性变换.
3. 从线性空间Vn到其自身的线性变换 一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换. 下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换． 例1: 在线性空间P[x]3中. (1) 求导运算D是一个到其自身的线性变换. 事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]n, 则 Dp=3a3x2+2a2x+a1, Dq=3b3x2+2b2x+b1, 从而 D(p+q)=D((a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a3+b3)) =3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1) =(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1) =Dp+Dq.
例4: 定义在闭区间[a, b]上的全体连续函数组成实 数域上的一个线性空间C[a, b], 在这个空间中变换 x T ( f ( x )) a f ( t )dt 是一个线性变换. 证明: 设 f(x), g(x)C[a, b], 则有 x T(f(x)+g(x)) a [ f ( t ) g( t )]dt