Z变换的基本性质

xk 2 (k) z 2 X z z 1x 1 x 2 注意：对于因果序列k 0时，xk 0，则
xk m z m X (z)
x(k m) (k m) z m X (z)
k m z m
说明:移序特性可将差分方程转换为代数方程.
x1 z1X z
X
第
Biblioteka Baidu
证明右移位性质
14
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxk m k xk mz k
k 0

z m x k m z km
k 0
令n k m z m xnz n
nm
如果f1(k) (k)
f
2
(k
)

(
1 2
)
k

(k
)

(
1 2
)k
1
(k

1)
求f1(k) f2 (k) （用Z变换法求卷积和）

3.求f1(k) [(2)n (k n)]和 n0
k 1
f2 (k) (1)i的z变换 i0
k 1
同学练习：求 (2)i1的z变换

Zxk m k xk mz k k 0

z m xk m z km k 0
令n k m z m xnz n nm

z
m


xnz n

m1
xnz
n

n0
n0


zm

y(k) ak (k 1)
aak1 k 1
x(k) y(k) ak (k) ak (k 1) δk 1
X(z)Y(z) 1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
二．移序(移位)性质
第 6
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
第
例1 求coshk0 (k)的z变换。 （自学）
3 页
解：
已知
Z ak (k) z
za
并且
cosh kω0
1 ekω0 ekω0 2
所以
Zcoshkω0 (k)
1 2
Z
ekω0
(k )

1 2
Z
ekω0
(k )
z Rx1
Zx2 (k) X 2 (z)
z Rx2
则 Zax1(k) bx2 (k) aX1(z) bX 2 (z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 z max( Rx1, Rx2 )
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
i3
X
五．乘k定理 （z域微分定理）
第 21
页
若 x(k) X (z) z
则 kx(k) z d X (z) dz
z
推广
k
m
x( k
)


z
d dz

m
X
(
z)

z
d m d z
表示
z
d dz

z
d dz


z
d dz
i
z 1
说明: 用卷积和定理可得
max(,1) z
k
f (k) x(i) x(k) (k)
z
X (z)
i
z 1
例题 : 求以下信号的z变换(用求和性质或卷积和性质）

k(k 1) 2
(k)
2.已知序列f (k)的单边z变换为F (z)
k
求序列y(k) if (i)的单边z变换Y (z) i0
X
六.除k+m定理(z域积分定理)
第 23
页
若 x(k) X (z) z
则
x(k) km

zm
z
X

( )
m1
d
m为整数, 且k m0
X
1．双边z变换的移序性质
第 7
页
原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k 2)
4
x(k 2)
4
1O 1 2
k 1O 1 2
k
若序列xk 的双边z变换 :
x(k) X (z)
x(k m) zm X (z)
2 1 O 1 k
z z
k0
k0
a
a
同理
a k x(k) X az z
aa
1k x(k) X z
X
第
例题
17
页
求以下信号单边z变换
1. f (k) (0.5)k (k)
2. f (k) (1)k sin k (k)
22

3. f (k) 2k [(2)m (k m)] m0
第 16
页
若 x(k) X (z)
z
则 a k x(k) X z a
a为非零常数
a z a
说明:在时域乘指数序列相当于在z域进行尺度变换.
证明：
Z ak x(k)


ak x(k)zk


x(k )
z
k

X z
x(k m) (k m) z m X (z)
k m z m
X
无论左移序右移序特性需牢记：
x(k m) (k m) zm X (z)
第 10
(k m) zm页
x(k m) (k） 求解思路 设：x(k)(k） X (z)
xk 2 (k) x(k 2)[ (k 2) (k 2) (k 1)]
注意：k域尺度变换x( k ) X (za )
例题
a
已知: x(k) ak (k)
z
za
求以下信号的z变换
za
z a
1) a k (k 1)
2)a k (k 1)
X
八.时域求和性质
第 25
页
若 x(k) X (z) z
则
k
z
f (k) x(i) X (z)
第二节 Z变换的性质
第 1
页
反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系 线性性质 移序性质 序列乘K性质（序列线性加权） Z域尺度变换性质（序列指数加权） 时域卷积定理
z域卷积定理（自学）
初值定理
终值定理
以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.
X
一．线性 (叠加性和齐次性）
第 2
页
若 Zx1(k) X1(z)
X
四．时域卷积定理
第 18
页
已知 则
x(k) X (z) h(k) H (z)
1 z 1 2 z 2
x(k) * h(k) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
( z max( R1, R2 )
注意：如果在相乘过程中有零点与极点相抵消，则 收敛域可能扩大。
X
第
13
m 1 因为 x(k) X (z)
页
所以：X (z)＝ x(k)zk x0 x1z1 x2z2
k 0
x(k 1) x(k 1)zk
k 0
x1 x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1) z-1[x0 x1z1 x2z2 x3z3

