选修2-1两个向量的数量积课时作业
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课时作业18两个向量的数量积
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列式子中正确的是()
A．|a|·a＝a2
B．|a·b|2＝a2·b2
C．(a·b)·c＝a(b·c)
D．|a·b|≤|a||b|
*
【答案】D
【解析】选项A，|a|·a应是一个向量，而a2是一个数．选项B，|a·b|2＝a2·b2·cos2〈a，b〉，而不是a2·b2.选项C，向量运算中没有乘法结合律．
2．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于()
A．2BA→·AC→B．2AD→·BD→
C．2FG→·CA→D．2EF→·CB→
【答案】B
【解析】2BA
→·AC→＝－a2,2AD→·BD→＝a2,2FG→·CA→＝－a2,2EF→·CA→＝－
a2,2EF→·CB→＝－1 2a2.
3．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b 且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()
(
A．30°B．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】 C
【解析】 AB
→＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(A C →＋C D →＋D B →)·C D →
＝A C →·C D →＋CD 2→＋D B →·C D →＝0＋12＋0＝1，又|A B →|＝2，|C D →|＝1. ∴cos 〈A B →，C D →〉＝A B →·C D →|A B →||C D →|＝12×1＝12.
∴a 与b 所成的角是60°.
}
4．已知向量a ，b ，c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则
|a －b ＋2c |等于( )
B ．5
C ．6
【答案】 A
【解析】 (a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5.∴|a －b ＋2c |＝ 5.
5．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
。
【答案】 B
【解析】 设AB ＝2BB 1＝2a ，则AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC
→＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·BC →＋AB →·CC 1→＋BB 1→·CC 1→＝2a 2·cos120°＋a 2＝0，∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1与BC 1所成角的大小为90°.
6．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1
的中点，则EF 的长是( )
A ．2
【答案】 C 【解析】
；
如图所示，设A B →＝a ，A C →＝b ，AA 1→＝c .
由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，
且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为E F →＝E A →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →
＝－12a ＋1
2b ＋c ， 所以|EF |2＝|E F →|2＝E F →2
＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2(－12a ·12b ＋12b ·
c －12a ·c ) @
＝14×22＋14×22＋22
＋2×(－14)×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以|EF |＝ 5.
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．已知|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，则〈a ，b 〉＝________. 【答案】 －135°
【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22， ∴〈a ，b 〉＝135°.
8．已知i ，j ，k 都是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________． "
【答案】 －2
【解析】 a ·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 9．若a ，b 是两个非零向量，且a 2b ＝b 2a ，则a 与b 的关系是________．
【答案】 a ＝b 【解析】 ∵a 2b ＝b 2a ， ∴|a |2b ＝|b |2a . ∴b ＝|b |2
|a |2a ，
∴a 与b 共线且方向相同．
.
又∵|b |＝|b |2
|a |2|a |，
∴|a |＝|b |. ∴a ＝b .
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)已知三棱锥O —ABC 的各个侧面都是正三角形，且棱
长为1，求：
(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|. 【解析】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则 |a |＝|b |＝|c |＝1，
]
〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝60°，
CA
→＝a －c ，CB →＝b －c ， (1)OA →·OB →＝|a ||b |·cos60°＝12. (2)由(1)知，a·b ＝a·c ＝b·c ＝12， 则(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(a ＋b )·(a ＋b －2c )
＝a 2＋b 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝1. (3)|OA
→＋OB →＋OC →|＝?a ＋b ＋c ?2 ;
＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c
＝ 6.
11．(13分)如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 边长均为1，