z
m


xnz n
1
xnz
n

n0
nm


z
m

X
z


1
x
nm
n
z
n

X
第
例题
15
页
1.求f (k) (k 1) (k 1)的单边z变换
2.已知a k (k) z
za
za
分别求a k1, a k1 (k), a k1 (k 1)单边z变换

z 1(
z
z )2 1

(z
z 1)2
z 1

(k 1 1) (k 1)
4.k (k) k (k
1)

(z
z 1)2
z 1
X
第
例题
20
页
1.求(k 1)[ (k) (k 3)] [ (k) (k 4)]的z变换
2.同学练习：
x(k 2) (k 2) x(k 2) (k) x(k 2) (k 1)
x(k 2) (k 2)＋x(2) (k)＋x(1) (k 1)
z2 X z x 2 z1x1
X
第
证明左移位性质
11
页
根据单边z变换的定义，可得
ROC : z max eω0 , eω0
X
例2
第 5
页
注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，
则收敛域可能扩大。
x(k) ak(k)
y(k) ak (k）－ak (k） ak (k）－ (k）
X(z) z za
Y(z) a za
za za
在时域中的卷积
在z域中z变换的乘积
X
第
利用卷积定理得出常见序列的z变换
19 页
1.(k 1) (k) (k) (k) ( z )2 z 1
z 1
2.ak (k 1) (k) ak (k) ak (k) ( z )2 z a
za
3.k (k 1)
3.a k的双边z变换存在吗？
4.求以下信号单边z变换
f (k) 2k (k 1)
f
(k
)

0 1
5.已知F (z) 1 求f (k)
z 9 (z 1)
k 1,3,5, k 2,4,6
６.思考：求(2)k (k 1)的单边双边z变换
X
三.Z域尺度定理（序列指数加权乘ak）
X
第
(1)左移位性质
9
页
若 x(k)(k) X (z)
z
则
x( k

m) (k)

zm

X
(z)

m1 k 0
x(k)z k

z
其中m为正整数
xk 1 (k) zX z zx0
xk 2 (k) z2 X z z2 x0 zx1
X
z


m1
xnz n


n0

X
第
(2)右移位性质
12
页
若 x(k) (k) X (z)
z
则
x( k

m) (k)

z
m

X
(
z
)

1
x(k)z k
km

z
xk 1 (k) z1X z x 1
其中m为正整数
m 0
x(k) X () d
k
z
z z
例题 求序列 a k (k)的z变换
k 1
X
七.时域反转
第 24
页
若 x(k) X (z) z
则 x(k) X (z 1 ) 说明:信号在时域反转
1 z1

在z域坐标变换为z-1
其收敛域为倒置(因果变为反因果)
X
2．单边z变换的移序性质
第 8
页
若x(k)为双边序列，其单边z变换为 Zx(k)(k)
x(k) (k)
x(k 2) (k)
x(k 2) (k)
4
4
4
1O 1
k 1O 1
k
1O 1
k
xk m k , xk m k 比xk k 的长度有所增减。 xk m, xk m只是位置变化，与xk 的长度一样
1z 1 z 2 z eω0 2 z eω0

z(z coshω0
z2 2z coshω0
1
ROC : z max ekω0 , ekω0
同理
X
同理
第 4
页
sinh( kω0 ) (k)

z2

z shω0 2z chω0 1



z
d dz
X (z)
共求导m次
说明:在时域乘k(线性加权),相当于在z域中对z变换求
导再乘-z.
X
第
例题
22
页
1.求以下序列的z变换
1) f1 (k) (1)k (k 1) (k 1)
2) f 2 (k) (k 1)2 (k 1)
3) f3 (k)
x(k 2) (k 2) x(k 2) (k 2) x(k 2) (k 1) x(k 2) (k 2) x(0) (k 2) x(1) (k 1)
z2 X z z2x0 zx1
同理：
xk 2 (k) x(k 2)[ (k 2) (k) (k 1)]